Одно обобщение теоремы об обратном образе
Установлена L ⊗ B ⊗ B-измеримость графиков специальных многозначных отображений, которые играют важную роль при построении управлений динамичными объектами на основе измеримого выбора и обеспечивают суперпозиционную L-измеримость в игровых задачах. Встановлено L ⊗ B ⊗ B-вимірність графіків спеціальн...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85010 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Одно обобщение теоремы об обратном образе / И.С. Раппопорт // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2012. — № 11. — С. 14-20. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859907217598185472 |
|---|---|
| author | Раппопорт, И.С. |
| author_facet | Раппопорт, И.С. |
| citation_txt | Одно обобщение теоремы об обратном образе / И.С. Раппопорт // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2012. — № 11. — С. 14-20. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | Установлена L ⊗ B ⊗ B-измеримость графиков специальных многозначных отображений, которые играют важную роль при построении управлений динамичными объектами на основе измеримого выбора и обеспечивают суперпозиционную L-измеримость в игровых задачах.
Встановлено L ⊗ B ⊗ B-вимірність графіків спеціальних багатозначних відображень, які відіграють важливу роль при побудові керувань динамічними об’єктами на основі теорем вимірного вибору та забезпечують суперпозиційну L -вимірність в ігрових задачах.
The L ⊗ B ⊗ B-measurability of the graphs of special set-valued maps, which play an important role in the construction of control over dynamic objects on the basis of the measurable choice theorems and ensure the superimposed L -measurability in gaming problems, is established.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:00:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
14 Теорія оптимальних рішень. 2012
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Установлена ⊗ ⊗L B B -измери-
мость графиков специальных мно-
гозначных отображений, кото-
рые играют важную роль при
построении управлений динамич-
ными объектами на основе изме-
римого выбора и обеспечивают су-
перпозиционную L -измеримость
в игровых задачах.
И.С. Раппопорт, 2012
ÓÄÊ 517.977
È.Ñ. ÐÀÏÏÎÏÎÐÒ
ÎÄÍÎ ÎÁÎÁÙÅÍÈÅ ÒÅÎÐÅÌÛ
ÎÁ ÎÁÐÀÒÍÎÌ ÎÁÐÀÇÅ
В математической теории управления и тео-
рии динамических игр [1, 2] при выборе
управляющих воздействий часто использу-
ются принципы измеримого выбора, восхо-
дящие к классической теореме Филиппова о
неявных функциях [3]. В игровых задачах в
этом смысле ключевую роль играют спе-
циальные многозначные отображения [4, 5],
обладающие, как показано в [6], свойством
совокупной ⊗L B -измеримости [7], а сле-
довательно, суперпозиционной L -измеримо-
сти [7, 8], которая дает возможность строить
допустимые управления, реализующие га-
рантированный результат [5]. В данной
работе используется подход, базирующийся
на методике, развитой в [7], для случая,
когда не требуется замкнутости значения
специальных многозначных отображений
для существования соответствующих селек-
торов. Он позволяет обобщить результаты
работ [7, 8], касающиеся теоремы об обрат-
ном образе. При этом, установлена
⊗ ⊗L B B -измеримость графиков специ-
альных многозначных отображений, что с
учетом теоремы Аумана [9], гарантирует без
требования замкнутости значения много-
значного отображения существование соот-
ветствующих ⊗L B -измеримых селекторов.
Работа выполнена при поддержке ДФФД Украи-
ны. Проект Ф40.1/21
ОДНО ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ОБРАТНОМ ОБРАЗЕ
Теорія оптимальних рішень. 2012 15
Для любого замкнутого множества Ω евклидового пространства
k
R обозначим L – множество всех его измеримых по Лебегу подмножеств [6, 7]
и пусть ( )n
B R – σ -алгебра борелевских множеств пространства l
R .
Обозначим ⊗L B σ -алгебру, порожденную произведением множеств L B× ,
где L ∈L , ( )lB ∈B R . Множества, принадлежащие этой σ -алгебре, будем
называть ⊗L B -измеримыми (более точно ( )l⊗L B R -измеримыми). Ана-
логично определяются ⊗ ⊗L B B -измеримые множества.
Вектор-функцию ( , ), : ,l mf x fω Ω × →R R будем называть ( )l⊗L B R -из-
меримой, если для любого борелевского множества ( )mB ∈B R его обратный
образ { }1( ) ( , ) : ( , )lf B x f x B− = ω ∈Ω × ω ∈R будет ( )l⊗L B R -измеримым.
Многозначное отображение ( , ), : 2
ml
F x Fω Ω × → R
R , будем называть
( )l⊗L B R -измеримым, если для любого открытого множества mA ⊂ R
его обратный образ { }1( ) ( , ) : ( , )lF A x F x A− = ω ∈Ω × ω ≠ ∅IR будет
( )l⊗L B R -измеримым.
Каждому многозначному отображению ( , ), : 2
ml
F x Fω Ω × → R
R , можно
сопоставить его график gr ( ) ( ){ }, , : ,l mF x z z F x= ω ∈Ω × × ∈ ωR R .
Теорема 1. Пусть для многозначного отображения ( ), , ,F x yω
F : 2
m
l nΩ × × → R
R R , его обратный образ ( )1
F B
−
для любого ( )mB ∈B R
( ) ( )l n⊗ ⊗L B BR R -измерим, а графики многозначных отображений
( , ), : 2 ,
nl
H x Hω Ω × → R
R ( , ), : 2 ,
ml
G x Gω Ω × → R
R ( ) ( )l n⊗ ⊗L B BR R -
измерим и ( ) ( )l m⊗ ⊗L B BR R -измерим, соответственно.
Тогда многозначное отображение ( , ), : 2 ,
ml
xΦ ω Φ Ω × → R
R ( ), xΦ ω =
= ( ) ( ) ( ){ }: , , , , ,ny y H x F x y G x∈ ∈ ω ω ω ≠ ∅IR имеет ( )l⊗ ⊗L B R
( )n⊗B R -измеримый график.
Доказательство. Определим многозначное отображение ( ), , ,x yΓ ω
: 2 ,
ml n lΓ Ω × × → Ω × × R
R R R ( ) ( )( ), , , , , , .x y x F x yΓ ω = ω ω
И.С. РАППОПОРТ
16 Теорія оптимальних рішень. 2012
Покажем, что имеет место соотношение
gr Φ = gr H I ( )1 .grG
−Γ (1)
Рассмотрим многозначное отображение ( ), ,xΨ ω : 2 ,
nlΨ Ω × → R
R
( ), xΨ ω = ( ) ( ){ }: , , , .ny F x y G x∈ ω ω ≠ ∅IR Тогда поскольку ( ), xΦ ω =
( ) ( ), ,H x x= ω Ψ ωI , ( ), l
xω ∈Ω ×R , то получаем
gr Φ = gr H I gr Ψ .
При этом, легко показать, что gr Ψ = ( )1
grG
−Γ .
Действительно, имеем
gr Ψ = ( ) ( ){ }, , : ,l nx y y xω ∈Ω × × ∈ Ψ ωR R =
= ( ) ( ) ( ){ }, , : , , ,l nx y F x y G xω ∈Ω × × ω ω ≠ ∅IR R =
= ( ) ( ) ( ){ }, , : , , grG ,l nx y x y xω ∈Ω × × Γ ω ω ≠ ∅IR R = ( )1 .grG
−Γ
Для каждого множества ( ) ( )1 2
l mL B B× × ∈ ⊗ ⊗L B BR R справедливо
соотношение
( )1
1 2L B B
−Γ × × =
= ( ) ( ) ( ){ }1 2, , : , ,l nx y x y L B Bω ∈Ω × × Γ ω × × ≠ ∅IR R =
= ( ) ( ){ } ( )2 1, , : , ,l n nx y F x y B L Bω ∈Ω × × ω ≠ ∅ × ×I IR R R =
= ( ) ( ) ( ) ( )1
2 1 .n l nF B L B− × × ∈ ⊗ ⊗I L B BR R R
Последнее включение справедливо в силу того, что по условию
для каждого борелевского множества ( )mB ∈B R множество
( )1
F B
− ( ) ( )l n⊗ ⊗L B BR R -измеримо. Поэтому для каждого множества
( ) ( )l mC ∈ ⊗ ⊗L B BR R имеет место включение ( )1
C
−Γ ∈
( ) ( ).l n∈ ⊗ ⊗L B BR R
Тогда с учетом соотношения (1) получаем
gr Φ = gr H I ( )1 grG−Γ ( ) ( )l n∈ ⊗ ⊗L B BR R ,
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Пусть вектор-функция ( ), ,f x yω , : l n mf Ω × × →R R R ,
( ) ( )l n⊗ ⊗L B BR R -измерима, а графики многозначных отображений
( , ), : 2
nl
H x Hω Ω × → R
R , ( , ), : 2 ,
ml
G x Gω Ω × → R
R ( ) ( )l n⊗ ⊗L B BR R -
измерим и ( ) ( )l m⊗ ⊗L B BR R -измерим, соответственно.
ОДНО ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ОБРАТНОМ ОБРАЗЕ
Теорія оптимальних рішень. 2012 17
Тогда многозначное отображение ( , ), : 2 ,
ml
xΦ ω Φ Ω × → R
R ( ), xΦ ω =
= ( ) ( ) ( ){ }: , , , , ,ny y H x f x y G x∈ ∈ ω ω ∈ ωR имеет ( ) ( )l n⊗ ⊗L B BR R -из-
меримый график.
Заметим, что следствие 1 непосредственно следует из теоремы 1 и является
обобщением теоремы об обратном образе [7, стр. 315] и теоремы 3 [8, стр. 346]
на случай незамкнутости значений многозначных отображений.
Лемма 1. Пусть многозначное отображение ( ), ,F xω F : 2 ,
m
lΩ × → R
R
имеет открытые значения и для всякого z ∈ m
R множества
( ) ( ){ }, : ,lx z F xω ∈Ω × ∈ ωR ( )l⊗L B R -измеримы. Тогда это многозначное
отображение ( )l⊗L B R -измеримо и для всякого my ∈R скалярная функция
( )( ), ,y F xρ ω = ( ){ }inf : ,y z z F x− ∈ ω будет ( )l⊗L B R -измеримой.
Доказательство. Пусть mB ⊂ R произвольное открытое множество и D –
счетное плотное множество в m
R . Тогда множество ( )1
F B
−
( )l⊗L B R -изме-
римо, так как имеем
( )1
F B
−
= ( ) ( ){ }, : ,lx F x Bω ∈Ω × ω ≠ ∅IR =
= ( ) ( ){ }, : , для некоторогоlx z F x z Bω ∈Ω × ∈ ω ∈R =
= ( ) ( ){ }, : , для некоторогоlx d F x d D Bω ∈Ω × ∈ ω ∈ IR =
= ( ) ( ){ }, : ,l
d D B
x d F x
∈
ω ∈Ω × ∈ ω
I
U R .
Обозначим ( ),S y α = ( ){ }: ,mz y z∈ ρ < αR открытый шар евклидового
пространства m
R с центром в точке my ∈R радиуса 0α > . Тогда для всякого
my ∈R скалярная функция ( )( ), ,y F xρ ω будет ( )l⊗L B R -измеримой
поскольку имеет место соотношение
( ) ( )( ){ }, : , ,lx y F xω ∈Ω × ρ ω < αR = ( )( )1 , .F S y− α
Далее, говоря о непрерывности вектор-функций и многозначных отобра-
жений, используем общепринятые определения [6, 7].
Вектор-функцию ( ), , ,f x yω : ,l n mf Ω × × →R R R будем называть функ-
цией Каратеодори, если для каждого ny ∈R функция ( ), ,f y⋅ ⋅ ( )l⊗L B R -из-
мерима и при каждом ( ), l
xω ∈Ω ×R ( ), ,f xω ⋅ непрерывна. Аналогично,
многозначное отображение ( ), , ,F x yω : 2 ,
ml n
F Ω × × → R
R R будем называть
И.С. РАППОПОРТ
18 Теорія оптимальних рішень. 2012
отображением Каратеодори, если для каждого ny ∈R отображение ( ), ,F y⋅ ⋅
( )l⊗L B R -измеримо и при каждом ( ), l
xω ∈Ω ×R ( ), ,F xω ⋅ непрерывно.
Лемма 2. Пусть многозначное отображение ( ), , ,F x yω F : Ω ×
2
m
l n× × → R
R R имеет замкнутые значения и является отображением Карате-
одори. Тогда отображение ( ), ,F x yω будет ( ) ( )l n⊗ ⊗L B BR R -измеримым.
Доказательство. При каждом ( ), l
xω ∈Ω ×R многозначное отображение
( ), ,F xω ⋅ непрерывно и поэтому полунепрерывно сверху. Следовательно, для
любого замкнутого множества C ⊂ m
R многозначное отображение ( ), ,xΓ ω
: 2 ,lΓ Ω × →
n
R
R где ( ), xΓ ω = ( ){ }: , ,y F x y C∈ ω ≠ ∅I
n
R , имеет замкнутые
значения. Покажем, что для всякого n
y ∈R скалярная функция ( )( ), ,y xρ Γ ω
будет ( )l⊗L B R -измеримой.
Положим 0ε > и рассмотрим многозначное отображение
( ), xεΓ ω = ( ){ }: , ,ny F x y Cε∈ ω ≠ ∅IR , : ,l
εΓ Ω × → n
R R
где ( ){ }: , .mC z z Cε = ∈ ρ < εR
Все множества ( ), xεΓ ω , ( ), l
xω ∈Ω ×R , открыты, поскольку много-
значное отображение ( ), ,F xω ⋅ полунепрерывно снизу. При этом, для
каждого ny ∈R множества ( ) ( ){ } ( ){, : , ,l lx y x xεω ∈Ω × ∈ Γ ω = ω ∈Ω ×R R :
( ) }: , ,F x y Cεω ≠ ∅I ( )l⊗L B R -измеримы. Поэтому в силу леммы 1
функция ( )( ), ,y xερ Γ ω при всех ny ∈R ( )l⊗L B R -измерима.
Если теперь устремить ε к 0, то функция ( )( ), ,y xερ Γ ω будет стремиться
к функции ( )( ), ,y xρ Γ ω и, следовательно, при каждом
ny ∈R функция
( )( ), ,y xρ Γ ω будет ( )l⊗L B R -измеримой как предел последовательности
( )l⊗L B R -измеримых функций.
В силу теоремы о характеризации [7, стр. 310] ( ) ( )l ngrΓ ∈ ⊗ ×L B BR R
и поэтому множество ( )1
F C
−
будет ( ) ( )l n⊗ ⊗L B BR R -измеримым, так как
( )1
F C
−
= ( ) ( ){ }, , : , ,l nx y F x y Cω ∈Ω × × ω ≠ ∅IR R =
= ( ) ( ){ }, , : ,l nx y y xω ∈Ω × × ∈ Γ ωR R = grΓ .
ОДНО ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ОБРАТНОМ ОБРАЗЕ
Теорія оптимальних рішень. 2012 19
Опять, обратившись к теореме о характеризации, получим, что отображение
( ), ,F x yω ( ) ( )l n⊗ ⊗L B BR R -измеримо.
С помощью теоремы 1 с учетом леммы 2 можно доказать следующую
теорему, которая является аналогом основной теоремы из работы [6, стр. 56].
Теорема 2. Пусть многозначное отображение ( ), , ,F x yω F :
lΩ × ×R
2 ,
m
n× → R
R имеет замкнутые значения и является отображением Карате-
одори, а многозначные отображения ( , ), : 2 ,
nl
H x Hω Ω × → R
R ( , ),G xω
: 2
ml
G Ω × → R
R имеют замкнутые значения и ( )l⊗L B R -измеримы.
Тогда многозначное отображение ( , ), : 2
ml
xΦ ω Φ Ω × → R
R , ( ), xΦ ω =
= ( ) ( ) ( ){ }: , , , , ,ny y H x F x y G x∈ ∈ ω ω ω ≠ ∅IR имеет закнутые значения
и ( )l⊗L B R -измеримо.
Доказательство. Рассмотрим многозначное отображение ( ), xΨ ω ,
:Ψ 2 ,
nlΩ × → R
R ( ), xΨ ω = ( ) ( ){ }: , , , .ny F x y G x∈ ω ω ≠ ∅IR При каж-
дом ( ), l
xω ∈Ω ×R многозначное отображение ( ), ,F xω ⋅ полунепрерывно
сверху и поэтому для каждого замкнутого множества m
C ⊂ R множество
( ){ }: , ,ny F x y C∈ ω ≠ ∅IR замкнуто при всех ( ), l
xω ∈Ω ×R . Это значит,
что ( ), xΨ ω – замкнутозначно и, следовательно, ( ), xΦ ω =
( ) ( ), ,H x x= ω Ψ ωI замкнутые значения при каждом ( ), l
xω ∈Ω ×R , так как
( ),H xω замкнутозначно по условию.
В силу леммы 2 отображение ( ), ,F x yω будет ( ) ( )l n⊗ ⊗L B BR R -из-
меримым и по теореме о характеризации его обратный образ ( )1
F B
−
для
любого ( )mB ∈B R ( ) ( )l n⊗ ⊗L B BR R -измерим. Теорема о характеризации
гарантирует, что графики многозначных отображений ( , ),H xω
: 2 ,
nl
H Ω × → R
R ( , ), : 2
ml
G x Gω Ω × → R
R , ( ) ( )l n⊗ ⊗L B BR R -измерим
и ( ) ( )l m⊗ ⊗L B BR R -измерим, соответственно. Поэтому на основании
теоремы 1 можно заключить, что многозначное отображение ( , ),xΦ ω
: 2 ,
mlΦ Ω × → R
R имеет ( ) ( )l n⊗ ⊗L B BR R -измеримый график и с учетом
теоремы о характеризации ( )l⊗L B R -измеримо.
И.С. РАППОПОРТ
20 Теорія оптимальних рішень. 2012
Й.С. Раппопорт
ОДНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ТЕОРЕМИ ПРО ОБЕРНЕНИЙ ОБРАЗ
Встановлено ⊗ ⊗L B B -вимірність графіків спеціальних багатозначних відображень, які
відіграють важливу роль при побудові керувань динамічними об’єктами на основі теорем
вимірного вибору та забезпечують суперпозиційну L -вимірність в ігрових задачах.
I.S. Rappoport
ONE GENERALIZATION OF THE INVERSE IMAGE THEOREM
The ⊗ ⊗L B B -measurabiliti of the graphs of special set-valued maps, which play an important
role in the construction of control over dynamic objects on the basis of the measurable choice theo-
rems and ensure the superimposed L -measurability in gaming problems, is established.
1. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. 2. – М.: Наука, 1988. – 576 c.
2. Chikrii A.A. J.-P. Conflict controlled processes // Mathematics and Its Applications. –
Boston, London, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997. – 424 p.
3. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестн.
Моск. Ун-та. Сер. матем., механ., астрон., физ., хим. – 1959. – 2, № 11. – C. 25–32.
4. Чикрий А.А. Об одном аналитическом методе в динамических играх сближения //
Тр. Мат. Ин-та им. В.А. Стеклова. – 2010. – 271. – C. 76–92.
5. Чикрий А.А., Раппопорт И.С., Чикрий К.А. Многозначные отображения и их селек-
торы в теории конфликтно-управляемых процессов // Кибернетика и системный
анализ. – 2007. № 5. – C. 129–144.
6. Чикрий А.А., Раппопорт И.С. К теореме об обратном образе для ⊗L B -измеримых
многозначных отображений // ДАН Украины. – 2011. – № 11. – C. 54–58.
7. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis // Mathematics and Its Applications. –
Boston, Basel, Berlin: Birkhauser, 1990. – 461 p.
8. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. – М.: Наука, 1974.
– 480 c.
9. Aumann R.J. Measurable Utility and the Measurable Choice Theorem // Mathematics and
Its Applications, La Decision, Actes Coll. Int/ du CNRS, Aix-tn Provence, 1967. –
P. 15–26.
Получено 26.03.2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85010 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:00:20Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Раппопорт, И.С. 2015-07-18T12:24:15Z 2015-07-18T12:24:15Z 2012 Одно обобщение теоремы об обратном образе / И.С. Раппопорт // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2012. — № 11. — С. 14-20. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85010 517.977 Установлена L ⊗ B ⊗ B-измеримость графиков специальных многозначных отображений, которые играют важную роль при построении управлений динамичными объектами на основе измеримого выбора и обеспечивают суперпозиционную L-измеримость в игровых задачах. Встановлено L ⊗ B ⊗ B-вимірність графіків спеціальних багатозначних відображень, які відіграють важливу роль при побудові керувань динамічними об’єктами на основі теорем вимірного вибору та забезпечують суперпозиційну L -вимірність в ігрових задачах. The L ⊗ B ⊗ B-measurability of the graphs of special set-valued maps, which play an important role in the construction of control over dynamic objects on the basis of the measurable choice theorems and ensure the superimposed L -measurability in gaming problems, is established. Работа выполнена при поддержке ДФФД Украины. Проект Ф40.1/21 ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Одно обобщение теоремы об обратном образе Одне узагальнення теореми про обернений образ One generalization of the inverse image theorem Article published earlier |
| spellingShingle | Одно обобщение теоремы об обратном образе Раппопорт, И.С. |
| title | Одно обобщение теоремы об обратном образе |
| title_alt | Одне узагальнення теореми про обернений образ One generalization of the inverse image theorem |
| title_full | Одно обобщение теоремы об обратном образе |
| title_fullStr | Одно обобщение теоремы об обратном образе |
| title_full_unstemmed | Одно обобщение теоремы об обратном образе |
| title_short | Одно обобщение теоремы об обратном образе |
| title_sort | одно обобщение теоремы об обратном образе |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85010 |
| work_keys_str_mv | AT rappoportis odnoobobŝenieteoremyobobratnomobraze AT rappoportis odneuzagalʹnennâteoremiprooberneniiobraz AT rappoportis onegeneralizationoftheinverseimagetheorem |