Позиционное управление в дифференциально-разностных играх преследования
Получены достаточные условия окончания дифференциально-разностной игры преследования, а также способ построения управления преследователя. Одержані достатні умови для завершення диференціально-різницевої гри переслідування, а також засіб будування відповідного керування переслідувача. Sufficient co...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Дата: | 2003 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2003
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84852 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Позиционное управление в дифференциально-разностных играх преследования / Г.Ц. Чикрий // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 32-35. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860020592286105600 |
|---|---|
| author | Чикрий, Г.Ц. |
| author_facet | Чикрий, Г.Ц. |
| citation_txt | Позиционное управление в дифференциально-разностных играх преследования / Г.Ц. Чикрий // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 32-35. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | Получены достаточные условия окончания дифференциально-разностной игры преследования, а также способ построения управления преследователя.
Одержані достатні умови для завершення диференціально-різницевої гри переслідування, а також засіб будування відповідного керування переслідувача.
Sufficient conditions, ensuring termination of difference-differential games of pursuit, are derived. Also, method of constructing corresponding control of the pursuer is provided.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:47:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 32
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Получены достаточные условия
окончания дифференциально-разно-
стной игры преследования, а также
способ построения управления
преследователя.
Г.Ц. Чикрий, 2003
ÓÄÊ 519.8
Ã.Ö. ×ÈÊÐÈÉ
ÏÎÇÈÖÈÎÍÍÎÅ ÓÏÐÀÂËÅÍÈÅ
 ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎ-ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ
ÈÃÐÀÕ ÏÐÅÑËÅÄÎÂÀÍÈß
В известной работе [1] Б.Н. Пшеничный
разработал схему получения достаточных
условий и построения соответствующего
управления преследователя для завершения
линейной дифференциальной игры.
Здесь эта схема применена для иссле-
дования квазилинейной дифференциально-
разностной игры преследования.
Рассмотрим конфликтно-управляемый
процесс
),()()()( vutBztAztz ϕτ −−+=& , (1)
VvUuRz n ∈∈∈ ,, ,
где A квадратная матрица n -го порядка, u и
v – параметры управления преследователя и
убегающего, выбираемые из компактов U и
V , соответственно, а ),( vuϕ – непрерывная
по совокупности переменных вектор-
функция.
Задано терминальное множество *M ,
nRM ⊂* , имеющее цилиндрический вид:
MMM += 0
* ,
где 0M – линейное подпространство в nR , а
M – выпуклый компакт из подпространства
L , являющегося ортогональным дополнени-
ем к 0M в пространстве nR .
Цель преследователя – вывести в
кратчайшее время траекторию системы (1) на
множество *M . Игра считается оконченной
в первый момент времени t , когда *)( Mtz ∈ .
В качестве начального состояния системы
задана абсолютно непрерывная вектор-
функция )(0 tz , определенная на отрезке
]0,[ τ− .
ПОЗИЦИОННОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ ИГРАХ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 33
Состояние системы в текущий момент времени t , ),0[ +∞∈t , соответственно
определяется вектор-функцией )(⋅tz , )()( stzszt += , 0≤≤− sτ , являющейся
куском реализованной траектории системы (1) на отрезке времени ],[ tt τ− .
Игрокам разрешено так выбирать свои управления, чтобы их реализации во
времени представляли собой измеримые по Лебегу функции. Области
допустимых управлений игроков обозначим uΩ и vΩ , соответственно.
Пусть на отрезке времени ],0[ T , где T – искомое время окончания игры,
игроки применяли некоторые допустимые управления utu Ω∈)( и vtv Ω∈)( .
Тогда вектор состояния системы в этот момент времени может быть
представлен в виде
( )dssvsusTKTtztz
T
t
∫ −−= )(),()(),(~)( ϕ ,
где t – некоторый промежуточный момент времени, Tt ≤≤0 , а
( )∫ ∫
−
−−−−+=
0
0
0 )(),()()()()0()(),(~
τ
ϕτ
t
dssvsusTKdssBzsTKzTKTtz .
Отметим, что пара ( )),(~, Ttzt аккумулирует всю текущую информацию о
состоянии игры. Назовем ее позицией игры. Обозначим π оператор
ортогонального проектирования из nR на подпространство L . Очевидно, что
MTz ∈)( , если выполнено включение
),(),(~ TtFTtz ∈π , (2)
где ),( TtF – многозначное отображение L2),0[ →+∞ , определяемое следующим
образом:
( )
−+= ∫
Ω∈⋅
T
tv
dvUTKMTtF
v
θθϕθπ )(,)(),(
)(
I . (3)
Здесь )(tK – матричная функция, удовлетворяющая следующим условиям:
0)( =tK при 0<t ;
EK =)0( ;
)( τ−tK непрерывна на ),0[ +∞ ;
)(tK удовлетворяет уравнению )()()( τ−+= tBKtAKtK& .
Интеграл от многозначного отображения в (3) определяется стандартным
образом [3]. При построении множества ),( TtF использовались конструкции из
[2]. Отметим, что в случае, когда vuvu −=),(ϕ , формула (3) значительно
упрощается и приобретает вид
Г.Ц. ЧИКРИЙ
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 34
∫∫ −
+=
T
t
T
t
VdKUdKMTtF θθπθθπ )(*)(),( ,
где *− – операция геометрического вычитания множеств [3]. В силу
предложений о параметрах игры, многозначное отображение ),( TtF является
выпуклозначным и полунепрерывным сверху [4]. В дальнейшем будет
использоваться понятие опорной функции выпуклого множества X , nRX ⊂ .
Напомним ее определение: n
Xx
RppxpXC ∈=
∈
),,();( sup .
Из теоремы об отделимости выпуклых множеств [1] следует, что включение в
(2) имеет место тогда и только тогда, если
( ) ( )[ ] 0),,(),(~,min
1
≥−+
=
pTtFCTtzp
p
ππ ,
где ( )pTtFC ),,(π – опорная функция множества ),( TtF . Ввиду теоремы
Ляпунова о векторных мерах [4], последняя может быть записана в явном виде
( ) ( )( )
−+= ∫ ∈∈
T
t
UuVv
dssvsusTKppMCpTtFC )(),(),(,maxmin);(co);,( ϕππ .
Заметим, что барьерным конусом множества *M является множество L и
( ) ( )pMCpMC ;;* = . Так как M является компактом, то функция ( )pMC ;
непрерывна на множестве L .
Введем в рассмотрение следующую функцию:
( ) ( ) ( )[ ]pTtFCzpzTt
p
−+=
=
),,(~,min~,,
1
πλ
и множество векторов Lppp ∈= ,1, , на котором этот минимум достигается
( ) ( ) ( ) ( ){ }zTtpTtFCzppLppzTt ~,,),,(~,:1,,~,, λπ =−+=∈=Γ .
Обозначим )~,( ztT минимальный корень T уравнения ( ) 0~,, =zTtλ , который
больше или равен t . Если такой корень не существует, то полагаем +∞=)~,( ztT .
Очевидно, что tztT =)~,( только для Mtz ∈)(π . Если ( ) +∞<⋅)(~,0 0zT , то какое
бы управление vtv Ω∈)( не выбрал наперед убегающий, у преследователя
найдется управление utu Ω∈)( , что Mtz ∈)(π .
Время ( ))0(~,00 zTT = назовем моментом первого поглощения.
Таким образом, с учетом содержательного смысла функции )~,( ztT ,
начальной позицией игры является пара ( )( )0,0~,0 Tz .
Теорема. Пусть для заданного начального состояния системы (1) +∞<0T ;
кроме того, для произвольной позиции ( )11
~, zt , для которой ( ) 011
~, TztT < ,
ПОЗИЦИОННОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ ИГРАХ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 35
множество ( )zt ~,Γ состоит из единственного вектора ( )ztp ~, для всех ( )zt ~, из
некоторой окрестности ( ){ }11
~,~ zTz . Тогда преследователь может закончить игру
за время не большее 0T при любом допустимом управлении убегающего.
Доказательство проводится аналогично доказательству теорем, приведенных
в [5,6]. Заметим, что утверждение теоремы остается справедливым и для систем
нейтрального типа [7].
Г.Ц. Чикрій
ПОЗИЦІЙНЕ КЕРУВАННЯ В ДИФЕРЕНЦІЙНО-РІЗНИЦЕВІЙ ГРІ ПЕРЕСЛІДУВАННЯ
Одержані достатні умови для завершення диференціально-різницевої гри переслідування, а також
засіб будування відповідного керування переслідувача.
G.Ts. Chikrii
POSITIONAL CONTROL IN DIFFERENCE-DIFFERENTIAL GAMES OF PURSUIT
Sufficient conditions, ensuring termination of difference-differential games of pursuit, are derived.
Also, method of constructing corresponding control of the pursuer is provided.
1. Пшеничный Б.Н. Линейные дифференциальные игры // Автоматика и телемеханика. –
1968. – № 1. – С. 65–79.
2. Чикрий А.А. Дифференциальные игры с несколькими преследователями //Тр. Междунар.
мат. центра им. С. Банаха. – Варшава, 1985. – 14. – С. 81-107.
3. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. – М.: Наука, 1988. – 2. – 576 c.
4. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. – М.: Наука, 1974. – 479 с.
5. Arkadii A. Chikrii, Greta Ts. Chikrii and Konstyantyn Yu. Volyansky. Game Problems of
Pursuit for Evolutionary Conflict-Controlled Processes // Proc. of X Intern. Symp, on Dynamic
Games and Appls. – St. Petersburg, 2002. – 1. – P. 213-220.
6. Чикрий Г.Ц., Волянский К.Ю. О позиционном управлении в интегро-дифференциальных
играх сближения // Кибернетика и системный анализ. – 2002. – № 5. – С. 100–117.
7. Никольский М.С. Линейные дифференциальные игры преследования при наличии
запаздываний // ДАН СССР. – 1971. – 197, № 5. – С. 1018–1020.
Получено 02.09.2003
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84852 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:47:12Z |
| publishDate | 2003 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чикрий, Г.Ц. 2015-07-16T14:57:17Z 2015-07-16T14:57:17Z 2003 Позиционное управление в дифференциально-разностных играх преследования / Г.Ц. Чикрий // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 32-35. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84852 519.8 Получены достаточные условия окончания дифференциально-разностной игры преследования, а также способ построения управления преследователя. Одержані достатні умови для завершення диференціально-різницевої гри переслідування, а також засіб будування відповідного керування переслідувача. Sufficient conditions, ensuring termination of difference-differential games of pursuit, are derived. Also, method of constructing corresponding control of the pursuer is provided. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Позиционное управление в дифференциально-разностных играх преследования Позиційне керування в диференційно-різницевій грі переслідування Positional control in difference-differential games of pursuit Article published earlier |
| spellingShingle | Позиционное управление в дифференциально-разностных играх преследования Чикрий, Г.Ц. |
| title | Позиционное управление в дифференциально-разностных играх преследования |
| title_alt | Позиційне керування в диференційно-різницевій грі переслідування Positional control in difference-differential games of pursuit |
| title_full | Позиционное управление в дифференциально-разностных играх преследования |
| title_fullStr | Позиционное управление в дифференциально-разностных играх преследования |
| title_full_unstemmed | Позиционное управление в дифференциально-разностных играх преследования |
| title_short | Позиционное управление в дифференциально-разностных играх преследования |
| title_sort | позиционное управление в дифференциально-разностных играх преследования |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84852 |
| work_keys_str_mv | AT čikriigc pozicionnoeupravlenievdifferencialʹnoraznostnyhigrahpresledovaniâ AT čikriigc pozicíinekeruvannâvdiferencíinoríznicevíigrípereslíduvannâ AT čikriigc positionalcontrolindifferencedifferentialgamesofpursuit |