О некоторых задачах проектирования криволинейного профиля и алгоритмах их решения
Statement of a general problem of optimal correction of a curvilinear profile of a lengthy object and statements of partial problems following from the general one are presented. Special attention is paid to specificity and distinction between such and problems of correction of usual (piece-wise) pr...
Saved in:
| Published in: | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Date: | 2005 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2005
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84929 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О некоторых задачах проектирования криволинейного профиля и алгоритмах их решения / В.И. Билецкий // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2005. — № 4. — С. 87-92. — Бібліогр.: 2назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859920319422136320 |
|---|---|
| author | Билецкий, В.И. |
| author_facet | Билецкий, В.И. |
| citation_txt | О некоторых задачах проектирования криволинейного профиля и алгоритмах их решения / В.И. Билецкий // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2005. — № 4. — С. 87-92. — Бібліогр.: 2назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | Statement of a general problem of optimal correction of a curvilinear profile of a lengthy object and statements of partial problems following from the general one are presented. Special attention is paid to specificity and distinction between such and problems of correction of usual (piece-wise) profile. Schemes of algorithms used to solve the general and partial problems of correction of curvilinear profile parameters are described.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:07:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 87
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Приводятся постановка общей
задачи оптимального корректи-
рования криволинейного профиля
протяженного объекта, а также
постановки частных задач, вы-
текающих из общей. Рассматри-
ваются специфика и отличие
этих задач от задач корректиро-
вания параметров обычного (ку-
сочно-линейного) профиля. Опсы-
ваются схемы алгоритмов реше-
ния общей и частных задач кор-
ректирования параметров криво-
линейного профиля.
В.И. Билецкий, 2005
ÓÄÊ 519.8
Â.È. ÁÈËÅÖÊÈÉ
Î ÍÅÊÎÒÎÐÛÕ ÇÀÄÀ×ÀÕ
ÏÐÎÅÊÒÈÐÎÂÀÍÈß
ÊÐÈÂÎËÈÍÅÉÍÎÃÎ ÏÐÎÔÈËß È
ÀËÃÎÐÈÒÌÀÕ ÈÕ ÐÅØÅÍÈß
Криволинейный профиль отличается от
обычного (кусочно-линейного) тем, что в
точке перелома профиля (вершине угла по-
ворота) соответствующим радиусом вписы-
вается вертикальная круговая кривая. Таким
образом, криволинейный профиль − это по-
следовательность соединенных прямолиней-
ных и криволинейных участков (например,
автомобильные дороги, нефтепроводы и
т.п.).
Общая схема решения задачи оптимально-
го проектирования криволинейного про-
дольного профиля сводится к следующему.
На первом этапе решается задача нахожде-
ния оптимального варианта обычного про-
филя, на втором этапе − задача вписывания
вертикальных круговых кривых с радиусами,
удовлетворяющими ограничениям, выте-
кающим из строительных норм и правил
(СНиП), и минизирующими функционал
строительных расходов.
При наличии начального варианта на раз-
ных стадиях процесса “проектирование-
строительство” часто возникают различные
задачи оптимального корректирования пара-
метров криволинейного профиля.
Начальным может быть вариант, получен-
ный на первом этапе проектирования криво-
линейного профиля, вариант заданный опыт-
ным проектировщиком, а также объект с
криволинейным профилем, требующий ре-
конструкции.
В.И. БИЛЕЦКИЙ
88 Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4
Основной информацией для решения оптимизационных задач корректиро-
вания параметров криволинейного профиля являются координаты вершин углов
поворотов и радиусы круговых кривых, вписанных в углы поворотов.
Известные алгоритмы последовательного анализа вариантов [1] решения
задач оптимального корректирования основных параметров обычного продоль-
ного профиля железных дорог [2] без особых усилий могут быть применимы
для решения оптимизационных задач корректирования параметров криволиней-
ного профиля.
Общая постановка задачи корректирования криволинейного профиля отли-
чается от общей постановки задачи корректирования параметров обычного (ку-
сочно-линейного) профиля введением дополнительных переменных
R r k Nk= = −{ }, ,...,1 1 − радиусов вертикальных круговых кривых и сводится
к следующему.
Пусть на участке с координатами начала ( , )x y0 0 и конца ( , )x yN N задан
криволинейный профиль координатами вершин углов поворотов ( , )x yk k и ра-
диусами вертикальных круговых кривых { }, ,...,r k Nk = −1 1 .
Требуется найти такие
{ } { } { } ,1,...,1,,, **
−====
∗∗∗∗
NkrRyYxX kkk (1)
которые бы удовлетворяли некоторой заданной системе ограничений
PpBRYXqp ,...,1,0),,,( =≤
∗∗∗ (2)
и минимизировали функционал строительных расходов
,),,(min),,(
,,
RYXFRYXF
RYX
=
∗∗∗ (3)
где B − вектор нормативных коэффициентов, вытекающий из СНиП; P − коли-
чество ограничений.
Наличие неизвестных параметров { } , ,..., ,r k Nk = −1 1 на которые по усло-
виям СНиП накладываются двухсторонние ограничения, в отличие от задачи
корректирования параметров обычного профиля [2], значительно усложняет
нахождение общего решения задачи (1) - (3). При решении задачи (1) - (3) опти-
мальный вариант обычного продольного профиля используется в качестве про-
межуточного решения.
Частные задачи, вытекающие из задачи (1) - (3) и имеющие важное само-
стоятельное практическое применение:
1) задача выбора оптимального положения проектной линии с заданными
(оптимальными) радиусами вертикальных круговых кривых;
2) при неизменном положении проектной линии задача выбора оптималь-
ных радиусов вертикальных круговых кривых.
Математические постановки этих задач вытекают из (1) - (3) и сводятся к
следующему.
О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО ПРОФИЛЯ ...
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 89
Постановка задачи 1. Пусть ( )X Y
0 0, − заданные координаты вершин ук-
лов поворотов, { }R r k Nk
0 0 1 1= = −, , ..., − радиусы вертикальных круговых кри-
вых, вписанных в соответствующие углы поворотов. Требуется при соблюдении
условия (2) и R R
∗
=
0 найти такие X
∗ и Y
∗ , для которых
F X Y R F X Y R
X Y
( , , ) min ( , , )
,
∗ ∗ ∗ ∗
= . (4)
Постановка задачи 2. При заданных X X
∗
=
0 и Y Y
∗
=
0 требуется найти
R
∗ , удовлетворяющие условию (2) и такие, для которых
F X Y R F X Y R
R
( , , ) min ( , , )∗ ∗ ∗ ∗ ∗
= . (5)
По сравнению с задачей (1), (2), (4) задача (1), (2), (5) как в алгоритмиче-
ском плане, так и в вычислительном является более сложной, так как при ее
решении необходимо соблюсти некоторые условия, касающиеся расположения
соседних криволинейных участков профиля.
Исходной информацией для решения задачи (1), (2), (4) или (1), (2), (5) яв-
ляются радиусы вертикальных кривых и последовательность координат вершин
углов поворота или координаты начала и конца прямолинейных участков про-
филя. Ясно, что координаты конца прямолинейного участка профиля являются
координатами начала вертикальной кривой, а координаты начала следующего
прямолинейного участка − координатами конца вертикальной кривой. В отдель-
ных случаях между двумя соседними криволинейными участками профиля пря-
молинейный участок может отсутствовать. Тогда (в таком случае) условно при-
нимается, что между двумя соседними криволинейными участками имеется
прямолинейный участок, длина которого равна нулю.
Опишем схемы алгоритмов решения задач (последовательность выполнения
определенных шагов).
А.Схема решения задачи (2), (4).
1. Если криволинейный профиль задан последовательностью координат
вершин углов поворотов, то переходим к шагу 2. Если − нет, то переводим кри-
волинейный профиль в кусочно-линейный следующим образом. Для круговой
вертикальной кривой с радиусом r k Nk , ,...,= −1 1 и координатами начала и
конца кривой ( ) ( )x y x yk
H
k
H
k
K
k
K, , , вычисляем координаты вершины угла поворо-
та по формулам
x
i x y i x y
i i
k
k
H
k
H
k
K
k
K
=
− − −
−
1 2
1 2
( )
,
y y i x xk k
H
k k
H
= + −1( ), (6)
В.И. БИЛЕЦКИЙ
90 Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4
где i1 − уклон прямолинейного отрезка, примыкающего к вертикальной кривой
в точке с абсциссой xk
H ; i2 − уклон отрезка, примыкающего к вертикальной
кривой в точке с абсциссой xk
K .
2. Решаем задачу оптимального корректирования обычного профиля по па-
раметрам “Y” или “X,Y” [2].
3. Вычисляем уклоны элементов кусочно-линейного профиля.
4. Для всех точек перелома профиля ( )x y k Nk k, , ,...,= −1 1 по заданным
радиусам rk вычисляем координаты начала ( )x yk
H
k
H, и конца ( )x yk
K
k
K, круго-
вой кривой, вписанной в угол поворота профиля по формулам
x x T ik
H
k k= − cos ,1
y y T ik
H
k k= − sin ,1
x x T ik
K
k k= + cos ,2
y y T ik
K
k k= + sin ,2 (7)
где T r
i i
k k=
−
tg 1 2
2
− длина отрезка [ ]( , ) , ( , )x y x yk
H
k
H
k k (или, что то же самое −
[ ]( , ) , ( , )x y x yk k k
K
k
K ). Формулы (7) легко получаются из соотношений в пря-
моугольном треугольнике.
5. Вычисляем объемы земляных работ и стоимость сооружения земляного
полотна.
Б. Схема решения задачи (2), (5).
1. Выполняем шаг 1 из п.А.
2. Исходя из условий СНиП, задаем область варьирования [ ]R R
k k
min max, па-
раметра r k Nk , , ...,= −1 1.
3. Определяем шаг варьирования параметра rk по формуле
( )∆R R R Mk
k k
= −max min / , где M − число разбиений отрезка [ ]R R
k k
min max, .
4. Для первой вершины угла поворота профиля (k = 1) и всех
R R j R j Mj
k k
k= + − = +min ( ) , ,...,1 1 1∆ (8)
вычисляем координаты начала и конца вертикальных круговых кривых по фор-
мулам
x x T ij k
H
k j
k
( ) cos ,= − 1
y y T ij k
H
k j
k
( ) sin ,= − 1
x x T ij k
K
k j
k
( ) cos ,= + 2
О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО ПРОФИЛЯ ...
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 91
y y T ij k
K
k j
k
( ) sin ,= + 2 (9)
где T R
i i
j
k
j
k
=
−
tg 1 2
2
. Пусть D j
k
− вертикальная круговая кривая с координатами
начала и конца ( , ) , ( , ) , ,...,( ) ( ) ( ) ( )x y x y j Mj k
H
j k
H
j k
K
j k
K
= +1 1 .
5. Для каждой кривой D j Mj
k , ,...,= +1 1 по формуле
F F F Dj k
K
j k
H
j
k
( ) ( ) ( )= + (10)
вычисляем значения оптимизирующего функционала (объемы земляных работ,
их стоимости) и запоминаем их вместе с координатами (9), где Fj k
H
( ) − значение
функционала на прямолинейном участке профиля с абсциссами x0 и x j k
H
( ) ;
F D j
k( ) − значение функционала на кривой D j
k .
6. Для всех последующих вершин углов поворотов k N= −2 1,..., последо-
вательно для каждого j M= +1 1,..., вычисляем R j
k (см. (8)), координаты кри-
вой D j
k (см. (9)), а также значение функционала Fj k
K
( ) (см. (10)). Среди всех
вариантов в точке с абсциссой x j k
K
( ) выбираем один (лучший), используя ре-
куррентное соотношение
F F F F D i Mj k
K
i
i k
K
j k
H
j
k
( ) ( ) ( )min ( ) , ,..., ,= + + = +−1 1 1 (11)
где Fi k
K
( )−1 − суммарное значение функционала варианта профиля до точки с
абсциссой xi k
K
( )−1 − конца кривой Di
k −1 ; Fj k
H
( ) − значение функционала на
прямолинейном участке профиля с абсциссами xi k
K
( )−1 и x j k
H
( ) ; F Dj
k( ) − значе-
ние функционала на круговой кривой Dj
k , и, если выполняется условие
x xi k
K
j k
H
( ) ( ) ,− ≤1 запоминаем для дальнейшего анализа и отбора вариантов абс-
циссу x j k
K
( ) , значение функционала Fj k
K
( ) , пару номеров ( , )i j .
7. На последнем шаге k = N оптимальный вариант выбираем из соотноше-
ния
F F F i MN
i
i N
K
i N
∗
−= + = +min , ,..,( ) ( )1 1 1 , (12)
где Fi N
K
( )−1 − суммарное значение функционала варианта профиля до точки с
абсциссой xi N
K
( )−1 ; Fi N( ) − значение функционала на прямолинейном участке
профиля с абсциссами x xi N
K
N( ) ,−1 .
В.И. БИЛЕЦКИЙ
92 Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4
В. Схема решения общей задачи (1) - (3).
1.Выполняем шаги 1 и 2 из п.А.
2.Выполняем шаги 2 - 7 из п.Б.
В настоящее время осуществляется программная реализация алгоритмов
решения вышеописанных задач.
В.І. Білецький
ПРО ДЕЯКІ ЗАДАЧІ ПРОЕКТУВАННЯ КРИВОЛІНІЙНОГО ПРОФІЛЮ ТА АЛГОРИТМИ
ЇХ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ
Наводиться постановка загальної задачі оптимального коректування криволінійного профілю
протяжного об’єкта, а також постановки часткових задач. що випливають із загальної.
Звертається увага на специфіку та відмінність таких задач від задач коректування параметрів
звичайного (кусково-лінійного) профілю. Описуються схеми алгоритмів розв’язування
загальної та часткових задач коректування параметрів криволінійного профілю.
V.I. Biletsky
SOME CURVILINEAR PROFILE DESIGN Problems AND ALGORITHMS USED TO SOLVE
THEM
Statement of a general problem of optimal correction of a curvilinear profile of a lengthy object and
statements of partial problems following from the general one are presented. Special attention is
paid to specificity and distinction between such and problems of correction of usual (piece-wise)
profile. Schemes of algorithms used to solve the general and partial problems of correction of curvi-
linear profile parameters are described.
1. Вычислительные методы выбора оптимальных проектных решений / В.С. Михале-
вич, Н.З.Шор, Л.А.Галустова и др. − Киев: Наук. думка, 1977. − 178 с.
2. О комплексе задач оптимизации проектных решений по профилю сложных участ-
ков дорог (на примере БАМ) / В.С. Михалевич, В.И. Билецкий, Р.В. Зайцев и др. −
Киев, 1980. − 46 с. − (Препр./ ИК АН УССР, Ин-т кибернетики; 80 − 29).
Получено 28.02.2005
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84929 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:07:21Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Билецкий, В.И. 2015-07-17T05:51:46Z 2015-07-17T05:51:46Z 2005 О некоторых задачах проектирования криволинейного профиля и алгоритмах их решения / В.И. Билецкий // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2005. — № 4. — С. 87-92. — Бібліогр.: 2назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84929 519.8 Statement of a general problem of optimal correction of a curvilinear profile of a lengthy object and statements of partial problems following from the general one are presented. Special attention is paid to specificity and distinction between such and problems of correction of usual (piece-wise) profile. Schemes of algorithms used to solve the general and partial problems of correction of curvilinear profile parameters are described. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень О некоторых задачах проектирования криволинейного профиля и алгоритмах их решения Some curvilinear profile design problems and algorithms used to solve them Article published earlier |
| spellingShingle | О некоторых задачах проектирования криволинейного профиля и алгоритмах их решения Билецкий, В.И. |
| title | О некоторых задачах проектирования криволинейного профиля и алгоритмах их решения |
| title_alt | Some curvilinear profile design problems and algorithms used to solve them |
| title_full | О некоторых задачах проектирования криволинейного профиля и алгоритмах их решения |
| title_fullStr | О некоторых задачах проектирования криволинейного профиля и алгоритмах их решения |
| title_full_unstemmed | О некоторых задачах проектирования криволинейного профиля и алгоритмах их решения |
| title_short | О некоторых задачах проектирования криволинейного профиля и алгоритмах их решения |
| title_sort | о некоторых задачах проектирования криволинейного профиля и алгоритмах их решения |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84929 |
| work_keys_str_mv | AT bileckiivi onekotoryhzadačahproektirovaniâkrivolineinogoprofilâialgoritmahihrešeniâ AT bileckiivi somecurvilinearprofiledesignproblemsandalgorithmsusedtosolvethem |