Анализ возмущения решения задачи взвешенных наименьших квадратов
The weighed least squares problem is considered. Estimations of error of pseudosolution by perturbation of initial data of problem by condition of not saving of rank of the perturbation of matrix, etc rank(Ā) ≠ rank(A) are received.
Saved in:
| Published in: | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Date: | 2007 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2007
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84989 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Анализ возмущения решения задачи взвешенных наименьших квадратов / А.Н. Химич, Е.А. Николаевская // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2007. — № 6. — С. 12-20. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859831100443983872 |
|---|---|
| author | Химич, А.Н. Николаевская, Е.А. |
| author_facet | Химич, А.Н. Николаевская, Е.А. |
| citation_txt | Анализ возмущения решения задачи взвешенных наименьших квадратов / А.Н. Химич, Е.А. Николаевская // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2007. — № 6. — С. 12-20. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | The weighed least squares problem is considered. Estimations of error of pseudosolution by perturbation of initial data of problem by condition of not saving of rank of the perturbation of matrix, etc rank(Ā) ≠ rank(A) are received.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:32:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
12 Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Рассматривается задача взве-
шенных наименьших квадратов.
Получены оценки погрешности
взвешенного нормального псевдо-
решения при условии не сохране-
ния ранга возмущенной матрицы,
т.е. )()( ArankArank ≠ .
А.Н. Химич, Е.А. Николаевская,
2007
ÓÄÊ 519.6
À.Í. ÕÈÌÈ×, Å.À. ÍÈÊÎËÀÅÂÑÊÀß
ÀÍÀËÈÇ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈß ÐÅØÅÍÈß
ÇÀÄÀ×È ÂÇÂÅØÅÍÍÛÕ
ÍÀÈÌÅÍÜØÈÕ ÊÂÀÄÐÀÒÎÂ
Введение. Исследованию задач взвешенных
наименьших квадратов и разработке методов
их решения посвящено значительное количе-
ство работ [1 – 3]. Значительно меньше работ
посвящено теории возмущения решения
взвешенных наименьших квадратов. В рабо-
тах [4 – 6] рассматриваются оценки погреш-
ности взвешенной псевдообратной матрицы
и взвешенного псевдорешения в случае, ко-
гда ранг матрицы исходной задачи не меня-
ется при возмущении элементов матрицы. В
данной работе рассматривается задача взве-
шенных наименьших квадратов с положи-
тельно определенными весами, при условии,
что ранг исходной матрицы не сохраняется.
Получены оценки погрешности взвешенного
нормального псевдорешения при возмуще-
нии матрицы и правой части в общем случае
несовместной системы линейных алгебраи-
ческих уравнений в рамках заданной модели
погрешности исходных данных.
1. Предварительные сведения. Введем
обозначения. Пусть nm
R
× множество матриц
размерностью nm × . Для матрицы nm
RA
×∈
обозначим T
A матрицу, транспонированную
к А, )(Arank – ранг матрицы А; )(Aℜ –
множество образов матрицы А; ( )AN – нуле-
вое подпространство А; – евклидова век-
торная и согласованная с ней спектральная
матричная нормы; I – единичная матрица.
Для произвольной матрицы nm
RA
×∈ и
симметричных матриц M и N порядка
АНАЛИЗ ВОЗМУЩЕНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ВЗВЕШЕННЫХ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 13
m и n соответственно, единственная матрица nm
RX
×∈ , удовлетворяющая таким
условиям:
AAXA = , XXAX = ,
MAXMAX
T =)( , NXANXA
T =)( (1)
называется взвешенной псевдообратной матрицей Мура – Пенроуза для матри-
цы А и обозначается += MNAX . Обозначим #
A взвешенную транспонированную
матрицу к А, P и Q – взвешенные проекционные матрицы, т.е
MANA
T1# −= . (2)
++ == T
MN
T
MN AAAAP , TT
MNMN AAAAQ
++ == ,
++ == T
MN
T
MN AAAAP , TT
MNMN AAAAQ
++ == , (3)
где AAA ∆+= – возмущенная матрица.
Пусть m
Rx ∈ , n
Ry ∈ . Взвешенные векторные и матричные нормы опреде-
лены таким образом:
xMx
M
2
1
= , yNy
N
2
1
= , (4)
2
1
2
1
1
max
−
=
== ANMAxA
MxMN
N
, nm
RA
×∈ , (5)
2
1
2
1
1
max
−
=
== AMNByB
NyNM
M
, mn
RB
×∈ . (6)
Взвешенная псевдообратная матрица Мура – Пенроуза +
MNA может быть
представлена в виде взвешенного сингулярного разложения [7].
Пусть nm
RA
×∈ и kArank =)( , M и N – положительно-определенные матри-
цы порядка m и n соответственно. Тогда существуют матрицы mm
RU
×∈ и
nn
RV
×∈ , удовлетворяющие условию IMUU
T = и IVNV
T =−1 , такие, что
T
V
D
UA
=
00
0
, MU
D
VNA
T
MN
=
−
−+
00
01
1 , (7)
где ( )kD µ...,,µ,µdiag 21= , 0µ...µµ 21 >≥≥≥ k и
2µ i – ненулевые собствен-
ные значения матрицы AA
# . Неотрицательные значения iµ называются взве-
шенными сингулярными значениями матрицы А, причем
1µ=
MN
A ,
k
NM
MNA
µ
1
=+
.
Взвешенное SVD матрицы А обеспечивает М – ортонормальный базис век-
торов и 1−
N – ортонормальный базис векторов, т.е. столбцы U и V, соответст-
А.Н. ХИМИЧ, Е.А. НИКОЛАЕВСКАЯ
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 14
венно, такие, что матрица становится диагональной если трансформирована в
эти два базиса.
Лемма 1 [8]. Пусть nm
REA
×∈, . )(µ Ai и )(µ EAi + – взвешенные сингу-
лярные значения матриц А и A соответственно. Тогда
MNiiMNi EAEAEA +≤+≤− )(µ)(µ)(µ .
2. Постановка задачи. Рассмотрим задачу взвешенных наименьших квад-
ратов с положительно определенными весами
NCx
x
∈
min , min}|{ =−=
M
bAxxC , (8)
где nm
RA
×∈ – матрица неполного ранга, m
Rb ∈ .
Наряду с задачей (8) рассмотрим задачу с приближенно заданными исход-
ными данными
NCx
x
∈
min , ( ) ( ) min}|{ =∆+−∆+=
M
bbxAAxC , (9)
где
,AAА ∆+= bbb ∆+= , xxx ∆+= . (10)
Будем предполагать, что для погрешности элементов матрицы и правой
части выполняются такие соотношения:
.ε,ε
MbMMNAMN
bbAA ≤∆≤∆ (11)
Существование М – взвешенного решения наименьших квадратов с мини-
мальной N – нормой следует из [9].
3. Оценка погрешности взвешенного псевдорешения.
Лемма 2 [6]. Пусть nm
RAA
×∈∆, , )()( ArankArank = и 1<∆ +
NM
MNMN
AA .
Тогда
NM
MNMN
NM
MN
NM
MN
AA
A
A
+
+
+
∆−
≤
1
.
Лемма 3 [6]. Пусть ++ −= MNMN AAG , AАА ∆+= и )()( ArankArank = .
Тогда G может быть представлена в виде
( ) ( ).1
QIANAAANPIAAAG MNMN
T
MN
T
MNMN −+∆−+∆−= +++−++ (12)
Используя представление проекционных матриц (3) можем получить сле-
дующий результат.
Теорема 1. Если )()( ArankArank = , то
MMMM
QIQQIQ )()( −=− .
Доказательство. Запишем взвешенное сингулярное разложения матриц А и
A : T
UDVA = , T
VDUA = . Из (3) и предположения о том, что А и A имеют
одинаковый ранг, следует
АНАЛИЗ ВОЗМУЩЕНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ВЗВЕШЕННЫХ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 15
MU
I
UQ
Tk
=
00
0
, MU
I
UQ
Tk
=
00
0
.
Определим ортогональную матрицу mm
RW
×∈ с подматрицами ijW соот-
ношением
{ {
km
k
kmk
WW
WW
WUU
T
−
−
==
}
}
2221
1211
11 .
Тогда
.
00
0
0
00
00
0
0
00
00
0
0
00
00
0
0
00
00
0
0
00
00
0
)(
12
12
1111
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
W
W
I
W
I
U
I
UU
I
U
MU
I
UMMU
I
UM
MMU
I
MUU
I
UM
MU
I
MUU
I
UQIQ
km
kT
km
Tk
T
km
Tk
T
km
Tk
MM
T
km
Tk
MM
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=−
−−
−
−
−
−
Точно также можно проверить, что 21)( WQIQ
MM
=− . Остается показать,
что 2112 WW = . Пусть km
Rx
−∈ – произвольный вектор.
Положим,
km
k
x
y
−
=
}
}0
. Используя ортогональность W, имеем
2
22
2
12
222
xWxWWyyx +=== ,
откуда
2
22
22
12 xWxxW −= .
Следовательно,
22
22
1
2
12
1
2
12 1min1max km
xx
sxWxWW −
==
−=−== ,
где kms − – наименьшее сингулярное число 22W .
Аналогично, из
2
22
2
21
222
xWxWyWyx
TTT +=== получаем
А.Н. ХИМИЧ, Е.А. НИКОЛАЕВСКАЯ
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 16
2
2
22
1
2
21 1min1 km
T
x
sxWW −
=
−=−= .
Из равенства 2112 WW = следует утверждение теоремы.
Введём проекционные матрицы:
++ == T
MN
T
MN AAAAP , TT
MNMN AAAAQ
++ == ,
++
==
T
MNk
T
MNkk AAAAP ,
TT
MNkMNkk AAAAQ
++
== , (13)
где kArankArank k == )()( .
Теорема 2. Предположим, что выполняется условие
2
1
<∆ +
NM
MNMN
AA ,
kArankArank => )()( .
Тогда имеет место оценка
+
∆
+
−
≤
−
NMN
M
А
NMN
M
А
АN
Nk
xA
r
h
xA
b
h
h
x
xx
εε2
ε21
, (14)
где NMMNMN AAAh ||||||||)( += – взвешенное число обусловленности матрицы А,
+
MNA – взвешенная псевдообратная матрица Мура – Пенроуза, символы
MN
и
NM
обозначают взвешенные матричные нормы в соответствии с (4) – (6),
Axbr −= – невязка.
Доказательство. Для получения оценки используем способ из [10], осно-
ванный на сингулярном разложении матриц. Представим А в виде (7)
T
VDUА = . (15)
Как известно, какова бы ни была прямоугольная матрица A размерности
nm × , всегда существует разложение (7), где VU , – ортогональные матрицы,
удовлетворяющие условию IUMU
T = и IVNV
T =−1 , D – прямоугольная
матрица размерности nm × с неотрицательными элементами на диагонали, ко-
торые являются взвешенными сингулярными числами матрицы A .
Наряду с (15) рассмотрим разложение
,T
kk VDUА = (16)
где kD – прямоугольная матрица, первые к диагональных элементов которой
отличны от нуля и совпадают с соответствующими элементами матрицы D , а
все остальные элементы равны нулю.
Взвешенное нормальное псевдорешение задачи (9) будем аппроксимировать
kx взвешенным нормальным псевдорешением задачи
Nk
Cx
x
∈
min , min}|{ =−=
M
k bxAxC . (17)
АНАЛИЗ ВОЗМУЩЕНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ВЗВЕШЕННЫХ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 17
Матрица kA построена в соответствии (16) имеет ранг к, такой же, как и
матрица невозмущенной задачи. Таким образом, проблема оценки погрешности
псевдорешения для матриц, ранг которых изменился, сведена к случаю, когда
ранги матриц одинаковы [6].
Учитывая данный факт, используем для оценки
NNk xxx /− . Выражение
для погрешности взвешенных псевдообратных матриц в этом случае приобрета-
ет вид
( )[ ]( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ).)( QIAAPIAAAA
QIAAPIAAAAAA
QIAAPIAPQA
QIAPIQAPIQIAPI
QAPIQIAPQAPQIAPQAP
QIQAAPIPG
MNkMNkMNMNk
MNkMNkMNMNkMNMNk
MNkMNkMNkMNk
MNkMNkMNkk
MNkkMNkMNkMNkkMNkk
MNMNkkkk
−+−−−=
=−+−−−=
=−+−−−=
=−−+−−−−+
+−−−−−−+=
=−+−−+=
++++
++++++
++++
+++
+++++
++
Используя результаты леммы 3, получаем
( ) ( ).1
QIANAAANPIAAAAAG
MNkMN
T
MN
T
kMNMNkMNMNkk −+∆−−∆−=−=
+++−++++
Переходя к разности, получаем
( ) ( ) ).(1
bbAbQIANxAANPIAxAxx
MNkMNk
T
MN
T
kMNkk −+−−∆−+∆=−
+++−+
(19)
Переходя к взвешенной норме приходим
( ) ( )
( )
( ) .)(
)( 1
1
N
MNk
N
MNk
N
T
MN
T
k
N
MNk
N
MNk
MNk
T
MN
T
kMNkNk
bbAbQIA
NxAANPIAxAbbA
bQIANxAANPIAxAxx
−+−+
+∆−+∆≤−+
+−−∆−+∆=−
++
+−++
++−+
(20)
Учитывая, что
rrQIbQI =−=− )()( , Аxbr −= , bAx MN
+= (21)
и используя результаты леммы 3 можем записать
( ) ( ) ≤−=−
+++
N
MNkMNk
N
MNk rQIAAAbQIQA
,)()(
MMMk
NM
MNkMMMk
NM
MNk rQIQArQIQA −=−≤
++
(22)
=−=−=−
−++ 2
1
2
1
)()()( MQIAAMQIAAQIQ kMN
MM
kMNMMk
=−−=−=
−+−−+− 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)()()()()( MQIMMAAAMMQIMAAM k
TTT
MNk
T
MN
А.Н. ХИМИЧ, Е.А. НИКОЛАЕВСКАЯ
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 18
NM
MNMNMNMN AAMANANMMANANM
+−+−+−
∆≤∆≤∆=
−
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
.
Подставив полученный результат в (22) получим неравенство
( )
MNM
MNMNNM
MNk
N
kMNk rAAAbQIQA
+++
∆≤− . (23)
Подставив (23) в (20), получим относительную погрешность взвешенного нор-
мального псевдорешения
≤
∆
+
∆
+
+∆+∆≤
−
+++
++
N
MNM
MNk
N
MMNNM
MN
NM
MNk
NM
MNMNMNNM
MNk
N
Nk
x
bA
x
rAAA
AAAA
x
xx
+
∆
+
∆
∆−
≤
+
+
NMN
M
MN
MN
NM
MNMNk
MNNM
MN
xA
b
A
A
AA
AA
2
1
∆
+
+
NMN
M
MN
MN
MNNM
MN
xA
r
A
A
AA . (24)
Оценим kk AAA −=∆ :
.2
0
00
1
MNMN
MN
T
k
MNMN
k
MN
k
MN
kMNk
AAV
D
U
AAAAAAAAA
∆≤∆+
=
=∆+−≤∆+−=−=∆
+
Кроме того условие данной теоремы
2
1
<∆ +
NM
MNMN
AA приводит к нера-
венству 1<∆ +
NM
MNMNk AA , что является необходимым для корректности вы-
ражения (24). Учитывая это, из (24) получаем оценку (14) для погрешности нор-
мального взвешенного псевдорешения.
Аналогично (13) введём проекционные матрицы:
++
==
T
MNl
T
MNll AAAAP ,
TT
MNlMNll AAAAQ
++
== ,
++ == T
MN
T
MN AAAAP , TT
MNMN AAAAQ
++ == , (25)
Теорема 3. Предположим, что lArankArank => )()( ,
2
1
µ
<
∆
l
MN
A
.
Тогда имеет место оценка
АНАЛИЗ ВОЗМУЩЕНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ВЗВЕШЕННЫХ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 19
+
∆
+
∆−
≤
−
NMN
M
l
А
NMN
M
A
lMN
l
N
Nl
xA
r
xA
b
Ax
xx
µ
µ
εε2
µ/21
µ/µ 11 , (26)
где iµ – взвешенные сингулярные числа матрицы А.
Доказательство. Наряду с задачей (8) рассмотрим задачу
Nl
Cx
x
∈
min , min}|{ =−=
Ml bxAxC (27)
с матрицей T
ll VUDA = ранга l.
Аналогично, записывая (24) для задач (9), (27), ранги матриц которых сов-
падают получаем
( ) ( ),1
QIANAAANPIAAAAAG MNMNl
T
MNl
T
MNlMNMNlMN −+∆−+∆−=−= +++−++++
( ) ( ) ).(1
bbAbQIANxAANPIAxAxx MNMN
T
MNl
T
MNl −+−−∆−−∆=− +++−+
Учитывая результаты леммы 2 и, переходя к нормам, приходим к оценке
≤
−
+
∆
+
+∆+∆≤
−
+++
++
N
MNM
MN
N
MMNNM
MNl
NM
MN
NM
MNlMNMNNM
MN
N
Nl
x
bbA
x
rAAA
AAAA
x
xx
,
2
1
∆
+
+
−
+
∆
∆−
≤
+
+
+
NMN
M
MN
MN
MNNM
MNl
NMN
M
MN
MN
NM
MNlMNl
MNNM
MNl
xA
r
A
A
AA
xA
bb
A
A
AA
AA
откуда следует (26), т.е. утверждение теоремы 3.
Заключение. Получены строгие оценки взвешенного нормального псевдо-
решения в случае, когда ранг матрицы задачи с точными исходными данными не
совпадает с рангом матрицы возмущенной задачи. Оценки получены во взве-
шенных матрично-векторных нормах для симметричных положительно-
определенных весов.
О.М. Хіміч, О.А. Ніколаєвська
АНАЛІЗ ЗБУРЕННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧІ ЗВАЖЕНИХ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ
Розглядається задача зважених найменших квадратів. Отримані оцінки похибки зваженого
нормального псевдорозв’язку внаслідок збурення вихідних даних задачі за умовою не збере-
ження рангу збуреної матриці, тобто )()( ArankArank ≠ .
А.Н. ХИМИЧ, Е.А. НИКОЛАЕВСКАЯ
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 20
A.N. Khimich, Е.А. Nikolaevskaya
ANALYSIS OF PERTURBATION SOLUTION IN WEIGHTED LEAST SQUARES PROBLEM
The weighed least squares problem is considered. Estimations of error of pseudosolution by
perturbation of initial data of problem by condition of not saving of rank of the perturbation of
matrix, etc )()( ArankArank ≠ are received.
1. Ben Israel A., Greville T.N.E. Generalized Inverse: Theory and Applications. – New York:
Willey, 1974. – 436 p.
2. Голуб Дж., Ван Лоун. Матричные вычисления. – М.: Мир, 1999. – 549 с.
3. Химич А.Н. Оценки возмущений для решения задачи наименьших квадратов // Ки-
бернетика и системный анализ. – 1996. – № 3. – С. 142 – 145.
4. Chen G.L. Minimum property of weighted condition number in matrix perturbation prob-
lems // J. East China Normal Univ. – 1996. – N 1 – P. 1 – 7.
5. Wei Y. Perturbation bound of singular linear systems // Applied Math. Computation. –
1999. – N 105. – P. 211 – 220.
6. Химич А.Н., Николаевская Е.А. Оценка погрешности решения задачи взвешенных
наименьших квадратов // Компьютерная математика. – Киев: Ин – ут кибернетики
им. В.М. Глушкова НАН Украины, 2006. – № 3. – С. 36 – 45.
7. Van Loan C.F. Generalizing the singular value decomposition // SIAM J. Numerical
Analysis. – 1976. – N 13. – P. 76 – 83.
8. Wei Y., Wang D. Condition numbers and perturbation of weighted Moore-Penrose inverse
and weighted least squares problem // Applied Math. Computation. – 2003. – N 145. –
P. 45 – 58.
9. Сергиенко И.В., Галба Е.Ф., Дейнека В.С. Предельные представления взвешенных
псевдообратных матриц с положительно-определенными весами и регуляризация
задач // Кибернетика и системный анализ. – 2003. – № 6. – С. 46 – 65.
10. Химич А.Н. Оценки возмущений для решения задачи наименьших квадратов // Ки-
бернетика и системный анализ. – 1996. – № 3. – С. 142 – 145.
Получено 23.04.2007
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84989 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:32:47Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Химич, А.Н. Николаевская, Е.А. 2015-07-18T06:04:51Z 2015-07-18T06:04:51Z 2007 Анализ возмущения решения задачи взвешенных наименьших квадратов / А.Н. Химич, Е.А. Николаевская // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2007. — № 6. — С. 12-20. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84989 519.6 The weighed least squares problem is considered. Estimations of error of pseudosolution by perturbation of initial data of problem by condition of not saving of rank of the perturbation of matrix, etc rank(Ā) ≠ rank(A) are received. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Анализ возмущения решения задачи взвешенных наименьших квадратов Analysis of perturbation solution in weighted least squares problem Article published earlier |
| spellingShingle | Анализ возмущения решения задачи взвешенных наименьших квадратов Химич, А.Н. Николаевская, Е.А. |
| title | Анализ возмущения решения задачи взвешенных наименьших квадратов |
| title_alt | Analysis of perturbation solution in weighted least squares problem |
| title_full | Анализ возмущения решения задачи взвешенных наименьших квадратов |
| title_fullStr | Анализ возмущения решения задачи взвешенных наименьших квадратов |
| title_full_unstemmed | Анализ возмущения решения задачи взвешенных наименьших квадратов |
| title_short | Анализ возмущения решения задачи взвешенных наименьших квадратов |
| title_sort | анализ возмущения решения задачи взвешенных наименьших квадратов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84989 |
| work_keys_str_mv | AT himičan analizvozmuŝeniârešeniâzadačivzvešennyhnaimenʹšihkvadratov AT nikolaevskaâea analizvozmuŝeniârešeniâzadačivzvešennyhnaimenʹšihkvadratov AT himičan analysisofperturbationsolutioninweightedleastsquaresproblem AT nikolaevskaâea analysisofperturbationsolutioninweightedleastsquaresproblem |