О стохастическом аналоге метода глобальной оптимизации Пиявского
В работе обоснован метод Пиявского для решения задачи стохастической глобальной оптимизации с целевой функцией типа математического ожидания. В частности, показано, что в качестве касательных минорант для таких функций можно брать математическое ожидание стохастических касательных минорант подынтегр...
Saved in:
| Published in: | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Date: | 2003 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2003
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84856 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О стохастическом аналоге метода глобальной оптимизации Пиявского / В.И. Норкин, Б.О. Онищенко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 61-67. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859668386028453888 |
|---|---|
| author | Норкин, В.И. Онищенко, Б.О. |
| author_facet | Норкин, В.И. Онищенко, Б.О. |
| citation_txt | О стохастическом аналоге метода глобальной оптимизации Пиявского / В.И. Норкин, Б.О. Онищенко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 61-67. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | В работе обоснован метод Пиявского для решения задачи стохастической глобальной оптимизации с целевой функцией типа математического ожидания. В частности, показано, что в качестве касательных минорант для таких функций можно брать математическое ожидание стохастических касательных минорант подынтегральной функции. Обоснованы модификации метода, связанные с использованием не касающихся минорант.
У роботі обгрунтований метод Піявського для розв’язування задачі стохастичної глобальної оптимізації з цільовою функцією типу математичного очікування. Зокрема, показано, що в якості дотичних мінорант для таких функцій можна брати математичне очікування стохастичних дотичних мінорант підінтегральної функції. Обгрунтовані модифікації методу, пов’язані з використанням не дотичних мінорант.
In the paper Piyavskii's global optimization method is validated for stochastic global optimization problem with objective function in the form of mathematical expectation. In particular, it is shown that as a tangent minorant of such function one can take a mathematical expectation of the stochastic tangent minorant of the underintegral function. Modifications of the method, using nontangent minorants, are considered.
|
| first_indexed | 2025-11-30T12:38:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
61 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
В работе обоснован метод Пияв-
ского для решения задачи сто-
хастической глобальной оптими-
зации с целевой функцией типа
математического ожидания. В
частности, показано, что в каче-
стве касательных минорант для
таких функций можно брать ма-
тематическое ожидание сто-
хастических касательных мино-
рант подынтегральной функции.
Обоснованы модификации мето-
да, связанные с использованием не
касающихся минорант.
В.И. Норкин, Б.О. Онищенко,
2003
ÓÄÊ 519.853.4
Â.È. ÍÎÐÊÈÍ, Á.Î. ÎÍÈÙÅÍÊÎ
Î ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÎÌ ÀÍÀËÎÃÅ
ÌÅÒÎÄÀ ÃËÎÁÀËÜÍÎÉ
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ ÏÈßÂÑÊÎÃÎ
Введение. Метод Пиявского [1−3] неодно-
кратно переоткрывался и является одним из
популярных методов глобальной оптимиза-
ции [4]. Он имеет две эквивалентные формы:
для оптимизации функций максимума и
функций, допускающих так называемые ка-
сательные миноранты [5]. Понятие касатель-
ных минорант является ключевым для дан-
ного метода. В случае липшицевых функций
касательные миноранты имеют вид каса-
тельных конусов. Однако существует много
других видов касательных минорант, напри-
мер, касательные параболоиды и др. [5]. В
настоящей работе метод распространяется на
задачи стохастической глобальной оптими-
зации, рассматриваются некоторые модифи-
кации исходного метода Пиявского и произ-
водится численное исследование эффектив-
ности метода при использовании касатель-
ных конусов и параболоидов.
Стохастические касательные миноран-
ты. Рассмотрим задачу стохастической гло-
бальной оптимизации:
min [ ( ) ( , )]x X F x Ef x θ∈ = , (1)
где θ - случайный параметр; E - символ
математического ожидания по θ , ( , )f x θ -
некоторая непрерывная по x и интегрируе-
мая по θ функция; θ ∈Θ ; X - непрерывное
или дискретное множество.
Определение 1 [5]. Пусть X - топологи-
ческое пространство, функции ( ), ,F x x X∈ и
( , ), , ,x y x X y Xϕ ∈ ∈ связаны условиями:
(i) ( ) ( , )F x x yϕ≥ для всех x X∈ , y X∈ ;
(ii) ( ) ( , )F y y yϕ= для всех y X∈ ;
В.И. НОРКИН, Б.О. ОНИЩЕНКО
62 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2
(iii) функция ( , )x yϕ непрерывна по x равностепенно по y (см. [5]).
Тогда функции { }( , ),y y Xϕ ⋅ ∈ называются касательными (в точках y ) миноран-
тами для ( )F x .
Лемма 1. Если функция ( , )x yϕ непрерывна по совокупности переменных
( , )x y , то она равномерно непрерывна по ( , )x y и, следовательно, непрерывна по
x равностепенно по y .
Таким образом, если lim ( , ) ( , )k k
k x y x yϕ ϕ→∞ = для любых k
x x→ ,
k
y y→ , то функция ( , )x yϕ непрерывна по x равностепенно по y .
Примечание. Исчисление касательных минорант построено в [5]. В работе
[6] рассматриваются вогнутые, возможно, разрывные по x миноранты.
Определение 2. Функции { ( , , ), , }y y Xϕ θ θ⋅ ∈ ∈Θ , где Θ - носитель некото-
рого вероятностного пространства ( ), , PΘ Σ , называются стохастическими каса-
тельными минорантами для ( )F x , если функции ( , , )x yϕ θ измеримы по θ , а
математические ожидания ( , ) ( , , )x y E x yϕ ϕ θ= конечны и для каждого y X∈
являются касательными в точке y минорантами для ( )F x .
Лемма 2. Предположим, что функции ( , )f θ⋅ допускает касательные мино-
ранты ( , , )x yϕ θ в точках y X∈ , т.е. почти для всех θ выполнено
1) ( , ) ( , , )f x x yθ ϕ θ≥ для всех x X∈ , y X∈ ;
2) ( , ) ( , , )f y y yθ ϕ θ= для всех y X∈ ;
3) функция ( , , )x yϕ θ непрерывна по ( , )x y почти для всех θ , y X∈ ;
4) ( , , )x yϕ θ - измерима по θ для любых , ;x y X∈
5) ( , , ) ( )x y Mϕ θ θ≤ для всех ,x y X∈ с интегрируемой функцией ( )M θ .
Тогда функции ( , ) ( , , )x y E x yϕ ϕ θ= являются касательными минорантами для
функции математического ожидания ( ) ( , )F x Ef x θ= .
Доказательство. Условия (i), (ii) определения 1 следуют из 1), 2). Условие
(iii) следует из 3), 4) по теореме Лебега о мажорируемой сходимости и из
леммы 1.
Примечание. Лемма 2 дает способ построения (стохастических) касатель-
ных минорант для функций типа математического ожидания. Касательные ми-
норанты функции вероятности { }( ) ( , ) 0P x P f x θ= ≥ строятся аналогично, а
именно, в качестве касательной в точке y миноранты ( )P x можно взять функ-
цию { }( , ) ( , , ) 0x y P x yφ ϕ θ= ≥ , где ( , , )x yϕ θ - касательная в точке y миноранта
функции ( , )f x θ .
Если функции ( , )f x θ Липшицевы (Гельдеровы) с интегрируемой по θ
константой Липшица ( )L θ и показателем α , то в качестве касательной в точке
y миноранты для ( , )f x θ можно взять функцию
О СТОХАСТИЧЕСКОМ АНАЛОГЕ МЕТОДА ГЛОБАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ПИЯВСКОГО
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 63
( , , ) ( , ) ( )x y f y L x y
α
ϕ θ θ θ= − − .
Для гладких по х функций ( , )f x θ с липшицевым градиентом (с константой
( )L θ ) в качестве стохастических касательных минорант можно использовать
касательные к графику ( , )f θ⋅ в точках y параболоиды:
2
21 ( ) 1
( , , ) ( , ) ( , ) ( , )
2 ( ) 2 ( )
L
x y f y f y x y f y
L L
θ
ϕ θ θ θ θ
θ θ
= + ∇ − − − ∇ .
О некоторых модификациях метода Пиявского. Ограничимся случаем
задачи без общих ограничений:
( ) minx XF x ∈→ . (2)
Предположим, что функция ( )F x допускает касательные в точке y X∈ ми-
норанты ( , )x yϕ .
Алгоритм 1. Точки 00 ,...,
k
y y X∈ произвольны. Пусть уже построены точ-
ки 0 ,..., k
y y X∈ . Точку 1
0,k
y k k
+ ≥ , найдем как решение следующей специаль-
ной многоэкстремальной задачи:
1 1( ) : max{ ( ), ( , ) ( ( ) ( )} mink k k
k k k k x Xx x x y t F y yϕ ϕ ϕ ϕ− − ∈= − − → , (3)
где 0 1kt t≤ ≤ < . Задача (3) является задачей параметрического программирова-
ния с параметром kt t= . При 0kt ≡ получаем стандартный метод Пиявского.
Доказательство сходимости алгоритма в основном следует [5].
Лемма 3 [5]. Пусть функции ( )k yφ определены в некоторой окрестности
( )V y′ точки y′ , непрерывны в точке y′ равностепенно по k и существует ко-
нечный предел lim ( ) ( )k k x xφ φ→∞ = для ( )x V y′∈ . Тогда для любой последова-
тельности { }k
y , сходящейся к точке y′ , имеет место
lim ( ) lim ( ) ( )k k
k k ky y yφ φ φ→∞ →∞ ′= = .
Лемма 4. Имеет место 1lim ( ) ( ) 0k k
k kF y yϕ→∞ −
− =
.
Доказательство. Предположим противное. Тогда существует последова-
тельность { }mk
y такая, что lim mk
k y y→∞ = и
1lim ( ) ( ) 0m mk k
m kF y yϕ ε→∞ −
− = >
.
Последовательности { }( )k xϕ , x X∈ , монотонно возрастают и ограничены свер-
ху функцией ( )F x , поэтому существует предел ( ) lim ( )k kx xϕ ϕ→∞= . Функции
( , )k
x yϕ , а следом и ( )k xϕ равностепенно непрерывны в каждой точке, поэтому
согласно лемме 3 lim ( ) ( )m
m
k
m k y yϕ ϕ→∞ = , lim ( ) ( )mk
m y yϕ ϕ→∞ = . Тогда
В.И. НОРКИН, Б.О. ОНИЩЕНКО
64 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2
1lim ( ) ( ) ( ) ( ) 0m mk k
m kF y y F y yϕ ϕ ε→∞ −
− = − = >
. (4)
Но с другой стороны
1 1
1 1
1 1
1
( ) max{ ( ), ( , ) ( ( ) ( )}
max{ ( ), ( ) ( ( ) ( )}
max{ ( ),(1 ) ( ) ( )}
( ) ( ( ) ( ),
m m m m m m
m m m
m m m m
m m m
m m m
m m m m
m m m
m m
k k k k k k
k k k k
k k k k
k k k
k k k
k k k k
k k k
k k
y y y y t F y y
y f y t F y y
y t F y t y
F y t F y y
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
− −
− −
− −
−
= − − =
= − − =
= − + =
= − −
откуда
1( ( ) ( )) ( ) ( )m m m m
m m m
k k k k
k k kt F y y F y yϕ ϕ−− = − (5)
В силу леммы 3 lim ( ) ( )m
m
k
m k y yϕ ϕ→∞ = , 1lim ( ) ( )m
m
k
m k y yϕ ϕ→∞ − = , а в силу
непрерывности ( )F x имеет место lim ( ) ( )mk
m F y F y→∞ = . Переходя в (5) к пре-
делу по m → ∞ , получаем
( ( ) ( ))lim ( ) ( )
m
m kF y y t F y yϕ ϕ→∞− ≥ − .
В силу (4) ( ) ( ) 0F y yϕ− ≠ , поэтому lim 1
m
m kt→∞ ≥ , что противоречит условию
1kt t≤ < . Лемма доказана.
Теорема 1. Все предельные точки последовательности { }k
y являются точ-
ками глобального минимума задачи (2).
Доказательство аналогично доказательству теоремы 3 из [5].
Алгоритм 2. Точки 00 ,...,
k
y y X∈ произвольны. Пусть уже построены точ-
ки 0 ,..., k
y y X∈ . Обозначим 0( ) max ( , )k i
i kx x yφ ϕ≤ ≤= . Точку 1
0,k
y k k
+ ≥ , най-
дем как решение следующей параметрической специальной многоэкстремаль-
ной задачи:
1( ) : (1 ) ( ) ( ) mink
k k k k x Xx t x t xϕ ϕ φ− ∈= − + → , (6)
где 0 1kt t< ≤ ≤ . Задача (2) является задачей параметрического программирова-
ния с параметром kt t= . При 1kt ≡ получаем стандартный метод Пиявского.
Доказательство сходимости алгоритма 2 аналогично доказательству сходи-
мости алгоритма 1.
Метод стохастических минорант (стохастический аналог метода Пиявско-
го). Аппроксимируем задачу (1) эмпирическими средними:
1
1
min [ ( ) ( , )]
N k
x X N k
F x f x
N
θ∈ =
= ∑ , (7)
О СТОХАСТИЧЕСКОМ АНАЛОГЕ МЕТОДА ГЛОБАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ПИЯВСКОГО
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 65
где kθ − независимые наблюдения случайного параметра θ . Если функции
( )NF x равномерно сходятся к ( ) ( , )F x Ef x θ= , то вместо исходной задачи (1)
можно решать приближенную задачу (7).
Примечание. Если ( , ) ( )f x Mθ θ≤ для любого x X∈ с интегрируемой
функцией ( )M θ , то семейство функций { }( , ),f x x X⋅ ∈ равномерно интегри-
руемо и с вероятностью 1 ( )NF x равномерно на X сходятся к функции
( ) ( , )F x Ef x θ= [7].
Функции ( )
1
( , ) 1 ( , , )
N k
N k
x y N x yϕ ϕ θ
=
= ∑ , очевидно, являются касательны-
ми минорантами для ( )NF x . Тогда для решения приближенной детерминиро-
ванной задачи (7) применим метод Пиявского, например, алгоритмы 1, 2.
Численные эксперименты. Для экспериментов использовались функции:
1)
2
1( ) 10 10cos(2 )F x x xπ= + − , [ 5;5]x∈ − , с оценками констант Липшица
функции 1 72l = и ее градиента 1 397L = , и с глобальным минимумом в точ-
ке * 0x = и минимальным значением *( ) 0f x = ; 2) 2 ( ) 418.9829 sin( )F x x x= − ,
[5;500]x∈ ; 2 12l = ; 2 0.41L = ; * 420.9687x = , *( ) 0f x = .
В таблицах 1, 2 приведено число итераций метода Пиявского с использова-
нием касательных конусов и параболоидов (парабол) для глобальной минимиза-
ции функций 1 2,F F . Вариант метода с использованием парабол демонстрирует
гораздо большую эффективность.
ТАБЛИЦА 1. Число итераций для заданной точности минимизации 1F
Точность 10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
Параболоиды 47 43 39 37
Конусы 1390 451 198 92
ТАБЛИЦА 2. Число итераций для заданной точности минимизации 2F
Точность 10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
Параболоиды 29 24 23 19
Конусы 9264 3202 822 290
В таблице 3 продемонстрирована работа модифицированного алгоритма 1 с
использованием касательных параболоидов на функциях 1 2,F F соответственно,
0.3kt ≡ . Наблюдается интересный эффект отбрасывания (полного мажорирова-
ния) части минорант (полное число минорант равно числу итераций).
В.И. НОРКИН, Б.О. ОНИЩЕНКО
66 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2
ТАБЛИЦА 3. Результаты минимизации 1F модифицированным алгоритмом 1
Номер
итерации
Количест-
во мино-
рант
Точность
Номер
итерации
Количест-
во мино-
рант
Точность
10 8 543,44 70 38 28,14
20 12 122,01 80 43 7,49
30 19 59,53 90 48 0,26
40 23 23,34 100 52 0,0008
50 27 13,26 105 56 0,00006
60 33 37,51
Рассмотрим пример задачи (стохастической) глобальной минимизации
функции ( ) ( , )F x Ef x θ= , где 4 2 2 2( , ) 13 6 14 15f x x x x x xθ θ θ= − − − − , θ – рав-
номерно распределенная на отрезке [0;1] случайная величина, [ 4;4]x∈ − . Не-
трудно вычислить, что 4 2( ) ( , ) 20 11F x Ef x x x xθ= = − − , * 3.29x = ;
*( ) 135.51F x = − . Возьмем детерминированные оценки констант Липшица
107l = и 152L = функции ( , )f x θ и ее градиента соответственно. Аппроксими-
руем ( )F x эмпирической функцией ( )
1
( ) 1 ( , )
N
N ii
F x N f x θ
=
= ∑ , где iθ – незави-
симые равномерно распределенные на отрезке [0;1] случайные величины. Ре-
зультаты минимизации ( )NF x методом Пиявского с использованием параболи-
ческих и конусных минорант для различных N представлены в табл. 4.
ТАБЛИЦА 4. Результаты минимизации функций NF для различных N
N
Параболы Конусы
Количество
итераций
*
x
*( )
N
F x
Количество
итераций
*
x
*( )
N
F x
10 19 3,26 -131,46 472 3,20 122,55
20 16 3,36 -144,07 369 3,46 -167,13
50 18 3,26 -132,26 358 3,23 -125,23
100 17 3,26 -130,13 386 3,32 -141,71
200 18 3,28 -130,68 366 3,29 -135,89
400 18 3,29 -136,14 347 3,28 -134,41
Заключение. В работе обоснован метод Пиявского для решения задачи сто-
хастической глобальной оптимизации с целевой функцией типа математическо-
го ожидания. В частности, указан способ вычисления касательных минорант для
таких функций, а именно, в качестве минорант функции математического ожи-
дания можно брать математическое ожидание стохастических касательных ми-
норант подынтегральной функции. Здесь ситуация подобна той, что возникает
при вычислении градиентов интегральных функционалов. Вычислить градиент
О СТОХАСТИЧЕСКОМ АНАЛОГЕ МЕТОДА ГЛОБАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ПИЯВСКОГО
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 67
или миноранту интегрального функционала может быть весьма трудно, а вычис-
лить (стохастический) градиент или (стохастическую) миноранту подынте-
гральной функции может быть сравнительно легко. Предлагается аппроксими-
ровать исходную целевую функцию ее эмпирической оценкой. Знание стохасти-
ческих касательных минорант позволяет легко построить касательные миноран-
ты для оценок и, таким образом применять метод Пиявского для глобальной ми-
нимизации аппроксимаций. В работе также обоснованы модификации исходного
метода Пиявского, связанные с использованием не касающихся минорант. На
численных примерах показано, что использование касательных параболоидов (в
одномерном случае парабол) значительно повышает эффективность метода по
сравнению с классическим вариантом, использующим касательные конусы.
В.І. Норкін, Б.О. Онищенко
ПРО СТОХАСТИЧНИЙ АНАЛОГ МЕТОДУ ГЛОБАЛЬНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ ПІЯВСЬКОГО
У роботі обгрунтований метод Піявського для розв’язування задачі стохастичної глобальної
оптимізації з цільовою функцією типу математичного очікування. Зокрема, показано, що в
якості дотичних мінорант для таких функцій можна брати математичне очікування стохасти-
чних дотичних мінорант підінтегральної функції. Обгрунтовані модифікації методу,
пов’язані з використанням не дотичних мінорант.
V.I. Norkin, B.О. Onischenko
ON A STOCHASTIC ANALOGUE OF PIYAVSKII's GLOBAL OPTIMIZATION METHOD
In the paper Piyavskii's global optimization method is validated for stochastic global optimization
problem with objective function in the form of mathematical expectation. In particular, it is shown
that as a tangent minorant of such function one can take a mathematical expectation of the stochastic
tangent minorant of the underintegral function. Modifications of the method, using nontangent
minorants, are considered.
1. Пиявский С.А. Алгоритм отыскания абосолютного минимума функций // Теория опти-
мальных решений. – Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1967. – Вып. 2. – С.13–24.
2. Данилин Ю.М., Пиявский А.С. Об одном алгоритме отыскания абсолютного минимума //
Теория оптимальных решений. – Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1967. – Вып. 2. –
С.25–37.
3. Пиявский С.А. Один алгоритм отыскания абосолютного минимума функций // Журнал
вычислительной математики и математической физики – 1972. – 12, № 4. – С. 888–896.
4. Horst R., Tuy H. Global Optimization (Deterministic Approaches). 3
rd
, revised and enlarged
edition. – Berlin: Springer Verlag, 1996. – 600 p.
5. Норкин В.И. О методе Пиявского для решения общей задачи глобальной оптимизации //
Журнал вычислительной математики и математической физики – 1992. – 32, № 7. –
С. 992–1007.
6. Khamisov O. On Optimization Properties of Functions, with a Concave Minorant // J. Of Glob-
al Optimization. – 1999. – 14, № 1. – P. 79–101.
7. Le Cam L. On some asymptotic properties of maximum likelihood estimates and related Bayes’
estimated // Univ. California Publ. Statist. – 1953. – 1. – P. 227–330.
Получено 03.07.2003
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84856 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T12:38:23Z |
| publishDate | 2003 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Норкин, В.И. Онищенко, Б.О. 2015-07-16T15:03:34Z 2015-07-16T15:03:34Z 2003 О стохастическом аналоге метода глобальной оптимизации Пиявского / В.И. Норкин, Б.О. Онищенко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 61-67. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84856 519.853.4 В работе обоснован метод Пиявского для решения задачи стохастической глобальной оптимизации с целевой функцией типа математического ожидания. В частности, показано, что в качестве касательных минорант для таких функций можно брать математическое ожидание стохастических касательных минорант подынтегральной функции. Обоснованы модификации метода, связанные с использованием не касающихся минорант. У роботі обгрунтований метод Піявського для розв’язування задачі стохастичної глобальної оптимізації з цільовою функцією типу математичного очікування. Зокрема, показано, що в якості дотичних мінорант для таких функцій можна брати математичне очікування стохастичних дотичних мінорант підінтегральної функції. Обгрунтовані модифікації методу, пов’язані з використанням не дотичних мінорант. In the paper Piyavskii's global optimization method is validated for stochastic global optimization problem with objective function in the form of mathematical expectation. In particular, it is shown that as a tangent minorant of such function one can take a mathematical expectation of the stochastic tangent minorant of the underintegral function. Modifications of the method, using nontangent minorants, are considered. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень О стохастическом аналоге метода глобальной оптимизации Пиявского Про стохастичний аналог методу глобальної оптимізації Піявського On a stochastic analogue of piyavskii's global optimization method Article published earlier |
| spellingShingle | О стохастическом аналоге метода глобальной оптимизации Пиявского Норкин, В.И. Онищенко, Б.О. |
| title | О стохастическом аналоге метода глобальной оптимизации Пиявского |
| title_alt | Про стохастичний аналог методу глобальної оптимізації Піявського On a stochastic analogue of piyavskii's global optimization method |
| title_full | О стохастическом аналоге метода глобальной оптимизации Пиявского |
| title_fullStr | О стохастическом аналоге метода глобальной оптимизации Пиявского |
| title_full_unstemmed | О стохастическом аналоге метода глобальной оптимизации Пиявского |
| title_short | О стохастическом аналоге метода глобальной оптимизации Пиявского |
| title_sort | о стохастическом аналоге метода глобальной оптимизации пиявского |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84856 |
| work_keys_str_mv | AT norkinvi ostohastičeskomanalogemetodaglobalʹnoioptimizaciipiâvskogo AT oniŝenkobo ostohastičeskomanalogemetodaglobalʹnoioptimizaciipiâvskogo AT norkinvi prostohastičniianalogmetoduglobalʹnoíoptimízacíípíâvsʹkogo AT oniŝenkobo prostohastičniianalogmetoduglobalʹnoíoptimízacíípíâvsʹkogo AT norkinvi onastochasticanalogueofpiyavskiisglobaloptimizationmethod AT oniŝenkobo onastochasticanalogueofpiyavskiisglobaloptimizationmethod |