Об устойчивости по критерию векторных задач целочисленного квадратичного программирования
Излагаются результаты исследования различных видов устойчивости векторных задач целочисленного квадратичного программирования к возмущениям коэффициентов векторного критерия. Определены соответcтвующие понятия устойчивости, сформулированы необходимые и достаточные условия для всех рассмотренных вари...
Saved in:
| Published in: | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Date: | 2003 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2003
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84867 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об устойчивости по критерию векторных задач целочисленного квадратичного программирования / Т.Т. Лебедева, Н.В. Семенова, Т.И. Сергиенко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 149-154. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860265699677569024 |
|---|---|
| author | Лебедева, Т.Т. Семенова, Н.В. Сергиенко, Т.И. |
| author_facet | Лебедева, Т.Т. Семенова, Н.В. Сергиенко, Т.И. |
| citation_txt | Об устойчивости по критерию векторных задач целочисленного квадратичного программирования / Т.Т. Лебедева, Н.В. Семенова, Т.И. Сергиенко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 149-154. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | Излагаются результаты исследования различных видов устойчивости векторных задач целочисленного квадратичного программирования к возмущениям коэффициентов векторного критерия. Определены соответcтвующие понятия устойчивости, сформулированы необходимые и достаточные условия для всех рассмотренных вариантов устойчивости, проанализированы соотношения между ними.
Представлені результати дослідження різних видів стійкості векторних задач цілочислового квадратичного програмування до збурень коефіцієнтів векторного критерію. Визначені відповідні поняття стійкості, сформульовані необхідні і достатні умови для всіх розглянутих варіантів стійкості, проаналізовані співвідношення між ними.
The paper deals with the results of the investigation of several types of stability for vector integer quadratic programming problems with respect to perturbations of vector criterion coefficients. Respective notions of stability are defined. Necessary and sufficient conditions are formulated for every considered version of stability. Interrelations between such versions are analyzed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T19:00:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 149
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Излагаются результаты исследо-
вания различных видов устойчи-
вости векторных задач целочис-
ленного квадратичного програм-
мирования к возмущениям коэф-
фициентов векторного критерия.
Определены соответcтвующие
понятия устойчивости, сформу-
лированы необходимые и доста-
точные условия для всех рас-
смотренных вариантов устой-
чивости, проанализированы соот-
ношения между ними.
Т.Т. Лебедева, Н.В. Семенова,
Т.И. Сергиенко, 2003
ÓÄÊ 519.8
Ò.Ò. ËÅÁÅÄÅÂÀ, Í.Â. ÑÅÌÅÍÎÂÀ, Ò.È. ÑÅÐÃÈÅÍÊÎ
ÎÁ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ
ÏÎ ÊÐÈÒÅÐÈÞ ÂÅÊÒÎÐÍÛÕ ÇÀÄÀ×
ÖÅËÎ×ÈÑËÅÍÍÎÃÎ ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÎÃÎ
ÏÐÎÃÐÀÌÌÈÐÎÂÀÍÈß
В настоящей статье рассматриваются вектор-
ные оптимизационные задачи следующего
вида: Q(F,X): max{F(x)x∈X}, где F(x)=(f1(x),
f2(x),…,fl(x)), fi : R
n→R − квадратичные
функции, fі(x)= x
Т
Di x + ci x, Di ∈ R
n×n
, ci ∈ R
n
–
вектор-строка, i∈Nl={1,…, l }, X – непустое
ограниченное множество целочисленных
векторов из Rn
.
Под решением задачи Q(F,X) будем пони-
мать нахождение элементов одного из сле-
дующих множеств: Р(F,X) – множества эф-
фективных (Парето-оптимальных) решений,
S l (F,X) – слабо эффективных (оптимальных
по Слейтеру) решений, Sm(F,X) – строго эф-
фективных (оптимальных по Смейлу) реше-
ний. Для любого x∈X справедливы высказы-
вания:
x∈S l (F,X)⇔σ(x,F)= {y∈XF(y) > F(x)}=∅,
x∈P(F,X) ⇔ π(x,F) = {y∈X F(y) ≥ F(x),
F(y)≠F(x)}=∅,
х∈Sm(F,X)⇔η(x,F)={y∈Xy≠x,F(y)≥F(x)}=∅.
В силу конечности множества Х P(F,X)≠∅.
Очевидно, что Sm(F,X) ⊂ P(F,X) ⊂S l (F,X).
Обозначим D=(D1,…,Dl), С=[сij]∈R
lxn
, где
(ci1,…,cin)=ci ∀i∈Nl. Для любого вектора
x=(x1,…,xm)∈R
m
зададим норму ||x||=
m
i
i N
x
∈
∑ .
Под нормой произвольной матрицы
А=[аij] ∈ R
mxn
будем понимать норму вектора
(а11, а12,…, аmn).
Т.Т. ЛЕБЕДЕВА, Н.В. СЕМЕНОВА, Т.И. СЕРГИЕНКО
Теорія оптимальних рішень. 2003,№ 2 150
Для пары (D,C) и любого числа δ>0 рассмотрим множество Oδ(D,C) возму-
щенных пар вида Oδ(D,C)={(D(δ), C(δ))
lNi∈
max ||Di(δ)−Di||<δ, ||C(δ)−C||<δ}, где
D(δ)=(D1(δ),…,Dl(δ)), Di(δ)∈ R
nxn
∀i∈Nl, С(δ)=[сij(δ)]∈R
lxn
.
Для произвольных достаточно малого δ>0 и (D(δ),C(δ))∈Oδ(D,C) назовем
задачу Q(F(δ),X): max{F(δ,x)x∈X}, где F(δ,x)=(f1(δ, x),…,fl(δ, x)), fi(δ, x) =
=xТDi(δ)x + ci(δ)x, i∈Nl, возмущенной по векторному критерию задачей, принад-
лежащей δ-окрестности задачи Q(F,X). Для задачи Q(F(δ),X) обозначим
S l (F(δ),X), Р(F(δ),X), Sm(F(δ),X) – множества слабо эффективных, эффективных
и строго эффективных решений соответственно.
Продолжая исследования, отраженные в работах [1-5], рассмотрим различные
варианты определения устойчивости многокритериальной задачи целочис-
ленной оптимизации к возмущениям коэффициентов квадратичных функций
векторного критерия для задачи Q(F,X) поиска Парето-оптимальных решений. В
тех случаях, когда речь будет идти о задачах поиска строго или слабо
эффективных решений, будем пользоваться обозначениями QSm(F,X) и QSl(F,X)
соответственно.
Определение 1. Задачу Q(F,X) назовем Т1–устойчивой по векторному кри-
терию, если существует такое число δ>0, что ∀ (D(δ), C(δ))∈Oδ(D, C)
P(F,X)∩ P(F(δ),X)≠∅. (1)
Сформулируем необходимые в дальнейшем утверждения, в справедливости
которых легко убедиться.
Утверждение 1. ∀x∈ X \ P(F,X) и ∀y∈ P(F,X) ∃ i∈Nl: fi(x) − fi(y) <0.
Утверждение 2. Пусть y∈P(F,X). Если ∃δ>0 такое, что ∀x∈ X \ P(F,X) ∃ i∈Nl,
∀ (D(δ), C(δ))∈Oδ(D, C): fi(δ,x)−fi(δ,y)<0, то ∀(D(δ), C(δ))∈Oδ(D, C) справедливо
π(y, F(δ)) ⊂P(F,X). (2)
Утверждение 3. Пусть x,y∈X и ∃i∈Nl: fi(x)−fi (y)<0. Тогда ∀δ ( 0 ( , )ig x y< δ ≤ ),
где
2 2
( ) ( )
( , ) i i
i
f x f y
g x y
x y x y
−
=
+ + −
, и ∀(D(δ),C(δ))∈Oδ(D, C) : fi (δ,x)−fi (δ,y)<0.
Доказательство. Для любых δ>0 и (D(δ),C(δ))∈Oδ(D,C), используя
неравенство Коши-Буняковского, оценим разность fi(δ, x) − fi(δ, y)= xТDi(δ)x +
+ci(δ)x − yТDi(δ)y − ci(δ)y= xТDi x + xТ(∆Di) x +ci x+∆ci x − yТDiy− yТ ∆Diy − ciy− ∆ciy≤
≤fi(x)−fi(y)+||x||2⋅||∆Di||+||y||2⋅||∆Di||+||∆ci||⋅||x-y||< fi(x)−fi(y)+δ(||x||2+||y||2+||x−y||). Выб-
рав 0 ( , )ig x y< δ ≤ , приходим к неравенству fi(δ, x)−fi(δ, y) <0, что и требовалось
доказать.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Всякая векторная задача целочисленного квадратичного програм-
мирования вида Q(F,X) Т1–устойчива.
Доказательство. Так как P(F,X)≠∅ (в силу конечности множества X), то су-
ществуют y∈P(F,X) и i∈Nl такие, что ∀x∈ X \ P(F,X) : fi(х) −fi(у) <0. Тогда исходя
из утверждения 3 ∃δ>0 ∀(D(δ), C(δ))∈Oδ(D,C) : fi(δ, x)−fi(δ, y)<0. Учитывая также
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО КРИТЕРИЮ ВЕКТОРНЫХ ЗАДАЧ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО …
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 151
утверждение 2, приходим к включению (2). Покажем, что верно и соотношение
(1). Последнее очевидно в случае, когда π(y,F(δ))=∅, так как тогда y∈P(F(δ)),X)
согласно определению понятия эффективного решения. Рассмотрим случай,
когда π(y,F(δ))≠∅. Из конечности множества X следует внешняя устойчивость
множества Парето [6], т.е. ∀ x∈X ∃ z∈P(F(δ),X): F(δ,z)≥ F(δ,x). Учитывая это и
то, что y ∉ P(F(δ), X), приходим к выводу: P(F(δ), X) ∩ η(y, F(δ)) ≠ ∅ и
η0={x∈η(y,F(δ)) F(δ,x) =F(δ,y)} ⊂ X \ P(F(δ),X). Так как π(y,F(δ)) = η(y,F(δ))\ η0,
заключаем, что P(F(δ),X) ∩ π(y,F(δ))≠∅, а с учетом включения (2) верно и
соотношение (1), и следовательно, задача Q(F,X) Т1–устойчива.
Определение 2. Задачу Q(F, X) назовем Т2–устойчивой по векторному кри-
терию, если Kerp(F)={x∈P(F,X): ∃δ>0 ∀(D(δ),C(δ))∈Oδ(D,C) (x∈P(F(δ),X))} ≠∅.
Множество Kerp(F) будем называть ядром устойчивости по векторному кри-
терию задачи Q(F,X).
Для получения необходимых и достаточных условий Т2–устойчивости сфор-
мулируем следующие леммы и теорему.
Лемма 1. Для любого множества X% ⊂X существует такое число δ>0, что
∀( D(δ),C(δ))∈Oδ(D, C): Sm (F, X% ) ⊂ Sm (F(δ), X% ).
Доказательство. Предположим, что Sm(F, X% )≠∅, так как в противном случае
лемма очевидна. Для любых точек y∈Sm(F, X% ) и x∈ X% \{y} в соответствии с
определением строго эффективного решения задачи Q(F,X) множество N(x,y)=
={i∈Nl fi(x)< fi(y)}≠∅. Выберем величину δ, удовлетворяющую неравенствам
0 < δ ≤ min{ ( , ) ( , ), \ { }, ( , )}ig x y y Sm F X x X y i N x y ∈ ∈ ∈% % . Учитывая утверждение
3, приходим к выводу , что ∀ ( , )y Sm F X∈ % и ∀x∈ X% \{y} имеют место
соотношения N(x,y)⊂Nδ(x,y)={i∈Nl | fi(δ,x)<fi(δ,y)}≠∅ и y∈Sm(F(δ), X% ). Следо-
вательно, Sm(F,X)⊂ Sm(F(δ),X).
Лемма 2. Для любых множества X% ⊂X и числа δ>0 существует пара
(D(δ),C(δ))∈Oδ(D, C), такая, что ( X% \Sm(F, X% ))∩ Sl(F(δ), X% )=∅.
Доказательство. Пусть ∃ x∈ X% \Sm(F, X% ). Тогда ∃ y≠x : F(y) ≥F(x). Положим
∀δ>0 D(δ)=D, а вектор-строки матрицы C(δ) зададим следующим образом:
ci(δ)=ci+α(y-x)
Т
∀i∈Nl, где 0<α<δ/(l||y-x||). Тогда ||C(δ)−C||<δ и fi(δ,y)−fi(δ,x)=
=yТDiy+ciy+α(y–х)Тy − xТDix−cix−α(y–х)Тx = fi(y) − fi(x) + α(y-x)
2
>0 ∀i∈Nl. Следова-
тельно, x∉Sl(F(δ), X% ).
Теорема 2. Ядро устойчивости по векторному критерию задачи Q(F,X)
совпадает с множеством ее строго эффективных точек, более того, справедливы
равенства Sm (F,X)= Ker Sm (F,X)= Kerp(F,X)= Ker Sl(F,X).
Здесь KerSm(F,X), KerSl(F,X) – ядро устойчивости по векторному критерию для
задач QSm(F,X) и QSl(F,X) поиска строго эффективных и слабо эффективных
решений соответственно,
KerSm (F,X)= {x∈Sm(F,X): ∃δ>0 ∀(D(δ), C(δ)∈Oδ(D, C) (x∈Sm(F(δ) ,X))},
Т.Т. ЛЕБЕДЕВА, Н.В. СЕМЕНОВА, Т.И. СЕРГИЕНКО
Теорія оптимальних рішень. 2003,№ 2 152
KerSl(F,X)= {x∈Sl (F ,X): ∃δ>0 ∀(D(δ), C(δ))∈Oδ(D, C) (x∈Sl (F(δ) ,X))}.
Доказательство. Включение Sm(F, X) ⊂ KerSm(F,X)⊂ Kerp(F,X)⊂ KerSl(F,X)
следует из леммы 1 и определений множеств KerSm(F,X), KerP(F,X), KerSl(F,X).
В связи с этим для доказательства теоремы достаточно показать, что
KerSl(F,X)⊂Sm(F,X). Предположим от противного, что ∃x∈KerSl(F,X) \ Sm(F,X),
тогда в силу леммы 2 ∀δ>0 ∃(D(δ),C(δ))∈Oδ(D,C): x∉Sl(F(δ),X), то есть
x∉KerSl(F,X). Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
Из теоремы 2 следует утверждение.
Утверждение 4. Задача Q(F,X) Т2–устойчива по векторному критерию тогда и
только тогда, когда Sm(F ,X)≠∅.
Определение 3. Задачу Q(F,X) назовем Т3–устойчивой по векторному
критерию, если существует такое число δ>0, что ∀(D(δ),C(δ))∈Oδ(D,C):
Р(F(δ),X) ⊂P(F,X).
Лемма 3. Для любых X% ⊂X и δ>0 существует пара (D(δ),C(δ))∈Oδ(D, C), та-
кая, что Sl(F, X% )\ P (F, X% ) ⊂P(F(δ), X% ).
Доказательство. Для произвольного δ>0 и ∀ i∈Nl зададим матрицы Di(δ) и
вектор-строки матрицы C(δ) следующим образом: Di(δ)=Di - α
l
k
k N
D
∈
∑ , ci(δ)=
=ci−α
l
k
k N
c
∈
∑ , где 1 10 min{( ) , ( ) }
l
k
k N
C D
− −
∈
< α < δ ∑l . Таким образом, ||C(δ)−C||<
<δ и ||Di(δ)–D||<δ ∀ i∈Nl. Далее с помощью рассуждений, подобных
проведенным при доказательстве леммы 1.2 из [1], и наложив на α
дополнительное требование
( , )
( ) ( )
min , ( , ) \ ( , ), \ ( , ), ( , ) ,
( ( ) ( ))
i i
k k
k N x y
f x f y
y Sl F X P F X x X y F i N x y
f x f y
∈
−α < ∈ ∈ π ∈ −
∑
% % %
приходим к заключению о справедливости данного утверждения.
Лемма 4. Для любого X% ⊂X существует такое число δ>0, что ∀(D(δ),C(δ))∈
∈Oδ(D,C) : Sl(F(δ), X% ) ⊂ Sl(F, X% ).
Доказательство. Пусть δ удовлетворяет неравенствам
0<δ≤min{ ( , )ig x y i∈Nl, x, y ∈ X% , fi(x) ≠ fi(y)}.
Рассмотрим произвольные пару (D(δ),C(δ))∈Oδ(D,C) и точку х∈Sl(F(δ), X% ).
Покажем, что x ∈Sl(F, X% ). Предположим противное: x ∉Sl(F, X% ). Согласно
определению слабо эффективного решения это означает, что σ(х, F)=
={y∈ X% F(y)>F(х)} ≠∅. Тогда согласно утверждению 3 ∀y ∈σ(х, F) и ∀i∈Nl
имеют место соотношения fi(δ,х)−fi(δ,y)<0. Следовательно, σ( x ,F)⊂σ(х,F(δ))=
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО КРИТЕРИЮ ВЕКТОРНЫХ ЗАДАЧ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО …
Теорія оптимальних рішень. 2003, № 2 153
={y∈ X% F(δ,y)>F(δ,х)}≠∅ их∉Sl(F(δ), X% ). Это противоречит первоначаль-
ному выбору точки х и завершает доказательство леммы.
Отметим, что задача QSl(F,X) в случае поиска слабо эффективных решений
всегда Т3–устойчива по критерию.
Теорема 3. Задача Q(F,X) Т3–устойчива по векторному критерию тогда и
только тогда, когда P(F,X)= Sl(F,X).
Доказательство. Необходимость. Из Т3–устойчивости по критерию задачи
Q(F,X) следует, что ∃δ>0 ∀(D(δ),C(δ))∈Oδ(D,C): P(F(δ),X)⊂P(F,X). Предполо-
жим, что ∃ х ∈ Sl(F, X) \ Р(F,X). В силу леммы 3 ∀δ>0 ∃ (D(δ),C(δ)) ∈ ∈Oδ(D,C):
х∈P(F(δ),X) и, следовательно, учитывая предположение о Т3–устойчивости зада-
чи, х∈ P(F, X), что противоречит выбору точки х и доказывает первую часть
теоремы.
Достаточность.Пусть Sl(F, X)= Р(F,X). Учитывая лемму 4 приходим к выводу,
что ∃δ>0, такое, что ∀(D(δ),C(δ))∈Oδ(D,C) справедливы включения P(F(δ),X)⊂
⊂Sl(F(δ),X)⊂Sl(F,X)⊂Р(F,X). Теорема доказана.
Определение 4. Задачу Q(F,X) назовем Т4–устойчивой по векторному крите-
рию, если существует такое число δ>0, что ∀(D(δ),C(δ))∈Oδ(D,C):
Р(F,X) ⊂P(F(δ), X).
Теорема 4. Задача Q(F, X) Т4–устойчива по векторному критерию тогда и
только тогда, когда Р(F,X)= Sm(F,X).
Доказательство теоремы опирается на леммы 1 и 2.
Следует заметить, что согласно лемме 1 задача QSm (F,X) поиска строго эффек-
тивных решений всегда Т4–устойчива по критерию.
Определение 5. Задачу Q(F,X) назовем Т5–устойчивой по векторному
критерию, если ∃δ>0, такое, что ∀(D(δ), C(δ))∈Oδ(D, C): Р(F, X) =P(F(δ), X).
Очевидно, что задача Q(F, X) Т5–устойчива по векторному критерию тогда и
только тогда, когда она Т3– и Т4–устойчива. Непосредственно из теорем 3 и 4 вы-
текает следующая теорема.
Теорема 5. Задача Q(F, X) Т5–устойчива по векторному критерию тогда и
только тогда, когда Sm(F,X) = Р(F,X)= Sl(F,X).
Проанализировав определения и полученные необходимые и достаточные ус-
ловия различных типов устойчивости по векторному критерию задачи Q(F, X)
приходим к заключению, что задача Т1–устойчива, а соотношения между рас-
смотренными выше видами устойчивости можно представить следующим обра-
зом. Если задача Q(F, X) Т4 –устойчива, то она и Т2–устойчива. Задача Q(F, X)
Т5–устойчива тогда и только тогда, когда она Т3– и Т4–устойчива одновременно.
Нетрудно убедиться, что Т3–устойчивая задача Q(F, X) может иметь пустое ядро
устойчивости, т.е. не быть Т2–устойчивой.
Т.Т. ЛЕБЕДЕВА, Н.В. СЕМЕНОВА, Т.И. СЕРГИЕНКО
Теорія оптимальних рішень. 2003,№ 2 154
Т..Т. Лебєдєва, Н.В. Семенова, Т.І. Сергієнко
ПРО СТІЙКІСТЬ ЗА КРИТЕРІЄМ ВЕКТОРНИХ ЗАДАЧ ЦІЛОЧИСЛОВОГО
КВАДРАТИЧНОГО ПРОГРАМУВАННЯ
Представлені результати дослідження різних видів стійкості векторних задач цілочислового
квадратичного програмування до збурень коефіцієнтів векторного критерію. Визначені
відповідні поняття стійкості, сформульовані необхідні і достатні умови для всіх розглянутих
варіантів стійкості, проаналізовані співвідношення між ними.
T.T.Lebedeva, N.V. Semenova, T.I. Sergienko,
STABILITY WITH RESPECT TO CRITERION OF VECTOR PROBLEMS INTEGER
QUADRATIC PROGRAMMING
The paper deals with the results of the investigation of several types of stability for vector integer
quadratic programming problems with respect to perturbations of vector criterion coefficients.
Respective notions of stability are defined. Necessary and sufficient conditions are formulated for
every considered version of stability. Interrelations between such versions are analyzed.
1. Сергиенко И.В., Козерацкая Л.Н., Лебедева Т.Т. Исследование устойчивости и параметри-
ческий анализ дискретных оптимизационных задач. – К.: Наук. думка, 1995.–170 с.
2. Emelichev V.A., Girlich E., Nikulin Yu.V., Podkopaev D.V.. Stability and regularization of
vector problems of integer linear programming // Optimization. – 2002, − 51, N4. – P.645-676.
3. Емеличев В.А., Никулин Ю.В. О ядре устойчивости векторной квадратичной задачи булева
программирования // Кибернетики и сист. анализ. – 2001. − № 2. – С.83-90.
4. Emelicev V.A., Nikulin Yu.V. On the stability of effecient solution in a vector quadratic boolean
programming problem // Изв. АН Республики Молдова. Сер.Математика. – 2000.− № 1.–
С.33-40.
5. Козерацкая Л.Н. Множество строго эффективных точек задачи частично целочисленной
векторной оптимизации как характеристика ее устойчивости // Кибернетика и сист.
анализ. – 1997. − № 6. – С.181-184.
6. Полищук Л.И. Анализ многокритериальных экономико-математических моделей. –
Новосибирск : Наука, 1989. – 352 с.
Получено 14.10.2003
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84867 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:00:34Z |
| publishDate | 2003 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лебедева, Т.Т. Семенова, Н.В. Сергиенко, Т.И. 2015-07-16T15:17:26Z 2015-07-16T15:17:26Z 2003 Об устойчивости по критерию векторных задач целочисленного квадратичного программирования / Т.Т. Лебедева, Н.В. Семенова, Т.И. Сергиенко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2003. — № 2. — С. 149-154. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84867 519.8 Излагаются результаты исследования различных видов устойчивости векторных задач целочисленного квадратичного программирования к возмущениям коэффициентов векторного критерия. Определены соответcтвующие понятия устойчивости, сформулированы необходимые и достаточные условия для всех рассмотренных вариантов устойчивости, проанализированы соотношения между ними. Представлені результати дослідження різних видів стійкості векторних задач цілочислового квадратичного програмування до збурень коефіцієнтів векторного критерію. Визначені відповідні поняття стійкості, сформульовані необхідні і достатні умови для всіх розглянутих варіантів стійкості, проаналізовані співвідношення між ними. The paper deals with the results of the investigation of several types of stability for vector integer quadratic programming problems with respect to perturbations of vector criterion coefficients. Respective notions of stability are defined. Necessary and sufficient conditions are formulated for every considered version of stability. Interrelations between such versions are analyzed. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Об устойчивости по критерию векторных задач целочисленного квадратичного программирования Stability with respect to criterion of vector problems integer quadratic programming Про стійкість за критерієм векторних задач цілочислового квадратичного програмування Article published earlier |
| spellingShingle | Об устойчивости по критерию векторных задач целочисленного квадратичного программирования Лебедева, Т.Т. Семенова, Н.В. Сергиенко, Т.И. |
| title | Об устойчивости по критерию векторных задач целочисленного квадратичного программирования |
| title_alt | Stability with respect to criterion of vector problems integer quadratic programming Про стійкість за критерієм векторних задач цілочислового квадратичного програмування |
| title_full | Об устойчивости по критерию векторных задач целочисленного квадратичного программирования |
| title_fullStr | Об устойчивости по критерию векторных задач целочисленного квадратичного программирования |
| title_full_unstemmed | Об устойчивости по критерию векторных задач целочисленного квадратичного программирования |
| title_short | Об устойчивости по критерию векторных задач целочисленного квадратичного программирования |
| title_sort | об устойчивости по критерию векторных задач целочисленного квадратичного программирования |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84867 |
| work_keys_str_mv | AT lebedevatt obustoičivostipokriteriûvektornyhzadačceločislennogokvadratičnogoprogrammirovaniâ AT semenovanv obustoičivostipokriteriûvektornyhzadačceločislennogokvadratičnogoprogrammirovaniâ AT sergienkoti obustoičivostipokriteriûvektornyhzadačceločislennogokvadratičnogoprogrammirovaniâ AT lebedevatt stabilitywithrespecttocriterionofvectorproblemsintegerquadraticprogramming AT semenovanv stabilitywithrespecttocriterionofvectorproblemsintegerquadraticprogramming AT sergienkoti stabilitywithrespecttocriterionofvectorproblemsintegerquadraticprogramming AT lebedevatt prostíikístʹzakriteríêmvektornihzadačcíločislovogokvadratičnogoprogramuvannâ AT semenovanv prostíikístʹzakriteríêmvektornihzadačcíločislovogokvadratičnogoprogramuvannâ AT sergienkoti prostíikístʹzakriteríêmvektornihzadačcíločislovogokvadratičnogoprogramuvannâ |