Оператор Шредінгера з δ'-потенціалом
Вивчено одновимiрнi оператори Шредiнгера з псевдопотенцiалами, що мiстять похiдну функцiї Дiрака. Запропоновано нову сiм’ю самоспряжених операторiв, що вiдповiдає формальним диференцiальним операторам -(d²)/(dx²) + U(x) + αδ'(x). The 1-dimensional Schrödinger operators with pseudopotentials inv...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8503 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оператор Шредінгера з δ'-потенціалом / Ю.Д. Головатий, С.С. Манько // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 16-21. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8503 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Головатий, Ю.Д. Манько, С.С. 2010-06-04T14:28:13Z 2010-06-04T14:28:13Z 2009 Оператор Шредінгера з δ'-потенціалом / Ю.Д. Головатий, С.С. Манько // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 16-21. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8503 517.984,517.929 Вивчено одновимiрнi оператори Шредiнгера з псевдопотенцiалами, що мiстять похiдну функцiї Дiрака. Запропоновано нову сiм’ю самоспряжених операторiв, що вiдповiдає формальним диференцiальним операторам -(d²)/(dx²) + U(x) + αδ'(x). The 1-dimensional Schrödinger operators with pseudopotentials involving the derivative of the Dirac function are investigated. We present a new family of self-adjoint operators which correspond to the formal differential operators -(d²)/(dx²) + U(x) + αδ'(x). uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Оператор Шредінгера з δ'-потенціалом Schrödinger operator with δ'-potential Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Оператор Шредінгера з δ'-потенціалом |
| spellingShingle |
Оператор Шредінгера з δ'-потенціалом Головатий, Ю.Д. Манько, С.С. Математика |
| title_short |
Оператор Шредінгера з δ'-потенціалом |
| title_full |
Оператор Шредінгера з δ'-потенціалом |
| title_fullStr |
Оператор Шредінгера з δ'-потенціалом |
| title_full_unstemmed |
Оператор Шредінгера з δ'-потенціалом |
| title_sort |
оператор шредінгера з δ'-потенціалом |
| author |
Головатий, Ю.Д. Манько, С.С. |
| author_facet |
Головатий, Ю.Д. Манько, С.С. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2009 |
| language |
Ukrainian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Schrödinger operator with δ'-potential |
| description |
Вивчено одновимiрнi оператори Шредiнгера з псевдопотенцiалами, що мiстять похiдну функцiї Дiрака. Запропоновано нову сiм’ю самоспряжених операторiв, що вiдповiдає формальним диференцiальним операторам -(d²)/(dx²) + U(x) + αδ'(x).
The 1-dimensional Schrödinger operators with pseudopotentials involving the derivative of the Dirac function are investigated. We present a new family of self-adjoint operators which correspond to the formal differential operators -(d²)/(dx²) + U(x) + αδ'(x).
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8503 |
| citation_txt |
Оператор Шредінгера з δ'-потенціалом / Ю.Д. Головатий, С.С. Манько // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 16-21. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT golovatiiûd operatoršredíngerazδpotencíalom AT manʹkoss operatoršredíngerazδpotencíalom AT golovatiiûd schrodingeroperatorwithδpotential AT manʹkoss schrodingeroperatorwithδpotential |
| first_indexed |
2025-11-25T15:22:47Z |
| last_indexed |
2025-11-25T15:22:47Z |
| _version_ |
1850519116840960000 |
| fulltext |
УДК 517.984,517.929
© 2009
Ю.Д. Головатий, С. С. Манько
Оператор Шредiнгера з δ
′-потенцiалом
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. Й. Пташником)
Вивчено одновимiрнi оператори Шредiнгера з псевдопотенцiалами, що мiстять похi-
дну функцiї Дiрака. Запропоновано нову сiм’ю самоспряжених операторiв, що вiдповiдає
формальним диференцiальним операторам −
d2
dx2
+ U(x) + αδ′(x).
Повiдомлення присвячено точним моделям квантової механiки, а саме вивченню операто-
рiв Шредiнгера з потенцiалами, зосередженими на дискретнiй множинi точок. Такi моделi
називають точними, оскiльки резольвенти вiдповiдних операторiв будуються явно, що до-
зволяє обчислити спектри та коефiцiєнти розсiяння [1, c. 1]. Основною проблемою є надання
строгого математичного змiсту диференцiальним операторам з узагальненими функцiями
в коефiцiєнтах. Оскiльки простiр розподiлiв D′(Rn) не є алгеброю, то знаходження аде-
кватного фiзичнiй моделi оператора є непростою задачею. Точнi моделi дослiджуються
методами теорiї самоспряжених розширень симетричних операторiв [1–9]. У деяких випад-
ках ця теорiя пропонує достатньо багату множину самоспряжених розширень, хоча лише
одне з них має фiзичне пiдгрунтя. Зазвичай, дослiдники вибирають “правильний” опера-
тор, послуговуючись евристичними мiркуваннями та фiзичною iнтуїцiєю. Однак у такiй
ситуацiї проблема вибору адекватного самоспряженого оператора не вирiшується теорiєю
самоспряжених розширень, оскiльки фiзична задача мiстить “прихованi” параметри.
Точнi моделi розглядались багатьма дослiдниками. Достатньо повну бiблiографiю мож-
на знайти в [1]. Ми цитуємо лише роботи, що безпосередньо пов’язанi з оператором Шре-
дiнгера з δ′-потенцiалом (результати попередникiв детально проаналiзовано у п. 3).
1. Формулювання задачi та допомiжнi факти. У роботi запропонований матема-
тично i фiзично вмотивований, на наш погляд, шлях вибору самоспряженого розширення,
що вiдповiдає формальному одновимiрному операторовi Шредiнгера вигляду
H = −
d2
dx2
+ U(x) + αδ′(x), x ∈ R.
Тут U — гладка функцiя, δ′ — похiдна функцiї Дiрака. Зауважимо, що при α 6= 0 рiв-
няння Hy = λy не має ненульових розв’язкiв у D′(R), якщо добуток δ′(x)y(x) розумiти як
y′(0)δ(x) − y(0)δ′(x).
Нехай E(L) — множина самоспряжених розширень оператора L = −
d2
dx2
+U(x), D(L) =
= {f ∈ C∞
0 (R) : f(0) = f ′(0) = 0} в L2(R), а P — множина функцiй Ψ ∈ C∞
0 (R) таких,
що suppΨ = [−1, 1] i послiдовнiсть ε−2Ψ(ε−1x) збiгається при ε → 0 до δ′(x) в D′(R).
Розглянемо також сiм’ю гамiльтонiанiв Hε,α(Ψ) з гладкими потенцiалами, якi є замиканням
у L2(R) операторiв Hε,α(Ψ) = −
d2
dx2
+ U(x) +
α
ε2
Ψ(ε−1x), D(Hε,α) = C∞
0 (R). Функцiю Ψ
називатимемо профiлем δ′-подiбного збурення, а число α — сталою зв’язку.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
Ми будуємо вiдображення R×P −→ E(L), яке кожнiй парi (α,Ψ) ставить у вiдповiднiсть
самоспряжене розширення Hα(Ψ) оператора L. Вибiр оператора грунтується на близькостi
“енергетичних рiвнiв” гамiльтонiанiв з гладким та сингулярним потенцiалами. У припущен-
нi, що поведiнка потенцiалу U на нескiнченностi гарантує дискретнiсть спектра операторiв
Hε,α(Ψ), ми шукаємо асимптотику їх власних значень λε
j(α,Ψ) при ε → 0. Граничний опера-
тор, до спектра якого збiгаються λε
j(α,Ψ), називаємо оператором Hα(Ψ). Сiм’я операторiв
{Hα(Ψ)}α∈R залежить вiд профiлю збурення Ψ, який i є “прихованим” параметром моде-
лi з δ′-потенцiалом. Кожен потенцiал Ψ породжує оператор TΨ у просторi Крейна, спектр
якого iстотно впливає на структуру цiєї сiм’ї.
Нехай U(x) → +∞ при |x| → ∞. Оскiльки L — симетричний оператор з iндексами
дефекту (2, 2), то множина E(L) є досить багатою.
Лема 1. Кожен елемент множини E(L) є звуження спряженого в L2(R) оператора L∗
на клас функцiй, якi в початку координат задовольняють один з двох типiв крайових
умов:
(i) h−
1 f ′(−0) = h−
2 f(−0), h+
1 f ′(+0) = h+
2 f(+0), де (h±
1 , h±
2 ) — точки проективної пря-
мої P
1;
(ii)
(
f(+0)
f ′(+0)
)
= C
(
f(−0)
f ′(−0)
)
, C = eiϕ
(
c11 c12
c21 c22
)
, де ϕ ∈
[
−
π
2
,
π
2
]
, ckl ∈ R та c11c22 −
− c12c21 = 1.
Розширення, породженi умовами (i), називаються незв’язаними. Вони є прямою сумою
двох операторiв, заданих на пiвосях. Умовам спряження (ii) вiдповiдають так званi зв’язанi
розширення. У випадку U = 0 лема доведена в [2, 3]. Зрозумiло, що гладкий потенцiал U
не впливає на вигляд крайових умов у точцi x = 0.
Тепер опишемо множину потенцiалiв P. Введемо позначення для моментiв функцiї
mk(Ψ) =
+∞
∫
−∞
ξkΨ(ξ) dξ, k = 0, 1, 2, . . . .
Лема 2. Нехай Ψ ∈ C∞
0 (R). Послiдовнiсть ε−2Ψ(ε−1x) збiгається при ε → 0 до δ′(x)
у топологiї D′(R) тодi i лише тодi, коли m0(Ψ) = 0, m1(Ψ) = −1.
З варiацiйного принципу отримуються такi властивостi власних значень λε
j(α,Ψ) опе-
раторiв Hε,α(Ψ).
Теорема 1. Нехай Ψ ∈ P. Для кожного α ∈ R власнi значення λε
j(α,Ψ) є неперервними
функцiями змiнної ε ∈ (0, 1) i залишаються обмеженими зверху при ε → 0. Якщо α 6= 0,
то λε
1(α,Ψ) → −∞, тобто спектр операторiв Hε,α(Ψ) є необмеженим знизу при ε →
→ 0. Є лише скiнченна кiлькiсть власних значень з такою асимптотикою, решта мають
скiнченнi границi при ε → 0.
2. Асимптотика власних значень оператора Hε,α(Ψ). Ми шукатимемо асимпто-
тику скiнченної частини спектра, тобто обмежених при ε → 0 власних значень. Розглянемо
спектральну задачу −y′′ε + U(x)yε + αε−2Ψ(ε−1x)yε = λεyε, yε ∈ L2(R), i деяке її власне зна-
чення λε
j(α,Ψ) зi скiнченною границею позначимо через λε, а власну функцiю — через yε.
Асимптотичнi розвинення λε та yε будуватимемо у виглядi
λε ∼ λ + ελ1 + · · · , yε(x) ∼
{
v(x) + εv1(x) + · · · , |x| > ε,
w(ε−1x) + εw1(ε
−1x) + · · · , |x| < ε,
(1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 17
припускаючи, що виконуються умови спряження [yε]x=±ε = 0, [y′ε]x=±ε = 0. Тут функцiї v,
vk визначенi на R \ {0} i належать L2(R), а w, wk — на iнтервалi (−1, 1).
Введемо “швидку” змiнну ξ = ε−1x. Пiсля пiдстановки рядiв у рiвняння та узгодження
їх у точках x = ±ε (ξ = ±1) отримаємо, що функцiя v на кожнiй з пiвосей є розв’язком
рiвняння −v′′ + Uv = λv, функцiя w повинна бути розв’язком задачi
−w′′ + αΨ(ξ)w = 0, ξ ∈ (−1, 1), w′(−1) = 0, w′(1) = 0, (2)
i обидвi пов’язанi умовами спряження
v(−0) = w(−1), v(+0) = w(1). (3)
Задача (2) є визначальною в наших мiркуваннях, оскiльки мiстить усю iнформацiю про
характер δ′-подiбного збурення, а саме профiль Ψ та сталу α. Алгоритм побудови асимпто-
тики залежить вiд того, чи має ця задача нетривiальнi розв’язки, тобто чи є стала α, коли
її трактувати як спектральний параметр, власним значенням.
Оператор TΨ у просторi Крейна. Для вибраної функцiї Ψ ∈ P введемо простiр Лебега
KΨ зi скалярним добутком (f, g) =
1
∫
−1
|Ψ|fgdξ. Перетворимо KΨ у простiр Крейна [10],
задавши в ньому iндефiнiтну метрику [f, g] =
1
∫
−1
Ψfgdξ. У KΨ iснує канонiчна симетрiя J :
(Jf, g) = [f, g] для всiх f , g ∈ K. У нашому випадку такою симетрiєю є оператор множення
на функцiю sgn Ψ. Задачi (2) вiдповiдає оператор TΨ = −
1
Ψ(ξ)
d2
dξ2
, D(TΨ) = {f ∈ KΨ : f ∈
∈ W 2
2 (−1, 1),Ψ−1f ′′ ∈ KΨ, f ′(−1) = 0, f ′(1) = 0}. Можна довести, що TΨ є J-самоспряженим
та J-невiд’ємним, тобто [TΨf, g] = [f,TΨg] та [TΨf, f ] > 0 для всiх f , g ∈ D(TΨ).
Теорема 2. Якщо Ψ ∈ P, то спектр оператора TΨ є дiйсним, дискретним i має двi
точки скупчення −∞ i +∞. Усi власнi значення є простими, але ker TΨ 6= ker T 2
Ψ, тобто
нульове власне значення ще має приєднаний вектор.
Доведення. Дiйснiсть спектра оператора TΨ випливає з його J-самоспряженостi та
J-невiд’ємностi, а також того факту, що резольвентна множина є непорожньою [10, с. 138].
Дискретнiсть спектра випливає з компактностi резольвенти для оператора другого дифе-
ренцiювання, а iснування двох точок скупчення — iз знакозмiнностi вагової функцiї [11].
З умови m0(Ψ) = 0 отримується iснування приєднаного вектора для нульового власного
значення. Вiдомо також, що довжина жорданового ланцюжка для J-невiд’ємного операто-
ра не перевищує 2 [10, с. 137].
Далi спектр оператора TΨ позначатимемо через ΣΨ i називатимемо резонансною мно-
жиною потенцiалу Ψ.
Побудова граничного оператора. Продовжимо побудову асимптотики. Нехай спершу
α /∈ ΣΨ. Тодi задача (2) має єдиний розв’язок w = 0, а з умов (3) випливає v(−0) =
= v(+0) = 0. Отже, v повинна бути власною функцiєю з власним значенням λ прямої суми
операторiв Шредiнгера на пiвосях
{
−v′′ + U(x)v = λv, x ∈ R−,
v(0) = 0, v ∈ L2(R−),
{
−v′′ + U(x)v = λv, x ∈ R+,
v(0) = 0, v ∈ L2(R+),
(4)
якi ми позначатимемо S− та S+ вiдповiдно.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
Нехай тепер α ∈ ΣΨ, а w = Wα — власна функцiя оператора TΨ. Введемо позначення
θΨ(α) = Wα(1)/Wα(−1), зауваживши, що числа Wα(±1) вiдмiннi вiд нуля. Оскiльки спектр
TΨ є простим, то величина θΨ(α) не залежить вiд вибору власної функцiї i ї ї можна тра-
ктувати як функцiю θΨ : ΣΨ → R на спектрi. Називатимемо θΨ функцiєю зв’язку. З (3)
маємо v(−0) = Wα(−1), v(+0) = Wα(1). Звiдси, як наслiдок, отримуємо умову спряження
v(+0)−θΨ(α)v(−0) = 0. Щоб отримати умову для одностороннiх похiдних функцiї v в нулi,
розглянемо задачу для наступного члена асимптотики
−w′′
1 + αΨ(ξ)w1 = 0, ξ ∈ (−1, 1), w′
1(−1) = v′(−0), w′
1(1) = v′(+0). (5)
Це неоднорiдна задача “на спектрi”, i вона матиме розв’язок тодi i лише тодi, коли
Wα(1)v′(+0) = Wα(−1)v′(−0). Цю умову можна записати так: θΨ(α)v′(+0) − v′(−0) = 0.
Отже, для сталої зв’язку α з ΣΨ граничний оператор породжується в L2(R) задачею
−v′′ + Uv = λv, x ∈ R \ {0}, v(+0) − θΨ(α)v(−0) = 0, θΨ(α)v′(+0) − v′(−0) = 0.
Цей оператор, який ми позначимо через Sα(Ψ), є зв’язаним самоспряженим розширенням
оператора L з дiагональною матрицею зв’язку
CΨ(α) =
(
θΨ(α) 0
0 θΨ(α)−1
)
. (6)
3. Основний результат та iсторiя питання. Формальна асимптотика спектра, яка
обгрунтована в п. 4, дозволяє зробити такий висновок. Якщо квантово-механiчнiй систе-
мi вiдповiдає гамiльтонiан −
d2
dx2
+ U(x) +
α
ε2
Ψ(ε−1x), Ψ ∈ P, то, абстрагуючись вiд по-
тенцiалу малого радiуса дiї, його можна замiнити гамiльтонiаном −
d2
dx2
+ U(x) + αδ′(x).
Останнiй, пам’ятаючи про профiль Ψ, треба трактувати як сiм’ю самоспряжених розши-
рень {Hα(Ψ)}α∈R ⊂ E(L), де Hα(Ψ) = S− ⊕ S+, коли α /∈ ΣΨ, та Hα(Ψ) = Sα(Ψ), коли
α ∈ ΣΨ.
Отже, кожен δ′-подiбний профiль Ψ породжує резонансну множину ΣΨ та функцiю
зв’язку θΨ : ΣΨ → R. Для майже всiх сталих зв’язку α оператор Hα(Ψ) є прямою сумою
операторiв Шредiнгера на пiвосях i моделює ситуацiю, коли квантово-механiчна частин-
ка з iмовiрнiстю 1 знаходиться на однiй iз пiвосей (випадок закритого δ′-бар’єру). Однак
при α ∈ ΣΨ оператор Hα(Ψ) потрапляє в клас зв’язаних самоспряжених розширень. То-
дi частинка може проникати через бар’єр i з ненульовими ймовiрностями знаходитися на
кожнiй з пiвосей (випадок вiдкритого δ′-бар’єру).
Проблема правильного трактування оператора A = −d2/dx2 + αδ′(x) розглядається
з 80-х рокiв минулого столiття. Так P. Šeba [4] та F. Gesztesy, H. Holden [5] визначили A
як сiм’ю операторiв Aβ = −d2/dx2, D(Aβ) = {f ∈ W 2
2 (R \ {0}) : f ′(−0) = f ′(+0), f(+0) −
− f(−0) = βf ′(0)}, де β залежить вiд сталої α. Пiсля виходу в свiт книги S. Albeverio iз
спiвавт. [1] таке означення δ′-взаємодiї деякий час вважалося стандартним. B.-H. Zhao [12]
першим скритикував його i запропонував своє. Проте оператор Zhao не був самоспряженим,
а тому не вiдповiдав постулатам квантової механiки. P. Kurasov та N. Elander [13] “удоско-
налили” цей оператор, визначивши A як оператор другої похiдної в W 2
2 (R \ {0}) з умовами
f(+0)−f(−0) = (α/2)(f(+0)+f(−0)), f ′(+0)−f ′(−0) = −(α/2)(f ′(+0)+f ′(−0)). Їх означен-
ня опиралося на узагальнення функцiї Дiрака та її похiдних на випадок розривних у нулi
тестових функцiй [14]: 〈δ(n)(x), ϕ(x)〉 = ((−1)n/2)(ϕ(n)(+0) + ϕ(n)(−0)).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 19
Ми вважаємо, що оператор A треба розумiти як сiм’ю побудованих вище самоспряжених
розширень Hα(Ψ) при U = 0, де Ψ є “профiлем” функцiї δ′(x) у конкретнiй фiзичнiй моделi.
Зауважимо, що означення резонансної множини ΣΨ та функцiї зв’язку θΨ не залежать вiд
потенцiалу U .
Бачимо, що означення S. Albeverio не узгоджується з нашим, оскiльки матриця зв’язку
операторiв Aβ не є дiагональною. Скорiше за все, “δ′-взаємодiя” та “δ′-потенцiал” — це рiзнi
фiзичнi феномени. В означеннi П. Курасова спiльним з нашим є те, що його матриця зв’язку
має вигляд (6) iз замiною θΨ(α) на (2 + α)/(2 − α). Правда, у попередникiв оператори при
всiх α є зв’язаними самоспряженими розширеннями, що бiльш привабливо з погляду теорiї
розсiяння, але не цiлком узгоджується з фiзикою. На пiдтвердження цiєї тези ми розв’язали
задачу розсiяння на кусково-сталому δ′-подiбному потенцiалi (α/ε2)Ψ0(ε
−1x), де Ψ0(ξ) = 1
при −1 < ξ < 0 i Ψ0(ξ) = −1 при 0 < ξ < 1. Явна формула для коефiцiєнта проходження
|Tε(α, k)|2 свiдчить про те, що вiн прямує до нуля при ε → 0, коли α /∈ ΣΨ0
, а ненульову
границю має лише, коли α ∈ ΣΨ0
. Тут ΣΨ0
— множина коренiв трансцендентного рiвняння
tg α = th α.
Зауважимо, що отриманий асимптотичний результат залишається справедливим для
будь-якого потенцiалу Ψ ∈ C∞
0 (R), а не лише з класу P. Випадок δ′-подiбного потенцiалу
характеризується структурою множини ΣΨ, описаною в теоремi 2, а також спецiальною
поведiнкою функцiї зв’язку θΨ. Обчислення точних моделей i комп’ютерне моделювання
задачi з бiльш складними потенцiалами дозволяє нам зробити припущення, доведення якого
мало б отримуватися методами просторiв Крейна.
Гiпотеза. Нехай потенцiал Ψ задовольняє умови m0(Ψ) = 0, m1(Ψ) = −1. Тодi |θΨ(α)| >
> 1 для α ∈ ΣΨ
⋂
R+ i |θΨ(α)| < 1 для α ∈ ΣΨ
⋂
R−. Крiм того, |θΨ(α)| → ∞ при α → +∞
та |θΨ(α)| → 0 при α → −∞.
Умови m0(Ψ) = 0, m1(Ψ) = −1 вимагають не лише знакозмiнностi, а й у певному сенсi
“асиметричностi” потенцiалу. Тому, наприклад, для парного потенцiалу Φ гiпотеза не пiд-
тверджується, оскiльки |θΦ(α)| = 1 для всiх α ∈ ΣΦ.
4. Обгрунтування асимптотики. В обох випадках, як вiдкритого, так i закритого
δ′-бар’єру, вибравши власне значення λ оператора Hα(Ψ), можна обчислити коефiцiєнти
рядiв (1) з довiльним номером. Розглянемо їх частиннi суми
Λε
N = λ + ελ1 + · · · + εNλN ,
Y ε
N (x) =
v(x) + εv1(x) + · · · + εNvN (x), |x| > ε,
w
(
x
ε
)
+ εw1
(
x
ε
)
+ · · · + εNwN
(
x
ε
)
, |x| < ε,
(7)
де v — вiдповiдна власна функцiя, а w = 0 при α /∈ ΣΨ та w = Wα при α ∈ ΣΨ.
Теорема 3. Нехай Ψ ∈ P та α ∈ R. Для кожного власного значення λ оператора
Hα(Ψ) iснує таке власне значення λε
j(α,Ψ) оператора Hε,α(Ψ), що λε
j(α,Ψ) → λ при ε → 0.
Крiм того, |λε
j(α,Ψ) − Λε
N (λ)| 6 CNεN+1, де стала CN не залежить вiд ε.
Доведення. Функцiя Y ε
N не належить областi визначення оператора Hε,α(Ψ), оскiльки
має розриви величини O(εN+1) при x = ±ε. Побудувавши коректор ζε
N з малою нормою,
переконуємося, що пара Λε
N , Yε
N = Y ε
N + ζε
N ∈ D(Hε,α(Ψ)) є квазiмодою оператора Hε,α(Ψ)
iз нев’язкою порядку εN−1, тобто ‖(Hε,α(Ψ) − Λε
NI)Yε
N‖ 6 cεN−1‖Yε
N‖. Тут ‖ · ‖ — нор-
ма в просторi L2(R). Тодi результат отримується iз леми Вiшика–Люстерника. Детально
технiка побудови та обгрунтування таких асимптотик описана в [15].
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
У це повiдомлення не ввiйшли результати про асимптотику молодших власних значень
λε
j(α,Ψ), якi прямують до −∞, а також випадок потенцiалiв Ψ iз незв’язними носiями.
1. Albeverio S., Gesztesy F., Høegh-Krohn R., Holden H. Solvable models in quantum mechanics. – Berlin:
Springer, 1988. – 452 p.
2. Šeba P. The generalized point interaction in one dimension // Czech. J. Phys. – 1986. – B36. – P. 667–673.
3. Chernoff P., Hughes R. A new class of point interactions in one dimension // J. Funct. Anal. – 1993. –
111. – P. 97–117.
4. Šeba P. Some remarks on the δ
′-interaction in one dimension // Rep. Math. Phys. – 1986. – 24, No 1. –
P. 111–120.
5. Gesztesy F., Holden H. A new class of solvable models in quantum mechanics describing point interactions
on the line // J. Phys. – 1987. – A20. – P. 5157–5177.
6. Кочубей А.Н. Симметрические операторы и неклассические спектральные задачи // Мат. заметки. –
1979. – 25, № 3. – С. 425–434.
7. Нижник Л.П. Оператор Шредингера с δ
′-взаимодействием // Функц. анализ и его приложения. –
2003. – 37, № 1. – С. 85–88.
8. Exner P., Neidhardt H., Zagrebnov V. Potential approximations to δ
′: an inverse Klauder phenomenon
with norm-resolvent convergence // Communs Math. Phys. – 2001. – 224. – P. 593–612.
9. Голощапова Н.И., Оридорога Л.Л. Дифференциальный оператор четвертого порядка с локальными
точечными взаимодействиями // Укр. мат. вiсник. – 2007. – 4, № 3. – С. 355–369.
10. Иохвидов И.С., Азизов Т.Я. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной
метрикой. – Москва: Наука, 1986. – 352 с.
11. Ćurgus B., Langer H. A Krein space approach to symmetric ordinary differential operators with an indefinite
weight function // J. Different. Equat. – 1989. – 79, No 1. – P. 31–61.
12. Zhao B.-H. Comments on the Schrödinger equation with δ
′-interactions in one dimension // J. Phys. –
1992. – A25. – P. L617–L618.
13. Kurasov P., Elander N. On the δ
′-interactions in one dimension. – Stockholm, 1993. – (Prepr. MSI 93–7,
ISSN – 1100–214X).
14. Kurasov P. Distribution Theory for Discontinuous Test Functions and Differential Operators with Generali-
zed Coefficients // J. Math. Anal. and Appl. – 1996. – 201. – P. 297–323.
15. Головатый Ю.Д., Назаров С.А., Олейник О.А., Соболева Т. С. О собственных колебаниях струны с
присоединенной массой // Сиб. мат. журн. – 1988. – 29, № 5. – С. 71–91.
Надiйшло до редакцiї 30.09.2008Львiвський нацiональний унiверситет iм. Iвана Франка
Yu.D. Golovaty, S. S. Man’ko
Schrödinger operator with δ
′-potential
The 1-dimensional Schrödinger operators with pseudopotentials involving the derivative of the Dirac
function are investigated. We present a new family of self-adjoint operators which correspond to
the formal differential operators −
d2
dx2
+ U(x) + αδ′(x).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 21
|