Задача знаходження оптимальних параметрів однорідного оптичного покриття

Наведена багатоекстремальна задача нелінійного програмування для знаходження оптимальних параметрів однорідного оптичного покриття. Проведено порівняльний чисельний аналіз ряду методів нульового та першого порядку для знаходження її глобального екстремуму....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2003
Hauptverfasser:	Міца, О.В., Стецюк, П.І.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2003
Schriftenreihe:	Теорія оптимальних рішень
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84865
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Задача знаходження оптимальних параметрів однорідного оптичного покриття / О.В. Міца, П.І. Стецюк // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 127-134. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84865
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-848652025-02-09T21:03:25Z Задача знаходження оптимальних параметрів однорідного оптичного покриття Задача нахождения оптимальных параметров однородного оптического покрытия The problem for finding optimal parameters of homogeneous optical covering Міца, О.В. Стецюк, П.І. Наведена багатоекстремальна задача нелінійного програмування для знаходження оптимальних параметрів однорідного оптичного покриття. Проведено порівняльний чисельний аналіз ряду методів нульового та першого порядку для знаходження її глобального екстремуму. Приведена многоэкстремальная задача нелинейного программирования для нахождения оптимальных параметров однородного оптического покрытия. Проведен сравнительный численный анализ ряда методов нулевого и первого порядков для нахождения ее глобального экстремума. The multiextremal nonlinear programming problem for finding optimal parameters of homogeneous optical covering is given. The comparative numerical analysis of a number of the zero- and firstorder methods for finding its global extremum is carried out. 2003 Article Задача знаходження оптимальних параметрів однорідного оптичного покриття / О.В. Міца, П.І. Стецюк // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 127-134. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84865 519.87; 535:345.67 uk Теорія оптимальних рішень application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Наведена багатоекстремальна задача нелінійного програмування для знаходження оптимальних параметрів однорідного оптичного покриття. Проведено порівняльний чисельний аналіз ряду методів нульового та першого порядку для знаходження її глобального екстремуму.
format	Article
author	Міца, О.В. Стецюк, П.І.
spellingShingle	Міца, О.В. Стецюк, П.І. Задача знаходження оптимальних параметрів однорідного оптичного покриття Теорія оптимальних рішень
author_facet	Міца, О.В. Стецюк, П.І.
author_sort	Міца, О.В.
title	Задача знаходження оптимальних параметрів однорідного оптичного покриття
title_short	Задача знаходження оптимальних параметрів однорідного оптичного покриття
title_full	Задача знаходження оптимальних параметрів однорідного оптичного покриття
title_fullStr	Задача знаходження оптимальних параметрів однорідного оптичного покриття
title_full_unstemmed	Задача знаходження оптимальних параметрів однорідного оптичного покриття
title_sort	задача знаходження оптимальних параметрів однорідного оптичного покриття
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2003
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84865
citation_txt	Задача знаходження оптимальних параметрів однорідного оптичного покриття / О.В. Міца, П.І. Стецюк // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 127-134. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series	Теорія оптимальних рішень
work_keys_str_mv	AT mícaov zadačaznahodžennâoptimalʹnihparametrívodnorídnogooptičnogopokrittâ AT stecûkpí zadačaznahodžennâoptimalʹnihparametrívodnorídnogooptičnogopokrittâ AT mícaov zadačanahoždeniâoptimalʹnyhparametrovodnorodnogooptičeskogopokrytiâ AT stecûkpí zadačanahoždeniâoptimalʹnyhparametrovodnorodnogooptičeskogopokrytiâ AT mícaov theproblemforfindingoptimalparametersofhomogeneousopticalcovering AT stecûkpí theproblemforfindingoptimalparametersofhomogeneousopticalcovering
first_indexed	2025-11-30T18:29:14Z
last_indexed	2025-11-30T18:29:14Z
_version_	1850241047186112512
fulltext	Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 127 Наведена багатоекстремальна задача нелінійного програмування для знаходження оптимальних параметрів однорідного оптично- го покриття. Проведено порівня- льний чисельний аналіз ряду ме- тодів нульового та першого по- рядку для знаходження її глобаль- ного екстремуму.  О.В. Міца, П.І. Стецюк, 2003 ÓÄÊ 519.87; 535:345.67 Î.Â. Ì²ÖÀ., Ï.². ÑÒÅÖÞÊ ÇÀÄÀ×À ÇÍÀÕÎÄÆÅÍÍß ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ ÏÀÐÀÌÅÒÐ²Â ÎÄÍÎÐ²ÄÍÎÃÎ ÎÏÒÈ×ÍÎÃÎ ÏÎÊÐÈÒÒß Вступ. За останні роки суттєвих успіхів до- сягнуто в області технологій отримання плі- вок та тонкоплівкових систем із різними оп- тичними властивостями [1]. Це значною мі- рою стимулювало розвиток математичних методів розрахунків інтерференційних пок- риттів. Існує велика кількість методів, які орієнтовані головним чином на розв’язання задач у спеціальних випадках. Найбільш уні- версальним підходом для знаходження пара- метрів оптичних плівок та тонкоплівкових систем є постановка цих задач у формі опти- мізаційних задач математичного програму- вання, де невідомими змінними є шукані па- раметри, а цільова функція вибирається та- ким чином, щоб можна було забезпечити найкращу близькість до тих оптичних влас- тивостей, яким має задовольняти оптична плівка чи тонкоплівкова система [1]. Для розв'язання конкретних оптиміза- ційних задач (як правило, багатоекстремаль- них) застосовуються методи багатовимірного пошуку екстремумів нелінійних функцій без обмежень [2–5]. Для ряду відомих методів нульового та першого порядку, взятих з мо- нографій [2–5], у роботі проведено їх порів- няльний аналіз при знаходженні глобального екстремуму в задачі нелінійного програму- вання, яка пов'язана зі знаходженням опти- мальних параметрів однорідного оптичного покриття. 1. Математична модель задачі. Однорід- на оптична плівка характеризується показни- ком заломлення n та геометричною товщи- ÒÅÎÐ²ß ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ Ð²ØÅÍÜ ЗАДАЧА ЗНАХОДЖЕННЯ ОПТИМАЛЬНИХ ПАРАМЕТРІВ ОДНОРІДНОГО ОПТИЧНОГО ПОКРИТТЯ 128 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 ною d. Коефіцієнт пропускання через дану плівку залежить від довжини хвилі λ та визначається за формулою ),,( 2 sin 0 ),,( 2 sin 0 ),,( 2 cos 0 ),,( 2 cos 0 2 4 ),,( λδ+λδ+λδ+λδ+ =λ dn s nn n dn n s nn dn n s n dn s n n dnT , де λ θπ =λδ cos2 ),,( nd dn ; n0, nS − показники заломлення зовнішнього середови- ща і підкладинки відповідно; θ – кут між напрямом поширення випромінювання та нормаллю до поверхні розділу. Розглянемо випадок, коли θ =0. Тоді λ π       ++ λ π       ++ =λ nd nn n n nnnd n n n n dnT s ss s 2 sin 2 cos2 4 ),,( 2 0 02 0 0 . Математичну модель задачі знаходження оптимальних параметрів однорід- ного оптичного покриття сформулюємо у формі задачі нелінійного програму- вання: ( ) ( ) ( ) 2/1 1 2 , ,, 1 ,max         λ⋅λ= ∑ = L i ii dn dnTv L dnF , (1) при обмеженнях − − ≤≤ nnn , − − ≤≤ ddd , (2) де L – число точок сітки спектрального інтервалу від 1λ до 2λ ; ( )iv λ – додатні вагові коефіцієнти; − n , − n та − d , − d - відповідно нижні та верхні границі на неві- домі параметри показника заломлення та геометричну товщину однорідної оп- тичної плівки. При рівномірному поділі спектрального інтервалу [ ]21,λλ з кро- ком λ∆ число точок буде дорівнювати 112 + λ∆ λ−λ =L . Задача (1)-(2) має наступний зміст. Необхідно знайти такі значення показ- ника заломлення n та геометричної товщини d для однорідної оптичної плівки, щоб для заданої сітки із спектрального діапазону [ ]21,λλ зважене середньоквад- ратичне значення коефіцієнта пропускання було максимальним. Задача (1)-(2) є багатоекстремальною задачею нелінійного програмування з обмеженнями на змінні n та d . За допомогою заміни змінних 1 2 1 2 1 sincos)( xnxnxn − − += , 2 2 2 2 2 sincos)( xdxdxd − − += О.В. МІЦА, П.І. СТЕЦЮК Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 129 задача (1)-(2) зводиться до задачі безумовної мінімізації нелінійної функції { }.))(),((),(max 2121 xdxnFxxf = (3) Задача (3) є складнішою за задачу (1)-(2), враховуючи, що заміни змінних )( 1xn та )( 2xd породжують додаткові екстремуми. Зате для знаходження екст- ремумів задачі (3) можно використовувати весь арсенал чисельних методів без- умовної оптимізації. У роботі проведено чисельне дослідження відомих методів нульового та першого порядків [2-5] для знаходження екстремумів задачі (3). При досліджен- ні вибирались наступні значення параметрів: 35.1= − n , 6.2= − n , нмd 50= − , нмd 750= − , нм5=λ∆ , нм2001 =λ , нм10002 =λ , n0=1.0, nS=1.51 [6-7]. 2. Обчислювальний експеримент. Для знаходження оптимальних параме- трів випробувано наступні методи багатовимірного пошуку екстремумів нелі- нійних функцій без обмежень: метод конфігурацій (Хука - Дживса), метод най- скорішого спуску, методи спряжених градієнтів (Флетчера - Рівса, Поллака - Рібб’єра), методи змінної метрики (Девідона - Флетчера - Пауелла, Гольдфарба, Фіакко – Мак-Кормика, Грінстадта) та r-алгоритм в H-формі [3]. Серед них пер- ший є методом нульового порядку (використовує тільки значення функції в точ- ках), а всі інші є методами першого порядку (використовують значення функції та значення градієнта в точках). Для оцінки ефективності методів вибрано такі критерії: середню витрату машинного часу методом на пошук екстремуму та кількість тих початкових зна- чень, з яких метод збігається до глобального максимуму. Початкові наближення вибирались наступним чином: показник заломлення n=1.35+0.07⋅i (i=0…15) та геометрична товщина d=500+400⋅j (j=0...15). Тобто всього 256 (16⋅16) точок. Для всіх методів першого порядку пошук мінімуму функції в заданому на ітерації напрямку реалізований згідно з правилом “золотого перерізу”. Критері- єм припинення ітерацій для всіх методів була умова ( ) ( ) ( ) ε< − + + )1( )()1( k kk xf xfxf , (4) де )(k x – отримане значення на k -й ітерації. Програмне забезпечення написане мовою програмування Pascal. Розрахунки проводились на комп’ютері з процесором AMD Athlon 1.2 ГГц 128 MБайт ОЗП. 3. Результати експерименту. Першим розглянемо випадок, коли вагові ко- ефіцієнти функціоналу ),( dnF вибрані за рівномірним розподілом, тобто ( ) 1=λ iv , Li ,...,1= . Значення ε в (4) (параметр для критерію припинення ітера- цій методів) вибиралось рівним 10 -7 . ЗАДАЧА ЗНАХОДЖЕННЯ ОПТИМАЛЬНИХ ПАРАМЕТРІВ ОДНОРІДНОГО ОПТИЧНОГО ПОКРИТТЯ 130 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 Внаслідок експерименту отримано, що найбільше значення функції (1) в до- сліджуваній області становить 0.9821362 і досягається при значенні показника заломлення 35.1* 1 =n та геометричній товщині 6.121* 1 =d . Крім даного глобаль- ного максимуму існують ще два локальні максимуми: 35.1* 2 =n , нмd 3.482* 2 = , ( ) 9773014.0, * 2 * 2 =dnF та 35.1* 3 =n , нмd 0.750* 3 = , ( ) 9773014.0, * 3 * 3 =dnF . Повер- хні рівня функції ),( dnF показані на рис.1, де відповідними номерами (1, 2, 3) позначені точки всіх трьох екстремумів. Розглянемо випадок, коли вагові коефіцієнти функції ),( dnF визначаються за нормальним розподілом N(0, 1). Тобто спектральний діапазон [ ]21,λλ відо- бразимо на інтервал [-5, 5] кривої нормального розподілу і коефіцієнт ( )iv λ ви- беремо таким, що відповідає значенню кривої нормального розподілу в точці з інтервалу [-5, 5], яка є відображенням точки iλ . Для другого експерименту отримано, що найбільше значення функції (1) в досліджуваній області становить 0.3129592 і досягається при значенні показника заломлення 35.1* 1 =n та геометричній товщині нмd 0.107* 1 = . Значення ε виби- ралось рівним 10 -7 . Крім зазначеного глобального максимуму існують ще три локальні макси- муми: 35.1* 2 =n , нмd 2.330* 2 = , ( ) 3106291.0, * 2 * 2 =dnF , 35.1* 3 =n , нмd 4.570* 3 = , ( ) 3090383.0, * 3 * 3 =dnF та 35.1* 4 =n , нмd 0.750* 4 = , ( ) 3081453.0, * 4 * 4 =dnF . Повер- хня функції ),( dnF для другого експерименту показана на рис.2. РИС.1. Поверхня функції ),( dnF з ваговими коефіцієнтами ( ) 1=λ iv , Li ,...,1= О.В. МІЦА, П.І. СТЕЦЮК Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 131 У таблиці наведено характеристики ефективності вищезазначених методів оптимізації для першого та другого експериментів. Методи 1-й 2-й Кількість точок Середній час, с Кількість точок Середній час, с Конфігурацій (Хука - Дживса) 116 0.18 80 0.25 П ер ш о го п о р я д к у Найскорішого спуску 97 0.25 73 1.45 Флетчера - Рівса 95 0.26 62 1.40 Поллака - Рібб’єра 97 0.33 73 1.84 Девідона - Флетчера - Пауелла 113 0.21 83 0.35 Гольдфарба 112 0.20 85 0.35 Фіакко – Мак-Кормика 108 0.21 83 0.35 Грінстадта 108 0.22 93 0.42 r-алгоритм (α=3) 135 0.24 52 0.40 r-алгоритм (α=2) 127 0.24 74 0.43 r-алгоритм (α=1000) 77 0.19 15 0.31 Як бачимо, при розв'язуванні першої задачі найбільш ефективними вияви- лися r-алгоритм із значенням коефіцієнта розтягу простору α=3 та метод конфі- гурацій (Хука – Дживса). Далі йдуть методи змінної метрики, які є ефективні- шими за метод найскорішого спуску, та методи спряжених градієнтів. Зазначи- мо, що в рамках методів змінної метрики методи Девідона - Флетчера - Пауелла та Гольдфарба виявились ефективнішими за методи Фіакко - Мак-Кормика та РИС. 2. Поверхня функції ),( dnF з ваговими коефіцієнтами, вибраними згідно із нормальним розподілом ЗАДАЧА ЗНАХОДЖЕННЯ ОПТИМАЛЬНИХ ПАРАМЕТРІВ ОДНОРІДНОГО ОПТИЧНОГО ПОКРИТТЯ 132 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 Грінстадта. Для r-алгоритма із значенням α=1000 результати експерименту бли- зькі до результатів, які показують методи змінної метрики. При розв'язуванні другої задачі найбільш ефективним показав себе метод конфігурацій (Хука - Дживса). Використання коефіцієнта розтягу простору α=2 для r-алгоритму виявилося більш ефективним, ніж використання α=3. Методи змінної метрики знову виявилися ефективнішими за метод найско- рішого спуску та методи спряжених градієнтів. Зазначимо, що метод Гольдфар- ба має більшу кількість початкових значень, які дозволяють досягти глобального максимуму, ніж інші методи змінної метрики, але має гірші показники за серед- нім часом роботи (див. таблицю). r-алгоритм із значенням параметра α=1000 значно поступається ефективністю методам змінної метрики. Зменшення значення ε в (4) значно погіршує результати середньої витрати машинного часу для методів найскорішого спуску та спряжених градієнтів (Флетчера - Рівса, Поллака - Рібб’єра) і значно менше впливає на інші методи. За отриманими результатами експериментів побудуємо криві коефіцієнта пропускання для однорідної структури з оптимальними значеннями параметрів на досліджуваному спектральному діапазоні (рис. 3). Із рис.3 бачимо, що при виборі вагових коефіцієнтів за нормальним законом максимум коефіцієнта пропускання знаходиться лівіше від середини досліджу- ваного спектрального діапазону (λmax=577.8 нм), а при виборі вагових коефіцієн- тів за рівномірним законом - правіше (λmax=656.6 нм). Це можно пояснити впли- вом вагових коефіцієнтів на ),( dnF , так як при їх виборі за рівномірним зако- ном (експеримент 2) чим далі точка iλ знаходиться від центра інтервала [ ]21,λλ , тим менше її вклад у значення функції ),( dnF . Оскільки в крайніх діа- РИС. 3. Криві коефіцієнта пропускання однорідної структури: 1, 2 – вагові коефіці- єнти вибрані відповідно за рівномірним та нормальним законами О.В. МІЦА, П.І. СТЕЦЮК Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 133 пазонах [ ]нмнм 400,200∈λ і [ ]нмнм 1000,800∈λ зареєстровано найнижчі кое- фіцієнти пропускання, в діапазоні [ ]нмнм 800,400∈λ різниця між максималь- ним та мінімальним коеффіцієнтами пропускання має бути меншою для другого експерименту (див. рис.3). Висновки. Найкращі результати при розв’язуванні задач синтезу оптичних покриттів отримуються при використанні методів багатовимірного пошуку екс- тремумів нелінійних функцій. У даній роботі розглянуто методи багатовимірно- го пошуку: метод конфігурацій (Хука - Дживса), метод найскорішого спуску, методи спряжених градієнтів (Флетчера - Рівса, Поллака - Рібб’єра), методи змінної метрики (Девідона - Флетчера - Пауелла, Гольдфарба, Фіакко – Мак- Кормика, Грінстадта) та r-алгоритм. На базі них складено пакети програм для ЕОМ, володіючи якими синтезом покриттів може займатись персонал, що не має спеціальної математичної підготовки. Отримані результати при розв’язуванні обернених задач синтезу оптичних шаруватих покриттів актуальні для застосування в оптичних системах космічної техніки, оптичному приладобудуванні, інтегральній оптиці, рентгенівській і нейтронній спектроскопіях, електродинаміці відкритих структур, при створенні генераторів та перетворювачів електромагнітного та інших випромінювань, роз- робці апаратури для контролю довкілля і т.д. А.В. Мица., П.И. Стецюк ЗАДАЧА НАХОЖДЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ОДНОРОДНОГО ОПТИЧЕСКОГО ПОКРЫТИЯ Приведена многоэкстремальная задача нелинейного программирования для нахождения оп- тимальных параметров однородного оптического покрытия. Проведен сравнительный чис- ленный анализ ряда методов нулевого и первого порядков для нахождения ее глобального экстремума. O.V. Mitsa., P.I. Stetsyuk THE PROBLEM FOR FINDING OPTIMAL PARAMETERS OF HOMOGENEOUS OPTICAL COVERING The multiextremal nonlinear programming problem for finding optimal parameters of homogeneous optical сovering is given. The comparative numerical analysis of a number of the zero- and first- order methods for finding its global extremum is carried out. 1. Furman Sh., Tikhonravov A.V. Basics of optics of multiplayer systems. – Editions Frontiers, Gif-sur Yvette, 1992. – 242 p. 2. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация: пер. с англ. – М.: Мир, 1985. – 509 с. 3. Михалевич В.С., Трубин В.А., Шор Н.З. Оптимизационные задачи производственно- транспортного планирования. – М.: Наука, 1986. – 264 с. ЗАДАЧА ЗНАХОДЖЕННЯ ОПТИМАЛЬНИХ ПАРАМЕТРІВ ОДНОРІДНОГО ОПТИЧНОГО ПОКРИТТЯ 134 Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 4. Фиакко А., Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. – М.: Мир, 1972. – 240 с. 5. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. – М.: Мир, 1975. – 534 с. 6. Міца О.В. Аналіз ефективності методів багатовимірної оптимізації при дослідженні од- норідних та неоднорідних структур // Штучний інтелект. – 2002. – Вип. 4. – С. 42–48. 7. Міца О.В. Синтез чотиришарових структур та аналіз ефективності методів багатовимір- ного пошуку // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. Сер. математика. – 2002. – Вип. 150. – C. 63–68. Отримано 08.10.2003

Задача знаходження оптимальних параметрів однорідного оптичного покриття

Institution

Ähnliche Einträge