Конзистентність оцінки невідомих параметрів у моделях із сильно залежним шумом
Розглядається нелінійна модель регресії з майже періодичною функцією та випадковим шумом за припущення, що шум є локальним функціоналом від гауссівського стаціонарного процесу із сильною залежністю. Досліджено періодограмні оцінки невідомих параметрів функції в заданій моделі та доведено їх конзисте...
Saved in:
| Published in: | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85013 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Конзистентність оцінки невідомих параметрів у моделях із сильно залежним шумом / Г.Д. Біла // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2012. — № 11. — С. 36-41. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860133829171216384 |
|---|---|
| author | Біла, Г.Д. |
| author_facet | Біла, Г.Д. |
| citation_txt | Конзистентність оцінки невідомих параметрів у моделях із сильно залежним шумом / Г.Д. Біла // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2012. — № 11. — С. 36-41. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | Розглядається нелінійна модель регресії з майже періодичною функцією та випадковим шумом за припущення, що шум є локальним функціоналом від гауссівського стаціонарного процесу із сильною залежністю. Досліджено періодограмні оцінки невідомих параметрів функції в заданій моделі та доведено їх конзистентність.
Рассматривается нелинейная модель регрессии с почти периодической функцией и случайным шумом в предположении, что шум является локальным функционалом от гауссовского стационарного процесса с сильной зависимостью. Исследованы периодограммные оценки неизвестных параметров функции в заданной модели и доказана их состоятельность.
We consider the non-linear regression model with almost periodic function and random noise, assuming the noise is a local functional of Gaussian stationary process with long-range dependence. We investigated periodogram estimations of unknown parameters for the function in a given model and we proved their consistency.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:46:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
36 Теорія оптимальних рішень, 2012
ÒÅÎÐIß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
ÐIØÅÍÜ
Розглядається нелінійна модель
регресії з майже періодичною
функцією та випадковим шумом
за припущення, що шум є локаль-
ним функціоналом від гауссівсько-
го стаціонарного процесу із силь-
ною залежністю. Досліджено пе-
ріодограмні оцінки невідомих па-
раметрів функції в заданій моделі
та доведено їх конзистентність.
Г.Д. Біла, 2012
ÓÄÊ 519.21
Ã.Ä. ÁIËÀ
ÊÎÍÇÈÑÒÅÍÒÍIÑÒÜ ÎÖIÍÊÈ
ÍÅÂIÄÎÌÈÕ ÏÀÐÀÌÅÒÐIÂ Ó ÌÎÄÅËßÕ
IÇ ÑÈËÜÍÎÇÀËÅÆÍÈÌ ØÓÌÎÌ
Вступ. Дослідження асимптотичних власти-
востей оцінок невідомих параметрів функції
регресії відомого вигляду, що спостерігаєть-
ся на фоні сильнозалежного випадкового
шуму, в останні десятиліття стало дуже акту-
альною статистичною проблемою. Виділимо
наукові роботи [1, 2], де за припущення силь-
ної залежності стаціонарного випадкового
шуму отримано властивості конзистентності
оцінок найменших квадратів та оцінок най-
менших модулів невідомих параметрів фун-
кції регресії. Асимптотичні властивості пері-
одограмних оцінок невідомих параметрів
гармонічного сигналу та у випадку майже
періодичної функції, що спостерігаються при
наявності слабкозалежного шуму детально
досліджено в [3, 4]. У даній роботі дослідже-
но асимптотичні властивості оцінки невідо-
мих параметрів майже періодичної функції в
нелінійній моделі регресії «сигнал плюс
шум» у випадку, коли шум є локальним функ-
ціоналом від гауссівського стаціонарного
процесу із сильною залежністю.
Опишемо розглядувану модель та зробимо
ряд припущень відносно неї.
(А). Нехай { } { }1( ), ( )n t t R n t∈ = − дійсний
неперервний у середньому квадратичному
вимірний стаціонарний гауссівський процес
із сильною залежністю (довгою пам’яттю)
(див., наприклад, [5]), з ( ) 0En t = та коваріа-
ційною функцією ( )B t :
( ) ( )
( )
1
1
2 2
1
cov (0), ( ) , .
1
B t n n t t R
t
= = ∈
+
КОНЗИСТЕНТНІСТЬ ОЦІНКИ НЕВІДОМИХ ПАРАМЕТРІВ…
Теорія оптимальних рішень, 2012 37
B). Нелінійна борелівська функція
1 1:G R R→ задовольняє умову
( ) ( )2
G u u du
∞
−∞
ϕ < ∞∫ , де ( )
2
2
1
2
u
u e
−
ϕ =
π
,
1
u R∈ .
За умови (В) функцію ( )G u ,
1
u R∈ можна розкласти в ряд
( ) ( )
0 !
k
k
k
C
G u H u
k
∞
=
=∑ , ( ) ( ) ( )k kC G u H u u du
∞
−∞
= ϕ∫ , 0,1,...k = ,
за ортогональними поліномами Чебишева – Ерміта
( ) ( )
2 2
2 21
ku uk
k k
d
H u e e
du
−
= − , 0,1,...k =
у гільбертовому просторі ( )( )1
2 ,L R u duϕ .
(B’). Існує ціле число 1m ≥ таке, що 1 1... 0mC C −= = = , 0mC ≠ − коефіцієнти
у розкладі функції ( )G u , 1
u R∈ за поліномами Чебишева – Ерміта. Ціле число
1m ≥ називається ермітовим рангом функції ( )G u , 1
u R∈ .
(C). Припустимо, що задана майже періодична функція ( )tϕ вигляду
( ) .ki t
k
k
t c e
∞
λ
=−∞
ϕ = ∑
Для величин
k
c і
k
λ виконуються умови:
, 0k k
k
c
∞
=−∞
< ∞ λ ≥∑ , при 0,k ≥
, , 0k k k k l kс с− −= λ = −λ λ − λ ≥ ∆ > при ,l k≠
0i iс с> при 0 0, 0.i i i≠ ± >
Нехай
1
RΘ ⊂ – обмежений відкритий інтервал. Нехай виконуються умови
(А), (В), (В’), (С) і на відрізку [ ]0,Т спостерігається випадковий процес ( ) :y t
( ) [ ]0( ) , ( ), 0, ,y t g t t t T= θ + ε = ∈
де ( ) ( )0 1 1
0 0, :g t А t R Rθ = ϕ ω × Θ → – вимірна функція, що залежить від неві-
домого параметра ( )0 0
0 0 0 0, , , 0, 0,A Аθ ∈ Θ θ = ω > ω > а випадковий шум
( )( ) 1( ) , ,t G n t t Rε = ∈ є таким, що (0) 0Eε = (або 0 0C = ),
2(0) 1.Eε =
Необхідно за спостереженнями { }( ),0y t t T≤ ≤ оцінити невідомі парамет-
ри 0А та 0ω , припускаючи, що довжина інтервалу спостережень T → ∞ .
Г.Д. БІЛА
38 Теорія оптимальних рішень, 2012
Розглянемо функціонал
( ) ( )
2
0
2
, 0.
T
i t
T
Q y t e dt
T
ωω = ω ≥∫
Періодограмною оцінкою Тω для частоти 0ω називається те значення
0ω ≥ , при якому ( )TQ ω приймає найбільше значення на [ )0,∞ . Періодограм-
на оцінка
T
А% для амплітуди 0А у випадку виконання умови (С), як буде показа-
но пізніше, визначається за формулою ( )
0
1 1
2
1
2
Т і T T
А с Q
−
= ω% .
Для доведення наступної теореми розглянемо допоміжне твердження. Поз-
начимо ( ) ( )
1
0
1
sup
T
i t
R
T e t dt
T
ω
ω∈
η = ε∫ .
Лема [2]. Якщо виконуються умови (А), (В), (В’), то
( )2 0E Tη → при T → ∞ . (1)
Теорема. Якщо виконуються умови (А), (В), (В’), (С), то періодограмна оці-
нка ( ),
T T T
Aθ = ω% % % є конзистентною оцінкою параметра θ , а саме:
( )0 0, 0,
P P
T TA A Т→ ω − ω →% %
де
0
,T
T
i
ω
ω =
λ
% ( )
0
1 1
2
1
,
2
Т і T T
А с Q
−
= ω% „
P
→ ” збіжність за ймовірністю при T → ∞ .
Доведення. Виділимо декілька етапів доведення.
1. Розглянемо поведінку величини ( )TQ ω при будь-якому фіксованому
0ω ≠ при T → ∞ :
( ) ( )
2 2
0 0
0 0
2 2
( ) , ( ) , ( ) ( ),
T T
i t i t
T T
Q g t t e dt g t t e dt I
T T
ω ω ω = θ + ε = θ + ε + ω ∫ ∫
де ( ) ( ) ( ) ( )
2
0
2
0 0 0
2 4
2 Re ,
T T T
i t i t i t
T
I t e dt g t e dt t e dt
T T
ω ω − ωω = ε + θ ε∫ ∫ ∫ .
Легко бачити з умови (С), що ( )0
0 0
1
, ,
T
i t
g t e dt С
TА
ωθ ≤∫ 0 .С< < ∞
Із леми випливає, що ( )sup 0
P
T
I
ω
ω → при .T → ∞
КОНЗИСТЕНТНІСТЬ ОЦІНКИ НЕВІДОМИХ ПАРАМЕТРІВ…
Теорія оптимальних рішень, 2012 39
Нехай ( ) ( )0 0
0
2
, ,
T
i t
ТФ g t e dt
T
ωθ ω = θ∫ , тоді враховуючи вигляд функції
( )0 1, , ,g t t Rθ ∈ справедлива рівність
( ) ( )00 0
0
2
, .k
T
i t
Т k
k
А
c e dt
T
∞
λ ω +ω
=−∞
Φ θ ω = ∑ ∫
Нехай 00
2
∆ω
< δ < і
0 0 .
i
λ ω + ω ≥ δ Припустимо, що для деякого k i≠
0 .kλ ω + ω ≤ δ Тоді для будь-якого l k≠ маємо ( )0 0l k
λ ω + ω = λ ω + ω +
( ) 0 0 0
1 1
2 2
l k l k+ λ − λ ω > ω λ − λ − ∆ ≥ ∆ω > δ , а тому, враховуючи умову (С)
та слідування (1) попередньої леми, маємо
( ) ( ) ( )
0 0 00 0 0
2
0 0
0 0 0
0
2
lim sup lim sup , lim sup ,
i i i
T
i t
T T
T T T
Q g t e dt
T
ω
→∞ →∞ →∞ω≥ ω≥ ω≥
λ ω −ω ≥δ λ ω −ω ≥δ λ ω −ω ≥δ
ω ≤ Φ θ ω = θ =
∫
( )0
00
2
0
0
0
2
lim sup k
i
T
i t
k
T
k
А
c e dt
T
∞
λ ω +ω
→∞ ω≥ =−∞
λ ω −ω≥δ
= ≤
∑∫
( )0
0
00
2
22
0
0
0
2
lim sup max k
i
T
i t
k
T k i
А c e dt
T
λ ω +ω
→∞ ≠±ω≥
λ ω −ω≥δ
≤ ≤
∫ 0
0
222 2
0 04 max 4 .k i
k i
А c А c
≠±
< (2)
Легко бачити, що ( )
0 0
2
2
0 0lim 4 .
T i i
T
Q А c
→∞
λ ω =
Тепер слабка конзистентність оцінки Тω% легко доводиться методом від су-
противного аналогічно доведенню теореми 43 у роботі [5, стор. 174].
Із визначення оцінки Тω відомо, що
0 0( ) ( ),
T T T i
Q Qω ≥ λ ω а тому
( ) ( ) ( ) ( )
0 00 00
T Т T i T Т T i
Q Q І І≤ ω − λ ω = ω − λ ω +
( ) ( ) 00
2 2
0 0
2 2
0 0
4 4
, , iТ
T T
i ti t
g t e dt g t e dt
T T
λ ωω+ θ − θ∫ ∫ . (3)
Із леми слідує, що ( ) 0
P
TI ω → при .T → ∞ Тоді при 00
2
∆ω
< δ < маємо
Г.Д. БІЛА
40 Теорія оптимальних рішень, 2012
( ) ( ) 00
2 2
0 0
2 2
0
0 0
4 4
lim sup , , i
T T
i ti t
T
g t e dt g t e dt
T T
λ ωω
→∞ ω≥
θ − θ =
∫ ∫
( ) ( )
0 00 0
2 2
0 0
2
0 0
0 0
4
lim max sup , , sup ,
i i
T T
i t i t
T
g t e dt g t e dt
T
ω ω
→∞
λ ω −ω≥δ λ ω −ω<δ
ω≥ ω≥
= θ θ −
∫ ∫
( ) 00
2
0
2
0
4
, 0.i
T
i t
g t e dt
T
λ ω
− θ ≤
∫
Таким чином, із нерівностей (2) та(3) випливає, що
( ) ( )
0 0
2
2
0 0lim lim 4
T Т T i і
T T
Q Q А с
→∞ →∞
ω = λ ω = . (4)
2. Тепер покажемо, що має місце наступне слідування:
0
0 0
P
T
i
Т
ω
− ω → λ
при .T → ∞
На першому етапі доведення показано, що при T → ∞ права частина (3)
прямує до 0 . Тоді при T → ∞
( ) ( ) 00
2 2
0 0
0 0
2 2
, , 0.iТ
T T P
i ti t
g t e dt g t e dt
T T
λ ωωθ − θ →∫ ∫ (5)
Розглянемо
( )
2
02
,lim
t
T
i
T
g t e dt
T
ω
→∞
θ∫ 0
2
2
04 limi
T
A c
→∞
=
( )
( )
0 0
0
2
0
1
.
T
T ii
i T
e
T
ω −λ ω
−
λ ω − ω
Оскільки 0 0ω > та 0
T
ω ≥ , то, враховуючи останню рівність, слідування
(5) справедливе тоді і тільки тоді, коли при T → ∞
( )
( )
00
0 0
1
1
Т ii T
P
i Т
e
T
ω −λ ω
−
→
λ ω − ω
або, що те ж саме,
( )
( )
0
0
0
0
sin
1
P
i Т
i Т
T
T
λ ω − ω
→
λ ω − ω
, при T → ∞ .
Останнє можливе тоді і тільки тоді, коли
0
0 0
P
T
i
Т
ω
− ω → λ
при T → ∞ .
Цим самим доведено конзистентність та швидкість збіжності оцінки
T
ω% до її
істинного значення.
КОНЗИСТЕНТНІСТЬ ОЦІНКИ НЕВІДОМИХ ПАРАМЕТРІВ…
Теорія оптимальних рішень, 2012 41
3. Із доведення другого етапу теореми та рівностей (4) очевидним чином ви-
пливає конзистентність оцінки
T
А% параметра 0А . Із рівності (4) легко бачити, що
( )
0
1 1
2
1
2
Т і T T
А с Q
−
= ω% при .T → ∞
Теорему доведено.
Висновок. Отримано умови конзистентності періодограмних оцінок неві-
домих параметрів майже періодичної функції у випадку регресійної моделі спо-
стережень із сильнозалежним випадковим шумом. Цей результат дає можливість
подальшого вивчення асимптотичних властивостей періодограмних оцінок,
а саме дослідження асимптотичної нормальності та асимптотичної ефективності
цих оцінок, коли шум є сильнозалежним випадковим процесом.
Г.Д. Била
СОСТОЯТЕЛЬНОСТЬ ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ
В МОДЕЛЯХ С СИЛЬНОЗАВИСИМЫМ ШУМОМ
Рассматривается нелинейная модель регрессии с почти периодической функцией и случай-
ным шумом в предположении, что шум является локальным функционалом от гауссовского
стационарного процесса с сильной зависимостью. Исследованы периодограммные оценки
неизвестных параметров функции в заданной модели и доказана их состоятельность.
G.D. Bila
THE ESTIMATOR CONSISTENCY OF THE UNKNOWN PARAMETERS IN THE MODELS
WITH STRONGLY DEPENDENT NOISE
We consider the non-linear regression model with almost periodic function and random noise, as-
suming the noise is a local functional of Gaussian stationary process with long-range dependence.
We investigated periodogram estimations of unknown parameters for the function in a given model
and we proved their consistency.
1. Ананьєва О.О., Іванов О.В. Конзистентність оцінки найменших модулів параметра нелі-
нійної регресії // Наукові вісті НТУУ „КПІ”. Теоретичні та прикладні проблеми фізико-
математичних наук. – 2009. – Вип. 3. – С. 138 – 142.
2. Жураковський Б.М., Іванов О.В. Конзистентність оцінки найменших квадратів параметрів
суми гармонічних коливань у моделях із сильно залежним шумом // Наукові вісті НТУУ
«КПІ». Теоретичні та прикладні проблеми математики. – 2010. – Вип. 4. – С. 60 – 66.
3. Knopov P.S., Kasitskaya E.J. Empirical estimates in stochastic optimization and identification. –
Boston/London/Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002. – 250 p.
4. Гречка Г.П., Дороговцев А.Я. Об асимптотических свойствах периодограммной оценки
частоты и амплитуды гармонического колебания // Вычислительная и прикладная мате-
матика. – 1976. – Вып. 28. – С. 18 – 31.
5. Beran J. Statistics for long-memory processes. Monographs on Statistics and Applied Probabili-
ty, vol. 61. – New York: Chapman & Hall, 1994. – 315 p.
Одержано 11.05.2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85013 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:46:10Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Біла, Г.Д. 2015-07-18T12:29:32Z 2015-07-18T12:29:32Z 2012 Конзистентність оцінки невідомих параметрів у моделях із сильно залежним шумом / Г.Д. Біла // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2012. — № 11. — С. 36-41. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85013 519.21 Розглядається нелінійна модель регресії з майже періодичною функцією та випадковим шумом за припущення, що шум є локальним функціоналом від гауссівського стаціонарного процесу із сильною залежністю. Досліджено періодограмні оцінки невідомих параметрів функції в заданій моделі та доведено їх конзистентність. Рассматривается нелинейная модель регрессии с почти периодической функцией и случайным шумом в предположении, что шум является локальным функционалом от гауссовского стационарного процесса с сильной зависимостью. Исследованы периодограммные оценки неизвестных параметров функции в заданной модели и доказана их состоятельность. We consider the non-linear regression model with almost periodic function and random noise, assuming the noise is a local functional of Gaussian stationary process with long-range dependence. We investigated periodogram estimations of unknown parameters for the function in a given model and we proved their consistency. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Конзистентність оцінки невідомих параметрів у моделях із сильно залежним шумом Состоятельность оценки неизвестных параметров в моделях с сильнозависимым шумом The estimator consistency of the unknown parameters in the models with strongly dependent noise Article published earlier |
| spellingShingle | Конзистентність оцінки невідомих параметрів у моделях із сильно залежним шумом Біла, Г.Д. |
| title | Конзистентність оцінки невідомих параметрів у моделях із сильно залежним шумом |
| title_alt | Состоятельность оценки неизвестных параметров в моделях с сильнозависимым шумом The estimator consistency of the unknown parameters in the models with strongly dependent noise |
| title_full | Конзистентність оцінки невідомих параметрів у моделях із сильно залежним шумом |
| title_fullStr | Конзистентність оцінки невідомих параметрів у моделях із сильно залежним шумом |
| title_full_unstemmed | Конзистентність оцінки невідомих параметрів у моделях із сильно залежним шумом |
| title_short | Конзистентність оцінки невідомих параметрів у моделях із сильно залежним шумом |
| title_sort | конзистентність оцінки невідомих параметрів у моделях із сильно залежним шумом |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85013 |
| work_keys_str_mv | AT bílagd konzistentnístʹocínkinevídomihparametrívumodelâhízsilʹnozaležnimšumom AT bílagd sostoâtelʹnostʹocenkineizvestnyhparametrovvmodelâhssilʹnozavisimymšumom AT bílagd theestimatorconsistencyoftheunknownparametersinthemodelswithstronglydependentnoise |