Об одной задаче преследования при интегрально-геометрических ограничениях
This paper deals with differential pursuit game under geometric and integral constraints on controls. There is constructed resolving function of system and found game ending conditions.
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Дата: | 2007 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2007
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84996 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одной задаче преследования при интегрально-геометрических ограничениях / А.П. Игнатенко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2007. — № 6. — С. 74-79. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860179091147194368 |
|---|---|
| author | Игнатенко, А.П. |
| author_facet | Игнатенко, А.П. |
| citation_txt | Об одной задаче преследования при интегрально-геометрических ограничениях / А.П. Игнатенко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2007. — № 6. — С. 74-79. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | This paper deals with differential pursuit game under geometric and integral constraints on controls. There is constructed resolving function of system and found game ending conditions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:01:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 74
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Рассмотрена дифференциальная
игра преследования при наличии
геометрических и интегральных
ограничений на управления. По-
строена разрешающая функция
системы, найдены условия, при
которых игра может быть за-
кончена за конечное время.
А.П. Игнатенко, 2007
ÓÄÊ 518.9
À.Ï. ÈÃÍÀÒÅÍÊÎ
ÎÁ ÎÄÍÎÉ ÇÀÄÀ×Å ÏÐÅÑËÅÄÎÂÀÍÈß
ÏÐÈ ÈÍÒÅÃÐÀËÜÍÎ-
ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÈßÕ
Введение. В реальных системах конфликт-
ного управления ресурсы противоборствую-
щих сторон обычно бывают ограничены. В
зависимости от устройства системы, эти ог-
раничения могут иметь различный характер
– геометрический, интегральный, импульс-
ный и т.д. В данной работе исследована за-
дача преследования объектов, обладающих
динамикой второго порядка при наличии ин-
тегрально-геометрических ограничений. Для
случая геометрических ограничений задача
преследования такого типа решалась в рабо-
тах Л.С. Понтрягина [1] (первый прямой ме-
тод), Н.Н. Красовского [2, 3] (экстремальное
прицеливание), А.А. Чикрия [4] (разрешаю-
щие функции). В случае интегральных огра-
ничений такого рода динамика рассматрива-
лась М.С. Никольским [5], Б.Н. Пшеничным
и Ю.Н. Онопчуком [6] а также (для дискрет-
ных игр) А.Я. Азимовым [7]. В работе
А.Я. Азимова рассматривалась постановка
задачи при разнотипных ограничениях (как
интегральных так и геометрических). При
этом использовалась конструкция преследо-
вания на основе первого прямого метода
Л.С. Понтрягина. В текущей работе рассмот-
рен подход, несколько обобщающий работу
[8], который позволяет построить разре-
шающую функцию для рассматриваемого
конфликтного процесса, что дает возмож-
ность использовать преимущества развитой
теории.
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ ПРИ ИНТЕГРАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОГРАНИЧЕНИЯХ
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 75
Постановка задачи. Рассмотрим дифференциальную игру двух однотип-
ных объектов второго порядка, которую иногда называют динамикой «двух
крокодилов»:
21 zz =& ,
vuz −=2& , (1)
где 1z , 2z – p-мерные векторы. )(tu , )(tv – измеримые вектор-функции одина-
ковой размерности p, на которые накладываются ограничения такого вида:
2
0
2
)( µ≤ττ∫
∞
du , ρ≤τ)(u , (2)
2
0
2
)( ν≤ττ∫
∞
dv , σ≤τ)(v . (3)
Терминальное множество имеет вид }0:{ 1 == zzM и является линейным
подпространством. Обозначим L – ортогональное дополнение к M в p
R
2 , π –
ортогональный проектор из p
R
2 на L. Фундаментальную матрицу однородной
системы Azz =& ,
=
00
0 I
A обозначим At
e .
Выбирая свои управления в виде функций времени, каждый из игроков воз-
действует на процесс (1), преследуя свою цель. Цель преследователя – выбрать
управление )(tu , удовлетворяющее ограничениям (2) так, чтобы вывести в не-
который конечный момент времени траекторию )(tz на множество M. Цель убе-
гающего – избежать или максимально оттянуть такой момент времени, с ис-
пользованием управлений, удовлетворяющим (3). При этом преследователь ис-
пользует квазистратегии, убегающий – программные управления.
Вспомогательные построения. Введем многозначное отображение
ρ≤τµ≤τττττ−=ρµ ∫∫ )(,)(:)()(),,(
2
0
2
0
ududuttU
tt
. (4)
Лемма 1. Множество ),,( ρµtU обладает такими свойствами:
1. Если 21 tt ≤ , то ),,(),,( 21 ρµ⊂ρµ tUtU .
2. ),,( ρµtU – замкнуто, ограничено и выпукло.
Следствие. ),,( ρµtU – выпуклое компактное множество.
Аналогично определяется множество ),,( σνtV , которое обладает теми же
свойствами. При исследовании структуры множества ),,( ρµtU возникает во-
прос о максимизации функционала τττ−∫ dut
t
0
)()( при ограничениях на управле-
А.П. ИГНАТЕНКО
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 76
ние (2). Более подробно этот вопрос рассмотрен в [9]. Изложим основной ре-
зультат.
Если
2
2
ρ
µ
≤t , то максимум функционала достигается на управлении
ρψ=τ)(u , p
S∈ψ , где { }1: ≤∈= xRxS
pp . При этом
22
0
2
)( µ≤ρ=ττ∫ tdu
t
.
Если
2
2
ρ
µ
>t , то максимизирующая функция имеет вид
λ∈τψτ−
λ
λ∈τρψ
=λτ
),,(,)(
1
),,(,
),(
tGt
tE
u (5)
где вектор p
S∈ψ , { }λρ>τ−∈τ=λ tttE :],0[),( , { }λρ≤τ−∈τ=λ tttG :],0[),( , а
λ – параметр, который определяется из уравнения
.),(
2
0
2
µ=τλτ∫
t
du (6)
Подставляя функцию ),( λτu в (6) получаем уравнение относительно λ :
2
),(
2
2
),(
2 )(
1
µ=ττ−
λ
+τρ ∫∫
λλ tGtE
dtd . (7)
Если ),0[ t∈λρ , то решение (7)
ρ
µ
−
ρ
=λ
2
2
0
2
3
t . Если t≥λρ (в этом случае
∅=λ),(tE ), то решение (7)
3
3
0
µ
=λ
t
. Таким образом, функция ),( 0λτu удов-
летворяет ограничениям (2) и, как строго показано в [9], максимизирует функ-
ционал τττ−∫ dut
t
0
)()( . Множество всех значений ),( 0λτu в момент времени τ
образуют шар переменного радиуса ),,,( µρτtR .
По определению ),( 0λτu выполняется соотношение
p
t
SdtRttU ⋅τµρττ−=ρµ ∫
0
),,,()(),,( . Для отображения ),,( σνtV определим функ-
цию ),,,( νστtR таким же образом. Функции ),,,( µρτtR , ),,,( νστtR характери-
зуют возможности игроков на протяжении игры.
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ ПРИ ИНТЕГРАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОГРАНИЧЕНИЯХ
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 77
Условие 1 (Л.С. Понтрягина) ),,,(),,,( νστ>µρτ tQtR , для всех 0≥t ,
],0[ t∈τ .
Условие 1 выражает преимущество преследователя над убегающим и вы-
полняется, если σ>ρ , ν>µ ,
ρ
µ
<
σ
ν
.
Основной результат. Обозначим 21),( tzzzt +=ξ . Введем функцию
( ){ }vSvStRtztvzt
pp −+ν−µσ−ρττ−∈αξ−≥α=τα ),,,()(),(:0sup),,,( . (8)
Поскольку vSv
p −∈0 для всех p
Rv ∈ и p
StR ),,,(0 ν−µσ−ρτ∈ , то при 0=z
выполняется +∞=τα ),,,( vzt . Если 0≠z , то функция ),,,( vzt τα принимает ко-
нечные значения и к тому же равномерно ограничена по ],0[ t∈τ , p
Rv ∈ .
Время окончания игры определим таким образом:
≥τα≥= ∫ σ≤
1),,,(inf:0inf)(
0
t
v
vzttzT . (9)
Теорема. Пусть для конфликтно-управляемого процесса (1) выполнено ус-
ловие 1, и для некоторого начального состояния 0
z выполняется +∞<)( 0
zT .
Тогда траектория процесса может быть приведена из начального состояния 0
z
на терминальное множество M в момент времени )( 0
zTT = .
Доказательство. Пусть управление убегающего на промежутке времени
],0[ T некоторая допустимая функция )(τv . Рассмотрим контрольную функцию
∫ τττα−=
t
dvTth
0
))(,,(1)( . Легко видеть )(th – абсолютно непрерывная функция
времени. Поскольку 1)0( =h , 0)( =Th , и функция )(th – убывает, то существует
минимальный момент времени ],0[ Tt ∈∗ , такой, что 0)( * =th . Определим
управление преследователя. Пусть ),(1 vU τ , ),(2 vU τ отображения следующего
вида:
)},(),,())((:{),( 0
1 zTvTvuTUuvU ξτα−∈−τ−∈=τ ,
}0))((:{),(2 =−τ−∈=τ vuTUuvU .
Управление )(τu определим по следующей формуле:
∈ττ∈τ
∈ττ∈τ
=τ
].,[),,(),(
],,0[),,(),(
),(
*22
*11
TtvUvu
tvUvu
vu (7)
Запишем формулу Коши для системы (1):
А.П. ИГНАТЕНКО
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 78
∫ ττ−ττ−++=
T
dvuTTzzTz
0
0
2
0
11 ))()()(()( ,
∫ τ+τα−+=
T
dTzzvTTzzTz
0
0
2
0
1
0
2
0
11 ))(,,()( ,
ττα−+= ∫
T
dvTTzzTz
0
0
2
0
11 ),,(1)()( .
Таким образом, выполняется 0)(1 =Tz или MTz ∈)( . Покажем теперь, что
введенное управление ),( vu τ является допустимым на отрезке времени ],0[ T .
( ) p
SvtRTuT +ν−µσ−ρττ−∈ττ− ),,,()()()( ,
≤+ν−µσ−ρτ=τ vtRu ),,,()(
ρ≤+σ−ρ≤ v .
Далее,
=τ+ν−µσ−ρτ=ττ ∫∫
TT
dvtRdu
0
2
0
2
),,,()(
≤ττ+ττν−µσ−ρτ+τν−µσ−ρτ= ∫∫∫
TTT
dvdvtRdtR
0
2
00
2
)()(),,,(2)),,,((
≤ν+τττν−µσ−ρτ+ν−µ≤ ∫∫
2
0
2
0
22 )()),,,((2)(
TT
dvdtR
222 )(2)( µ≤ν+νν−µ+ν−µ≤ .
Теорема доказана.
О.П. Ігнатенко
ПРО ОДНУ ЗАДАЧУ ПЕРЕСЛІДУВАННЯ ПРИ ІНТЕГРАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧНИХ
ОБМЕЖЕННЯХ
Розглядається диференційна гра переслідування при наявності геометричних та інтегральних
обмежень на керування. Побудована розв’язуюча функція системи, знайдені умови, при яких
гра може бути закінчена за скінчений час.
O.P. Ignatenko
ON THE ONE PURSUIT PROBLEM UNDER INTEGRAL-GEOMETRIC CONSTRAINTS
This paper deals with differential pursuit game under geometric and integral constraints on controls.
There is constructed resolving function of system and found game ending conditions.
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ ПРИ ИНТЕГРАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОГРАНИЧЕНИЯХ
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 79
1. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. – М.: Наука, 1988. – 2. – 576 с.
2. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. – М.: Наука, 1970. – 420 с.
3. Красовский Н.Н. К задаче преследования в случае линейных однотипных объектов //
ПММ. – 1966. – 30. – № 2. – C. 209 – 225.
4. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. – Киев: Наук. думка, 1992. – 384 с.
5. Пшеничный Б.Н., Онопчук Ю.Н. Линейные дифференциальные игры с интеграль-
ными ограничениями // Известия АН СССР, Техническая кибернетика. – 1968. – № 1.
– C. 13 – 22.
6. Никольский М.С. Прямой метод в линейных дифференциальных играх с интеграль-
ными ограничениями // Управляемые системы. – Новосибирск: Изд-во СО АН СССР,
1969. – № 2. – С. 49 – 59.
7. Азимов А.Я., Фан Зуй Хай. Дискретные игры с интегральными ограничениями. –
Баку, 1980. – 35 с. – Деп. Министерство высшего и среднего специального
образования Азейбарджанской ССР; № 3164-80.
8. Чикрий А.А., Безмагорычный В.В. Метод разрешающих функций в линейных
дифференциальных играх с интегральными ограничениями // Автоматика. – 1993. –
№ 4. – С. 26 – 36.
9. Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными
ресурсами. – М.: Наука, 1974. – 368 с.
Получено 14.05.2007
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-84996 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:01:11Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Игнатенко, А.П. 2015-07-18T06:13:53Z 2015-07-18T06:13:53Z 2007 Об одной задаче преследования при интегрально-геометрических ограничениях / А.П. Игнатенко // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2007. — № 6. — С. 74-79. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84996 518.9 This paper deals with differential pursuit game under geometric and integral constraints on controls. There is constructed resolving function of system and found game ending conditions. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Об одной задаче преследования при интегрально-геометрических ограничениях On the one pursuit problem under integral-geometric constraints Article published earlier |
| spellingShingle | Об одной задаче преследования при интегрально-геометрических ограничениях Игнатенко, А.П. |
| title | Об одной задаче преследования при интегрально-геометрических ограничениях |
| title_alt | On the one pursuit problem under integral-geometric constraints |
| title_full | Об одной задаче преследования при интегрально-геометрических ограничениях |
| title_fullStr | Об одной задаче преследования при интегрально-геометрических ограничениях |
| title_full_unstemmed | Об одной задаче преследования при интегрально-геометрических ограничениях |
| title_short | Об одной задаче преследования при интегрально-геометрических ограничениях |
| title_sort | об одной задаче преследования при интегрально-геометрических ограничениях |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/84996 |
| work_keys_str_mv | AT ignatenkoap obodnoizadačepresledovaniâpriintegralʹnogeometričeskihograničeniâh AT ignatenkoap ontheonepursuitproblemunderintegralgeometricconstraints |