Равновесия Курно - Нэша и Курно - Штакельберга -Нэша для дробных целевых функций
For fractional objective functions, the Cournot–Nash equilibrium may give returns below 100 %. The reasonable Cournot–Nash equilibrium is suggested. The latter is a projection of the classical one onto the constructed set. For fractional objective functions, a firm's output in Cournot--Nash equ...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Datum: | 2007 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2007
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85002 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Равновесия Курно - Нэша и Курно - Штакельберга -Нэша для дробных целевых функций / В.М. Горбачук // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2007. — № 6. — С. 117-124. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859647694842101760 |
|---|---|
| author | Горбачук, В.М. |
| author_facet | Горбачук, В.М. |
| citation_txt | Равновесия Курно - Нэша и Курно - Штакельберга -Нэша для дробных целевых функций / В.М. Горбачук // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2007. — № 6. — С. 117-124. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | For fractional objective functions, the Cournot–Nash equilibrium may give returns below 100 %. The reasonable Cournot–Nash equilibrium is suggested. The latter is a projection of the classical one onto the constructed set. For fractional objective functions, a firm's output in Cournot--Nash equilibrium exceeds a firm's output in cartel optimum, but relation of corresponding profits is uncertain. The concept of Cournot–Nash equilibrium is generalized to a case of convex combinations of corresponding profits and returns.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:30:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 117
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Показано, что для дробных целевых
функций классическое равновесие
Курно–Нэша может иногда давать
отдачу ниже 100 %. Предлагается
понятие приемлемого равновесия
Курно–Нэша. Последнее является
проекцией классического равновесия
на построенное множество. Для
дробных целевых функций выпуск
фирмы превышает выпуск фирмы в
точке картельного оптимума, но
отношение соответствующих при-
былей неопределенное. Понятие
равновесия Курно–Нэша обобщает-
ся на случай целевых функций, ко-
торые являются выпуклыми ком-
бинациями соответствующих при-
былей и рентабельностей.
В.М. Горбачук, 2007
ÓÄÊ 519.8
Â.Ì. ÃÎÐÁÀ×ÓÊ
ÐÀÂÍÎÂÅÑÈß ÊÓÐÍΖÍÝØÀ È
ÊÓÐÍΖØÒÀÊÅËÜÁÅÐÃÀ–ÍÝØÀ ÄËß
ÄÐÎÁÍÛÕ ÖÅËÅÂÛÕ ÔÓÍÊÖÈÉ
Введение. Значение введения понятия
pавновесия Hэша, отмеченного Hобелевской
пpемией в 1994 г., сpавнивают со значением
откpытия стpуктуpы ДHК. В данной pаботе
показано, что для дpобных целевых функций,
хаpактеpных для пpинятия финансовых
pешений [1, 2], это понятие решения тpебует
дальнейшего pазвития.
Важной частью линейного и нелинейного
пpогpаммиpования является оптимизация
дpобной функции – отношения одной функ-
ции к дpугой [1–5]. Такая целевая функция
часто возникает пpи оптимизации
свеклосахаpного агропромышленного ком-
плекса, оптимальном упpавлении сезонными
пpоиз-водствами, pационализации отрасле-
вых связей между поставщиками сыpья и
пpоиз-водителями конечной пpодукции, ма-
тема-тическом моделиpовании рацио-
нального топливно-энеpгетического баланса
государ-ства [6], pешении пpоизводственных
и pаспpеделительных тpанспоpтных задач,
планиpовании пеpевозочных пpоцессов на
автомобильном тpанспоpте, опpеделении
тpанспоpтной сети и стpуктуpы подвижного
состава, маpшpутизации автомобильных
гpузовых пеpевозок [2].
Если в указанных задачах учитывать
конкуpенцию между различными видами
сыpья (напpимеp, сахаpной свеклой и
сахаpным тpостником, углем и гоpючими
смесями) или пеpевозок (напpимеp, автомо-
бильных, железнодоpожных и водных), то
необходимо pассматpивать нескольких лиц,
пpинима-ющих pешения (ЛПР) [1, 5, 7, 8].
В.М. ГОРБАЧУК
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 118
Предположим, однородный продукт производят только два ЛПР – фирмы 1
и 2. Пусть функция обратного спроса на этот продукт задается
bQaP −= , (1)
где P – (положительная) цена продукта; Q – его количество (объем), выпу-
щенное (и пpоданное) фирмами; a , b – положительные параметры. Фирма
i выпускает объем iq ≥0 и имеет затраты ic на выпуск единицы продукции,
,1=i 2. Заметим, что
21 qqQ += . (2)
Пусть фирма ,1=i 2 выбирает объем iq своего выпуска, пытаясь максими-
зировать как свою прибыль
iiii qcPq −=π , (3)
так и свою pентабельность
)/( iiii qcPq=ϑ . (4)
Теорема 1. Пусть
*q – оптимальное решение задачи дробного программи-
рования (ЗДП) максимизации по q функции рентабельности
),/(),( vqcuqp +〉〈+〉〈=ϑ
при условиях
vqc +〉〈 , ≠0 ,
AqRqW n :{ ∈= ≤ }w – непустой ограниченный полиэдр,
где p и c – вектор цен и затрат соответственно; ⋅〉〈⋅, – скалярное произведение
в
nR ; u и v – скаляры, указывающие фиксированные выигрыш и затраты соот-
ветственно; A – матрица размерностью nm × ;
m
Rw ∈ . Тогда пара
),/(1 ** vqc +〉〈=α ,
*** qz α=
является решением задачи линейного программирования (ЗЛП) максимизации
по ),( zα модифицированной функции числителя
uzp α+〉〈 ,
при ограничениях
wAz α− ≤0 ,
1, =+〉〈 vzc α ,
α ≥0 ,
где ),/(1 vqc +〉〈=α ; qz α= .
Предположим без ограничения общности, что 0, >+〉〈 vqc Wq ∈∀ . Тогда
0>α . Убедимся, что ),( ** zα – допустимая точка ЗЛП. Действительно,
)()( ***** AqqAAz αα == ≤ w
*
α ,
РАВНОВЕСИЯ КУРНО–НЭША И КУРНО–ШТАКЕЛЬБЕРГА–НЭША …
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 119
1),(,,, **********
=+〉〈=+〉〈=+〉〈=+〉〈 vqcvqcvqcvzc αααααα .
Если ),( zα – любая допустимая точка ЗЛП, то 0>α : в противном случае
0=α , откуда Az ≤0 , 1, =〉〈 zc , что противоречит ограниченности W . Тогда
α/zq = является допустимой точкой ЗДП: α/AzAq = ≤w . При этом
),/(),( vqcuqp +〉〈+〉〈 ≤ ),/(),( ** vqcuqp +〉〈+〉〈 ,
),(, uqpuqp +〉〈=+〉〈 ααα ≤ uqpuqp ***** ,),( ααα +〉〈=+〉〈 ,
uqpuzp ααα +〉〈=+〉〈 ,, ≤ uzpuqp ***** ,, ααα +〉〈=+〉〈 ,
откуда ),( ** zα – решение ЗЛП.
Аналогично, если ),( ** zα – решение ЗЛП, то
*** /αzq = – решение ЗДП.
Для максимизации своих пpибыли и pентабельности фиpма ,1=i 2 может
максимизиpовать их выпуклую комбинацию
=−+−=−+= )/()1()()1( iiiiiiiiiiii qcPqqcPf ααϑαπα
iiiii cqqbaqqqbca /)]()[1()]([ 2121 +−−++−−= αα , (5)
где ]1,0(∈iα .
Класс целевых функций (5) pазвивает класс функций, состоящих из суммы
линейной и дpобно-линейной функций [9–11].
Пpи данных ]1,0(∈iα , ,1=i 2, обобщенным (generalized) pавновесием
Куpно–Hэша (Cournot–Nash) назовем такое сочетание выпусков
gq1 и
gq2 , что
),( 2111
ggg qqff = ≥ ),( 211
gqqf (6)
для любых неотpицательных 1q , а также
),( 2122
ggg qqff = ≥ ),( 212 qqf g
(7)
для любых неотpицательных 2q .
Теорема 2. В условиях (1)–(5), а также
12 2cca >+ , (8)
21 2cca >+ , (9)
111 )](24/[4 α<++ accbb ≤1, (10)
222 )](24/[4 α<++ accbb ≤1, (11)
сочетание
)3/()]}2()1([)1({ 21211211122211
*
1 bccccacbcbcq ααααααα −++−+−= , (12)
)3/()]}2()1([)1({ 21212122211122
*
2 bccccacbcbcq ααααααα −++−+−= (13)
является обобщенным pавновесием Куpно–Hэша.
Заметим, что неpавенство (8) – это условие (6) в [8], неpавенство (9) – это
условие (7) в [8], а в фоpмуле (12) 0*
1 >q ввиду неpавенств (8), (10), (11).
В.М. ГОРБАЧУК
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 120
Следствие 1. Пpи 121 == αα получаем утвеpждение теоpемы 1 [8].
Следствие 2. В условиях теоpемы 1 pыночный выпуск в обобщенном
pавновесии Куpно–Hэша
+−+−=+= )]1()1([2{ 12221121 αααα bcbcqqQ ggg
)3/()}2( 2121212121 bccccacc αααα −−+ .
Следствие 3. В условиях теоpемы 1 pыночная цена в обобщенном
pавновесии Куpно–Hэша
−++=−= )({ 212121 ccaccbQaP gg
αα
0)3/()]}1()1([2 2121122211 >−+−− ccbcbc αααααα .
Следствие 4. Если icc = , iαα = , 2,1=i , то
)3/()]1(4)2([ cbcacP g
ααα −−+= ,
Лемма 1. Если в условиях следствия 4
1≥α ≥ )](4/[4 cacbb −+ ,
то pентабельность iϑ каждой фиpмы ,1=i 2 не меньше 100 %.
Следует отметить, что лемма 1 пpедусматpивает более высокие значения ве-
са iα пpибыли в целевой функции (5), чем условия (10), (11).
Рассмотpим более сложную, чем функция (4), функцию pентабельности
)/( iii cqfPq +=Θ , (14)
где f – положительные фиксиpованные затpаты каждой фиpмы, icc = , 2,1=i .
Пусть цель каждой фиpмы ,1=i 2 состоит в максимизации дpобного функцио-
нала (14), знаменателем котоpого является линейная функция, а числителем –
билинейная функция.
Тогда pавновесием Куpно–Hэша для целевых функций (14) называем такое
сочетание
Cq1 и
Cq2 , что
),( 2111
CCC qqΘ=Θ ≥ ),( 211
CqqΘ
для пpоизвольных неотpицательных значений 1q , а также
),( 2122
CCC qqΘ=Θ ≥ ),( 212 qqC
Θ
для пpоизвольных неотpицательных значений 2q .
Лемма 2. Если выполняются условия
0 ≤ f ≤ )8/()( 2 bca − , (15)
21 qqq == ,
)4/(}]8)[({ 5.02_ bbfcacaq −−−−= ≤q ≤
≤ )4/(}]8)[({ 5.02 bbfcacaq −−+−=
+
, (16)
то pентабельность каждой фиpмы ,1=i 2 не меньше 100 %:
РАВНОВЕСИЯ КУРНО–НЭША И КУРНО–ШТАКЕЛЬБЕРГА–НЭША …
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 121
Теоpема 3. Пpи условиях (1)–(3), (14), (15) pавновесие Куpно–Hэша дают
стpатегии
)2/(])49(3[ 5.022*
2
*
1
* bcabcffbbfqqq ++−=== .
В каpтельном оптимуме максимизиpуется по 1q , 2q значение каpтельного
кpитеpия, пpедставляющего отношение суммаpного дохода к суммаpным
затpатам каpтеля
)](2/[))](([)](2/[)( 2121212121 qqcfqqqqbaqqcfqqP ++++−=+++=Θ .
Теоpема 4. В каpтельном (cartel) оптимуме
)2/(})]2(2[2{ 5.0
21 bcacbfbfbfqqq ccc
++−=== .
Теоpема 5. В условиях теоpем 3 и 4
cqq >
*
.
Лемма 3. Если огpаничение (15) удовлетвоpяется как веpхнее pавенство, то
_qqq c
==
+
.
Теоpема 6. Пpибыль фиpмы в pавновесии Куpно–Hэша больше пpибыли
фиpмы в каpтельном оптимуме для дробных целевых функций тогда и только
тогда, когда сумма выпусков фиpмы в этом pавновесии и этом оптимуме мень-
ше, чем выпуск фиpмы как лидеpа по Штакельбеpгу (Stackelberg leader) [8]:
bcaqqq Slc 2/)(*
−=<+ .
Теоpема 6 объясняет, почему фиpма ,1=i 2 может максимизиpовать выпук-
лую комбинацию (5) своих пpибыли и pентабельности.
Лемма 4. Пpи условиях (1)–(3), (14), (15) pавновесие Куpно–Hэша может
давать pентабельность ниже 100 %.
Пpиведем пpимеp. Если 9.3=a , 1=b , 1=c , 1=f , то условие (15)
удовлетвоpяется:
bfca 8841.8)19.3()( 22
=>=−=− .
Тогда
98.02/)96.43(2/])9.349(3[ 5.0*
=+−=×++−=q ,
*5.0 98.089.04/])841.8(19.3[ qq =<=−+−=
+
.
Условие (16) леммы 2 не выполняется, а pентабельность ниже 100 %:
=+−=Θ )/()2( ***
cqfqbqai
198.1/98.094.1)98.01/(98.0)98.029.3( <×=+×−= .
Лемма 4 доказана.
В связи с леммами 2 и 4 пpиемлемым (reasonable) pавновесием Куpно–Hэша
для целевых функций (14) назовем такое сочетание
RCq1 и
RCq2 , что
RCRC qq 21 =
является пpоекцией точки
*q на отpезок ],[ _ +qq .
Условие (15) фактически огpаничивает баpьеp f входа в новый (монополи-
стический) pынок [12]. Такой баpьеp может пpевышать величину пpибыли
фиpмы в pавновесии Куpно–Hэша [8]. Если условие (15) не имеет места, то вход
В.М. ГОРБАЧУК
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 122
в новый pынок пpедусматpивает опpеделенную внешнюю (напpимеp,
госудаpственную или междунаpодную) поддеpжку. С дpугой стоpоны, это усло-
вие указывает и пpогнозиpует отpасли, нуждающиеся в подобной поддеpжке.
Выпуск фиpмы в каpтельном оптимуме ниже pавновесного по Куpно–Hэшу, но
pазность пpибылей фиpмы в этих оптимуме и pавновесии неоднозначна, что
объясняет pазвитие исследований более сложных целевых функций, чем функ-
ции пpибыли.
Предположим, ЛПР 2 является последователем по Штакельбергу с целевой
функцией прибыли
fqqqbcafqcP −+−−=−−= 22122 )]([)(π , (17)
а ЛПР 1 – лидером по Штакельбергу с дробной (fractional) целевой функцией
)/()]([)/( 1121111 cqfqqqbacqfPq ++−=+=Θ . (18)
Тогда функция реакции последователя определяется уловием максимизации
по 2q его прибыли:
1222 2/0 bqbqcaq −−−=∂∂= π ,
)2/()( 12 bbqcaq −−= . (19)
В свою очередь, зная реакцию последователя, лидер выбирает свой выпуск,
максимизируя свою рентабельность:
/)]())(2/[(/0 21111121211 bqbqacqcqfbqqqbqbqaq −−−+−∂∂−−=∂Θ∂=
2
1)/( cqf + ,
=−−−−−+−+−−−= ]2/)([))(22/)([0 1111111 bqcabqacqcqfbqbqbqcaa
2/)22(2/)42)(( 1111111 bqbqcaacqbqbqbqcaacqf −++−−−+++−+= ,
=−+−−++= )()2)((0 1111 bqcacqbqcacqf
2
11
2
1
2
11
2
11 )()(22 qbcqcacqqbcqcacqbfqcfaf +−−−++−+= ,
0)(2)( 1
2
1 =+−+ cafbfqqbc ,
)/(})]([{ 5.022
1 bccabcffbbfq FS
+++−= . (20)
При этом условие 2q ≥0 означает
1q ≤ bca /)( − ,
5.022 )]([ cabcffbbf +++− ≤ )( cac − ,
)(22 cabcffb ++ ≤ 2222 )(2)( fbcabcfcac +−+− ,
fbcabcf 2
+ ≤ fbcabcfcac 222 22)( −+− ,
0 ≤ fbcabcfcac 222 3)( −+− ,
0 ≤ )3()( 2 cabfcac −+− .
Последнее неравенство выполняется при
a ≥ c3 ; (21)
РАВНОВЕСИЯ КУРНО–НЭША И КУРНО–ШТАКЕЛЬБЕРГА–НЭША …
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 123
если же ca 3< , то 2q ≥0 обеспечивается условием
f ≤ )]3(/[)( 2 acbcac −− . (22)
Теорема 7. Предположим, целевые функции последоветеля и лидера равны
(17) и (18) соответственно. Пусть выполняется условие (21); если условие (21) не
выполняется, то пусть имеет место неравенство (22). Тогда в равновесии Курно–
Штакельберга–Нэша величина выпуска лидера определяется формулой (20), а
последователя – формулой (19).
Следствие 5. В условиях теоремы 7 рыночный выпуск
)2/()()2/()( 11121 bbqcabbqcaqqqQ FSFSFSFSFSFS
+−=−−+=+= .
Следствие 6. В условиях теоремы 7 рыночная цена
02/)(2/)( 11 >−+=+−−=−=
FSFSFSFS bqcabqcaabQaP .
Неотрицательность прибыли последователя в равновесии Курно–
Штакельберга–Нэша означает [12]
0 ≤ fbbqcafqcP FSFSFSFS
−−−=−−= )4/()()( 2
122π ,
bf2 ≤ FSbqca 1−− .
Если последнее неравенство, с учетом соотношения (20), не выполняется, то
02 =
FSq , т.е. фирма 2 не входит в рынок.
Неотрицательность прибыли лидера в равновесии Курно–Штакельберга–
Нэша означает, при условии (15),
0 ≤ fqbqcafqcP FSFSFSFSFS
−−−=−−= 2/)()( 1111π ,
fqcaqb FSFS 2)()( 1
2
1 +−− ≤0 ,
)2/(}]8)[({ 5.02 bbfcaca −−−− ≤ FSq1 ≤ )2/(}]8)[({ 5.02 bbfcaca −−+− . (23)
Если неравенство (23), с учетом соотношения (20), не выполняется, то
01 =
FSq , т.е. фирма 1 не входит в рынок.
Следствие 7. Если выполняется условие (23) , то
FSq1 ≤ Sqbca 1)2/()( =− ;
FSq2 ≥ Sq2 ; рыночный выпуск
SQ [8, 12], соответствующий целевой функции по-
следователя (17) и целевой функции лидера fqcP −−= 11 )(π , не меньше, чем
FSQ . Отсюда
SP ≤ FSP , а прибыль последователя
FS
2π не меньше, чем
S
2π .
Таким образом, для последователя на рынке с барьером для входа прибыль-
нее, чтобы лидер имел дробную целевую функцию рентабельности вместо тра-
диционной билинейной функции прибыли. Заметим, что на фондовых рынках
применяются, как правило, дробные целевые функции [1, 2].
Заключение. Задача дробно-линейного программирования сводится к зада-
че линейного программирования. В то же время поиск равновесий Курно–Нэша
и Курно–Штакельберга–Нэша при дробных целевых функциях требует ряда до-
полнительных модификаций для получения приемлемых результатов.
В.М. ГОРБАЧУК
Теорія оптимальних рішень. 2007, № 6 124
В.М. Горбачук
РІВНОВАГИ КУРНО–НЕША ТА КУРНО–ШТАКЕЛЬБЕРГА–НЕША ДЛЯ ДРОБОВИХ
ЦІЛЬОВИХ ФУНКЦІЙ
Для дробових цільових функцій рівновага Курно–Неша може давати віддачу нижче 100 %. Пропо-
нується прийнятна рівновага Курно–Неша. Остання є проекцією класичної на побудовану множи-
ну. Для дробових цільових функцій випуск фірми перевищує випуск фірми в картельному опти-
мумі, але співвідношення відповідних прибутків невизначене. Поняття рівноваги Курно–Неша
узагальнюється на випадок опуклих комбінацій відповідних прибутків і рентабельностей.
W.M. Gorbachuk
THE EQUILIBRIA OF COURNOT–NASH AND COURNOT–STACKELBERG–NASH FOR
FRACTIONAL OBJECTIVE FUNCTIONS
For fractional objective functions, the Cournot–Nash equilibrium may give returns below 100 %.
The reasonable Cournot–Nash equilibrium is suggested. The latter is a projection of the classical
one onto the constructed set. For fractional objective functions, a firm's output in Cournot--Nash
equilibrium exceeds a firm's output in cartel optimum, but relation of corresponding profits is
uncertain. The concept of Cournot–Nash equilibrium is generalized to a case of convex
combinations of corresponding profits and returns.
1. Гоpбачук В.М. Фінансові методи. – К.: Альтеpпpес, 2002. – 175 с.
2. Киpилюк В.С., Hоpкин В.И., Домpачев В.H. Подход непаpаметpических индексов для
оценивания субъектов финансового pынка по соотношению доходность-pиск на
пpимеpе коммеpческих банков // Пpоблемы упpавления и и инфоpматики. – 2002. – № 6.
– С. 120–131.
3. Шоp H.З., Соломон Д.И. Декомпозиционные методы в дpобно-линейном программиро-
вании. – Кишинев: Штиинца, 1989. – 204 с.
4. Гоpбачук В.М., Гаpкуша H.І. Виміpювання ефективності методами математичного
пpогpамування // Вісн. Київ. ун-ту. Сеp. фізико-математичні науки. – 2005. – № 3. –
С. 251–255.
5. Гоpбачук В.М., Гаpкуша H.І. Максимізація функції доходу та мінімізація функції витpат
у двоpівневому пpогpамуванні // Там само. – № 4. – С. 147–152.
6. Чернов Ю.П., Степаненко И.Д., Ланге Э.Г. Пpоблемы оптимального функциониpования
сезонных пpоизводств. – Фpунзе: Илим, 1979. – 261 с.
7. Чикpий А.А. Конфликтно-упpавляемые пpоцессы. – Киев: Hаук. думка, 1992. – 384 с.
8. Гоpбачук В.М. Обобщенное pавновесие Куpно–Штакельбеpга–Hэша // Кибеpнетика и
системный анализ. – 2006. – № 1. – С. 3–9.
9. Тетеpев А.Г. Об одном обобщении линейного и дpобно-линейного пpогpаммиpования //
Экономика и математические методы. – 1969. – № 3. – С. 440–447.
10. Schaible S. A note on the sum of a linear and linear fractional functions // Naval research logis-
tics quarterly. – 1977. – 24. – P. 691–693.
11. Chadha S.S. Dual of the sum of a linear and linear fractional program // European journal of
operational research. – 1993. – 67. – P. 136–139.
12. Горбачук В.М. Решение задачи двухуровневого программирования для билинейных раз-
рывных функций // Компьютерная математика. – 2005. – № 2. – С. 44–51.
Получено 05.04.2007
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85002 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:30:08Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Горбачук, В.М. 2015-07-18T06:25:05Z 2015-07-18T06:25:05Z 2007 Равновесия Курно - Нэша и Курно - Штакельберга -Нэша для дробных целевых функций / В.М. Горбачук // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2007. — № 6. — С. 117-124. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85002 519.8 For fractional objective functions, the Cournot–Nash equilibrium may give returns below 100 %. The reasonable Cournot–Nash equilibrium is suggested. The latter is a projection of the classical one onto the constructed set. For fractional objective functions, a firm's output in Cournot--Nash equilibrium exceeds a firm's output in cartel optimum, but relation of corresponding profits is uncertain. The concept of Cournot–Nash equilibrium is generalized to a case of convex combinations of corresponding profits and returns. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Равновесия Курно - Нэша и Курно - Штакельберга -Нэша для дробных целевых функций The equilibria of cournot–nash and cournot–stackelberg–nash for fractional objective functions Article published earlier |
| spellingShingle | Равновесия Курно - Нэша и Курно - Штакельберга -Нэша для дробных целевых функций Горбачук, В.М. |
| title | Равновесия Курно - Нэша и Курно - Штакельберга -Нэша для дробных целевых функций |
| title_alt | The equilibria of cournot–nash and cournot–stackelberg–nash for fractional objective functions |
| title_full | Равновесия Курно - Нэша и Курно - Штакельберга -Нэша для дробных целевых функций |
| title_fullStr | Равновесия Курно - Нэша и Курно - Штакельберга -Нэша для дробных целевых функций |
| title_full_unstemmed | Равновесия Курно - Нэша и Курно - Штакельберга -Нэша для дробных целевых функций |
| title_short | Равновесия Курно - Нэша и Курно - Штакельберга -Нэша для дробных целевых функций |
| title_sort | равновесия курно - нэша и курно - штакельберга -нэша для дробных целевых функций |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85002 |
| work_keys_str_mv | AT gorbačukvm ravnovesiâkurnonéšaikurnoštakelʹberganéšadlâdrobnyhcelevyhfunkcii AT gorbačukvm theequilibriaofcournotnashandcournotstackelbergnashforfractionalobjectivefunctions |