О достаточных условиях разрешимости игровых задач сближения в классе стробоскопических стратегий

In this paper the quasilinear differential games of pursuit are treated in the class of strobostrophic strategies. Sufficient conditions for solvability of pursuit problem are obtained. This research is based on the method of resolving functions.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автори:	Чикрий, А.А., Раппопорт, И.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2005
Назва видання:	Теорія оптимальних рішень
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84924
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О достаточных условиях разрешимости игровых задач сближения в классе стробоскопических стратегий / А.А. Чикрий, И.С. Раппопорт // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2005. — № 4. — С. 49-55. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84924
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-849242025-02-10T00:18:01Z О достаточных условиях разрешимости игровых задач сближения в классе стробоскопических стратегий Sufficient pursuit conditions for solvability of game pursuit problems in the class of strobostrophic strategies Чикрий, А.А. Раппопорт, И.С. In this paper the quasilinear differential games of pursuit are treated in the class of strobostrophic strategies. Sufficient conditions for solvability of pursuit problem are obtained. This research is based on the method of resolving functions. 2005 Article О достаточных условиях разрешимости игровых задач сближения в классе стробоскопических стратегий / А.А. Чикрий, И.С. Раппопорт // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2005. — № 4. — С. 49-55. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84924 518.9 ru Теорія оптимальних рішень application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	In this paper the quasilinear differential games of pursuit are treated in the class of strobostrophic strategies. Sufficient conditions for solvability of pursuit problem are obtained. This research is based on the method of resolving functions.
format	Article
author	Чикрий, А.А. Раппопорт, И.С.
spellingShingle	Чикрий, А.А. Раппопорт, И.С. О достаточных условиях разрешимости игровых задач сближения в классе стробоскопических стратегий Теорія оптимальних рішень
author_facet	Чикрий, А.А. Раппопорт, И.С.
author_sort	Чикрий, А.А.
title	О достаточных условиях разрешимости игровых задач сближения в классе стробоскопических стратегий
title_short	О достаточных условиях разрешимости игровых задач сближения в классе стробоскопических стратегий
title_full	О достаточных условиях разрешимости игровых задач сближения в классе стробоскопических стратегий
title_fullStr	О достаточных условиях разрешимости игровых задач сближения в классе стробоскопических стратегий
title_full_unstemmed	О достаточных условиях разрешимости игровых задач сближения в классе стробоскопических стратегий
title_sort	о достаточных условиях разрешимости игровых задач сближения в классе стробоскопических стратегий
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2005
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84924
citation_txt	О достаточных условиях разрешимости игровых задач сближения в классе стробоскопических стратегий / А.А. Чикрий, И.С. Раппопорт // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2005. — № 4. — С. 49-55. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Теорія оптимальних рішень
work_keys_str_mv	AT čikriiaa odostatočnyhusloviâhrazrešimostiigrovyhzadačsbliženiâvklassestroboskopičeskihstrategii AT rappoportis odostatočnyhusloviâhrazrešimostiigrovyhzadačsbliženiâvklassestroboskopičeskihstrategii AT čikriiaa sufficientpursuitconditionsforsolvabilityofgamepursuitproblemsintheclassofstrobostrophicstrategies AT rappoportis sufficientpursuitconditionsforsolvabilityofgamepursuitproblemsintheclassofstrobostrophicstrategies
first_indexed	2025-12-02T02:49:39Z
last_indexed	2025-12-02T02:49:39Z
_version_	1850363118621818880
fulltext	Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 49 ÒÅÎÐ²ß ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ Ð²ØÅÍÜ Рассматриваются квазилинейные дифференциальные игры в классе стробоскопических стратегий сближения. Получены достаточ- ные условия разрешимости задачи сближения. Основой для исследо- вания указанной задачи является метод разрешающих функций.  А.А. Чикрий, И.С. Раппопорт, 2005 ÓÄÊ 518.9 À.À. ×ÈÊÐÈÉ, È.Ñ. ÐÀÏÏÎÏÎÐÒ Î ÄÎÑÒÀÒÎ×ÍÛÕ ÓÑËÎÂÈßÕ ÐÀÇÐÅØÈÌÎÑÒÈ ÈÃÐÎÂÛÕ ÇÀÄÀ× ÑÁËÈÆÅÍÈß Â ÊËÀÑÑÅ ÑÒÐÎÁÎÑÊÎÏÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÒÐÀÒÅÃÈÉ Введение. Рассматриваются квазилинейные конфликтно управляемые процессы сближе- ния с заданным цилиндрическим множест- вом. В отличие от [1], где сближение реали- зовано в классе квазистратегий, в данной ра- боте при тех же предположениях для дости- жения цели использован более узкий класс, а именно, стробоскопические стратегии [2]. Постановка задачи и вспомогательные утверждения. Пусть n R – вещественное n -мерное евклидово пространство. { }0: ≥=+ ttR – положительная полуось, )( n RK – совокупность непустых компактов пространства n R . Движение объекта в пространстве n R подчинено квазилинейному уравнению VvUuvuAzz ∈∈ϕ+= ,),,(& , (1) где A – постоянная квадратная матрица, функция ),( vuϕ , n RVU →×ϕ : , непрерывна по совокупности переменных, )( n RKU ∈ , )( n RKV ∈ . Терминальное множество является цилин- дрическим и имеет вид MMM += 0 * , (2) где 0M – линейное подпространство из n R , а )(LKM ∈ , L – ортогональное дополнение к 0M в n R . Цель преследователя )(u – вывести траек- торию процесса (1) на множество * M за А.А. ЧИКРИЙ, И.С. РАППОПОРТ 50 Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 кратчайшее время, цель убегающего )(v – максимально оттянуть момент попа- дания траектории на множество * M . Управляющие воздействия игроков )(τu , URu →+: , и )(τv , VRv →+: , являются измеримыми по Лебегу функциями. Обозначим VΩ – совокупность измеримых функций )(τv , VRv →+: . Аналогично определяется UΩ . Отобра- жение, действующее из n R в VΩ , назовем программной стратегией убегающе- го, а ее конкретную реализацию при заданном начальном состоянии z процесса (1) назовем программным управлением. В процессе игры (1), (2) убегающий ис- пользует программные управления Vv Ω∈⋅)( . Контруправлением преследователя, соответствующим начальному состоя- нию z , назовем функцию ( ))(,,)( ττ=τ vzuu , VRu →+: , (3) такую, что если Vv Ω∈⋅)( , то Uu Ω∈⋅)( . При этом следует отметить, что контр- управление предписывается стробоскопической стратегией [2]. В этих предположениях, приняв сторону преследователя, найдем достаточ- ные условия на параметры процесса (1), (2) для приведения траектории (1) на множество * M за некоторое гарантированное время. Приведем вспомогательные утверждения, которые понадобятся при доказа- тельстве основного результата. Лемма 1 [3, 4]. Пусть X – компакт из n R , 0>T , ),( xtf , n RXTf →×],0[: , – измеримая по t и непрерывная по x функция, а XTtx →],0[:)( – измеримая функция. Тогда суперпозиция функций ))(,()( txtftf = является измеримой функцией на интервале ],0[ T , а отображе- ние ),()( XtftF = является измеримым многозначным отображением на интер- вале ],0[ T . Лемма 2 [3, 4]. Пусть )( n RKX ∈ , многозначные отображения )(xF , )(: n RKXF → , )(xG , )(: n RKXG → , являются измеримыми, а функция ),( yxf , Xx ∈ , )(xGy ∈ , n Ryxf ∈),( , измерима по X и непрерывна по Y . То- гда многозначное отображение )(xH , )(: n RKXH → , которое задается в виде { })(),(:)()( xFyxfxGyxH ∈∈= , является измеримым. Пусть )( n RKX ∈ . Обозначим 1X – множество векторов Xx ∈ , у которых первая компонента наименьшая, а через 2X – множество векторов 1Xx∈ , у ко- торых вторая компонента наименьшая и так далее до nX . Очевидно, что множе- О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ РАЗРЕШИМОСТИ… Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 51 ство nX состоит из одной точки * x , которую называют лексикографическим минимумом компакта X и обозначают Xx minlex* = . Лемма 3 [2, 5]. Пусть )( n RKX ∈ , )(xF , )(: n RKXF → - измеримое ото- бражение. Тогда селектор )(minlex)( xFxf = , Xx ∈ , является измеримым. Схема метода и основной результат. Обозначим π – ортопроектор, дейст- вующий из n R в L , At e – фундаментальная матрица однородной системы Azz =& , а { }VuvuvU ∈ϕ=ϕ :),(),( . Рассмотрим многозначные отображения ),(),( vUevtW Atϕπ= , I Vv vtWtW ∈ = ),()( . Условие Понтрягина. Отображение ∅≠)(tW для +∈ Rt . Так как в силу предположений о параметрах процесса (1) многозначное отображение ),( vtW непрерывно на множестве VR ×+ , то при выполнении ус- ловия Понтрягина )(tW полунепрерывно сверху и, следовательно, измеримо [3, 4]. На основании леммы 3 можно заключить, что существует по крайней мере один измеримый селектор )(tγ , )()( tWt ∈γ , +∈ Rt , который к тому же является суммируемой на любом конечном интервале функцией. Множество таких селек- торов обозначим Γ , зафиксировав один из них, положим ττγ+π=⋅γξ ∫ dezt t At )())(,,( 0 и определим функцию }))](,,([)](),([:sup{),,( ∅≠⋅γξ−ατ−γ−τ−∈α=τα + ztMtvtWRvt I (4) для t≤τ≤0 , n Rz ∈ , Vv ∈ , Γ∈⋅γ )( . Отметим, что при Mzt ∈⋅γξ ))(,,( функция +∞=τα ),,( vt для всех ],0[ t∈τ , Vv ∈ . Если Mzt ∉⋅γξ ))(,,( , то функция ),,( vt τα принимает конечные значения и равномерно по ],0[ t∈τ , Vv ∈ ограничена. Лемма 4. Пусть для конфликтно управляемого процесса (1), (2) выполнено условие Понтрягина и для некоторых 0>T , n Rz ∈ и Γ∈⋅γ )( , MzT ∈⋅γξ ))(,,( . Тогда для любой измеримой функции )(τv , VTv →],0[: , суперпозиция )())(,,( τα=ττα vT является измеримой функцией по τ . Доказательство. Пусть Vv Ω∈⋅)( и MzT ∈⋅γξ ))(,,( . Рассмотрим многозначное отображение }))](,,([)]())(,([:{))(,( ∅≠⋅γξ−ατ−γ−ττ−∈α=ττΑ + zTMTvTWRv I . А.А. ЧИКРИЙ, И.С. РАППОПОРТ 52 Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 Это отображение будет измеримо по τ , поскольку на основании леммы 1 ото- бражение )())(,( τ−γ−ττ− TvTW является измеримым по τ . Измеримость функции ))(,,()( ττα=τα vT по τ непосредственно следует из представления ))(,(()( ττΑ=τα vC , 1), где ),( pXC – опорная функция множества X в направлении p [6]. Лемма 5. Пусть выполнены условия леммы 4. Тогда функция ),,(inf vT Vv τα ∈ является измеримой функцией по τ , ],0[ T∈τ . Введем отображение для n Rz ∈ , Γ∈⋅γ )(         ≥ττα∈=⋅γ ∫ ∈ + t Vv dvtRtzT 0 1),,(inf:))(,( . (5) Если при некотором +∈ Rt интеграл в соотношении (5) принимает значение ∞+ , то неравенство выполнено автоматически. Если же неравенство в (5) не имеет места ни при каком t , то положим ∅=⋅γ ))(,(zT . Сформулируем основной результат. Теорема. Пусть для конфликтно управляемого процесса (1), (2) выполнено условие Понтрягина, множество M – выпукло, для некоторого n Rz ∈ и Γ∈⋅γ )( множество ∅≠⋅γ ))(,(zT , ))(,( ⋅γ∈ zTT и +∞<T . Тогда траектория процесса (1) может быть приведена из начального состоя- ния z на терминальное множество (2) в момент T с помощью контруправления вида (3). Доказательство. Пусть )(τv , VTv →],0[: – произвольная измеримая функция. Рассмотрим случай MzT ∈⋅γξ ))(,,( . Тогда справедливо соотношение 0)],()))(,,(,([max ,1\|\|\|\| >−⋅γξ ∈= pMCzTp Lpp . (6) Введем функцию ∫ ττα−= ∈ t Vv dvTth 0 ),,(inf1)( . Функция )(th непрерывна, не возрастает и 1)0( =h . Из определения момента T следует, что существует такое t , Tt ≤< 0 , что ∫ =ττα−= ∈ * 0 * 0),,(inf1)( t Vv dvTth . (7) О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ РАЗРЕШИМОСТИ… Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 53 Положим      ≤τ≤ <τ<τα =τα ∈ .,0 0),,,(inf ),( * * Tt tvT T Vv Рассмотрим многозначное отображение ∈τ−γ−τϕπ∈=τ τ− )())(,(:{)( )( TvueUuU TA ))]}(,,()[,( ⋅γξ−τα zTMT , ],0[ T∈τ .(8) В силу лемм 1, 2, 4 и 5 отображение )(τU будет измеримым по τ компактно- значным отображением. Поэтому на основании леммы 3 селектор )(minlex)( τ=τ Uu (9) является измеримой функцией, которую будем использовать в качестве управ- ления на всем промежутке времени от 0 до T . Покажем, что при этом траектория процесса (1) в момент T попадет на множество * M при любых управлениях убегающего. Из формулы Коши для процесса (1) следует представление ∫ τττϕπ+π=π τ− T TAAT dvuezeTz 0 )( ))(),(()( . (10) Прибавим и вычтем из правой части соотношения (10) вектор ∫ ττ−γ T dT 0 )( . Тогда получаем [ ] ττ−γ−ττϕπ+⋅γξ=π ∫ τ− dTvuezTTz T TA 0 )( )())(),(())(,,()( . (11) Из закона выбора управления преследователем (8), (9) следует справедливость включения ))](,,([),()())(),(()( ⋅γξ−τα∈τ−γ−ττϕπ τ− zTMTTvue TA . Проинтегрируем его от 0 до T . Тогда получаем [ ]∫ ∫ τ⋅γξ−τα∈ττ−γ−ττϕπ τ− T T TA dzTMTdTvue 0 0 )( ))](,,([),()())(),(( . В силу выпуклости множества M последнее эквивалентно неравенству при лю- бом Lp ∈ [ ] ≤         ττ−γ−ττϕπ∫ τ− dTvuep T TA 0 )( )(())(),((, А.А. ЧИКРИЙ, И.С. РАППОПОРТ 54 Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 )))](,,(,(),([),( 0 ⋅γξ−ττα≤ ∫ zTppMCdT T . (12) Проведя несложные вычисления, с учетом соотношений (11) и (12), получаем при любом Lp ∈ [ ]         ττα−−⋅γξ≤−π ∫ ∈= dTpMCzTppMCTzp t Lpp ),(1),()))(,,(,(max),())(,( * 0 ,1 . Тогда, учитывая соотношения (6) и (7), имеем при любом Lp ∈ 0),())(,( ≤−π pMCTzp . Следовательно, MTz ∈π )( и, поэтому *)( MTz ∈ . Этим завершается доказатель- ство в случае, когда MzT ∈⋅γξ ))(,,( . Пусть теперь MzT ∈⋅γξ ))(,,( . Рассмотрим многозначное отображение { }0)())(,(:)( )( 0 =τ−γ−τϕπ∈=τ τ− TvueUuU TA , ],0[ T∈τ . В силу лемм 1 и 2 отображение )(0 τU будет измеримым по τ , компактно- значным отображением. Поэтому на основании леммы 3 селектор )(lexmin)( 0 τ=τ Uu является измеримой функцией, которую будем использовать в качестве управ- ления преследователя на всем промежутке времени от 0 до T . Тогда из представления (11) получаем включение MTz ∈π )( , а следова- тельно MTz ∈)( . Теорема доказана. А.О. Чикрій, Й.С. Раппопорт ПРО ДОСТАТНІ УМОВИ РОЗВ’ЯЗНОСТІ ІГРОВИХ ЗАДАЧ ЗБЛИЖЕННЯ У КЛАСІ СТРОБОСКОПІЧНИХ СТРАТЕГІЙ Розглядаються квазілінійні диференціальні ігри в класі стробоскопічних стратегій зближення. Отримано достатні умови розв’язності задачі зближення. Основою для дослідження зазначе- ної задачі є метод розв’язувальних функцій. О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ РАЗРЕШИМОСТИ… Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 55 A.A. Chikrii, I.S. Rappoport SUFFICIENT PURSUIT CONDITIONS FOR SOLVABILITY OF GAME PURSUIT PROBLEMS IN THE CLASS OF STROBOSTROPHIC STRATEGIES In this paper the quasilinear differential games of pursuit are treated in the class of strobostrophic strategies. Sufficient conditions for solvability of pursuit problem are obtained. This research is based on the method of resolving functions. 1. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. – К.: Наук. думка, 1992. – 384 с. 2. Никольский М.С. Первый прямой метод Л.С. Понтрягина в дифференциальных играх. – М.: Изд-во МГУ, 1984. – 65 с. 3. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. – М.: Наука, 1979. – 479с. 4. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН. – 1985. – 169. – С. 194–251. 5. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. – М.: Высшая школа, 2001. – 239 с. 6. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. – М.: Мир, 1973. – 472 с. Получено 28.02.2005

О достаточных условиях разрешимости игровых задач сближения в классе стробоскопических стратегий

Репозитарії

Схожі ресурси