Иерархия признаков сравнения в теории числовых рядов
В работе предложена теорема, устанавливающая связь между рядом геометрической прогрессии и обобщенно гармоническим и логарифмическими рядами. Теорема устанавливает иерархию перечисленных рядов по скорости сходимости. Теорема и следствия из нее носят в большей мере теоретический характер, но может...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Искусственный интеллект |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84971 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Иерархия признаков сравнения в теории числовых рядов / Л.П. Мироненко // Искусственный интеллект. — 2013. — № 1. — С. 36–41. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859805684445478912 |
|---|---|
| author | Мироненко, Л.П. |
| author_facet | Мироненко, Л.П. |
| citation_txt | Иерархия признаков сравнения в теории числовых рядов / Л.П. Мироненко // Искусственный интеллект. — 2013. — № 1. — С. 36–41. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Искусственный интеллект |
| description | В работе предложена теорема, устанавливающая связь между рядом геометрической прогрессии и
обобщенно гармоническим и логарифмическими рядами. Теорема устанавливает иерархию перечисленных
рядов по скорости сходимости. Теорема и следствия из нее носят в большей мере теоретический характер,
но может быть использована практически для оценки сходимости числовых рядов с неотрицательными
членами. Теорема легко переносится на случай несобственных интегралов.
В роботі запропоновано теорема, яка встановлює зв’язок між рядом геометричної прогресії та гармонічним і
логарифмічними рядами. Теорема встановлює ієрархію перелічених рядів згідно швидкості збіжності.
Теорема та її наслідки мають у більшої мірі теоретичну цінність, але вона може бути корисна у практичному
застосуванні для оцінки збіжності числових рядів з позитивними членами. Теорема легко перетворюється
на випадок невластивих інтегралів.
In the paper a theorem that connects the geometrical series with the zeta-function and the logarithmic series
is proposed. The theorem rearranges the standard series according to a speed of the convergence of the series.
The theorem has mainly a theoretical character but it can be used for an estimation of a convergence of series
with non-negative terms. The theorem is adopted to improper integrals.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:16:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561-5359 ««Искусственный интеллект»» 2013 № 1 36
2М
УДК 514.116
Л.П. Мироненко
Донецкий национальный технический университет, Украина
Украина, 83000, г. Донецк, ул. Артема, 58, mironenko.leon@yandex.ru
Иерархия признаков сравнения
в теории числовых рядов
L.P. Mironenko
Donetsk National Technical University, Ukraine
Ukraine, 83000, Donetsk, Аrtema st., 58
A Rearrangement of the Comparison Tests
in the Theory of Number Series
Л.П. Мироненко
Донецький національний технічний університет, Україна
Україна, 83000, м. Донецьк, вул. Артема, 58
Ієрархія ознаків порівняння у теорії числових рядів
В работе предложена теорема, устанавливающая связь между рядом геометрической прогрессии и
обобщенно гармоническим и логарифмическими рядами. Теорема устанавливает иерархию перечисленных
рядов по скорости сходимости. Теорема и следствия из нее носят в большей мере теоретический характер,
но может быть использована практически для оценки сходимости числовых рядов с неотрицательными
членами. Теорема легко переносится на случай несобственных интегралов.
Ключевые слова: ряд, сходимость, гармонический ряд, признаки сравнения, предел,
интегральный признак.
In the paper a theorem that connects the geometrical series with the zeta-function and the logarithmic series
is proposed. The theorem rearranges the standard series according to a speed of the convergence of the series.
The theorem has mainly a theoretical character but it can be used for an estimation of a convergence of series
with non-negative terms. The theorem is adopted to improper integrals.
Keywords: series, convergence, zeta-function, logarithmic series, comparison tests, integral test.
В роботі запропоновано теорема, яка встановлює зв’язок між рядом геометричної прогресії та гармонічним і
логарифмічними рядами. Теорема встановлює ієрархію перелічених рядів згідно швидкості збіжності.
Теорема та її наслідки мають у більшої мірі теоретичну цінність, але вона може бути корисна у практичному
застосуванні для оцінки збіжності числових рядів з позитивними членами. Теорема легко перетворюється
на випадок невластивих інтегралів.
Ключові слова: ряд, збіжність, гармонічний ряд, ознака порівняння, інтегральна ознака.
Введение
Признак сравнения рядов с положительными членами в теории числовых рядов
обычно используется в двух формах – в конечной и предельной. В первом случае
сравниваются члены двух рядов 0 ,
1
≥∑
∞
=
n
n
n
uu и 0 ,
1
≥∑
∞
=
n
n
n
vv . Если существует
число 0>M , такое, что начиная с некоторого номера N (т.е. при Nn ≥ )
выполняется неравенство
nn
vMu ⋅≤ и ряд ∑
∞
=1n
n
v сходится, то ряд ∑
∞
=1n
n
u также
сходится. Если же ряд ∑
∞
=1n
n
u расходится, то расходится ряд ∑
∞
=1n
n
v [1].
Иерархия признаков сравнения в теории числовых рядов
«Штучний інтелект» 2013 № 1 37
2М
В предельном признаке сравнения рассматривается предел
nn
n
vu /lim
∞→
. Если ряд
0 .
1
>∑
∞
=
n
n
n
vv сходится, а величина предела равна ∞<C (включая нуль), то ряд
∑
∞
=1n
n
u также сходится. Если ряд ∑
∞
=1n
n
v расходится, а величина предела равна C
(включая бесконечность), то ряд ∑
∞
=1n
n
u также расходится [1], [2].
В качестве ряда сравнения обычно выбирается один из рядов:
– ряд геометрической прогрессии с общим членом n
n
qv /1= ,
– обобщенно гармонический ряд α
nv
n
/1= . Гармонический ряд с общим членом
nv
n
/1= является частным случаем обобщенно гармонического ряда при 1=α .
– обобщенно логарифмический ряд порядка p с общим членом ln...lnln/1
21n
nnnv =
,lnln...
1 pp
nn
α
−
где nn
p
p 43421
ln....lnlnln = . Более понятным является частный случай лога-
рифмического ряда nnv
n
α
ln/1= , который следует из общего случая при 1=p , а ряд
∑
∞
=2
ln/1
n
nn играет роль гармонического ряда.
Перечисленные ряды сходятся при 1>α и расходятся при 1≤α . Эти ряды
являются эталонными в теории числовых рядов с неотрицательными членами и
расположены в соответствии со скоростью сходимости. Первый ряд в списке является
самым «грубым» и предназначен для сравнения с быстро сходящимися рядами.
Последний ряд в списке является самым медленно сходящимся рядом при 1>α .
Поэтому этот ряд, как эталонный, применяется к рядам, сходимость которых невозмож-
но установить с помощью геометрического или обобщенно гармонического ряда [1].
В работе устанавливается связь между эталонными рядами сравнения с помо-
щью теоремы, рассмотренной в следующем пункте.
1 Теорема для геометрического ряда
В работе [2] сформулирована следующая теорема. Для того чтобы ряд ∑
∞
=1n
n
u с
неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
∑
∞
=0 2
2
k
k
ku . Доказательство теоремы основано на оценке частичной суммы ∑
=
=
n
k kn
us
1
и
монотонном убывании членов ряда ∑
∞
=1n
n
u . Положим kuuut
k
k 221
2...2 +++= . При k
n 2≤
.2...842
)...(...)()(
28421
1227654321 1
k
k
n
tuuuuu
uuuuuuuuus
k
kk
=+++++≤
≤++++++++++≤
−
+
С другой стороны, при k
n 2≥
.2/2...422
2
1
)...(...)()(
2
1
8421
21287654321 1
k
k
n
tuuuuu
uuuuuuuuuus
k
kk
=+++++≥
≥+++++++++++≥
−
+
−
Последовательности { }
n
s и { }
n
t либо обе ограничены, либо обе неограниченны, что
доказывает как необходимость, так и достаточность теоремы.
Мироненко Л.П.
«Искусственный интеллект» 2013 № 1 38
2М
Теорема может быть легко обобщена с функции k
2 на функцию 1 , >qq
k и, в
частности, для eq = .
Теорема. Для того чтобы ряд ∑
∞
=1n
n
u , положительные члены
n
u которого
монотонно убывают (начиная с некоторого номера N ) сходился, необходимо и
достаточно, чтобы сходился ряд
∑
∞
=0k q
k
kuq , 1>q . (1)
Доказательство. По интегральному признаку Коши сходимость ряда ∑
∞
=1n
n
u
эквивалентна сходимости несобственного интеграла ∫
∞
1
dnu
n
. В интеграле сделаем
замену 1, >= qqn
k : ∫∫∫
∞∞∞
==
000
ln dkuqqdqudnu kk q
kk
qn . Опять же по интегральному
признаку интеграл ∫
∞
0
dkuq kq
k эквивалентен ряду (1).
Поскольку рассуждения можно обратить, то это доказывает необходимость и
достаточность данной теоремы.
Применим теорему к эталонным рядам сравнения. Докажем, что обобщенно
гармонический ряд
1
11
.
1
n
сходится
расходитсяn
α
α
α
∞
=
> −
=
≤ −
∑
Применим формулу (1) к ряду α
n
n
∑
∞
=1
/1 : .
11
)1(00 kkk
k
k
qq
q
−
∞
=
∞
=
∑∑ =
αα
Это геометри-
ческий ряд, который сходится при 1>α и расходится при 1≤α .
Докажем, что обобщенно логарифмический ряд
1
11
.
1ln
n
сходится
расходитсяn n
α
α
α
∞
=
> −
=
≤ −
∑
Применим формулу (1) к ряду
2
1 / ln :
n
n n
α
∞
=
∑
.
1
ln
1
ln
1
ln
1
111 αααα kqqqq
q
kkkkk
k
k ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
==
Последний ряд является обобщенно гармоническим, сходится при 1>α и рас-
ходится при 1≤α .
Подчеркнем особенность полученных результатов. Она состоит в том, что при-
менение теоремы к обобщенно гармоническому ряду сводит задачу сходимости к
исследованию сходимости ряда геометрической прогрессии, а применение теоремы
к логарифмическому ряду сводит задачу сходимости к исследованию сходимости
обобщенно гармонического ряда.
Докажем, что обобщенно логарифмический ряд второго порядка
( )3
11
.
1ln ln lnn
сходится
расходитсяn n n
α
α
α
∞
=
> −
=
≤ −⋅
∑
Иерархия признаков сравнения в теории числовых рядов
«Штучний інтелект» 2013 № 1 39
2М
Применим формулу (1) к ряду ( )αnnn
n
lnlnln/1
3
⋅∑
∞
=
( ) ( )( ) ( )
.
ln
1
ln
1
lnlnln
1
ln
1
lnlnln
1
lnlnln
1
11
111
kkq
qkkqqkqkqqq
q
kk
kkkkk
k
k
α
ααα
⋅
≈
+⋅
=
⋅
=
⋅
∑
∑∑∑
∞
=
>>
∞
=
∞
=
∞
=
Подчеркнем ту же самую особенность, что и у предыдущего ряда. В результате
применения теоремы получен обобщенно логарифмический ряд первого порядка,
т.е. ряд, который по сходимости идет предыдущим в иерархии рядов сравнения.
Таким же образом докажем сходимость обобщенно логарифмического ряда
произвольного порядка p
−≤
−>
=
−
∞
=
∑
расходится
сходится
nnnnn
ppn 1
1
lnln...lnln
1
1211 α
α
α
где ln ln ln.... ln
p
p
n n=
14243
.
2 Теорема для геометрического ряда
в случае несобственных интегралов
Для несобственных интегралов имеет место подобная рассмотренной теореме
для рядов.
Теорема. Для того чтобы несобственный интеграл dxxf )(
1∫
+∞
с неотрицатель-
ной и монотонно убывающей функцией )(xf при 1≥x сходился, необходимо и до-
статочно, чтобы сходился интеграл
dxqfq xy
)(
0∫
+∞
, 1>q . (2)
Доказательство очевидно, если сделать замену 1, >= qqx
y
∫∫∫
∞∞∞
==
011
)(ln)()( dyqfqqdqqfdxxf yyyy .
Поскольку рассуждения можно обратить, то есть, сделать обратную замену, то
это доказывает необходимость и достаточность теоремы.
Если формулу (2) последовательно применить к функции αxxf /1)( = , затем, к
функциям ,ln/1)( xxxf α
= ( )αxxx lnlnln/1 и т.д., то получим аналогичные, как в
случае рядов, результаты
∫
∞
1
α
x
dx
эквивалентен
∫
∞
−1 )1( yq
dy
α
∫
∞
2 ln xx
dx
α
эквивалентен
∫
∞
1
αy
dy
,
lnln3∫
∞
xxx
dx
α
эквивалентен
∫
∞
3 ln yy
dy
α
и т.д.
Мироненко Л.П.
«Искусственный интеллект» 2013 № 1 40
2М
Выводы
В работе предложена теорема, которая на базе ряда геометрической прогрессии
последовательно устанавливает сходимость и расходимость следующих эталонных
рядов сравнения: обобщенно гармонического и обобщенно логарифмических рядов
различного порядка. Теорема однозначно устанавливает иерархию по скорости схо-
димости эталонных рядов сравнения, принятых в официальной теории числовых
рядов.
Помимо решения главной задачи, предложено обобщение теоремы и оригиналь-
ный способ доказательства.
Кроме того, результаты работы легко переносятся на несобственные интегра-
лы, для которых также используется признак сравнения.
Литература
1. Евграфов М.А. Ряды и интегральные представления / М.А. Евграфов // Современные проблемы
математики. Фундаментальные направления. – 1986. – Т. 13.– 260 С.
2. Cinlar E.Mathematical Methods of Engineering Analysis / E. Cinlar, R.J. Vanderbei. – 2000. – 119 р.
Literature
1. Evgrafov M.A. Rjady i integral’nye predstavlenija. Sovremennye problemy matematiki. Fundamental'nye
napravlenija. T. 13. 1986. 260 s.
2. Cinlar E. Vanderbei R.J. Mathematical Methods of Engineering Analysis. 2000. 119 p.
RESUME
L.P. Mironenko
A Rearrangement of the Comparison Tests in the Theory
of Number Series
In the paper a theorem that connects the geometrical series with the zeta-function and
the logarithmic series is proposed. The theorem rearranges the series according to a speed
of its convergence. The theorem has mainly a theoretical character but it can be used for an
estimation of a convergence of the series with non-negative terms. The theorem is adopted
to improper integrals.
Theorem. The series ∑
∞
=1n
n
u with positive monotonically decreasing terms converges if
and only if the series
∑
∞
=0k q
k
kuq , 1>q . (1)
converges.
Proof. According to the integral (Cauchy) test the series ∑
∞
=1n
n
u converges if and only if
the improper integral ∫
∞
1
dnu
n
converges. In the integral we will change the variable
1, >= qqn
k : ∫∫∫
∞∞∞
==
000
ln dkuqqdqudnu kk q
kk
qn . Again, according to the integral test the
integral ∫
∞
0
dkuq kq
k is equivalent to the series (1).
Иерархия признаков сравнения в теории числовых рядов
«Штучний інтелект» 2013 № 1 41
2М
We will apply the theorem to the zeta-function α
n
n
/1
1
∑
∞
=
;
1
0 k
k
k
q
q
∞
=
∑ =
α
.
1
)1(0 kk
q
−
∞
=
∑= α
Thus the problem is reduced to the convergence of the geometrical series.
Now we will apply the theorem to the logarithmic series nn
n
α
ln/1
1
⋅∑
∞
=
.
.
1
ln
1
ln
1
ln
1
111 αααα kqqqq
q
kkkkk
k
k ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
==
Thus the problem is reduced to the evaluation of a convergence of the zeta-function.
In the case of the series ( )αnn
n
lnln/1
2
⋅∑
∞
=
we have the same result as for the
previous two series
( ) ( )( ) ( )
.
ln
1
ln
1
lnlnln
1
ln
1
lnlnln
1
lnlnln
1
11
111
kkq
qkkqqkqkqqq
q
kk
kkkkk
k
k
α
ααα
⋅
≈
+⋅
=
⋅
=
⋅
∑
∑∑∑
∞
=
>>
∞
=
∞
=
∞
=
The problem is reduced to the evaluation of a convergence of the first order logarithmic
series. The method can be continued for to the logarithmic series of any order
,
lnln...lnln
1
1211 ppn nnnnn
α
−
∞
=
∑ nn
p
p 43421
ln....lnlnln = .
The theorem rearranges the comparison series according to their speed of a convergence.
In the work it is proposed a method which rearranges the comparison series
according to the speed of their convergence.
Статья поступила в редакцию 07.11.2012.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84971 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:16:10Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мироненко, Л.П. 2015-07-17T18:24:30Z 2015-07-17T18:24:30Z 2013 Иерархия признаков сравнения в теории числовых рядов / Л.П. Мироненко // Искусственный интеллект. — 2013. — № 1. — С. 36–41. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84971 514.116 В работе предложена теорема, устанавливающая связь между рядом геометрической прогрессии и обобщенно гармоническим и логарифмическими рядами. Теорема устанавливает иерархию перечисленных рядов по скорости сходимости. Теорема и следствия из нее носят в большей мере теоретический характер, но может быть использована практически для оценки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами. Теорема легко переносится на случай несобственных интегралов. В роботі запропоновано теорема, яка встановлює зв’язок між рядом геометричної прогресії та гармонічним і логарифмічними рядами. Теорема встановлює ієрархію перелічених рядів згідно швидкості збіжності. Теорема та її наслідки мають у більшої мірі теоретичну цінність, але вона може бути корисна у практичному застосуванні для оцінки збіжності числових рядів з позитивними членами. Теорема легко перетворюється на випадок невластивих інтегралів. In the paper a theorem that connects the geometrical series with the zeta-function and the logarithmic series is proposed. The theorem rearranges the standard series according to a speed of the convergence of the series. The theorem has mainly a theoretical character but it can be used for an estimation of a convergence of series with non-negative terms. The theorem is adopted to improper integrals. ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Искусственный интеллект Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем Иерархия признаков сравнения в теории числовых рядов Ієрархія ознаків порівняння у теорії числових рядів A rearrangement of the comparison tests in the theory of number series Article published earlier |
| spellingShingle | Иерархия признаков сравнения в теории числовых рядов Мироненко, Л.П. Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем |
| title | Иерархия признаков сравнения в теории числовых рядов |
| title_alt | Ієрархія ознаків порівняння у теорії числових рядів A rearrangement of the comparison tests in the theory of number series |
| title_full | Иерархия признаков сравнения в теории числовых рядов |
| title_fullStr | Иерархия признаков сравнения в теории числовых рядов |
| title_full_unstemmed | Иерархия признаков сравнения в теории числовых рядов |
| title_short | Иерархия признаков сравнения в теории числовых рядов |
| title_sort | иерархия признаков сравнения в теории числовых рядов |
| topic | Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем |
| topic_facet | Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84971 |
| work_keys_str_mv | AT mironenkolp ierarhiâpriznakovsravneniâvteoriičislovyhrâdov AT mironenkolp íêrarhíâoznakívporívnânnâuteorííčislovihrâdív AT mironenkolp arearrangementofthecomparisontestsinthetheoryofnumberseries |