Дифференциальные игры с интегральными ограничениями общего вида

Рассматриваются игровые задачи преследования для линейных систем с общими выпуклыми интегральными ограничениями на управления. Формулируется аналог условия Л.С. Понтрягина, позволяющий получить достаточные условия решения задачи за некоторое гарантированное время. Розглядаються ігрові задачі переслі...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Теорія оптимальних рішень
Datum:	2012
1. Verfasser:	Белоусов, А.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russisch
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85012
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Дифференциальные игры с интегральными ограничениями общего вида / А.А. Белоусов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2012. — № 11. — С. 30-35. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859827824063414272
author	Белоусов, А.А.
author_facet	Белоусов, А.А.
citation_txt	Дифференциальные игры с интегральными ограничениями общего вида / А.А. Белоусов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2012. — № 11. — С. 30-35. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Теорія оптимальних рішень
description	Рассматриваются игровые задачи преследования для линейных систем с общими выпуклыми интегральными ограничениями на управления. Формулируется аналог условия Л.С. Понтрягина, позволяющий получить достаточные условия решения задачи за некоторое гарантированное время. Розглядаються ігрові задачі переслідування для лінійних систем із загальними опуклими інтегральними обмеженнями на керування. Формулюється аналог умови Л.С. Понтрягіна, який дозволяє отримати достатні умови вирішення задачі за певний гарантований час. Linear systems under general convex integral constraints on controls are discussed in this paper. Analog of Pontryagin’s Condition is formulated. On its basis sufficient conditions of the game termination in a certain guaranteed time are obtained.
first_indexed	2025-12-07T15:30:43Z
format	Article
fulltext	30 Теорія оптимальних рішень. 2012 ÒÅÎÐ²ß ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ Ð²ØÅÍÜ Рассматриваются игровые зада- чи преследования для линейных систем с общими выпуклыми ин- тегральными ограничениями на управления. Формулируется ана- лог условия Л.С. Понтрягина, по- зволяющий получить доста- точные условия решения задачи за некоторое гарантированное время.  А.А. Белоусов, 2012 ÓÄÊ 517.977 À.À. ÁÅËÎÓÑÎÂ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÈÃÐÛ Ñ ÈÍÒÅÃÐÀËÜÍÛÌÈ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÈßÌÈ ÎÁÙÅÃÎ ÂÈÄÀ Динамические системы с интегральными ограничениями на управление имеют важное прикладное значение. Изучению дифферен- циальных игр с интегральными ограниче- ниями посвящено довольно много работ. Однако они сосредотачивались главным образом на одном типе интегральных ограничений – в виде интеграла от квадрата нормы функции-управления (в норме 2L ). Но интерес представляют и более общие типы интегральных ограничений. Отметим статью М.С. Никольского [1], в которой игра обобщается на случай управления преследо- вателя ограниченого интегралом N-функции от евклидовой нормы. В данной работе рас- сматривается дифференциальная игра с интегральным ограничением на управление преследователя, которое определяется выпуклым функционалом достаточно общего вида (конечным вместе с сопряженным на всем пространстве). Конечность сопряженно- го функционала (кофинитность [2]) позволя- ет ограничить рассмотрение измеримыми управлениями без привлечения импульсных воздействий и аппарата управлений-мер (обобщенных функций) как происходит, например, в случае нормы 1L [3]. Работа развивает исследования [3-5]. Работа выполнена при финансовой поддержке проекта ДФФД-Ф40.1/021. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ... Теорія оптимальних рішень. 2012 31 Динамика игры задается линейным дифференциаль-ным уравнением ,=(0),= 0zzCvBuAzz −+& nz R∈ , m u R∈ , l v R∈ . (1) Управления игрока-преследователя )(⋅u и убегающего игрока )(⋅v являются измеримыми по Лебегу функциями, которые удовлетворяют интегральным ограничениям: .1))((1,))(( 00 ≤ττψ≤ττϕ ∫∫ ∞∞ dvdu (2) Эти управления будем называть допустимыми. Функция ϕ , RR →ϕ m: , предполагается неотрицательной, выпуклой, конечной на всем пространстве m R и кофинитной [2]. Кофинитность означает, что конечной на всем m R будет сопряженная к ϕ выпуклая функция { })(,sup)( * R ** uuuu mu ϕ−=ϕ ∈ . (3) Геометрически это эквивалентно тому, что надграфик выпуклой функции ϕ не содержит невертикальных лучей. Функция ψ , RR →ψ l: , предполагается полунепрерывной сверху. Напомним, что для выпуклых функций ϕ и ϕ конечность на всем пространстве влечет непрерывность этих функций [2]. Терминальное множество M является линейным подпространством n R . Обозначим через π оператор проектирования из n R на ортогональное дополнение к M в n R . Определение. Будем говорить, что игра может быть закончена в момент )(= 0zTT , если для любого допустимого управления убегающего игрока )(tv существует допустимое управление преследователя )(tu , гарантирующее приведение решения уравнения (1) )(tz , соответствующего управлениям ))(),(( tvtu и начальному положению 0z , на терминальное множество в момент T : MTz ∈)( . Считаем, что при построении своего управления )(tu преследователь в момент t может использовать информацию о реализовавшим- ся до этого момента управлении противника ][0,),( tv ∈ττ . Введем предположение на параметры игры, которое можно назвать аналогом условия Л.С. Понтрягина для дифференциальных игр с интегральными ограничениями. Оно фиксирует некое преимущество преследующего игрока над убегающим и обеспечивает возможность решения задачи сближения. А.А. БЕЛОУСОВ 32 Теорія оптимальних рішень. 2012 Условие. Существует такое число λ , 10 <λ≤ , что для всех неотрицательных чисел t и c выполняется включение: ,)()( cBecCe AtAt λΦπ⊂Ψπ (4) где })(:{=)( cuuc m ≤ϕ∈Φ R и })(:{=)( cvvc l ≤ψ∈Ψ R – лебеговские множест- ва функций ϕ и ψ в пространствах управлений. Далее полагаем, что это условие на параметры игры выполнено. Зафиксируем начальную позицию 0z . Введем обозначения Cvezevtf AAt τπ+γπ−=γτ 0),,,( , ))()1((),,( vBevF A λψ+γλ−Φπ=γτ τ , (5) { },),,(),,,(:),,( γτ∈γτ∈γ=τΩ vFvtfvt R ),,(sup=),,( vtvt ττγ Ω , (6) где )[0,=,),,,( ∞×××∈γτ +++ RRRRR l vt . Исследуем свойства этих многозначных отображений и функций. Лемма 1. Имеют место соотношения: 0),,( ≥τγ vt для всех lvt RRR ××∈τ ++),,( ; +∞τγ =),,( vt при 00 =π ze At для всех l v RR ×∈τ +),( ; ∞τγ <),,( vt при 00 ≠π ze At для любых l v RR ×∈τ +),( . Доказательство. Первое и второе утверждения леммы следует непосредст- венно из условия (4), т.к. при всех 0≥γ имеем ))()1(())(( vBevCeCve AAA λψ+γλ−Φπ⊂ψΨπ∈π τττ . Для доказательства третьего утверждения возьмем произвольное (сколь угодно большое) число K . Так как сопряженная функция (3) ϕ конечна на всем пространстве m R , то число }1,:)(max{ **** +=∈ϕ= Kuuur m R опреде- лено. Тогда для любого вектора m u R∈ такого, что ru ≥ имеем )()1())1((* uuK u u Kru ϕ−+≥+ϕ≥≥ , а значит )(uuK ϕ≤ . Поэтому для всех чисел rK ⋅≥γ выполняется включение { }1:, 1)( ≤∈=⋅⊂ γ γΦ uuDD K m R . Это означает, что лебеговское множество )(γΦ растет по γ асимптотически медленнее, чем линейно, что верно и для множества ),,( γτ vF из (5). В то же время длина вектора ),,,( γτ vtf из (5) асимптотически растёт линейно по γ . Значит, для достаточно больших чисел γ вектор ),,,( γτ vtf находится вне множества ),,( γτ vF . ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ... Теорія оптимальних рішень. 2012 33 Лемма 2. Если 0>γ и ),,( vt τΩ∈γ , l vt RRR ××∈τ ++),,( , то интервал ),,(][0, vt τΩ⊂γ . Доказательство. По условиям леммы существует вектор m u R∈ такой, что Buevtf Aτπ=γτ ),,,( и )()1()( vu λψ+γλ−≤ϕ . Из условия (4) следует существо- вание вектора m u R∈ такого, что uBevtf Aτπ=τ )0,,,( и )()( vu λψ≤ϕ . Возьмем любое число β , γ≤β≤0 , и положим uuw       γ β −+⋅ γ β = 1 . Тогда Bwevtfvtfvtf Aτπ=τ⋅      γ β −+γτ⋅ γ β =βτ )0,,,(1),,,(),,,( , [ ] )()1()(1)()1()(1)()( vvvuuw λψ+βλ−=λψ      γ β −+λψ+γλ− γ β ≤ϕ      γ β −+ϕ γ β ≤ϕ . Это означает, что ),,( vt τΩ∈β . Лемма 3. При 00 ≠π ze At верхняя грань в определении ),,( vt τγ (6) достигается и функция ),,( vt τγ будет полунепрерывной сверху по совокупности переменных lvt RRR ××∈τ ++),,( . Доказательство. Рассмотрим сначала выпуклозначное и компактозначное отображение )(cΦ из (4). Для произвольных чисел 0>ε и }:)(min{ m uuc R∈ϕ≥ рассмотрим границу выпуклого компакта Dc ε+Φ )( . Это будет компактное множество })({ Dc ε+Φ∂=Γ в m R . Значит, на нем достигается минимум }:)(min{ Γ∈ϕ=η uu . Тогда для всех η≤d выполняется включение Dcd ε+Φ⊂Φ )()( , что доказывает полунепрерывность сверху )(cΦ . Учитывая полунепрерывность сверху функции )(vψ , отсюда вытекает полунепрерывность сверху многозначного отображения ),,( γτ vF , l vt RRR ××∈τ ++),,( . Введем функцию расстояния ),,,( γτ vtR между вектором ),,,( γτ vtf , который непрерывно зависит от параметров, и выпуклым компактом ),,( γτ vF . Эта функция является полунепрерывной снизу по совокупности переменных +++ ×××∈γτ RRRR l vt ),,,( . Включение ),,( vt τΩ∈γ эквивалентно равенству 0),,,( =γτ vtR . Определение (6) означает, что существует последовательность чисел iγ , ,...3,2,1=i , таких, что 0=),,,( ivtR γτ и ),,( vti τγ→γ при ∞→i . Отсюда, учитывая полунепрерывность снизу, вытекает, что 0)),,(,,,( ≤τγτ vtvtR , т. е. верхняя грань в определении функции (6) достигается. А.А. БЕЛОУСОВ 34 Теорія оптимальних рішень. 2012 Для произвольного числа 0>ε и любого вектора ),,( vt τ имеем 0>),,,( ε+γτ= vtRr , где ),,( vt τγ=γ . Из полунепрерывности снизу функции )(⋅R следует существование такой окрестности ∆ точки ),,( vt τ , что для всех ∆∈τ ),,( vt выполняется неравенство 0>),,,( ε+γτ vtR , т. е. ),,( vt τΩ∉ε+γ . Учитывая лемму 2, получаем ε+γ≤τγ ),,( vt для всех ∆∈τ ),,( vt , что и доказывает полунепрерывность сверху функции ()γ . Теорема. Полагаем, что выполнено условие (4) на параметры игры (1), (2). Предположим, что существует момент )(= 0 zTT такой, что либо 00 =π ze AT , либо 00 ≠π ze AT и для всех допустимых управлений )(⋅v выполняется неравенство 1.))(,,( 0 ≥τττ−γ∫ T dvTT (7) Тогда дифференциальная игра может быть закончена в момент T . Доказательство. Зафиксируем момент T , удовлетворяющий предположе- ниям теоремы. Проанализируем сначала случай 00 ≠π ze AT . Согласно лемме 3 разрешающая функция ),,( vT τγ является измеримой по Борелю, поэтому измеримым по Борелю будет вектор )),,(,,,( vTvTf τγτ . Также полунепрерывным сверху, а значит и измеримым по Борелю, будет компактозначное отображение ))(),,()1((),( vvTvG λψ+τγλ−Φ=τ , для которого выполняется включение ),()),,(,,,( vBGevTvTf A τπ∈τγτ τ , l v RR ×∈τ +),( . (8) Отметим, что функция Bue Aτπ является непрерывной по m u RR ×∈τ +),( . По теореме об измеримом селекторе Куратовского и Рыль – Нардзевского [6, 7] следует, что для включения (8) существует измеримый по Борелю по совокупности переменных l v RR ×∈τ +),( селектор ),(),( vGvw τ∈τ . Из этой же теоремы можно сделать заключение, что существует измеримое по Борелю отображение ))((),(~ vvw λψΦ∈τ для которого выполняется равенство ),(~)0,,,( vwBevTf A τπ=τ τ при всех l v RR ×∈τ +),( . Предположим, что убегающий игрок использует на интервале ][0,T произвольное допустимое (2) управление )(τv . По предположению теоремы (7) существует момент ))(,(= 0** ⋅vzTT такой, что 1.=))(,,( * 0 ∫ τττ−γ T dvTT ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ... Теорія оптимальних рішень. 2012 35 Тогда управление преследователя на интервале ][0, * T положим равным ))(,()( ττ−=τ vTwu , а далее ))(,(~)( ττ−=τ vTwu . Такой закон выбора управле- ний преследователя является (по существу) контруправлением с одним переключением. Отметим, что суперпозиция борелевской и измеримой по Лебегу функций будет измеримой по Лебегу функцией [7]. Аналогично доказательствам из [3-5] можно показать, что построенное таким образом управление преследователя удовле-творяет интегральному ограничению (2) и решение уравнения (1) попадет на терминальное множество в момент T . Таким же образом рассматривается случай 00 =π ze AT . О.А. Бєлоусов ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ ІГРИ З ІНТЕГРАЛЬНИМИ ОБМЕЖЕННЯМИ НА КЕРУВАННЯ ЗАГАЛЬНОГО ВИДУ Розглядаються ігрові задачі переслідування для лінійних систем із загальними опуклими інте- гральними обмеженнями на керування. Формулюється аналог умови Л.С. Понтрягіна, який дозволяє отримати достатні умови вирішення задачі за певний гарантований час. A.A. Belousov DIFFERENTIAL GAMES UNDER GENERAL INTEGRAL CONSTRAINS ON CONTROLS Linear systems under general convex integral constraints on controls are discussed in this paper. Analog of Pontryagin’s Condition is formulated. On its basis sufficient conditions of the game ter- mination in a certain guaranteed time are obtained. 1. Никольский М.С. Прямой метод в линейных дифференциальных играх с общими инте- гральными ограничениями // Дифференциальные уравнения. – 1972. – 8, № 6. – C. 964–971. 2. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. – М.: Мир, 1973. – 470 c. 3. Белоусов А.А. Дифференциальные игры с интегральными ограничениями на управления в норме L1 // Теорія оптимальних рішень. – К.: Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 2011. – С. 3–9. 4. Чикрий А.А., Белоусов А.А. О линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями // Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2009. – 15, № 4. – С. 290–301. 5. Белоусов А.А. Метод разрешающих функций для дифференциальных игр с интегральны- ми ограничениями // Теорія оптимальних рішень. – К.: Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 2010. – С. 10–17. 6. Куратовский К. Топология. – М.: Мир, 1969. – . – 624 c. 7. Kisielewicz M. Differential Inclusions and Optimal Control // Mathematics and Its Applica- tions. – Boston, London, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1991. – 44. – 260 p. Получено 03.05.2012
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85012
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	XXXX-0013
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T15:30:43Z
publishDate	2012
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format	dspace
spelling	Белоусов, А.А. 2015-07-18T12:28:07Z 2015-07-18T12:28:07Z 2012 Дифференциальные игры с интегральными ограничениями общего вида / А.А. Белоусов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2012. — № 11. — С. 30-35. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85012 517.977 Рассматриваются игровые задачи преследования для линейных систем с общими выпуклыми интегральными ограничениями на управления. Формулируется аналог условия Л.С. Понтрягина, позволяющий получить достаточные условия решения задачи за некоторое гарантированное время. Розглядаються ігрові задачі переслідування для лінійних систем із загальними опуклими інтегральними обмеженнями на керування. Формулюється аналог умови Л.С. Понтрягіна, який дозволяє отримати достатні умови вирішення задачі за певний гарантований час. Linear systems under general convex integral constraints on controls are discussed in this paper. Analog of Pontryagin’s Condition is formulated. On its basis sufficient conditions of the game termination in a certain guaranteed time are obtained. Работа выполнена при финансовой поддержке проекта ДФФД-Ф40.1/021. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Дифференциальные игры с интегральными ограничениями общего вида Диференціальні ігри з інтегральними обмеженнями на керування загального виду Differential games under general integral constrains on controls Article published earlier
spellingShingle	Дифференциальные игры с интегральными ограничениями общего вида Белоусов, А.А.
title	Дифференциальные игры с интегральными ограничениями общего вида
title_alt	Диференціальні ігри з інтегральними обмеженнями на керування загального виду Differential games under general integral constrains on controls
title_full	Дифференциальные игры с интегральными ограничениями общего вида
title_fullStr	Дифференциальные игры с интегральными ограничениями общего вида
title_full_unstemmed	Дифференциальные игры с интегральными ограничениями общего вида
title_short	Дифференциальные игры с интегральными ограничениями общего вида
title_sort	дифференциальные игры с интегральными ограничениями общего вида
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85012
work_keys_str_mv	AT belousovaa differencialʹnyeigrysintegralʹnymiograničeniâmiobŝegovida AT belousovaa diferencíalʹníígrizíntegralʹnimiobmežennâminakeruvannâzagalʹnogovidu AT belousovaa differentialgamesundergeneralintegralconstrainsoncontrols

Дифференциальные игры с интегральными ограничениями общего вида

Institution

Ähnliche Einträge