О вычислении градиента в задаче синтеза оптических покрытий
The paper considers the methods for calculation of a gradient of complex multiextreme function related to a problem of synthesis of multilayer optical coatings. Drawbacks and advantages of the finite-difference approximation method and the analytical method of finding of a gradient are analized.
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Дата: | 2005 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2005
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84935 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О вычислении градиента в задаче синтеза оптических покрытий / П.И. Стецюк, А.В. Мица // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2005. — № 4. — С. 127-133. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860191639100719104 |
|---|---|
| author | Стецюк, П.И. Мица, А.В. |
| author_facet | Стецюк, П.И. Мица, А.В. |
| citation_txt | О вычислении градиента в задаче синтеза оптических покрытий / П.И. Стецюк, А.В. Мица // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2005. — № 4. — С. 127-133. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | The paper considers the methods for calculation of a gradient of complex multiextreme function related to a problem of synthesis of multilayer optical coatings. Drawbacks and advantages of the finite-difference approximation method and the analytical method of finding of a gradient are analized.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:06:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 127
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Рассмотрены способы вычисления
градиента сложной многоэкс-
тремальной функции, связанной с
задачей синтеза многослойных
оптических покрытий. Анализи-
руются недостатки и преимуще-
ства конечно-разностного и ана-
литического способов нахожде-
ния градиента.
П.И. Стецюк, А.В. Мица, 2005
ÓÄÊ 519.87; 535:345.67
Ï.È. ÑÒÅÖÞÊ, À.Â. ÌÈÖÀ
Î ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÈ ÃÐÀÄÈÅÍÒÀ
 ÇÀÄÀ×Å ÑÈÍÒÅÇÀ
ÎÏÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÏÎÊÐÛÒÈÉ∗∗∗∗
Проблема синтеза (конструирования) – одна
из наиболее труднорешаемых в области тео-
рии интерференционных покрытий [1,2].
Конструирование интерференционных по-
крытий с практической точки зрения пред-
ставляет большой интерес, так как позволяет
определить оптимальные показатели пре-
ломления и толщины слоев интерференци-
онных покрытий, обеспечивающих наилуч-
шее приближение к заданным оптическим
свойствам, например, требуемому в необхо-
димой области спектра распределению ко-
эффициентов пропускания (отражения) оп-
тического элемента.
Для практики значительный интерес пред-
ставляют компьютерные (численные) спосо-
бы синтеза тонкослойных покрытий [1–3],
основанные на варьировании толщин слоев
покрытия для обеспечения минимума неко-
торой функции качества оптического покры-
тия. Если одновременно с толщинами опти-
мизируются показатели преломления слоев,
то их значения подчиняют дополнительному
условию, ограниченному областью реально
существующих показателей преломления.
Основное преимущество компьютерных ме-
тодов – универсальность. Они не требуют
решения сложных нелинейных уравнений, с
которыми неизбежно сопряжена аналитиче-
ская теория синтеза [1]. Компьютерные ме-
тоды синтеза позволяют решать задачу при-
∗
Работа выполнена в рамках гранта Президента
Украины для одаренной молодежи №19 (распо-
ряжение Президента Украины от 12.01.2004 г.
№6/2004-рп).
П.И. СТЕЦЮК, А.В. МИЦА
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 128
менительно к широкому диапазону оптических характеристик покрытий, на-
пример, для коэффициента отражения R или коэффициента пропускания T ,
угловых зависимостей R и T , при наличии поглощения и дисперсии оптиче-
ских констант слоев.
Основной недостаток компьютерных методов синтеза интерференционных
покрытий – как правило, они ориентированы на решение многоэкстремальных
оптимизационных задач. В силу этого компьютерные методы часто требуют
больших затрат машинного времени, чтобы гарантировать нахождение удовле-
творительного решения задачи синтеза интерференционного покрытия. Кроме
того, еще большие затраты требуются для вывода об отсутствии решения в рас-
сматриваемом классе покрытий. В силу этого при решении конкретной задачи
синтеза актуальной есть проблема выбора наиболее эффективного метода и оце-
ночной функции [2,3].
Пусть некоторая задача синтеза интерференционного покрытия связана с
оптимизацией непрерывной многоэкстремальной функции ),( dnF
rr
, где n
r
и d
r
– соответственно векторы неизвестных коэффициентов преломления и геомет-
рических толщин однородных слоев. Для нахождения локальных экстремумов
),( dnF
rr
можно применять методы нулевого порядка (используют только значе-
ние оптимизируемой функции в точке), либо методы первого порядка (исполь-
зуют значение функции и значение ее градиента, когда оптимизируемая функ-
ция гладкая, или значение обобщенного градиента, когда оптимизируемая
функция негладкая). Применение этих методов подразумевает наличие некото-
рой процедуры (оракула), которая обеспечивает достаточно эффективное вы-
числение значения функции ),( dnF
rr
в некоторой заданной точке (при исполь-
зовании методов нулевого порядка), либо значения функции ),( dnF
rr
и ее
(обобщенного) градиента в заданной точке (при использовании методов первого
порядка).
При решении проблемы выбора наиболее эффективного метода решения за-
дачи синтеза оптического покрытия всегда актуальным есть вопрос построения
"оптимального" оракула как для методов нулевого порядка, так и для методов
первого порядка. Цель работы – рассмотрение способов вычисления значения
функции и ее градиента для конкретного вида функции ),( dnF
rr
, которая связа-
на с нахождением оптимальных параметров плоских многослойных оптических
покрытий [2,3].
Пусть многослойное оптическое покрытие (МОП) состоит из N плоских
однородных слоев и характеризуется показателем преломления внешней среды
0n и показателем преломления подкладки sn . Каждый k -й слой ( Ni ,...,2,1= )
характеризуется своим значением коэффициента преломления kn и геометриче-
О ВЫЧИСЛЕНИИ ГРАДИЕНТА В ЗАДАЧЕ СИНТЕЗА ОПТИЧЕСКИХ ПОКРЫТИЙ
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 129
ской толщины kd . Следовательно, векторы коэффициентов преломления и гео-
метрических толщин будут следующими:
T
Nnnn ),...,( 1=
r
,
T
Nddd ),...,( 1=
r
.
Пусть электромагнитная волна длиной λ падает под углом θ к нормали по-
верхности МОП и ее энергия не теряется при прохождении через МОП. Пусть
задан дискретный спектр длин волн jλ , Lj ,...,1= , и соответствующие им ко-
эффициенты пропускания излучения θ
jT , Lj ,...,1= , которые требуется обеспе-
чить на выходе из МОП.
Задача нахождения оптимальных параметров *
n
r
и
*
d
r
, которые для задан-
ного спектра длин волн позволяют обеспечить наилучшие (по критерию средне-
квадратичного отклонения) коэффициенты пропускания оптического элемента,
связана с нахождением глобального минимума функции
( ) ( )( ) ( )∑∑
=
θ
=
θ −=θλ−=
L
i
jj
L
j
jj TTdnTTdnF
1
2
1
2
,,,,
rrrr
. (1)
Здесь коэффициент пропускания ( )θλ= ,,, jj dnTT
rr
рассчитывается по следую-
щей формуле:
2
21
0
2
120
2
22
0
2
11
0 1
2
4
m
nn
mnnm
n
n
m
n
n
T
s
s
s
s
j
++++
= , (2)
где 0n и sn – показатели преломления внешней среды и подкладки соответст-
венно; 11m , 12m , 21m , 22m – коэффициенты характеристической ( )22× -
матрицы ( )θλ= ,,, jj dnMM
rr
, которая вычисляется по следующему правилу:
∏
=
λ
θπ
λ
θπ
−
λ
θπ
−
λ
θπ
=
N
k
j
kk
j
kk
k
j
kk
kj
kk
dndn
n
dn
n
dn
mm
mm
12221
1211
cos2
cos
cos2
sin
cos2
sin
cos2
cos
i
i
i
i
, (3)
где i – "мнимая" (комплексная) единица.
Для удобства дальнейших изложений будем использовать обозначение
θπ
λ
=Λ
cos2
j
j . Тогда характеристическая матрица для МОП может быть пере-
писана в виде
( ) ( ) ∏∏
==
=Λ=Λ=
N
k
k
j
N
k
jkkjj MdnMdnMM
11
,,,,
rr
, (4)
П.И. СТЕЦЮК, А.В. МИЦА
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 130
где ( )
jkk
k
j dnMM Λ= ,, – характеристическая ( )22× -матрица k -го слоя
( Nk ,...,1= ) и имеет следующий вид:
j
kk
j
kk
k
j
kk
kj
kk
jkk
k
j dndn
n
dn
n
dn
dnMM
ΛΛ
−
Λ
−
Λ
=Λ=
cossin
sincos
),,(
i
i
. (4)
Функция ),( dnF
rr
имеет достаточно сложный вид, и при построении "опти-
мальных" оракулов требуется обеспечить экономное по числу операций вычис-
ление в заданной точке как значения самой функции ),( dnF
rr
, так и ее градиента
),( dnF
rr
∇ . Очевидно, что непосредственное вычисление значения функции
),( dnF
rr
в заданной точке по формулам (1) – (4) будет "оптимальным" оракулом
для методов нулевого порядка. На основе этого оракула можно построить ора-
кул и для методов первого порядка, основываясь на конечно-разностном спосо-
бе вычисления градиента ),( dnF
rr
∇ . Такой подход используется при решении
задач синтеза МОП с помощью различного рода методов первого порядка в [3,4]
(в основном методов квазиньютоновского типа). Однако такой конечно-
разностный способ имеет ряд недостатков. Во-первых, разномасштабность па-
раметров n
r
и d
r
требует достаточно аккуратного обращения с малыми величи-
нами конечных приращений n∆ и d∆ при построении правил остановки итера-
ционных процессов первого порядка. В реальных задачах коэффициенты пре-
ломления составляют несколько единиц, а геометрические толщины – порядка
нескольких сотен нанометров (
910−
м.). Во-вторых, точность нахождения ло-
кального экстремума существенно зависит от используемых значений n∆ и d∆ .
Это не даст возможности найти оптимальные параметры
*
n
r
и
*
d
r
с точностью,
близкой к точности вычисления градиентов в точках. Попытка осуществить та-
кой расчет будет характеризоваться расходимостью градиентного процесса в
окрестности локального экстремума. Это связано с выбором неправильных на-
правлений движения для градиентного процесса из-за достаточно "грубого" вы-
числения градиента ),( dnF
rr
∇ .
В-третьих, что самое главное, конечно-разностный способ не будет гаранти-
ровать "оптимального" оракула для методов первого порядка. Поэтому для ме-
тодов первого порядка оракул естественно строить таким образом, чтобы парал-
лельно с вычислением значения функции ),( dnF
rr
в заданной точке вычислялся
и ее градиент ),( dnF
rr
∇ . Для этой цели подходящим будет аналитический спо-
О ВЫЧИСЛЕНИИ ГРАДИЕНТА В ЗАДАЧЕ СИНТЕЗА ОПТИЧЕСКИХ ПОКРЫТИЙ
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 131
соб вычисления градиента ),( dnF
rr
∇ . На его основе можно построить "опти-
мальный" по количеству операций оракул для методов первого порядка.
Аналитический способ вычисления градиента ),( dnF
rr
∇ состоит в следую-
щем. Непосредственное дифференцирование функции ),( dnF
rr
дает такие фор-
мулы для вычисления компонент градиента ),( dnF
rr
∇ :
( )∑
=
θ
∂
∂
−=
∂
∂ L
j i
j
jj
i n
T
TT
n
F
1
2 , Ni ,...,1= , (5)
( )∑
=
θ
∂
∂
−=
∂
∂ L
j i
j
jj
i d
T
TT
d
F
1
2 , Ni ,...,1= . (6)
Следовательно, для аналитического вычисления ),( dnF
rr
∇ достаточно для
всех Ni ,...,1= уметь находить аналитические выражения для производных
i
j
n
T
∂
∂
и
i
j
d
T
∂
∂
при фиксированном значении jΛ . Используя формулу (2) эти про-
изводные легко найти для каждого i ( Ni ,...,1= ) по следующему правилу:
2
2
21
0
2
120
2
22
0
2
11
0
21
21
0
12
120
22
22
0
11
11
0
1
2
1
8
++++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
m
nn
mnnm
n
n
m
n
n
n
m
m
nnn
m
mnn
n
m
m
n
n
n
m
m
n
n
n
T
s
s
s
s
isi
s
i
s
is
i
j
, (7)
2
2
21
0
2
120
2
22
0
2
11
0
21
21
0
12
120
22
22
0
11
11
0
1
2
1
8
++++
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
m
nn
mnnm
n
n
m
n
n
d
m
m
nnd
m
mnn
d
m
m
n
n
d
m
m
n
n
d
T
s
s
s
s
isi
s
i
s
is
i
j
, (8)
где
in
m
∂
∂ 11 ,
in
m
∂
∂ 12 ,
in
m
∂
∂ 21 ,
in
m
∂
∂ 22 ,
id
m
∂
∂ 11 ,
id
m
∂
∂ 12 ,
id
m
∂
∂ 21 ,
id
m
∂
∂ 22 – коэффициенты
следующих ( )22× -матриц:
ii
ii
i
j
n
m
n
m
n
m
n
m
n
M
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
2221
1211
i
i
,
ii
ii
i
j
d
m
d
m
d
m
d
m
d
M
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
2221
1211
i
i
.
П.И. СТЕЦЮК, А.В. МИЦА
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 132
Матрицы
i
j
n
M
∂
∂
и
i
j
d
M
∂
∂
легко рассчитать используя соотношения (3) и (4). Так,
например, матрицы
i
j
d
M
∂
∂
рассчитываются с помощью следующих соотноше-
ний:
∂
∂
=
∂
∂
∏
=
N
k
k
j
jj
M
d
M
d
M
21
1
1
,
N
N
j
N
k
k
j
N
j
d
M
M
d
M
∂
∂
=
∂
∂
∏
−
=
1
1
,
∂
∂
=
∂
∂
∏∏
+=
−
=
N
ik
k
j
i
i
j
i
k
k
j
i
j
M
d
M
M
d
M
1
1
1
, 1,...,2 −= Ni ,
где ( )22× -матрицы
i
i
j
d
M
∂
∂
для каждого Ni ,...,1= имеют следующий вид:
j
ii
j
i
j
ii
j
i
j
ii
jj
ii
j
i
i
i
j
dnndnn
dndnn
d
M
ΛΛ
−
ΛΛ
−
ΛΛ
−
ΛΛ
−
=
∂
∂
sinsin
cos
1
sin
2
i
i
.
Аналогично рассчитываются и матрицы
i
j
n
M
∂
∂
, где
j
ii
j
i
j
ii
j
ii
j
ii
j
ii
ij
ii
ji
i
j
ii
j
i
i
i
j
dnddndndn
dn
n
dn
n
ddnd
n
M
ΛΛ
−
Λ
+
ΛΛ
−
Λ
−
ΛΛ
−
ΛΛ
−
=
∂
∂
sinsincos
cos
1
cossin
2
i
i
.
Аналитический способ вычисления градиента функции ),( dnF
rr
по форму-
лам (5) – (8) свободен от недостатков, свойственных конечно-разностному спо-
собу. Он позволяет вычислять точное (в пределах компьютерной арифметики)
значение градиента ),( dnF
rr
∇ в точке ),( kk dn
rr
. Аналитический способ целесо-
образней использовать, чем конечно-разностный, когда требуется высокая точ-
ность по нахождению оптимальных параметров ),( ** dn
rr
. Кроме того, на его ос-
нове можно построить "оптимальный" по количеству арифметических операций
оракул для использования методов первого порядка при решении задачи синтеза
многослойного оптического покрытия.
Соотношения (5) – (8) могут быть использованы при расчете обобщенного
градиента для негладких функций следующего вида:
О ВЫЧИСЛЕНИИ ГРАДИЕНТА В ЗАДАЧЕ СИНТЕЗА ОПТИЧЕСКИХ ПОКРЫТИЙ
Теорія оптимальних рішень. 2005, № 4 133
( ) ( )∑
=
θ θλ−=
L
j
jj dnTTdnF
1
1 ,,,,
rrrr
,
или же
( ) ( )θλ−= θ
=
,,,max,
,..,1
2 jj
Lj
dnTTdnF
rrrr
.
Здесь • – модуль (абсолютная величина) числа. Для нахождения локальных
экстремумов функций ( )dnF
rr
,1 и ( )dnF
rr
,2 целесообразно использовать эффек-
тивные варианты методов недифференцируемой оптимизации [5].
П.І. Стецюк, О.В. Міца
ПРО ОБЧИСЛЕННЯ ГРАДІЄНТА У ЗАДАЧІ СИНТЕЗУ ОПТИЧНИХ ПОКРИТТІВ
Розглянуті способи обчислення градієнта складної багатоекстремальної функції, яка пов'яза-
на з задачею синтезу багатошаруватих оптичних покриттів. Аналізуються недоліки і переваги
кінцево-різницевого та аналітичного способів знаходження градієнта.
P.I. Stetsyuk, O.V. Mitsa
CALCULATION OF A GRADIENT IN AN OPTICAL COATING SYNTHESIS PROBLEM
The paper considers the methods for calculation of a gradient of complex multiextreme function
related to a problem of synthesis of multilayer optical coatings. Drawbacks and advantages of the
finite-difference approximation method and the analytical method of finding of a gradient
are analized.
1. Фурман Ш.А. Тонкослойные оптические покрытия. – Л.: Машиностроение, 1977. –
264 c.
2. Furman Sh.A., Tikhonravov A.V. Basics of optics of multiplayer systems. – Editions Fron-
tiers, Gif-sur Yvette, 1992. – 242 p.
3. Мiца О.В. Математичне моделювання оптичних шаруватих покриттів та оптимізація
їх структури: Автореф. дис. … канд. техн. наук. Тернопільський держ. техн. ун-т
iм. Івана Пулюя. – Тернопіль, 2004. – 20 c.
4. Мiца О.В., Стецюк П.I. Задача знаходження оптимальних параметрiв однорiдного
оптич-ного покриття // Теория оптимальных решений. – Киев: Ин-т кибернетики
им. В.М.Глушкова НАН Украины, 2003. – С. 127–134.
5. Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. –
Киев: Наук. думка, 1979. – 199 c.
Получено 25.03.2005
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84935 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:06:26Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Стецюк, П.И. Мица, А.В. 2015-07-17T05:59:07Z 2015-07-17T05:59:07Z 2005 О вычислении градиента в задаче синтеза оптических покрытий / П.И. Стецюк, А.В. Мица // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2005. — № 4. — С. 127-133. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84935 519.87; 535:345.67 The paper considers the methods for calculation of a gradient of complex multiextreme function related to a problem of synthesis of multilayer optical coatings. Drawbacks and advantages of the finite-difference approximation method and the analytical method of finding of a gradient are analized. Работа выполнена в рамках гранта Президента Украины для одаренной молодежи № 19 (распоряжение Президента Украины от 12.01.2004 г. №6/2004-рп). ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень О вычислении градиента в задаче синтеза оптических покрытий Calculation of a gradient in an optical coating synthesis problem Article published earlier |
| spellingShingle | О вычислении градиента в задаче синтеза оптических покрытий Стецюк, П.И. Мица, А.В. |
| title | О вычислении градиента в задаче синтеза оптических покрытий |
| title_alt | Calculation of a gradient in an optical coating synthesis problem |
| title_full | О вычислении градиента в задаче синтеза оптических покрытий |
| title_fullStr | О вычислении градиента в задаче синтеза оптических покрытий |
| title_full_unstemmed | О вычислении градиента в задаче синтеза оптических покрытий |
| title_short | О вычислении градиента в задаче синтеза оптических покрытий |
| title_sort | о вычислении градиента в задаче синтеза оптических покрытий |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84935 |
| work_keys_str_mv | AT stecûkpi ovyčisleniigradientavzadačesintezaoptičeskihpokrytii AT micaav ovyčisleniigradientavzadačesintezaoptičeskihpokrytii AT stecûkpi calculationofagradientinanopticalcoatingsynthesisproblem AT micaav calculationofagradientinanopticalcoatingsynthesisproblem |