Задачи динамики иммунного процесса при вторичном введении ангигена
Исследуются вопросы построения математической модели гуморальной иммунной реакции организма при вторичном введении антигена с учетом аффинитета рецепторов клеток, принимающих участие в иммунном процессе. Приведены результаты численного моделирования задач динамики. Досліджуються питання побудови ма...
Saved in:
| Published in: | Теорія оптимальних рішень |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85029 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Задачи динамики иммунного процесса при вторичном введении ангигена / Т.А. Лазебная // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2012. — № 11. — С. 144-150. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859717851947991040 |
|---|---|
| author | Лазебная, Т.А. |
| author_facet | Лазебная, Т.А. |
| citation_txt | Задачи динамики иммунного процесса при вторичном введении ангигена / Т.А. Лазебная // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2012. — № 11. — С. 144-150. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Теорія оптимальних рішень |
| description | Исследуются вопросы построения математической модели гуморальной иммунной реакции организма при вторичном введении антигена с учетом аффинитета рецепторов клеток, принимающих участие в иммунном процессе. Приведены результаты численного моделирования задач динамики.
Досліджуються питання побудови математичної моделі гуморальної імунної реакції організму при вторинному введенні антигену з урахуванням аффінітету рецепторів клітин, які приймають участь в імунному процесі. Наведені результати числового моделювання задач динаміки.
The aspects of mathematical modelling of humoral immune reaction under secondary antigen introduction have been investigated in consideration of affinity of cells receptors involved in immune process. The numerical investigation results of dynamics tasks are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-01T08:33:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
144 Теорія оптимальних рішень. 2012
ÒÅÎвß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÈÕ
вØÅÍÜ
Исследуются вопросы построе-
ния математической модели гу-
моральной иммунной реакции ор-
ганизма при вторичном введении
антигена с учетом аффинитета
рецепторов клеток, принимающих
участие в иммунном процессе.
Приведены результаты численно-
го моделирования задач динамики.
Т.А. Лазебная, 2012
ÓÄÊ 519.6
Ò.À. ËÀÇÅÁÍÀß
ÇÀÄÀ×È ÄÈÍÀÌÈÊÈ
ÈÌÌÓÍÍÎÃÎ ÏÐÎÖÅÑÑÀ
ÏÐÈ ÂÒÎÐÈ×ÍÎÌ ÂÂÅÄÅÍÈÈ
ÀÍÒÈÃÅÍÀ
Введение. Дальнейшее исследование гумо-
рального иммунного ответа вызвало интерес
к математическому моделированию вторич-
ной иммунной реакции, т. е. поведению им-
мунной системы при повторном введении
антигена.
Детальное исследование взаимодействий,
происходящих в иммунной системе при по-
вторном введении антигена, привело к необ-
ходимости модификации модели (1) [1, 2].
Прежде всего это было вызвано необхо-
димостью учета исходного разброса клеток
по аффинитету их рецепторов, который но-
сит стохастический характер. Различия аф-
финитета рецепторов однотипных клеток
учитывается в неявном виде при рассмотре-
нии их взаимодействия с антигеном. Напом-
ним, что зависимость между числом клеток,
отвечающих на антиген, и концентрацией
последнего подчиняется нормальному закону
распределения
( )i v =Φ
( 2
2
)1
exp ,
22
v
i
ii
u x
du
∞
−
−
σπσ
∫
где i = 1,2,3 и аргументом ν является лога-
рифм концентрации антигена, а функцией
( )i vΦ доля клеток, простимулированных
данной концентрацией антигена. Также в
модели учитывается тот факт, что при избы-
точной концентрации антигена клетка не
стимулируется, а наоборот, инактивируется,
что свидетельствует о наступлении высоко-
дозной иммунологической толерантности.
ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ИММУННОГО ПРОЦЕССА ПРИ ВТОРИЧНОМ ВВЕДЕНИИ АНТИГЕНА
Теорія оптимальних рішень. 2012 145
Для учета клеточного аффинитета В-лимфоцитов к различным дозам анти-
гена в модели введен символ пересечения ( ) ( )⋅ ⋅I , означающий величину рав-
ную пересечению площадей двух криволинейных трапеций, ограниченных
сверху кривыми плотностей нормального распределения [3]. Преимуществом
при стимуляции антигеном имеют иммунокомпетентные клетки, рецепторы ко-
торых обладают более высокой степенью авидности к антигену и которые
вследствие их пролиферации составляют клон клеток, обладающих одинаковым
аффинитетом.
Настоящая модель дискретного типа [4] построена на основе модели, пред-
ставленной в [3]:
допустим, что в момент времени 1t , 0 1 361t t< < , 0 1t ≥ , дополнительно вводит-
ся 1 1( )B
y t молекул антигена, тогда если 0∆ > , где
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 4 41 1 1 1 1 ,y t y t y t∆ = − α − − − α − + α − % для 2,30;t =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3 4 41 1 1 1 1 1y t y t y t y t∆ = − α − − − α − + α − + α − % % ,
31,361t = ;
1) при ( ) ( )1 1 2, 0,t t y t y t≠ = ∆ =
2) при ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2, 0,B
t t y t y t y t= = ∆ + =
если же 0∆ ≤ , то
3) при ( ) ( )1 1 20 ,t t y t y t≠ = = −∆
4) при ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2, .B
t t y t y t y t= = = −∆
Прирост стимулированных антигеном клеток в момент времени 1t опреде-
ляется по следующей формуле:
( ) ( ) ( )(1 0 1 0 2 1
sty t a t t δ = κ κ + I
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1
3
0 2 0 1 2 1 3
2 0 1
t
y
a t t d
t
η
τ
+ κ κ τ κ Φ τ τ κ κ τ∫ I I
I
,
где ( )1 0tκ обозначает
( )( )1 1 01 lg ,y t− Φ ( )2 1tκ − ( )( ) ( )( )( )1 1 1 2 1 1lg 1y t gy tΦ − Φ ,
( ) ( )( )( )3 1 2 1 11 lgt y tκ − − Φ , знак I обозначает площадь пересечения криволи-
нейных трапеций, ограниченных сверху кривыми плоскостей нормальных рас-
пределений, указанных слева и справа от этого знака.
Т.А. ЛАЗЕБНАЯ
146 Теорія оптимальних рішень. 2012
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
5
0
5
0
5
0
5 1
1
0 0 1
18
0 2 0 3 0 1
18
18
3 0 2 0 3 1 3 1 1
18
18
0 2 0 3 1 3
18
18
1 3 1
18
0, 18, ,
1 , 18 ,
1 , 18,
1
1 , 18 361;
t
t
s t
t
t
s t
t
t
s t
t
t tst
s t
t t t t t
a t e s t t t
y t a t t e s t t t
a t t e s
y t e s t t
α −
= +
α −
= +
α −
= +
α − −
= +
≤ < + <
κ − Φ + ≤ ≤
= κ κ − Φ ≤ < +
κ κ − Φ +
+δ − Φ + ≤ ≤
∏
∏
∏
∏
I
I
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
[ ( ) ( ) ] ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
6
6
5
0
6
0 1
9
93
2 0 2 3 1
2 0
9
3
2 0 3 1 2 3
2 0 3 1
9
1 1
9
18
4 0 2 0 3 1 2 3
18
9
3 0 1 0 2 1
0, , ,
, 9,
, 9 27,
1
t
t
t
t
t
s t
t
t t t
y
t e d t t
t
y
t t
t t
e d t t
y t a t t e s
e d a t t
−
−α −τ−
η
−
η
−α −τ−
− τ
α τ−
= +η
−α −τ−
≤ < η η <
τ
κ κ τ Φ τ τ κ ≤ < +
κ
τ
κ κ κ τ Φ τ ∗
κ κ
∗ τ + ≤ < +
= κ κ κ τ − Φ ∗
∗Φ τ τ + κ κ
∫
∫
∏∫
I
I
I I
I
I I
{ ( )
( ) ( ) ( ){ } ( )
( )
( ) ( )
( ) } ( ) ( ) ( )
( )
1
5
1
6
9
2
3
2 0 1 2 1 2
2 0 1
18
3 3 1 3 1
18
9
1
1
, 27 361;
t
t
v
v
s t
t v
v
y
t t v
t
d e s t v t
e dv t t
−
η
η
α −τ−
= +
α − −
κ +
τ
+ κ κ τ κ κ ∗ κ κ τ
∗Φ τ τ − Φ − Φ − ∗
∗ + ≤ ≤
∫
∫
∏
I
I I I
I
ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ИММУННОГО ПРОЦЕССА ПРИ ВТОРИЧНОМ ВВЕДЕНИИ АНТИГЕНА
Теорія оптимальних рішень. 2012 147
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ){
( ) ( ) ( ){ } ( )
5
0
0 1
3
2 0 1 3 1
2 0
3
2 0 3 1 1 3 1 1
2 0 3 1
18
0 2 0 3 1 1 3
18
5
3 0 1 0 2 1 1
3
2 0 1 2 1 1
0, , ,
, ,
, , 18,
1
t
t
t
s t
t
t t t
y
t d t t
t
y
t t d t t t
t t
a t t e s
y t
d a t t v
y
t t v
η
η
τ
α τ−
= +η
η
≤ < η η <
τ
κ κ τ Φ τ τ η ≤ <
κ
τ
κ κ κ τ Φ τ τ < < + κ κ
κ κ κ τ − Φ ∗
=
∗Φ τ τ + κ κ κ +
+ κ κ τ κ κ
∫
∫
∏∫
∫
I
I I
I
I I
I I
I I
( )
( ) ( )
( ) } ( ) ( ) ( )
1
5 1
1
2 0 1
18
3 3 1 3 1
18
1
1 ,
18 361
t
v
t
s t
t
d e s t v t dv
t t
η
α τ− −
= +
τ
∗
κ κ τ
∗Φ τ τ − Φ − Φ −
+ ≤ ≤
∫
∏
I
I
с начальными условиями:
( ) ( ) ( ) ( )0 0
1 0 1 2 0 2 4 0 5 0; ; 0; 0;y t y y t y y t y t= = = =
( )3 0y t = для [ )0 0, 18 ;t t t∈ +
( ) ( )( ) ( )( ){ } ( ( ))3 0 0 1 1 0 2 1 0 3 018 1 1 1 18 ;y t a gy t gy t y t + = Φ − Φ θ +
где ( )1y t − концентрация антигена в момент времени t (Аг);
( )ty2 – количество антител в момент времени t (Ат);
( )ty3 – количество пролиферирующих В-клеток в момент времени t (p-клетки);
( )ty4 – количество плазматических клеток в момент времени t (pl-клетки);
( )ty5 – количество клеток-памяти в момент времени t (r-клетки);
0a – количество иммунокомпетентных 1B -клеток в момент времени 0.t
( )( )
( )
( )
1, 1
, 1,3.
0, 1
i
i
i
y t
y t i
y t
≥
θ = =
<
Введение ( )( )i
y tθ обусловлено биологическим смыслом, заложенным в
модель, так как количество молекул антигена, либо антител не может быть
меньше единицы.
Т.А. ЛАЗЕБНАЯ
148 Теорія оптимальних рішень. 2012
В вышеприведенной модели 1 2 3 4 5 6, , , , ,α α α α α α% % – коэффициенты, харак-
теризующие, соответственно, период полураспада антигена, период полураспада
антител, скорость продукции антител пролиферирующими клетками, скорость
продукции антител плазматическими клетками, период митотического цикла
клеток, период полураспада плазматических клеток, η – время начала выхода
клеток из пролиферации.
Были выделены три типа пересечения:
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1
1 1 2 ,y t y t t y t y tΦ − Φ κ ≥I ; 2) ( ) ( )2 0 3 1t tκ κI ;
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1
1 1 1 , ,y t y t t y t y tΦ − Φ κ ≥I для которых было создано
специальное программное обеспечение.
Механизм, заложенный в модель, следующий: покоящаяся клетка при полу-
чении антигенного стимула превращается в стимулированную клетку, которая
через определенное время переходит в пролиферирующую клетку, делящуюся
спонтанно. Через не жестко детерминированный промежуток времени клетка
перестает делиться и, если получает специфический антигенный стимул в это
время, то через определенное время превращается в плазматическую клетку,
если же нет, то она переходит в покоящееся состояние, т. е. становится, так на-
зываемой, клеткой-памяти. При повторном введении в организм антигена мы
наблюдаем более мощный вторичный иммунный ответ в отличие от первичного,
так как к этому моменту накоплено уже какое-то количество клеток-памяти, ко-
торые потенциально все могут быть простимулированы антигеном и дать начало
более мощному пулу пролиферирующих клеток и т. д. Пролиферирующие и
плазматические клетки с определенными скоростями секретируют специфиче-
ские антитела, которые, в свою очередь, связывают антиген.
В случае дискретной модели в силу явных рекуррентных соотношений от-
сутствует необходимость в доказательстве существования решений, но остается
задача определения ряда свойств этих решений. Для этого пришлось перейти к
непрерывному аналогу вышеприведенной системы и уже для него были доказа-
ны существование, единственность, ограниченность и неотрицательность реше-
ний, их устойчивость и непрерывная зависимость от параметров аналогично то-
му, как это сделано в [5, 6].
Разработанное программное обеспечение [7] позволяет определить: дина-
мику первичного или вторичного иммунного ответа (рис. 1); или наступление
иммунологической толерантности в зависимости от концентрации введенного в
организм антигена (рис. 2); дозы антигена, индуцирующего максимальный им-
мунный ответ; абсолютный уровень и динамику В-клеток и иммуноглобулинов
после первичного введения антигена, а также после повторного введения анти-
гена в зависимости от интенсивности первого антигенного стимула, интенсив-
ности второго антигенного стимула, интервала между стимулами.
ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ИММУННОГО ПРОЦЕССА ПРИ ВТОРИЧНОМ ВВЕДЕНИИ АНТИГЕНА
Теорія оптимальних рішень. 2012 149
РИС. 1. Динамика вторичного иммунного ответа
РИС. 2. Наступление иммунологической толерантности
Т.О. Лазебна
ЗАДАЧІ ДИНАМІКИ ІМУННОГО ПРОЦЕСУ ПРИ ВТОРИННОМУ ВВЕДЕННІ АНТИГЕНУ
Досліджуються питання побудови математичної моделі гуморальної імунної реакції орга-
нізму при вторинному введенні антигену з урахуванням аффінітету рецепторів клітин, які
приймають участь в імунному процесі. Наведені результати числового моделювання задач
динаміки.
Т.А. ЛАЗЕБНАЯ
150 Теорія оптимальних рішень. 2012
T.A. Lazebna
DYNAMICS TASKS OF IMMUNE PROCESS UNDER SECONDARY ANTIGEN
INTRODUCTION
The aspects of mathematical modelling of humoral immune reaction under secondary antigen
introduction have been investigated in consideration of affinity of cells receptors involved in
immune process. The numerical investigation results of dynamics tasks are presented.
1. Иванов В.В., Яненко В.М., Дынько Т.А. О математическом и программном обеспечении для
моделирования иммунной реакции организма гуморального типа // Математическое
обеспечение и программно-технические средства для моделирования развивающихся
систем. – Киев: Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова АН УССР, 1986. – С. 133—143.
2. Лазебная Т.А. О некоторых вопросах моделирования иммунной реакции гуморального
типа // Теорія оптимальних рішень. – 2009. – № 8. – С. 154–160.
3. Иванов В.В., Яненко В.М., Фонталин Л.Н., Нестеренко В.Г. Моделирование идиотип-
антиидиотипических взаимодействий иммунной сети с учетом деления лимфоцитов на
субпопуляции // Математические модели в иммунологии и медицине. – М.: Мир, 1986. –
С. 123—135.
4. Дынько Т.А. О математическом моделировании вторичной иммунной реакции организма //
Биоматематика и медицинская информатика. – Киев: Ин-т кибернетики имени
В.М. Глушкова АН Украины, 1992. – С. 32 – 39.
5. Лазебная Т.А. Аналитическое исследование модели гуморальной иммунной реакции на
антиген. I // Компьютерная математика. – 2010. – № 1. – С. 110–117.
6. Лазебная Т.А. Аналитическое исследование модели гуморальной иммунной реакции на
антиген. II // Теорія оптимальних рішень. – 2010. – № 9. – С. 111–119.
7. Михалевич В.С., Иванов В.В., Дынько Т.А. и др. Комплекс программ по моделированию
развивающихся систем с приложениями в экономике и биологии (МРС-1). – Киев: Ин-т
кибернетики им. В.М. Глушкова АН УССР, 1985. – 711 с.
Получено 21.05.2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85029 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0013 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T08:33:50Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лазебная, Т.А. 2015-07-18T13:09:09Z 2015-07-18T13:09:09Z 2012 Задачи динамики иммунного процесса при вторичном введении ангигена / Т.А. Лазебная // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2012. — № 11. — С. 144-150. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. XXXX-0013 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85029 519.6 Исследуются вопросы построения математической модели гуморальной иммунной реакции организма при вторичном введении антигена с учетом аффинитета рецепторов клеток, принимающих участие в иммунном процессе. Приведены результаты численного моделирования задач динамики. Досліджуються питання побудови математичної моделі гуморальної імунної реакції організму при вторинному введенні антигену з урахуванням аффінітету рецепторів клітин, які приймають участь в імунному процесі. Наведені результати числового моделювання задач динаміки. The aspects of mathematical modelling of humoral immune reaction under secondary antigen introduction have been investigated in consideration of affinity of cells receptors involved in immune process. The numerical investigation results of dynamics tasks are presented. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Теорія оптимальних рішень Задачи динамики иммунного процесса при вторичном введении ангигена Задачі динаміки імунного процесу при вторинному введенні антигену Dynamics tasks of immune process under secondary antigen introduction Article published earlier |
| spellingShingle | Задачи динамики иммунного процесса при вторичном введении ангигена Лазебная, Т.А. |
| title | Задачи динамики иммунного процесса при вторичном введении ангигена |
| title_alt | Задачі динаміки імунного процесу при вторинному введенні антигену Dynamics tasks of immune process under secondary antigen introduction |
| title_full | Задачи динамики иммунного процесса при вторичном введении ангигена |
| title_fullStr | Задачи динамики иммунного процесса при вторичном введении ангигена |
| title_full_unstemmed | Задачи динамики иммунного процесса при вторичном введении ангигена |
| title_short | Задачи динамики иммунного процесса при вторичном введении ангигена |
| title_sort | задачи динамики иммунного процесса при вторичном введении ангигена |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85029 |
| work_keys_str_mv | AT lazebnaâta zadačidinamikiimmunnogoprocessaprivtoričnomvvedeniiangigena AT lazebnaâta zadačídinamíkiímunnogoprocesuprivtorinnomuvvedenníantigenu AT lazebnaâta dynamicstasksofimmuneprocessundersecondaryantigenintroduction |