О непараметрическом критерии Неймана – Пирсона для проверки сложной гипотезы об одном среднем
The Neyman−Pearson’s problem of developing composit one sample mean test is considered. It is shown that this problem is reduced to the linear programming. The resulting test is general enough, since it does not require knowledge of underlying distribution, nor independence of observations.
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Datum: | 2006 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84947 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О непараметрическом критерии Неймана – Пирсона для проверки сложной гипотезы об одном среднем / А.Н. Голодников // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2006. — № 5. — С. 3-9. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84947 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Голодников, А.Н. 2015-07-17T16:30:28Z 2015-07-17T16:30:28Z 2006 О непараметрическом критерии Неймана – Пирсона для проверки сложной гипотезы об одном среднем / А.Н. Голодников // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2006. — № 5. — С. 3-9. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84947 519.2 The Neyman−Pearson’s problem of developing composit one sample mean test is considered. It is shown that this problem is reduced to the linear programming. The resulting test is general enough, since it does not require knowledge of underlying distribution, nor independence of observations. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень О непараметрическом критерии Неймана – Пирсона для проверки сложной гипотезы об одном среднем About non−parametric Neyman−Pearson’s one sample mean test Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О непараметрическом критерии Неймана – Пирсона для проверки сложной гипотезы об одном среднем |
| spellingShingle |
О непараметрическом критерии Неймана – Пирсона для проверки сложной гипотезы об одном среднем Голодников, А.Н. |
| title_short |
О непараметрическом критерии Неймана – Пирсона для проверки сложной гипотезы об одном среднем |
| title_full |
О непараметрическом критерии Неймана – Пирсона для проверки сложной гипотезы об одном среднем |
| title_fullStr |
О непараметрическом критерии Неймана – Пирсона для проверки сложной гипотезы об одном среднем |
| title_full_unstemmed |
О непараметрическом критерии Неймана – Пирсона для проверки сложной гипотезы об одном среднем |
| title_sort |
о непараметрическом критерии неймана – пирсона для проверки сложной гипотезы об одном среднем |
| author |
Голодников, А.Н. |
| author_facet |
Голодников, А.Н. |
| publishDate |
2006 |
| language |
Russian |
| container_title |
Теорія оптимальних рішень |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
About non−parametric Neyman−Pearson’s one sample mean test |
| description |
The Neyman−Pearson’s problem of developing composit one sample mean test is considered. It is shown that this problem is reduced to the linear programming. The resulting test is general enough, since it does not require knowledge of underlying distribution, nor independence of observations.
|
| issn |
XXXX-0013 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84947 |
| citation_txt |
О непараметрическом критерии Неймана – Пирсона для проверки сложной гипотезы об одном среднем / А.Н. Голодников // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2006. — № 5. — С. 3-9. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT golodnikovan oneparametričeskomkriteriineimanapirsonadlâproverkisložnoigipotezyobodnomsrednem AT golodnikovan aboutnonparametricneymanpearsonsonesamplemeantest |
| first_indexed |
2025-11-27T08:21:50Z |
| last_indexed |
2025-11-27T08:21:50Z |
| _version_ |
1850805661463478272 |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2006, № 5 3
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Рассмотрена задача построения
критерия Неймана−Пирсона для
проверки сложной непараметри-
че-ской гипотезы об одном сред-
нем. Показано, что эта задача
сводится к задачам линейного
программирования. Получаемый
при этом оптимальный критерий
является довольно общим, по-
скольку при его построении не
требуется незави-симости на-
блюдений.
А.Н. Голодников, 2006
ÓÄÊ 519.2
À.Í. ÃÎËÎÄÍÈÊÎÂ
Î ÍÅÏÀÐÀÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÎÌ ÊÐÈÒÅÐÈÈ
ÍÅÉÌÀÍÀ−ÏÈÐÑÎÍÀ ÄËß ÏÐÎÂÅÐÊÈ
ÑËÎÆÍÎÉ ÃÈÏÎÒÅÇÛ ÎÁ ÎÄÍÎÌ
ÑÐÅÄÍÅÌ
Введение. Еще в 1928−1933 гг Нейман и
Пирсон предложили в работах [1,2] формаль-
ную процедуру построения оптимальных
кри-териев для проверки статистических ги-
потез. Была доказана лемма Нейма-
на−Пирсона о наилучших критических об-
ластях, из которой следует, что наилучшим
критерием для слу-чая, когда нулевая и кон-
курирующая гипоте-зы − простые, является
отношение правдоподобия. Однако в более
общем случае, когда обе конкурирующие
гипотезы − сложные, задача построения ги-
потез в рамках этой формальной процедуры
не решена до сих пор.
В данной статье рассматривается задача
построения критерия Неймана−Пирсона для
проверки сложной непараметрической гипо-
тезы об одном среднем. Показано, что эта
задача сводится к задачам линейного про-
граммирования.
Постановка задачи. В соответствии с
про-цедурой Неймана−Пирсона [3] рассмат-
рива-ются: вектор наблюдаемых случайных
пере-менных ),,( 1 nYY K=Y ; выборочное
пространство W , состоящее из всех возмож-
ных выборочных точек ),,( 1 nyyy K= ; два
конкурирующих множества допустимых
простых гипотез K и Ω ; плотности распре-
деления (функции частот) )|( HypY ,
)|( HypY , свя-занные с простыми гипотеза-
ми KH ∈ и Ω∈H , и отношение
А.Н. ГОЛОДНИКОВ
4 Теорія оптимальних рішень. 2006, № 5
)|(sup
)|(sup
)(
Hyp
Hyp
y
H
KH
Y
Y
Ω∈
∈=λ . (1)
При заданном уровне значимости α выражения (1) используется для опи-
сания критической области, содержащей все точки y′ , для которых αλ ty <′)( , и
не содержащей ни одной точки y ′′ , для которых αλ ty >′′ )( , где число αt опре-
деляется из условия
αλ α =≤ }|)({ HtyP . (2)
1. Непараметрический критерий при проверке гипотез о значении
среднего одной генеральной совокупности. Пусть ),,,( 21 nxxxx K= − выбор-
ка объема n из некоторой одномерной генеральной совокупности. Требуется
проверить гипотезу о том, что истинное значение среднего µ этой генеральной
совокупности совпадает с некоторым стандартом 0µ , меньше или больше этого
стандарта. Предполагается, что все значения исследуемой генеральной совокуп-
ности принадлежат конечному отрезку ],[ BA , и ее среднее равно µ .
Рассмотрим следующие возможные гипотезы относительно среднего µ :
1) 00 :;: µµµµ <Ω=K ; 2) 00 :;: µµµµ >Ω=K ; 3) 00 :;: µµµµ >Ω<K ;
4) 00 :;: µµµµ <Ω>K .
Пусть ),,( 21 nxxxF KX − функция совместного распределения вектора на-
блюдаемых случайных переменных ),,,( 21 nXXX K=X при условии, что верна
простая гипотеза KH ∈ и ),,( 21 nxxxG KX − функция совместного распределе-
ния этого вектора при условии, что верна конкурирующая простая гипотеза
Ω∈H . Поскольку выборка осуществляется из одной генеральной совокупно-
сти, то для любой пары случайных переменных iX и jX , их маргинальные
распределения равны. Это условие эквивалентно тому, что для любого значения
],[ BAa ∈ выполняются следующие равенства:
)()(,),()(),()(
13121
aFaFaFaFaFaF
nXXXXXX === K , (3)
)()(,),()(),()(
13121
aGaGaGaGaGaG
nXXXXXX === K , (4)
где nixGxF
ii XX ,,2,1),(),( K= − маргинальные функции распределения случай-
ной переменной niX i ,,2,1, K= , которые вычисляются по формулам:
),,,()( 21
],[ ],[ ],[ ],[ ],[1 1 1
n
BAX BAX xAX BAX BAX
X xxxdFxF
i i i n
i
KLL∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∈ ∈ ∈ ∈ ∈− +
= X , ,,,1 ni K=
),,,()( 21
],[ ],[ ],[ ],[ ],[1 1 1
n
BAX BAX xAX BAX BAX
X xxxdGxG
i i i n
i
KLL∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∈ ∈ ∈ ∈ ∈− +
= X , ,,,1 ni K=
О НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОМ КРИТЕРИИ НЕЙМАНА-ПИРСОНА...
Теорія оптимальних рішень. 2006, № 5 5
В случае 1) и 2) любая простая гипотеза KH ∈ предполагает, что среднее
значение каждой из маргинальных функций распределения
1
( )
X
F x ,
2
( )
X
F x ,...,
…, ( )
nX
F x равно 0µ . В силу их равенства это условие достаточно записать для
одной из них, например для )(
1
xFX :
0
],[ ],[ ],[
211
1 2
1
),,,()( µ== ∫ ∫ ∫∫
∈ ∈ ∈BAX BAX BAX
n
B
A
X
n
xxxdFxxxdF KL X . (5)
Соответственно, в случае 3) любая простая гипотеза KH ∈ налагает на )(
1
xFX
ограничение
0
],[ ],[ ],[
211
1 2
1
),,,()( µ<= ∫ ∫ ∫∫
∈ ∈ ∈BAX BAX BAX
n
B
A
X
n
xxxdFxxxdF KL X , (6)
а в случае 4) − ограничение
0
],[ ],[ ],[
211
1 2
1
),,,()( µ>= ∫ ∫ ∫∫
∈ ∈ ∈BAX BAX BAX
n
B
A
X
n
xxxdFxxxdF KL X . (7)
Аналогично, если предположить, что верна простая конкурирующая гипоте-
за Ω∈H , то в случаях 1) и 4) маргинальное распределение )(
1
xGX должно
удовлетворять условию
0
],[ ],[ ],[
211
1 2
1
),,,()( µ<= ∫ ∫ ∫∫
∈ ∈ ∈BAX BAX BAX
n
B
A
X
n
xxxdGxxxdG KL X , (8)
а в случаях 2) и 3) − условию
0
],[ ],[ ],[
211
1 2
1
),,,()( µ>= ∫ ∫ ∫∫
∈ ∈ ∈BAX BAX BAX
n
B
A
X
n
xxxdGxxxdG KL X . (9)
Все маргинальные функции распределения должны удовлетворять норми-
ровочным ограничениям. В силу соотношений (3) и (4) эти ограничения доста-
точно выписать для маргинальных распределений )(
1
xFX и )(
1
xGX . Таким об-
разом, должны выполняться следующие ограничения:
1)(
1∫ =
B
A
X xdF , (10)
1)(
1∫ =
B
A
X xdG . (11)
Обозначим: 1Γ = { ),,( 21 nxxxF KX : удовлетворяются ограничения (3), (5) и
(10)}; 2Γ = { ),,( 21 nxxxF KX : удовлетворяются ограничения (3), (6) и (10)};
3Γ = { ),,( 21 nxxxF KX : удовлетворяются ограничения (3), (7) и (10)};
А.Н. ГОЛОДНИКОВ
6 Теорія оптимальних рішень. 2006, № 5
1L = { ),,( 21 nxxxG KX : удовлетворяются ограничения (4), (8) и (11)};
2L = { ),,( 21 nxxxG KX : удовлетворяются ограничения (4), (9) и (11)}.
Рассмотрим статистику ∑
=
=
n
i
in X
n
XXXY
1
21
1
),,,( K . Эта статистика генери-
рует случайную величину Y , значения которой совпадают с выборочным сред-
ним: ∑
=
=
n
i
ix
n
y
1
1
.
В терминах процедуры Неймана−Пирсона множество выборочных средних
является выборочным пространством W . В случае, когда верна простая гипоте-
за KH ∈ , функция распределения )|( HyΦ случайной величины Y определя-
ется по формуле
),,,()()|( 21
1
n
nyx
F xxxdFyHy
n
i
i
KL XX
∑
=
≤
∫ ∫=Φ=Φ ,
а в случае, когда верна конкурирующая гипотеза Ω∈H , ее функция распреде-
ления
),,,()()|( 21
1
n
nyx
G xxxdGyHy
n
i
i
KL XX
∑
=
≤
∫ ∫=Φ=Φ .
Пусть )()|( yHy FX
ϕϕ = обозначает плотность распределения случайной ве-
личины Y (или ее функцию частот) при условии, что верна простая гипотеза
KH ∈ , а )()|( yHy GX
ϕϕ = обозначает плотность распределения случайной
величины Y (или ее функцию частот) при условии, что верна конкурирующая
гипотеза Ω∈H .
При рассмотрении гипотез для случаев 1) − 4) необходимо вычислить вы-
ражения:
)(sup
)(sup
)|(sup
)|(sup
)|(sup
)|(sup
)(
1
1
y
y
Hy
Hy
Hyp
Hyp
y
G
LG
F
F
H
KH
H
KH
X
X
X
X
Y
Y
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
λ
∈
Γ∈
Ω∈
∈
Ω∈
∈ === ;
)(sup
)(sup
)(
2
1
y
y
y
G
LG
F
F
X
X
X
X
ϕ
ϕ
λ
∈
Γ∈
= ;
)(sup
)(sup
)(
2
2
y
y
y
G
LG
F
F
X
X
X
X
ϕ
ϕ
λ
∈
Γ∈
= ;
)(sup
)(sup
)(
1
3
y
y
y
G
LG
F
F
X
X
X
X
ϕ
ϕ
λ
∈
Γ∈
= .
Вычисление этих выражений сводится к решению следующих оптимизацион-
ных задач в пространстве функций распределения:
)(sup
1
yF
F
X
X
ϕ
Γ∈
, (12)
О НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОМ КРИТЕРИИ НЕЙМАНА-ПИРСОНА...
Теорія оптимальних рішень. 2006, № 5 7
)(sup
2
yF
F
X
X
ϕ
Γ∈
, (13)
)(sup
3
yF
F
X
X
ϕ
Γ∈
, (14)
)(sup
1
yG
LG
X
X
ϕ
∈
, (15)
)(sup
2
yG
LG
X
X
ϕ
∈
. (16)
Эти задачи можно с любой заданной точностью аппроксимировать задачами
линейного программирования путем аппроксимации функций совместного рас-
пределения ),,( 21 nxxxF KX и ),,( 21 nxxxG KX соответствующими ступенчаты-
ми функциями распределения ),,(
~
21 nxxxF KX и ),,(
~
21 nxxxG KX . Для этого
разобъем отрезок ],[ BA на M равных интервала равной длины MAB /)( −=δ .
Ступенчатые функции распределения ),,(
~
21 nxxxF KX и ),,(
~
21 nxxxG KX могут
иметь ненулевые скачки только в точках )~,,~,~(~
21 nxxxx K= , координаты кото-
рых представимы в виде δjj iAx +=~ , ,,,1,0 Mi j K= nj ,,2,1 K= . Таким обра-
зом, в n -мерном гиперкубе построена равномерная сетка, узлами которой явля-
ются точки )~,,~,~(~
21 nxxxx K= с координатами δ11
~ iAx += , δ22
~ iAx += , ...,
δnn iAx +=~ . Будем обозначать такие узлы
niiix
K,, 21
, а скачки ступенчатых фун-
кций распределения ),,(
~
21 nxxxF KX и ),,(
~
21 nxxxG KX в этих точках −
niiip ,,, 21 K
и
niiiq ,,, 21 K
соответственно. Тогда ограничения (10)−(16) можно запи-
сать в следующем виде:
∑∑ =
n
n
n
n
iii
iiki
iii
iik pp
,,,
,,,,
,,,
,,,
31
31
32
2
K
K
K
K
, Mk ,,1,0 K= ,
………………………………….…………
∑∑
−
−
=
121
121
32
2
,,,
,,,,
,,,
,,,
n
n
n
n
iii
kiii
iii
iik pp
K
K
K
K
, Mk ,,1,0 K= , (17)
∑∑ =
n
n
n
n
iii
iiki
iii
iik qq
,,,
,,,,
,,,
,,,
31
31
32
2
K
K
K
K
, Mk ,,1,0 K= ,
………………………………………………
∑∑
−
−
=
121
121
32
2
,,,
,,,,
,,,
,,,
n
n
n
n
iii
kiii
iii
iik qq
K
K
K
K
, Mk ,,1,0 K= , (18)
0
0 ,,,
,,,
32
2
µδ∑ ∑
=
=
M
i iii
iii
n
n
pi
K
K
, (19)
А.Н. ГОЛОДНИКОВ
8 Теорія оптимальних рішень. 2006, № 5
0
0 ,,,
,,,
32
2
µδ∑ ∑
=
<
M
i iii
iii
n
n
pi
K
K
, (20)
0
0 ,,,
,,,
32
2
µδ∑ ∑
=
>
M
i iii
iii
n
n
pi
K
K
, (21)
0
0 ,,,
,,,
32
2
µδ∑ ∑
=
<
M
i iii
iii
n
n
qi
K
K
, (22)
0
0 ,,,
,,,
32
2
µδ∑ ∑
=
>
M
i iii
iii
n
n
qi
K
K
. (23)
1
0 ,,,
,,,
32
2∑ ∑
=
=
M
i iii
iii
n
n
p
K
K
, (24)
1
0 ,,,
,,,
32
2∑ ∑
=
=
M
i iii
iii
n
n
q
K
K
. (25)
Функции частот )(~ yFX
ϕ и )(~ yGX
ϕ можно записать в виде
∑
=+++
=
nyiiiiii
iiiF
nn
n
py
δ
ϕ
)(:,,
,,,~
2121
21
)(
LK
K
X
,
∑
=+++
=
nyiiiiii
iiiG
nn
n
qy
δ
ϕ
)(:,,
,,,~
2121
21
)(
LK
K
X
.
И, наконец, все переменные должны быть не отрицательными:
MiMiMip niii n
,,1,0;;,,1,0;,,1,0,0 21,, 21
KKKK
K
===≥ , (26)
MiMiMiq niii n
,,1,0;;,,1,0;,,1,0,0 21,, 21
KKKK
K
===≥ . (27)
Таким образом, при фиксированном значении y задача (12) сводится к сле-
дующей задаче линейного программирования:
= ∑
=+++ nyiiiiii
iii
p
F
F
nn
n
niii
py
δ
ϕ
)(:,,
,,,~
~
2121
21
,,2,1
max)(max
LK
K
K
X
X
, (28)
при линейных ограничениях (17), (19), (24), (26); задача (13) сводится к задаче
максимизации (28) при линейных ограничениях (17), (20), (24), (26); задача (14)
сводится к задаче максимизации (28) при линейных ограничениях (17), (21),
(24), (26).
Аналогично, при фиксированном значении y задача (15) сводится к сле-
дующей задаче линейного программирования:
= ∑
=+++ nyiiiiii
iii
q
F
G
nn
n
niii
qy
δ
ϕ
)(:,,
,,,~
~
2121
21
,,2,1
max)(max
LK
K
K
X
X
, (29)
О НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОМ КРИТЕРИИ НЕЙМАНА-ПИРСОНА...
Теорія оптимальних рішень. 2006, № 5 9
при линейных ограничениях (18), (22), (25), (27); задача (16) сводится к задаче
максимизации (29) при линейных ограничениях (18), (23), (25), (27).
Заключение. В результате проведенных исследований задача построения
критерия Неймана−Пирсона для проверки сложной непараметрической гипоте-
зы об одном среднем была сведена к задачам линейного программирования с
сильно разряженными матрицами.
О.М. Голодніков
ПРО НЕПАРАМЕТРИЧНИЙ КРИТЕРІЙ НЕЙМАНА−ПІРСОНА ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ
СКЛАДНОЇ ГІПОТЕЗИ ПРО ОДНЕ СЕРЕДНЄ
Розглядається задача побудови критерію Неймана−Пірсона для перевірки складної
непараметричної гіпотези стосовно одного середнього. Показано, що ця задача зводиться до
задачі лінійного програмування. Оптимальний критерій, який при цьому отримується, є
загальним тому, що при його побудові не вимагається незалежність спостережень.
A.N. Golodnikov
ABOUT NON−PARAMETRIC NEYMAN−PEARSON’S ONE SAMPLE MEAN TEST
The Neyman−Pearson’s problem of developing composit one sample mean test is considered. It is
shown that this problem is reduced to the linear programming. The resulting test is general enough,
since it does not require knowledge of underlying distribution, nor independence of observations.
1. Neyman J., Pearson E. On the Use and Interpretation of Certain Test Criteria for Purposes
of Statistical Inference. Part I // Biometrika. –1928. – 20A. – P. 175 − 240.
2. Neyman J., Pearson E. On the Problem of the Most Efficient Tests of Statistical Hypothe-
ses // Philosophical Transactions of the Royal Society. –1933. – Ser. A. –231. – P. 289
− 337.
3. Нейман Ю. Вводный курс теории вероятностей и математической статистики. – М.:
Наука, 1968. – 448 с.
Получено 15.05.2006
|