О когерентных мерах риска и задаче оптимизации портфеля
Рассмотрена проблема построения эффективной границы для портфеля по соотношениям средняя доходность – полиэдральная когерентная мера риска. Показано, что задача минимизации меры риска при ограничениях на доходность и задача максимизации доходности при ограничениях на меру риска сводятся к задачам ли...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Дата: | 2003 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2003
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84863 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О когерентных мерах риска и задаче оптимизации портфеля / В.С. Кирилюк // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 111-119. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860244891811971072 |
|---|---|
| author | Кирилюк, В.С. |
| author_facet | Кирилюк, В.С. |
| citation_txt | О когерентных мерах риска и задаче оптимизации портфеля / В.С. Кирилюк // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 111-119. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | Рассмотрена проблема построения эффективной границы для портфеля по соотношениям средняя доходность – полиэдральная когерентная мера риска. Показано, что задача минимизации меры риска при ограничениях на доходность и задача максимизации доходности при ограничениях на меру риска сводятся к задачам линейного программирования, следовательно, они допускают эффективное решение.
Розглянута проблема побудови ефективної границі для портфеля за співвідношеннями середня доходність – політопна когерентна міра ризику. Показано, що задача мінімізації міри ризику за обмежень на доходність та задача максимізації доходності за обмежень на міру ризику зводяться до задач лінійного програмування і можуть бути ефективно розв’язані.
The portfolio effective frontier design problem for average profitability – polyhedral coherent risk measure ratio is considered. The risk measure minimization problem under constraint on profitability and the profitability maximization problem under risk measure constraint are reduced to linear programming problems, therefore, they can be effectively solved.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:35:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 111
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Рассмотрена проблема построе-
ния эффективной границы для
портфеля по соотношениям сред-
няя доходность – полиэдральная
когерентная мера риска. Показа-
но, что задача минимизации меры
риска при ограничениях на доход-
ность и задача максимизации
доходности при ограничениях на
меру риска сводятся к задачам
линейного программирования, сле-
довательно, они допускают эф-
фективное решение.
В.С. Кирилюк, 2003
ÓÄÊ 519.8
Â.Ñ. ÊÈÐÈËÞÊ
Î ÊÎÃÅÐÅÍÒÍÛÕ ÌÅÐÀÕ ÐÈÑÊÀ
È ÇÀÄÀ×Å ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ ÏÎÐÒÔÅËß
Введение. В работах [1,2] изучались вопросы
оценивания результатов наблюдений систем
с риском, где в качестве величин, характери-
зующих риск, рассматривались некоторые
детерминированные показатели. Однако си-
туация существенно усложняется, если име-
ется некоторая последовательность наблю-
дений совокупности систем, подверженных
определенному стохастическому влиянию,
например финансового рынка. В таком слу-
чае для систем необходимо строить эффек-
тивную границу, основанную на наблюдени-
ях этих распределений, точнее, на некоторых
оценках риска по таким наблюдениям. В фи-
нансовой практике, как правило, объекты
характеризуются соотношениями доход-
ность–риск, или, более точно, средняя до-
ходность – некоторая мера риска.
Для оптимизации портфеля активов давно
известен подход Марковица [3], в котором
для построения эффективной границы порт-
феля рассматривалось два критерия: средняя
прибыльность портфеля и его дисперсия
(стандартное отклонение). Позднее в ряде
работ вместо дисперсии, имеющей очевид-
ные недостатки, изучались некоторые другие
функции риска (см. например [4,5]). Затем в
широко цитируемой работе [6] были сфор-
мулированы аксиомы, которым должна
удовлетворять подобная функция, названная
когерентной мерой риска. Такой мерой ока-
залась, в частности, CVaR (условное среднее
на хвосте распределения), детально изучен-
ная в [7,8]. Однако она является не единст-
венной из возможных мер риска.
В.С. КИРИЛЮК
112 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2
В данной работе обсуждаются условия эффективности портфеля активов по
критериям средняя прибыльность – когерентная мера риска. Если когерентная
мера является полиэдральной, т.е. строится как максимум линейных функций на
выпуклом многограннике, то построение эффективной границы для портфеля по
соотношениям средняя доходность – мера риска сводится к решению соответст-
вующих задач линейного программирования. Такими, в частности, являются
известные когерентные меры риска, примеры которых приведены ниже.
Постановка задачи и необходимые условия экстремума. Рассмотрим
только дискретные распределения случайных величин, связанные с их наблюде-
ниями по некоторому числу n сценариев. Тогда каждому сценарию i=1,…, n со-
ответствует определенная вероятность pi>0, т.е. задан некоторый вектор вероят-
ностей ∑ ==>=
n
iin pnipppp
1
0000
10 1,,...,1,0),,...,( , а случайная величина X ха-
рактеризуется своим распределением x = (x1, …, xn)∈ R
n
, и, следовательно, ото-
ждествляется с этим n-мерным вектором.
Обозначим ∑ и ∈ n-мерные векторы, состоящие из единиц и нулей соответ-
ственно, т.е. ∑ = (1, …, 1), ∈ = (0, …, 0). Пусть M – некоторое выпуклое множе-
ство, а ϕ (.) – выпуклая функция. Введем следующие обозначения [9]: ri M – от-
носительная внутренность множества M; co M ={Σλixi: λi≥0, Σλi=1, xi ∈M,
i=1,2,…} – выпуклая оболочка множества M; con M ={λx: λ ≥ 0, x ∈M} – конус
по множеству M; NM (x) ={y: <y, x> ≤ 0, y ∈ con (M –x)} – нормальный конус к
множеству M в точке x; ∂ϕ(x0) ={U: ϕ(x) – ϕ(x0) ≥ <u, x– x0>} – субдифференциал
функции ϕ; S
n
={x=(x1,…,xn): Σλixi ≤1, xi ≥0, i=1,…, n} – единичный симплекс.
Будем также понимать под соотношением x1≥ x2 для x1, x2 ∈ R
n
соответствующее
покомпонентное неравенство.
Напомним, что в соответствии с [6] функция ρ: R
n→R называется когерент-
ной мерой риска, если выполняются следующие аксиомы:
A1) ρ(x+c∑) = ρ(x) – c для c ∈ R;
A2) ρ(∈)=0, ρ(λx) = λ ρ(x) (положительная однородность);
A3) ρ(x1+ x2) ≤ ρ(x1) + ρ(x2) (субадитивность);
A4) ρ(x1) ≤ ρ(x2), если x1≥x2 (монотонность).
В работе [6] было показано, что когерентность меры ρ(.) эквивалентна ее пред-
ставлению в виде
ρ(x) = sup{Ep[-X] / p∈P}, (1)
где P – некоторое множество вероятностных мер. Изучим далее ее свойства, не-
посредственно следующие из аксиом и аппарата выпуклого анализа.
Утверждение 1. Когерентная мера риска является непрерывной функцией
для таких x, что ||x||< +∞.
Доказательство. Действительно, пусть имеется последовательность xk → x
при k→∞, покажем, что ρ(xk) →ρ(x) при k→∞. Рассмотрим следующие две по-
О КОГЕРЕНТНЫХ МЕРАХ РИСКА И ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПОРТФЕЛЯ
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 113
следовательности:
−
kx = x - ||xk – x|| ∑ и +
k
x = x + ||xk – x|| ∑. Тогда из аксиом A1 и
A2 легко следуют соотношения
ρ(x) – ||xk – x|| =ρ( +
k
x ) ≤ ρ(xk) ≤ ρ(
−
kx ) = ρ(x) + ||xk – x||,
которые гарантируют сходимость ρ(xk) к ρ(x) при xk → x, если ||x||< +∞. Следова-
тельно, для таких x ρ(.) является непрерывной функцией.
Утверждение 2. Когерентная мера риска ρ(.) имеет следующий вид:
ρ(x) = max{Ep[–X] / p∈P}, (2)
где P– выпуклое замкнутое множество вероятностных мер.
Доказательство утверждения тривиально следует из выпуклого анализа.
Действительно, поскольку ρ(.) – выпуклая непрерывная положительно однород-
ная функция, то она представима в виде опорной функции выпуклого замкнуто-
го множества M, т.е. ρ(x) = sup{<x, y> / y ∈M}[9]. Тогда из свойств A2) и A4)
следует, что ρ(x) ≤ 0, если x ≥0, а это означает, что ρ(x) = sup{<–x, p>: p ∈ –M},
где –M ⊆ n
R+ .
Рассмотрим теперь значение ρ(.) в точках ∑ и –∑. Как следует из аксиом A1)
и A2), ρ(–∑) = –ρ(∑) =1. Эти равенства означают, что ri (–M), а, следовательно, и
само множество –M находятся на гиперплоскости H ={(h1, …, hn): ∑ =
=
n
i ih
1
1}.
Следовательно, –M ⊆ HR
n ∩+ . Это означает, что множество –M ⊆ S
n
, где Sn
–
единичный симплекс, т.е. –M есть подмножество вероятностных мер. Поэтому
выпуклое множество –M ограничено и компактно, следовательно, супремум в
представлении меры ρ(.) достигается, и она имеет вид (2), где P = – M.
Как следует из (2), когерентная мера риска ρ(.) есть не что иное, как макси-
мум средних значений распределения со знаком “–” по соответствующему мно-
жеству мер, а задание ρ(.) эквивалентно описанию множества мер P, которое
зависит от исходного вектора вероятностей сценариев p0. Рассмотрим теперь
условия экстремума функции ρ(x), представленной в виде (2).
Теперь для выпуклого ограниченного множества M рассмотрим следующую
оптимизационную задачу:
min {ρ(x): x∈ M}=
PpMx ∈∈
maxmin <–x,p>. (3)
Тогда справедливо следующее утверждение.
Утверждение 3. Необходимое и достаточное условие минимума в задаче (3)
имеет такой вид:
P(x) ∩ NM (x) ≠φ, (4)
где
P(x) = {p: Ep[–X] = ρ(x)}. (5)
Доказательство есть очевидным следствием из выпуклого анализа, по-
скольку из представления (2) следует, что производная по направлению u функ-
В.С. КИРИЛЮК
114 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2
ции ρ(.) в точке x имеет вид ρ(x; u) = max {<–u, p>: p ∈ P(x)}, где P(x) – выпук-
лое компактное множество (см., например [9]). Следовательно, ∂ρ(x)= –P(x), и
соотношение (4) является необходимым и достаточным условием экстремума
задачи (3).
Отметим, что соотношения (4)-(5) могут быть использованы для построения
поиска решения задачи (3), например, в виде квазиградиентного спуска с проек-
тированием на множество М, в котором субдифференциал функции ρ(.) имеет
вид ∂ρ(x)= – P(x), а P(x) описывается в форме (5). Однако такой подход недоста-
точно эффективен, если необходимо решать значительное количество подобных
задач большой размерности. Представляется важным изучить возможность све-
дения таких задач к стандартным методам, не требующих больших вычисли-
тельных затрат.
Полиэдральные когерентные меры риска и их минимизация. Перед
дальнейшим изложением рассмотрим примеры известных когерентных мер рис-
ка. Пусть распределение x = (x1,…, xn) описывает прибыль, получаемую при реа-
лизации соответствующих сценариев.
Пример 1. WCR (worst-case risk) – случай наибольших потерь.
В этом случае ρWCR (x) = max {– xi: i=1,…,n}. Тогда, как нетрудно видеть, множе-
ство P из представления меры в форме (2) имеет вид
PWCR ={p=(p1,….,pn): pi ≥0, i=1,…, n, ∑
n
ip
1
=1}. (6)
Пример 2. α-CVaR (conditional value-at-risk) – условное среднее потерь на
α-хвосте распределения.
Чтобы избежать ненужных при изложении технических деталей, не будем
приводить исходное определение из [7], а воспользуемся приведенной там его
интерпретацией для конечных распределений.
ρα-CVaR(x)=
≤α<
−+−
α+−
α ∑∑∑∑
+
+
ααα
+αα
1
1
0
1
0
1
0
1
0 :)()(11max
1
k
i
k
i
k
iii
n
k i jjjjkj
ppxpxp .
Нетрудно видеть, что kα значений (со знаком “–“) распределения учитываются с
их исходными вероятностями, поделенными на α, т.е. ( ) 01
jip
α
, а следующее –
(kα+1)-е значение учитывается с вероятностью, равной ( )∑ +αα
−
n
k i j
p
1
011 . Это
означает, что множество мер из единичного симплекса ограничено покомпо-
нентно неравенствами pi ≤ α0
ip , i=1,…, n. Следовательно,
PCVaR(α) ={p = (p1,….,pn): pi ≤ α0
ip , pi ≥0, i=1,…, n, ∑
n
ip
1
=1}, (7)
где p0 = ( )00
1 ,..., npp – вектор исходных вероятностей сценариев.
Пример 3. α-WCE (worst conditional expectation) – наихудшее условное
среднее [6].
О КОГЕРЕНТНЫХ МЕРАХ РИСКА И ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПОРТФЕЛЯ
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 115
α-WCE(x)=
α>− ∑∑
∑
k
i
k
iik
i
jjj
j
pxp
p
1
0
1
0
1
0
:)(
1
max .
Следовательно,
PWCE(α) =co{(p1,….,pn)/ для α>∑
m
i j
p
1
0 , mjpmjppp
jjjj i
m
iii >=≤= ∑ ,0;,/
1
00 }. (8)
Приведенный перечень примеров когерентных мер риска не велик. Поэтому
построение новых нетривиальных когерентных мер, отражающих важные сто-
хастические характеристики систем с риском, по мнению автора, представляет
несомненный научный интерес.
Отметим следующее важное общее обстоятельство приведенных примеров:
множество вероятностных мер P, описывающих меры риска ρ(x) в виде (2), есть
выпуклая оболочка конечного числа точек, т.е.
P(p0,α) = co{Pi(p0, α): i=1,…, k },
или, эквивалентно,
P(p0,α)={ }0),,(),(: 00 ≥α≤α ppcppBp , (9)
где p0 – вектор исходных вероятностей сценариев; B(p0,α) и c(p0,α) – матрица и
вектор соответствующих размерностей, зависящие от указанных параметров. В
соответствии с терминологией из [10] когерентные меры риска, представимые в
форме (2) и (9), будем называть полиэдральными.
По мнению автора, когерентные меры риска, возникающие на практике, яв-
ляются полиэдральными, поскольку они максимизируют некоторый, пусть
большой, но конечный набор возможных комбинаций вариантов, учитываемых
лицом, принимающим решения. Это важное обстоятельство, поскольку поиск
решений задачи (3) для случая, когда множества M и P – выпуклые многогран-
ники, существенно упрощается и сводится к некоторой задаче линейного про-
граммирования.
Теорема. Пусть множества ограничений M и P из задачи (3) представляются
в виде
M = { }bAxx ≤: , P ={ }0,: ≥≤ pcBpp , (10)
тогда решение (3) есть часть x решения (u,x) следующей задачи линейного про-
граммирования:
0
0
),(min
≥
≤
≤−−
u
bAx
ExuB
xu
T
<c, u> (11)
Доказательство элементарно следует из свойств задач линейного програм-
мирования, точнее, из следующего соотношения двойственности:
В.С. КИРИЛЮК
116 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2
ρ(x) =
0
max
≥
≤
p
cBp
p <–x, p> =
0
min
≥
−≥
u
xuB
u
T
<c, u>. (12)
Затем, выписав задачу (3) при ограничениях (10) и переходя во внутренней зада-
че линейного программирования к ее двойственной, имеем
0
maxmin
≥
≤≤
p
cBp
p
bAx
x <–x, p> =
0
minmin
≥
−≥≤
u
xuB
u
bAx
x
T
<c, u> =
0
0
),(min
≥
≤
≤−−
u
bAx
ExuB
xu
T
<c, u> .
Отметим также, что данная теорема может быть получена как следствие из-
вестного результата для матричных игр [11].
Задача оптимизации портфеля состоит в построении эффективной грани-
цы по соотношениям доходность–риск для портфеля активов, где в качестве оп-
тимизируемой переменной является структура портфеля. Рассмотрим сначала
задачу минимизации меры риска портфеля при ограничениях на среднюю до-
ходность величиной µ. Пусть множество распределений доходности всевозмож-
ных активов zj, j=1,…,k портфеля представлено в виде матрицы H размерностью
k×n, j–й столбец которой описывает распределение доходности j–го актива. В
качестве переменной рассматривается вектор x=(x1,…, xk), описывающий струк-
туру портфеля, причем 1
1
=∑
k
ix , xi ≥ 0, i=1,…,k. Тогда множество ограничений
M, налагаемых на состав портфеля x, имеет вид
M ={<x, ∑> ≤1, <x, –∑> ≤ –1, <x, –Hp
0
> ≤ – µ, x ≥ 0},
где p0
– вектор, описывающий вероятности сценариев. Тогда, как нетрудно ви-
деть, M = { }0,: ≥≤ xbAxx , где матрица A и вектор b имеют следующий вид:
0
1 1... 1 1
1 1... 1 , 1
T T
A b
p H µ
= − − − = −
−−
. (13)
Пусть множество ограничений на меры имеет вид P ={ }0,: ≥≤ pcBpp , где
1 1
1 1... 1 1
1 1... 1 , 1B c
B c
= − − − = −
. (14)
Тогда задача минимизации полиэдральной когерентной меры риска при ограни-
чениях на среднюю доходность может быть сформулирована в виде
PpMx ∈∈
maxmin <–x,p> =
0,0,
maxmin
≥≤≥≤ pcBpxbAx
<–x,p>, (15)
О КОГЕРЕНТНЫХ МЕРАХ РИСКА И ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПОРТФЕЛЯ
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 117
где матрицы A, B и векторы b, c описаны соотношениями (13) и (14). Это позво-
ляет получить прямое следствие теоремы 1, сформулированное в виде утвер-
ждения.
Утверждение 4. Решение задачи оптимизации портфеля (13)-(15) – это
часть x решения (u, x) следующей задачи линейного программирования:
0,0
0
),(min
≥≥
≤
≤−−
xu
bAx
ExuB
xu
T
<c, u> . (16)
Уточним теперь ограничение на меры, выражаемое в конкретном описании
матрицы B1 и вектора c1 из представления (14) для рассмотренных ранее приме-
ров. Так для случаев WCR и α-CVaR это уточнение имеет, соответственно, сле-
дующий вид:
B1, c1 отсутствуют (WCR), (17)
B1 = E, c1= (1/α) p0 (α-CVaR). (18)
Заметим, что это можно сделать и для случая α-WCE, если представить
множество (8) в виде системы линейных неравенств.
Примечание. В работах [7,8] детально изучалась α-CVaR, а также задачи
оптимизации портфеля с этой мерой риска, причем изложение не ограничива-
лось конечными распределениями случайных величин. Используя специфиче-
ский вид α-CVaR, в этих работах задача (13)-(15), (18) сводилась к следующей
оптимизационной задаче:
),,][
1
(min 0
0,
),( >−<
α
+ +
≥≤
puHxu
xbAx
xu где [t]+
= max{0, t} покомпонентно, (19)
которая в свою очередь за счет введения дополнительных переменных своди-
лась к задаче линейного программирования. Последняя предпочтительнее зада-
чи (13)-(14), (16) поскольку, во-первых, это задача меньшей размерности, а во-
вторых, задача (19) имеет связь с такой мерой риска как VaR (value-at-risk) [4],
которая, хотя и не когерентная, широко применяется в практике.
Как следует из вышеизложенного, для полиэдральной когерентной меры
можно построить эффективную границу по соотношениям средняя доходность –
мера риска, решая задачу (16) для каждого значения средней доходности. Одна-
ко зачастую возникает необходимость решения обратных задач, т.е. максимиза-
ции доходности при ограничении значений меры риска величиной σ. Такая за-
дача имеет следующий вид:
σ≤ρ
≥=∑
)(
0,1
1
max
x
xx i
n
i
<Hx, p0>. (20)
В.С. КИРИЛЮК
118 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2
Если, как и ранее, мера риска ρ(.) является полиэдральной и когерентной,
она представима в форме (12). Воспользовавшись ее двойственным представле-
нием, нетрудно видеть, что тогда ограничение на x в виде ρ(x) ≤ σ можно заме-
нить на эквивалентное соотношение
0,,,:)( ≥−≥σ>≤<∃⇔σ≤ρ uxuBucux
T .
Это позволяет сформулировать следующее утверждение.
Утверждение 5. Решение задачи (12),(20) – это часть x решения (u, x) такой
задачи линейного программирования:
0,0
1
,
0
),(
1
max
≥≥
=
σ>≤<
≤−−
∑
xu
x
uc
ExuB
xu
n
i
T
<Hx, p0>. (21)
Отметим, что в задаче (21) матрица B и вектор с описывают множество мер
в форме (14) и допускают естественное уточнение для конкретного вида мер
риска, например, как это было сделано в (17), (18).
Подобные соображения по преобразованию исходной задачи могут быть
использованы для поиска максимальной доходности портфеля и при наличии
нескольких ограничений на полиэдральные когерентные меры риска. Например,
если задано m таких мер в виде
ρi(x) =
0
max
≥
≤
p
cpB
p
ii
<–x, p>, i =1,…,m (22)
и рассматривается задача оптимизации портфеля в виде
mix
xx
ii
i
n
i
,...,1,)(
0,1
1
max
=σ≤ρ
≥=∑
<Hx, p0>, (23)
то нетрудно сформулировать соответствующее утверждение.
Утверждение 6. Решение задачи (22)-(23) – это часть x решения следующей
задачи линейного программирования:
0,0,...,0
1
,
0
.....................
,
0
),,...,(
1
1
11
1
1
max
≥≥≥
=
σ>≤<
≤−−
σ>≤<
≤−−
∑
xuu
x
vc
ExvB
uc
ExuB
xuu
m
n
i
mm
T
m
T
m
<Hx, p0>.
Заметим, что подобный подход, основанный на представлении α-CVaR в
виде (19), уже использовался в [8] для поиска решений при заданных ограниче-
ниях на α-CVaR.
О КОГЕРЕНТНЫХ МЕРАХ РИСКА И ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПОРТФЕЛЯ
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 119
Заключение. Таким образом, проблема построения эффективной границы
по соотношениям средняя доходность – полиэдральная когерентная мера риска
допускает эффективное решение даже при больших размерностях, поскольку и
задача минимизации меры риска при ограничениях на доходность, и задача мак-
симизации доходности при ограничениях на меру риска сводятся к поиску ре-
шений соответствующих задач линейного программирования. При этом извест-
ные когерентные меры риска являются полиэдральными.
В.С. Кирилюк
ПРО КОГЕРЕНТНІ МІРИ РИЗИКУ ТА ЗАДАЧІ ОПТИМІЗАЦІЇ ПОРТФЕЛЯ
Розглянута проблема побудови ефективної границі для портфеля за співвідношеннями серед-
ня доходність – політопна когерентна міра ризику. Показано, що задача мінімізації міри ри-
зику за обмежень на доходність та задача максимізації доходності за обмежень на міру ризи-
ку зводяться до задач лінійного програмування і можуть бути ефективно розв’язані.
V.S.. Kirilyuk
ON COHERENT RISK MEASURES AND PORTFOLIO OPTIMIZATION PROBLEM
The portfolio effective frontier design problem for average profitability – polyhedral coherent risk
measure ratio is considered. The risk measure minimization problem under constraint on
profitability and the profitability maximization problem under risk measure constraint are reduced to
linear programming problems, therefore, they can be effectively solved.
1. Кирилюк В.С. Об одном непараметрическом оценивании систем с двумя типами выходов
по наблюдениям вход-выход // Кибернетика и системный анализ.– 2003.– № 3.– С.135-141.
2. Кирилюк В.С., Норкин В.И., Домрачев В.Н. Подход непараметрических индексов для оце-
нивания субъектов финансового рынка по соотношению доходность-риск на примере
коммерческих банков // Информатика и проблемы управления. – 2002. – № 6. – С.120-131.
3. Markowitz H.M. Portfolio selection // J. of Finance. – 1952. – 7, № 1. – P.77-91.
4. RiskMetrics
TM
– Technical Document, 4-th Edition. – New York: J.P.Morgan/Reuters, 1996. –
284 p.
5. Konno H., Yamazaki H. Mean Absolute Deviation Portfolio Optimization Model and Its
Application to Tokyo Stock Market //Management Science. – 1991. – 37. – P.519-531.
6. Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. Coherent Measures of Risk // Mathematical
Finance. – 1999. – 9. – P.203-227.
7. Rockafellar R.T., Uryasev S. Optimization of Conditional Value-at-Risk // J. of Risk. – 2000. – 2.
– P.21-42.
8. Rockafellar R.T., Uryasev S. Conditional Value-at-Risk for General Loss Distribution // J. of
Banking and Finance. – 2002. – 26. – P.1443-1471.
9. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. – М.: Наука, 1981. – 304 с.
10. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. – М.: Наука, 1973. – 480 с.
11. Нейман Дж.Ф., Моргенштейн О. Теория игр и экономическое поведение. – М.: Наука,
1970. – 707 с.
Получено 11.08.2003
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84863 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:35:26Z |
| publishDate | 2003 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кирилюк, В.С. 2015-07-16T15:12:22Z 2015-07-16T15:12:22Z 2003 О когерентных мерах риска и задаче оптимизации портфеля / В.С. Кирилюк // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 111-119. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84863 519.8 Рассмотрена проблема построения эффективной границы для портфеля по соотношениям средняя доходность – полиэдральная когерентная мера риска. Показано, что задача минимизации меры риска при ограничениях на доходность и задача максимизации доходности при ограничениях на меру риска сводятся к задачам линейного программирования, следовательно, они допускают эффективное решение. Розглянута проблема побудови ефективної границі для портфеля за співвідношеннями середня доходність – політопна когерентна міра ризику. Показано, що задача мінімізації міри ризику за обмежень на доходність та задача максимізації доходності за обмежень на міру ризику зводяться до задач лінійного програмування і можуть бути ефективно розв’язані. The portfolio effective frontier design problem for average profitability – polyhedral coherent risk measure ratio is considered. The risk measure minimization problem under constraint on profitability and the profitability maximization problem under risk measure constraint are reduced to linear programming problems, therefore, they can be effectively solved. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень О когерентных мерах риска и задаче оптимизации портфеля Про когерентні міри ризику та задачі оптимізації портфеля On coherent risk measures and portfolio optimization problem Article published earlier |
| spellingShingle | О когерентных мерах риска и задаче оптимизации портфеля Кирилюк, В.С. |
| title | О когерентных мерах риска и задаче оптимизации портфеля |
| title_alt | Про когерентні міри ризику та задачі оптимізації портфеля On coherent risk measures and portfolio optimization problem |
| title_full | О когерентных мерах риска и задаче оптимизации портфеля |
| title_fullStr | О когерентных мерах риска и задаче оптимизации портфеля |
| title_full_unstemmed | О когерентных мерах риска и задаче оптимизации портфеля |
| title_short | О когерентных мерах риска и задаче оптимизации портфеля |
| title_sort | о когерентных мерах риска и задаче оптимизации портфеля |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84863 |
| work_keys_str_mv | AT kirilûkvs okogerentnyhmerahriskaizadačeoptimizaciiportfelâ AT kirilûkvs prokogerentnímíririzikutazadačíoptimízacííportfelâ AT kirilûkvs oncoherentriskmeasuresandportfoliooptimizationproblem |