Тензорные модели НМ-гранул и их применение для решения задач нечеткой арифметики
В статье рассматриваются вопросы представления НМ-Г в форме тензорного произведения с матрицами
 размерностью n×n, где n – число различимых элементов (функции принадлежности). Предложено
 гранулярные вычисления реализовывать на основе моделей Кронекеровой алгебры, введены расширенные...
Saved in:
| Published in: | Искусственный интеллект |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84983 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Тензорные модели НМ-гранул и их применение для решения задач нечеткой арифметики / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова, Ю.И. Минаева // Искусственный интеллект. — 2013. — № 2. — С. 22–31. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860236642036482048 |
|---|---|
| author | Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Минаева, Ю.И. |
| author_facet | Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Минаева, Ю.И. |
| citation_txt | Тензорные модели НМ-гранул и их применение для решения задач нечеткой арифметики / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова, Ю.И. Минаева // Искусственный интеллект. — 2013. — № 2. — С. 22–31. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Искусственный интеллект |
| description | В статье рассматриваются вопросы представления НМ-Г в форме тензорного произведения с матрицами
размерностью n×n, где n – число различимых элементов (функции принадлежности). Предложено
гранулярные вычисления реализовывать на основе моделей Кронекеровой алгебры, введены расширенные
операции Кронекеровой алгебры, показана возможность расширения класса решаемых задач в условиях
неопределенности за счет использования скрытых функций принадлежности.
У статті розглядаються питання НМ-гранул у формі тензорного добутку з матрицями вимірністю n×n, де
n – кількість нерозрізнюваних елементів (функції належності). Запропоновано гранулярні обчислення
реалізовувати на підставі моделей Кронекерової алгебри, введені розширені операції Кронекерової
алгебри, показано можливість розширення класу розв’язуваних задач за умов невизначеності за рахунок
використання прихованих функцій належності.
The questions of presentation of FS-GRANULES in the form of tensor product with matrixes by dimensionality
n×n, where n – a number of discernible elements (membership functions) are considered. Granular calculation to
realize on the base of models an Kronecker algebra are Offered , extended operations an Kronecker algebra are
incorporated, the possibility increase-thread of class of deciding problems in conditions of uncertainty to the
account of using the a hide membership functions is shown.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:24:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561-5359 «Штучний інтелект» 2013 № 2 22
2М
УДК 517.11+519.92
Ю.Н. Минаев
Национальный авиационный университет МОН Украины, г. Киев
Украина, 03057, г. Киев, пр-т космонавта Комарова, 1
О.Ю. Филимонова, Ю.И. Минаева
Киевский национальный университет строительства и архитектуры МОН Украины, Киев
Украина, 03037, г. Киев, Воздухофлотский пр-т, 31
Тензорные модели НМ-гранул и их применение
для решения задач нечеткой арифметики
Yu.N. Minaev
National aviation university MES of Ukraine, c. Kiev
Ukraine, 03057, c. Kiev, Komarova av., 1
O.Yu. Filimonova, Ju.I. Minaeva
Kiev National university of civil building and architectures MES of Ukraine, c. Kiev
Ukraine, 03037, c. Kiev, Vozduhoflotskiy av., 31
Tensor Model FS-Granules and Their use
for Solving Fuzzy Arithmetic
Ю.М. Мінаєв
Національний авіаційний університет МОН України, м. Київ
Україна, 03057, м. Київ, пр-т космонавта Комарова, 1
О.Ю. Філімонова, Ю.І. Мінаєва
Київський національний університет будівництва і архітектури МОН України, м. Київ
Україна, 03037, м. Київ, Повітрофлотський пр-т, 31
Тензорні моделі НМ-гранул та їх застосування
для розв’язку задач нечіткої арифметики
В статье рассматриваются вопросы представления НМ-Г в форме тензорного произведения с матрицами
размерностью n×n, где n – число различимых элементов (функции принадлежности). Предложено
гранулярные вычисления реализовывать на основе моделей Кронекеровой алгебры, введены расширенные
операции Кронекеровой алгебры, показана возможность расширения класса решаемых задач в условиях
неопределенности за счет использования скрытых функций принадлежности.
Ключевые слова: гранулярный компьютинг, нечеткое множество, тензорные гранулы.
The questions of presentation of FS-GRANULES in the form of tensor product with matrixes by dimensionality
n×n, where n – a number of discernible elements (membership functions) are considered. Granular calculation to
realize on the base of models an Kronecker algebra are Offered , extended operations an Kronecker algebra are
incorporated, the possibility increase-thread of class of deciding problems in conditions of uncertainty to the
account of using the a hide membership functions is shown.
Key words: Granular calculation, fuzzy set, tensor granule.
У статті розглядаються питання НМ-гранул у формі тензорного добутку з матрицями вимірністю n×n, де
n – кількість нерозрізнюваних елементів (функції належності). Запропоновано гранулярні обчислення
реалізовувати на підставі моделей Кронекерової алгебри, введені розширені операції Кронекерової
алгебри, показано можливість розширення класу розв’язуваних задач за умов невизначеності за рахунок
використання прихованих функцій належності.
Ключові слова: гранулярний комп’ютинг, нечітка множина, тензорні гранули.
Тензорные модели НМ-гранул и их применение для решения задач…
«Штучний інтелект» 2013 № 2 23
2М
Введение
В последнее 10-летие резко возрос интерес к гранулированию информации и
гранулярным вычислениям (гранулированный компьютинг – ГрК ). Это объясняется тем,
что информационные гранулы (ИГ) играют ведущую роль в представлении и обработке
знаний когнитивными агентами. В частности, выделение скрытых знаний, определение
новых свойств информационных объектов на основе методов интеллектуального анализа
данных (ИАД), например, интеллектуальный кластерный анализ в условиях не-
определенности [1] и др. задачи успешно решаются при использовании гранулярной
парадигмы.
Современное состояние проблемы, цель работы
Впервые вопрос гранулирования нечеткой информации и способы ее обработки
поставлен в работе Л. Заде [2], в которой гранула определена как группа объектов
(или точек), которые представлены вместе на основе неразличимости, сходства, бли-
зости. Концепция универсального ограничения [3] обеспечивает основу для класси-
фикации нечетких гранул (Г). В теории нечеткости Г рассмотрена как группа точек,
характеризуемая универсальным ограничением, тип гранулы определен типом огра-
ничений. Вопросы формирования ИГ тесно связаны с теорией грубых множеств (ГМ). В
работе [4] показано, что ГМ может рассматриваться как четкое М с грубым описанием.
Гранулярный компьютинг (ГрК), понимаемый как методология и методика ин-
формационного анализа неочевидно структурированных систем, дает, с одной стороны,
сжатие информации, с другой – возможность работы с данными в условиях неопре-
деленности, не прибегая к обязательному назначению (эвристическому) ФП. Кроме
того, Г позволяют при необходимости определить ФП (различного типа) путем решения
соответствующей оптимизационной задачи. В работах [5], [6] сделан вывод, что ГМ
могут быть определены использованием грубой ФП.
Принцип построения Г требует разъяснений, в частности, неразличимость пони-
мается как неразличимость по типу, допускающая количественную оценку, например,
ФП не различимы по своей природе, но количество ФП известно, в то же время ФП
близки и сходны по своей природе. При построении Г необходимо учитывать, что
Г – информационно избыточные объекты, уровень грануляции (размер Г) имеет
существенное значение для описания проблемы и выбора стратегии ее решения,
следовательно, во всех ли случаях НМ с треугольной ФП достаточно для построения
сложных Г; насколько целесообразны НМ-гранулы с ФП, отличными от треугольной.
Интерпретации и классификации Г даны в работах [2], [3], Г – часть целого,
подзадача (в задаче), кластер, переменное ограничение (в смысле Л. Заде), единица
знания (например, персональный компьютер – Г, материнская плата, память – эле-
менты гранулы). Типичные модели Г, которые связаны с рассматриваемой задачей:
интервалы, НМ, лингвистические переменные. В работе [4] приводится решение задач,
связанных с образами, отличающееся плохой определенностью геометрической
формы объекта (к ним относятся природные образования типа морей, озер и т.п.) при
помощи методов и моделей ГрК. Теоретической основой для развиваемого подхода
является геометрическое истолкование задач и методов гранулирования, по мнению
авторов, наиболее рациональное для исследования многомерной информации.
Понятие гранулярного представления числовых ФП НМ предлагает комплекс-
ный и качественный взгляд на НМ и результат их обработки (процессинг). Отметим,
Минаев Ю.Н., Филимонова О.Ю., Минаева Ю.И.
«Искусственный интеллект» 2013 № 2 24
2М
что интервал, М (четкое или нечеткое, в т.ч. М значений и М соответствующих ФП)
рассматриваются как атомарные гранулы. Например, НМ – подмножество упорядочен-
ных пар {x/µ(x)
, µ(x)
→[0,1]} может рассматриваться как объединение атомарных Г –
(xµ(x)
).
Одной из проблем, решение которой имеет принципиальное значение для ГрК,
является нечеткая математика с на уровне НМ-Г. В работах [7], [8] показано, что не
существует инверсий для НП (или НЧ) в операциях арифметического сложения и умно-
жения соответственно. Хотя в простых прикладных задачах это удается игнорировать [9],
недостаток инверсии становится значимым, когда пытаются использовать НП (или
НЧ) в сложных приложениях, например, анализируя нечеткие системы, анализ до-
пусков в сложной системе, медицинская диагностика и т.д. В общем случае алгебраи-
ческое уравнение, включающее НП (или НЧ), не может быть решено. Например,
если A
~
– НП или НЧ и B – нечеткая или четкая переменная, то в общем случае
AX
~~
+ B
~
= не может решаться для X и аналогично невозможно решить B
~
X
~
A
~
= , т.е.
если F – математическая функция, включающая нечеткие параметры, то невозможно
найти число X, в общем случае такое, что F(X) = B, даже если решение существует,
его трудно найти. Известны процедуры, которые позволяют определять степень, с
которой предлагаемое решение удовлетворит данное уравнение, причем степень
удовлетворения не всегда может быть приемлемой. Этот тезис в значительной
степени определил цель работы – разработку Г и методов обработки гранулирован-
ной информации, способных хотя бы частично устранить указанный недостаток НМ.
Постановка задачи
ГрК имеет достаточно много определений, одно из них приведено ранее. Гра-
нулярные вычисления включают в себя «мягкие вычисления» (МВ) и собственно мето-
дологию и методику гранулярных вычислений. Отметим, что МВ – обобщенный
термин, включающий в себя математические теории общей топологии, теорию НМ,
нейросетевые вычисления и др.
Формально объединение элементов в Г, как это отмечалось выше, определяется ис-
ходя из сходства элементов, «близости» и т.д., на практике нередко ограничивается
т.н. визуальным сходством. Каждая Г обладает внутренними, внешними и контекстуа-
льными свойствами. Процесс грануляции – итеративная алгоритмическая процедура
последовательного выделения частей различного уровня общности и согласования
уровней абстракции и редукции при анализе неочевидно структурированных систем.
Хотя понятие «атомарной» Г, из которых следует «собирать» крупные Г, не оп-
ределено и зависит от контекста рассматриваемой проблемы, ниже понятия множества
элементов (в общем случае нечеткого) не опускаются. Это обстоятельство отобра-
жается, в частности, в том, что отношения между Г описываются с помощью нечетких
графов и систем нечетких логических правил типа «если …, то …». Принципы
гранулирования, реализуемые на основе гранулярной логики и гранулярной мате-
матики, основаны на топологии, степенных операторных алгебрах, интервальных
алгебрах, алгебрах нечетких, мягких и грубых множеств и т.д. При грануляции ис-
пользуются методы многокритериальной оптимизации.
В работе [10] рассмотрен метод представления информационных Г, инду-
цированный нечеткостью, который является наиболее часто применяемым, показано,
что нечеткая Г (в общем случае НМ) может быть представлена как произведение
независимых скалярных экспоненциальных функций, отметим, что в данной работе
Г рассматривается как тензорное произведение векторов, представляющих собой
Тензорные модели НМ-гранул и их применение для решения задач…
«Штучний інтелект» 2013 № 2 25
2М
элементы НМ, т.е. x~ = }{x/µ (x) →
⊗ (x)
µx . НМ выступают как гранулированные
представители числовых данных, компонуемых в некоторый контекст. Тот факт, что
каждая Г обладает внутренними, внешними и контекстуальными свойствами, свиде-
тельствует о ее автономности и самодостаточности. Поэтому одной из задач явля-
ется исследование внутренних свойств НМ-гранулы (или f-гранулы), представлен-
ной в виде тензора.
Рассматривается комплекс подзадач: а) представление НМ-гранулы как ИГ в
форме тензора с матрицами m × m, где m – количество различимых элементов, в
случае НМ – число упорядоченных пар m
1}
(x)
{x/µ ; b) математические операции с
полученными ИГ; c) получение новой (скрытой) информации относительно свойств
объектов, представленных в виде НМ-Г; d) прикладные задачи, связанные с оценкой
влияния ФП на результат арифметической операции с ИГ.
НМ-Г }, {U,A µ=
~
где U – универсум, µ - ФП, т.е. A
~
}/{u
(u)
ii µ= ,
(u)
i
µ →[0, 1],
A
~
⊂ U×[0,1], в работе рассматривается в виде тензор-гранулы (ТГ):
}/{uA
(u)
ii µ=
~
→
n
1i
T(u)
][µ [u]
=
⊗ = .; . ;.µuµ[u
(u)
n1
(u)
11 L ]µuµu
(u)
nn
(u)
1n L ,
где ⊗ – символ тензорного (Кронекерова) произведения,
т
(или ')
– символ
транспонирования, u= [u1 u2 … un], µ=[µ1 µ2 … µn].
Способ решения основных задач
В данной работе тензор рассматривается как многомерный массив [11].
Гранулярные вычисления реализованы на основе моделей Кронекеровой алгеб-
ры [12]. Если матрица P = [pij] имеет размер mp × np и Q = [qij] имеет размер mQ × nQ,
то Кронекерово произведение P⊗Q = [pijQ] – матрица размером (mP mQ)×(nP nQ).
Тензорная сумма (ТС): даны матрицы A(n ×n), B (m×m ), тензорная (Кро-
некерова) сумма A ⊕ B=A⊗Im+In⊗B, где Im, In – единичные матрицы.
Расстояние между матрицами A, B (Фробениусовская норма):
d(A,B)F = (tr((A⊗Im –In⊗B)*(A⊗Im -In⊗B)
T
))
1/2
, где tr – след.
След: tr(A⊗B)=tr A⋅tr B, tr(A)= ∑
= n1,i
ii
a (или ∑
= n1,i ii
a /n).
Расширенные операции Кронекеровой алгебры – ⊙ min и ⊗g,: оператор ⊙ min,
определен в виде: ⊙ min:R×R
n→R
n
, (α,X)a α⊙ minX, где если X=[x1 x2 … xn], то α⊙ min
X=[min(α,x1) min(α,x2) … min(α,xn)]. Оператор ⊗g, определен в виде: ⊗g: R
m×R
n →R
m×n
,
(X, Y) a X ⊗g Y, где если X=[x1 x2… xm]
T
, то X⊗gY=[x1⊙ minY x2⊙ minY … xm⊙ minY].
Тензорные гранулы НМ-Г. Пусть исходные НП имеют вид, показанный на рис. 1. НМ
a
~ = 5
~
def
= {3/0 5/1 7/0}, b
~
= 01
~
def
= {7/0 10/1 14/0} будем расcматривать как тестовые ТГ,
полученные как результат x⊗µT
, имеют вид: 5
~
→ta=
0 7 0
0 5 0
0 3 0
, 01
~
→ tb=
Минаев Ю.Н., Филимонова О.Ю., Минаева Ю.И.
«Искусственный интеллект» 2013 № 2 26
2М
=
0 14 0
0 10 0
0 7 0
, 5
~
+ 01
~
→ tc = ta+tb=
0 7 0
0 5 0
0 3 0
+
0 14 0
0 10 0
0 7 0
=
0 21 0
0 15 0
0 10 0
и показаны на рис. 1.
Рисунок 1 – Исходные НП: 5
~
def
= {3/0 5/1 7/0}, 01
~
def
= {7/0 10/1 14/0}, 5
~
+ 01
~
Отметим, что следы и нормы матриц этих ТГ обладают свойствами: trace(tc) =
trace(ta) + trace(tb)→ 15 = 5 + 10: след ТГ-суммы равен сумме следов ТГ, модели-
рующих НП; след ТГ-суммы совпадает с дефадзифицированным значением суммы
НП. Нормы:
2
ta
F
= 9.11,
2
tb
F
= 18.57,
2
tc
F
= 27,67, сумма норм матриц ТГ
(моделирующих НП) практически равна норме матрицы ТГ, моделирующей сумму
НП, т.е. сумму матриц. Для tc, ta, tb существуют псевдообратные матрицы.
Представление НП с трапециевидной ФП. Формирование ТГ для НП с
трапециевидной ФП, заданной на УМ x = [2 :2: 8], реализовано для µx = trapmf(x,[x]);
ttrapmf = kron([2 [4 6] 8],[0 1 0]′) =
{
( )T0108 6] [4 2 ⊗
=
0
8
0
0
2
0
00
64
00
→
0
8
0
0
2
0
00
64
00
.
a) б) в)
Рисунок 2 – Гранулы – тензорные аналоги НП и их F-нормы: а) 5
~
def
= {3/0 5/1 7/0},
б) 01
~
def
= {7/0 10/1 14/0}, в) матричная сумма ТГ
Представление НП с трапециевидной ФП. Формирование ТГ для НП с тра-
пециевидной ФП, заданной на УМ x = [2 :2: 8], реализовано для µx = trapmf(x,[x]);
ttrapmf = kron([2 [4 6] 8],[0 1 0]′) =
{
( )T0108 6] [4 2 ⊗
=
0
8
0
0
2
0
00
64
00
→
0
8
0
0
2
0
00
64
00
.
Тензорные модели НМ-гранул и их применение для решения задач…
«Штучний інтелект» 2013 № 2 27
2М
Верхняя и нижняя аппроксимации НП показаны на рис. 3.1 – верхняя аппроксимация
НП; 2 – нижняя аппроксимация НП; НП с грубой ФП – {2/0,
{
16][4
5
/ , 8/0}.ТГ для
НП – рис. 3в.
а)
б)
в)
Рисунок 3 – Формирование ТГ для НП с трапециевидной ФП: а) НП с
трапециевидной ФП, x = [2 :2: 8], µx = trapmf(x,[x]); б) верхняя и инжняя
аппроксимации НП: 1 – верхняя аппроксимация НП; 2 – нижняя аппроксимация НП;
НП с грубой ФП – {2/0, 5/1, 7/0}: в) ТГ для НП: x = [2 :2: 8], µx = trapmf(x,[x])
Отметим важное свойство ТГ, сформированных на базе НП с треугольной ФП:
след ТГ гранулы совпадает с дефадзифицированным значеним НП, которая представ-
лена ТГ. ГрК – вычислительная парадигма обработки информации, использующая
доступные знания в данных на различных уровнях детализации. Выбор соответствую-
щего уровня степени детализации – критично в приложениях ГрК. Например, выбор
достаточно большого универсума может привести к существенному огрублению
результатов и невозможности принятия решения. Необходим эффективный метод
для выбора уровня степени детализации в ГрК.
В работе принята следующая парадигма детализации НМ для представления
его в форме ТГ. Пусть УМ X, НП
def
a =
~ примерно a и b
~
def
= примерно b определены на
Х в виде НП с треугольной ФП: µa(x)
def
= trimf(X, [a b d]) и µb(x)
def
= trimf(X, [a1 b1
d1]), задана операция c~ = ba
~
~
+ , то ТГ ta, tb, tc, соответствующие ,a
~
b
~
и c~ ( a
~
→ta, b
~
→tb и c~→ tc), должны быть определены соответственно: ta = kron([a b c],
[µa(a) µa(b) µa(d)]T), tb = kron([a1 b1 d1],[µb(a1) µb(b1) µb(d1)]T), tc = ta*Kr tb, где
*Kr ∈{+, -,/,*}. Отметим, что теоретико-множественная интерпретация грануляции
употребляется наиболее часто, однако одно из определений [10] рассматривает
грануляцию информации – как семантически значимое группирование элементов,
именно оно использовано авторами в работе.
Тензорная алгебра с ТГ рассмотрена на примере реализации операций ba
~~
+ и
ba
~
*
~ , ba
~
~
+ → ta⊗I1⊕II⊗tb, ba
~~
+ →
[ ]
[ ]
tb
ta
3
3
3
3
0
0
; ba
~
*
~ → ta⊗tb, здесь ta,tb – ТГ для НП ba
~
,
~ .
Рис. 4. иллюстрирует смысл и содержание операций.
Минаев Ю.Н., Филимонова О.Ю., Минаева Ю.И.
«Искусственный интеллект» 2013 № 2 28
2М
а) б) в)
Рисунок 4 – Тензорная алгебра над ТГ (аналогами НП): а) tabsum =ta⊗I1 ⊕II⊗tb;
б) tabsum1=
[ ]
[ ]
tb
3
3
3
3
ta
0
0
; в) tabprod =ta⊗tb
Результаты моделирования приведены в табл. 1.
Таблица 1 – Следы матриц тензоров
trace(ta) trace(tb) trace(tabsum) trace(tabsum1) trace(tabprod)
5.00 10.00 15.00 15.00 50.00
Вывод: следы матриц тензор-Г – аналогов НП и результатов операций алгебра-
ических операций над ними совпадают во всех случаях с дефадзифицированными
значениями НП и результатами арифметических операций с НП.
Тензорная алгебра с ТГ для НП с треугольной и трапециевидной ФП расс-
мотрена на примере операции тензорной суммы ТП ]5[ trimf
~
⊕ ]5[ trapmf
~
и приведена
на рис. 5.
taxg=[[x zeros(3,4)]' [zeros(3) kron(a,ma)]']
( ) ( )
( ) ( )
trapmf50
0trimf5
~
~
=
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 7 5 3
0 0 0 0 0 0
8
6
4
2
trace(taxg)=9
taxg=[[x' zeros(3,4)]; [zeros(3) kron(a,ma)]]
( ) ( )
( ) ( )
trapmf50
0trimf5
~
~
=
0 0 0 0 0 0 0
8 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 7 5 3
0 0 0 0 0 0 0
6 4 2
trace(taxg)=9
Рисунок 5 – Тензорная сумма ТГ [ ]trimf5
~
⊕ [ ]trapmf5
~
, моделируются НП
с треугольной и трапециевидной ФП: trimf5
~
+ trapmf5
~
Тензорные модели НМ-гранул и их применение для решения задач…
«Штучний інтелект» 2013 № 2 29
2М
Отметим, что и в этом случае
trace [ ] [ ]( )trapmf5trimf5
~~
⊕ ≅ trace [ ]( )trimf5
~
+ trace [ ]( )trapmf5
~
.
Применение ТГ связано с реализацией внешних, внутренних и многомерных про-
изведений тензоров, а также анализом их норм. В частности, анализ норм ТГ для
условий принадлежности, непринадлежности, частичной принадлежности может играть
важную роль в принятии решений.
Гранулярный компьютинг с ТГ
Фадзификация входного МД. При управлении в условиях неопределенности воз-
никает проблема представления исходного МД в виде НМ, т.е. совокупности упоря-
доченных пар {значение/ФП}. В этой связи ИМД рассматривается как многомерный
массив данных, т.е. тензор, с последующей тензорной аппроксимацией – определением
матрицы, компоненты которой получены как тензорное произведение значения на ФП.
Таким образом, ИМД представляется в виде НМ.
Аппроксимации матриц глобального характера [13] – тензорные аппрокси-
мации вида
m
k
Vr
1k
1
kr
⊗⊗∑
=
=≈ LVAA = m]}{µ[v]r
1k
}{µ[v T)(v
j
(k)
j
1T)(v
j
(k
j
(k)(k)
⊗⊗⊗∑
=
⊗ L ,
где i
k
V =
⊗ T)(v
j
(k)
j )(µv
(k)
,i = 1,m; j = 1,J; ⊗ – прямое (тензорное, Кроне-
керово) произведение матриц, }μ/{v )(v
j
(k)
j
(k)
– НП, )(v
j
(k)
μ →[0, 1] – ФП,
Т
– символ
транспонирования. Исследования показали, что в случае ГрК при использовании НП
со стандартной ФП можно ограничиться более простым соотношением, т.е. одной
компонентой из суммы
=≈
r
AA ]}{µ[v
T(v)
jj ⊗ , j=1,J. (1)
В общем случае при фадзификации большого потока данных наиболее применим
путь аппроксимации матрицы данных А (1) «хорошей» матрицей специального вида Ar
и построения эффективных алгоритмов для работы с нею, т.е.
2
Fr
AA− →min, что
позволяет строить тензорные аппроксимации минимального ранга с гарантированной
точностью по норме Фробениуса на основе скелетонного приближения [13], которое
можно вычислить с помощью стандартного алгоритма сингулярного разложения.
Отметим, что элементы матрицы А представляют собой значения некоторой асимп-
тотически гладкой функции на прямоугольной сетке в квадрате на плоскости, что в
общем случае справедливо для ФП.
Решение нечетких уравнений (НУ). Пусть НУ имеет вид: cxa
~~~
= , где c ,x ,a
~~~ –
НП, a
~ },{a/ (a)
µ= },{x/µx (x)
=
~ }{c/c (c)
µ=
~ . Гранулирование НП позволяет пред-
ставить исходное НУ в виде матричного уравнения AX = C, где ]
(a)
[a µ⊗=A , =X
[ (x)
µx ⊗ ], C = [ (c)
c µ⊗ ]. Известно [12], что соотношение АХ = С может быть
записано в виде ⊗(I )A x = c, где вектор х – это векторизованная матрица X, =x
( ,x,,x,x 1nn111 LL ,L
nn
x )
T
, вектор с из С получен аналогично. Векторизация
матриц имеет важное значение для решения матричных уравнений и систем матрич-
ных уравнений в векторно-матричной форме. Например, для исходного уравнения
решение может быть получено из условия AXI = C, т.к. используя векторизацию
можем записать vec(AXI) = (I ⊗A) vec X = vec C.
Минаев Ю.Н., Филимонова О.Ю., Минаева Ю.И.
«Искусственный интеллект» 2013 № 2 30
2М
Выводы
1. Показано, что трудности определения инверсий для НП (или НЧ) в
операциях арифметического сложения и умножения соответственно, игнорируемые
в простых прикладных задачах, превращаются в недостаток, который становится
значимым, когда пытаются использовать НП (или НЧ) в сложных приложениях.
Предложено представление НМ-Г в виде тензор-гранул с матрицами m × m, где m –
число различимых элементов (ФП).
2. В работе ИГ рассматривается как тензорное произведение векторов, представ-
ляющих собой элементы НМ – }{x/µ (x)
→ ]
(x)
µ[x⊗ . Показана целесообразность
реализации гранулярных вычислений на основе моделей Кронекеровой алгебры, позво-
ляющих существенно расширить возможности гранулярного компьютинга при реше-
нии задачи управления в условиях неопределенности.
3. Проблема представления исходного МД в виде НМ, т.е. совокупности упоря-
доченных пар {значение/ФП}может быть эффективно решена при помощи методов
тензорной аппроксимации: ИМД рассматривается как многомерный массив данных,
т.е. тензор, с последующей тензорной аппроксимацией – определением матрицы,
компоненты которой получены как тензорное произведение значения на ФП,
наименее уклоняющееся от ИМД (в смысле Фробениусовской нормы), таким образом
ИМД представляется в виде НМ.
Литература
1. Минаев Ю.Н. Иерархическая кластеризация нечетких данных / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова,
Ю.И. Минаева // Электрон. моделир. – 2012. – Т. 34, № 4. – C. 3-22.
2. Zadeh L.A. Toward a Generalized Theory of Uncertainty / L.A. Zadeh // Information Sciences –
Informatics and Computer Science. – 2005. – Vol. 172. – P. 1-40.
3. Aja-Fern´andez S. Fuzzy Granules as a BasicWord Repre-sentation for Computing with Words / S. Aja-
Fern´andez, C. Alberola-L´opez // SPECOM’ 2004 : 9th Conference Speech and Computer. – St.
Petersburg, Russia, September 20 – 22, 2004) – 2004. – ISCA Archive[Электронный ресурс]. – Режим
доступа к материалам конф. : http://www. isca-speech.org/archive.
4. Бутенков С.А. Математические модели анализа многомерных данных экологического мони-
торинга на основе теории информационной грануляции / С.А. Бутенков // Искусственный
интеллект . – 2009. – № 3. – C. 24-32.
5. Sankar K.Pal. F-granulation, Generalized Rough Sets and Entropy Uncertainty Analysis in Pattern
Recognition with Applications /K.Pal. Sankar// 7-th Int. Workshop of the Data Analysis in Astronomy –
Science: Image in Action (Erice, Sicily, April 16 – 20, 2011), 2011 [Электронный ресурс]. – Режим
доступа к материалам конф. : http://www.isical.ac.in/ ~sankar .
6. Pawlak Z.A. Rough membership functions : Advances in the Dempster Shafer Theory of Evidence /
Z.А. Pawlak, A. Skowron ; [R.R. Yaeger, M. Fedrizzi and J. Kacprzyk eds.]. – John Wiley & Sons, Inc.,
NY, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, 1994.
7. Hong D.H. On solving fuzzy equation / D.H. Hong // Korean J. Comput. & Appl. – 2001, Math. – Vol. 8,
№ 1. – P. 213-223.
8. Yager R.R. On the lack of inverses in fuzzy arithmetic / R.R. Yager // Fuzzy Sets and Systems. – 1980. –
№ 4. – P. 73-82.
9. Hanss M. Applied Fuzzy Arithmetic. An Introduction with Engineering Applica-ions / Hanss M. –
Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005. – 260 pp.
10. Bargiela A. Granular Computing: An Introduction / A. Bargiela, W. Pedrycz. - N.Y. : Springer, 2002.
11. Kolda T.G. Tensor Decompositions and Applications / T.G. Kolda, B.W. Bader // SIAM REVI-EW. –
2009. – Vol. 51, № 3. – P. 455-500.
12. Босс В. Лекции по математике: линейная алгебра / Босс В. – М. : КомКнига. – 2005. – Т. 3. – 224 с.
13. Тыртышников Е.Е. Тензорные аппроксимации матриц, порожденных аси-мптотически гладкими
функциями / E.E. Тыртышников // Мат. сборник. – Т. 194, № 6. – 2003. – С. 147-162.
Тензорные модели НМ-гранул и их применение для решения задач…
«Штучний інтелект» 2013 № 2 31
2М
Literatura
1. Minaev Yu.N. Electronnoe modelirovanie / Yu.N. Minaev. – 2012. – Т. 34, № 4. – S. 3-22
2. Butenkov S.A. Iskusstvennyj intellect / S.A. Butenkov. – 2009. – № 3. – S. 24-32.
3. Boss В. Leksii po matematike / Boss В. – М. : KomKniga. – 2005. – 224 с.
4. Tirtishnikov Eu.Eu. Matematicheskiy sbornik / Eu.Eu. Tirtishnikov. – Т. 194, № 6. – 2003. – P. 147-162.
RESUME
Yu.N. Minaev, O.Yu. Filimonova, Ju.I. Minaeva
Tensor Model FS-Granules and their use for Solving Fuzzy Arithmetic
Information granulation and granular computing (GrC) has played a leading role in the
representation and processing of knowledge: knowledge of hidden, definition of new
properties of information objects. First fuzzy granulation of information and how it is delivered
to the treatment works Zadeh in which granules (Gr) is defined as a group of objects (or
points), which are presented (shown) together on the basis of indistinguishability, similarity,
proximity. Issues of formation Gr closely related to the theory of rough sets (RS). RS can be
seen as a clear S with rough description, RS can be determined using rough MF.
Gr-Information excess objects, level of granulation (size Gr) is essential for the
description of the problem and the choice of strategies for response
In paper Gr is considered as the tensor product of vectors representing the elements of
FS x
~ = }{x/µ (x) →
⊗
(x)
µx . Examines the complex tasks: a) presentation
FS-granules in the form of the tensor (tensor-granule-TG) with matrices m × m, where m – the
number of dis-tinct elements, in the case of FS-number of ordered pairs m
1
}
(x)
{x/µ ;
b) mathematical operations with those obtained Gr; c) to obtain a new one (the latent)
information about the properties of the objects in the form of FS-Gr; d) applied problems.
Property TG, formed on the basis of fuzzy variables (FV) with a triangular MF: TG trace
coincides with defuzzification value FV, traces of matrices TG-FV counterparts and the results
of operations on them are the same in all cases, with values defuzzification FV and the results
of arithmetic operations with FV.
Granular computing with TG for applications considered by the example fuzzification
set of data (SD) in managing under uncertainty and the decision fuzzy-equations (FE). When
fuzzification of large amounts of data is now efficiently approximated set of data matrix A
«good» special type Ar matrix and build effective algorithm. to work with it, that is,
2
Fr
AA −
→ min , which allows you to build minimum rank approximation with guaranteed accuracy for
the Frobenius norm.
Solution FE cxa
~~~
= can be obtained from the condition of AXI = C, as using vectorized
TG can write vec (AXI) = (I⊗A)vec(X) = vec(C). The feasibility of rea-lizations of granular
computing model based Kronecker algebra to significantly expand the capabilities of granular
computing to solve the control problem under uncertainty is Shows.
The problem of representation original set of data (SD) in the form set of ordered pairs
{value / MF} can be effectively solved by the methods of tensor approximation: original SD is
considered as a multi-dimensional array of data that is tensor, followed by a tensor
approximation – the definition of the matrix, which least deviates least from original SD, the
components of which are obtained as the tensor product of the values of the OP, so original SD
represented as FS.
Статья поступила в редакцию 26.02.2013.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84983 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:24:38Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Минаева, Ю.И. 2015-07-17T19:41:30Z 2015-07-17T19:41:30Z 2013 Тензорные модели НМ-гранул и их применение для решения задач нечеткой арифметики / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова, Ю.И. Минаева // Искусственный интеллект. — 2013. — № 2. — С. 22–31. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84983 517.11+519.92 В статье рассматриваются вопросы представления НМ-Г в форме тензорного произведения с матрицами
 размерностью n×n, где n – число различимых элементов (функции принадлежности). Предложено
 гранулярные вычисления реализовывать на основе моделей Кронекеровой алгебры, введены расширенные
 операции Кронекеровой алгебры, показана возможность расширения класса решаемых задач в условиях
 неопределенности за счет использования скрытых функций принадлежности. У статті розглядаються питання НМ-гранул у формі тензорного добутку з матрицями вимірністю n×n, де
 n – кількість нерозрізнюваних елементів (функції належності). Запропоновано гранулярні обчислення
 реалізовувати на підставі моделей Кронекерової алгебри, введені розширені операції Кронекерової
 алгебри, показано можливість розширення класу розв’язуваних задач за умов невизначеності за рахунок
 використання прихованих функцій належності. The questions of presentation of FS-GRANULES in the form of tensor product with matrixes by dimensionality
 n×n, where n – a number of discernible elements (membership functions) are considered. Granular calculation to
 realize on the base of models an Kronecker algebra are Offered , extended operations an Kronecker algebra are
 incorporated, the possibility increase-thread of class of deciding problems in conditions of uncertainty to the
 account of using the a hide membership functions is shown. ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Искусственный интеллект Анализ и синтез коммуникационной информации Тензорные модели НМ-гранул и их применение для решения задач нечеткой арифметики Тензорні моделі НМ-гранул та їх застосування для розв’язку задач нечіткої арифметики Tensor model FS-granules and their use for solving fuzzy arithmetic Article published earlier |
| spellingShingle | Тензорные модели НМ-гранул и их применение для решения задач нечеткой арифметики Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Минаева, Ю.И. Анализ и синтез коммуникационной информации |
| title | Тензорные модели НМ-гранул и их применение для решения задач нечеткой арифметики |
| title_alt | Тензорні моделі НМ-гранул та їх застосування для розв’язку задач нечіткої арифметики Tensor model FS-granules and their use for solving fuzzy arithmetic |
| title_full | Тензорные модели НМ-гранул и их применение для решения задач нечеткой арифметики |
| title_fullStr | Тензорные модели НМ-гранул и их применение для решения задач нечеткой арифметики |
| title_full_unstemmed | Тензорные модели НМ-гранул и их применение для решения задач нечеткой арифметики |
| title_short | Тензорные модели НМ-гранул и их применение для решения задач нечеткой арифметики |
| title_sort | тензорные модели нм-гранул и их применение для решения задач нечеткой арифметики |
| topic | Анализ и синтез коммуникационной информации |
| topic_facet | Анализ и синтез коммуникационной информации |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84983 |
| work_keys_str_mv | AT minaevûn tenzornyemodelinmgranuliihprimeneniedlârešeniâzadačnečetkoiarifmetiki AT filimonovaoû tenzornyemodelinmgranuliihprimeneniedlârešeniâzadačnečetkoiarifmetiki AT minaevaûi tenzornyemodelinmgranuliihprimeneniedlârešeniâzadačnečetkoiarifmetiki AT minaevûn tenzornímodelínmgranultaíhzastosuvannâdlârozvâzkuzadačnečítkoíarifmetiki AT filimonovaoû tenzornímodelínmgranultaíhzastosuvannâdlârozvâzkuzadačnečítkoíarifmetiki AT minaevaûi tenzornímodelínmgranultaíhzastosuvannâdlârozvâzkuzadačnečítkoíarifmetiki AT minaevûn tensormodelfsgranulesandtheiruseforsolvingfuzzyarithmetic AT filimonovaoû tensormodelfsgranulesandtheiruseforsolvingfuzzyarithmetic AT minaevaûi tensormodelfsgranulesandtheiruseforsolvingfuzzyarithmetic |