Однозначная разрешимость и устойчивость симметрических и периодических решений слабонелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений
Встановлено умови iснування єдиного перiодичного та симетричного розв’язку слабонелiнiйного звичайного диференцiального рiвняння загального виду. Одержано умови стiйкостi цього розв’язку. We show the existence of unique periodic and symmetric solutions of weakly nonlinear ordinary differential equat...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8504 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Однозначная разрешимость и устойчивость симметрических и периодических решений слабонелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Н. З. Дильная, М. Фечкан // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 22-28. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859711539339067392 |
|---|---|
| author | Дильная, Н.З. Фечкан, М. |
| author_facet | Дильная, Н.З. Фечкан, М. |
| citation_txt | Однозначная разрешимость и устойчивость симметрических и периодических решений слабонелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Н. З. Дильная, М. Фечкан // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 22-28. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Встановлено умови iснування єдиного перiодичного та симетричного розв’язку слабонелiнiйного звичайного диференцiального рiвняння загального виду. Одержано умови стiйкостi цього розв’язку.
We show the existence of unique periodic and symmetric solutions of weakly nonlinear ordinary differential equations. Conditions for the stability of these solutions are established as well.
|
| first_indexed | 2025-12-01T05:03:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
© 2009
Н.З. Дильная, М. Фечкан
Однозначная разрешимость и устойчивость
симметрических и периодических решений
слабонелинейных обыкновенных дифференциальных
уравнений
(Представлено академиком НАН Украины A.M. Самойленко)
Встановлено умови iснування єдиного перiодичного та симетричного розв’язку слабоне-
лiнiйного звичайного диференцiального рiвняння загального виду. Одержано умови стiй-
костi цього розв’язку.
1. Постановка задачи и определения. В работе изучаются системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений с условиями симметричности и периодичности. Рассматривают-
ся слабонелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения вида
ẋ = εf(x, t), x ∈ R
n, t ∈ R, (1)
с малым параметром ε ∈ R, функция f ∈ C0(Rn × R, Rn) симметрическая по x и pT -пери-
одическая по t, т. е. она удовлетворяет соотношению
Af(x, t) = f(Ax, t + T ), (2)
где A : R
n → R
n — линейное преобразование такое, что Ap = I при p ∈ N. Используя это
свойство, мы получаем следующую конструкцию. Пусть 〈·, ·〉 — скалярное произведение
в R
n. Положим
(x, y) :=
1
p
p−1
∑
i=0
〈Aix,Aiy〉
как новое скалярное произведение в R
n, мы получаем (Ax,Ay) = (x, y) и |Ax| = |x| при
|x| :=
√
(x, x). Таким образом, A — унитарное преобразование со скалярным произведением
(·, ·). Везде в работе мы предполагаем, что 1 /∈ σ(A), где σ(A) — спектр A. Норма в L(Rn)
обобщает | · | и обозначается ‖ · ‖.
Замечание 1. Уравнение (1) изучается на открытом ограниченном подмножестве R
n, для
уравнения (1) при малом параметре ε не рассматриваются бифуркации из бесконечности.
Для T > 0 мы вводим Банахово пространство
X := {x ∈ C0(R, Rn) | x(t + T ) = Ax(t), t ∈ R}. (3)
Заметим, что |x(t)| — это T -периодическая функция, так как |x(t+T )| = |Ax(t)| = |x(t)|.
Таким образом, норма ‖x‖ = max
t∈[0,T ]
|x(t)| = max
t∈R
|x(t)| в X. Очевидно, что если функция x
принадлежит пространству X, то она будет pT -периодическая.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
В настоящей работе найдено единственное симметрическое и периодическое решение
(см. п. 2) для уравнения (1) и установлены условия, при которых это решение асимптоти-
чески устойчиво (см. п. 3) или гиперболического типа (см. п. 4), приведен пример, иллю-
стрирующий полученную теорию (см. п. 5).
Представленные здесь результаты обобщают известные результаты для антипериодиче-
ских задач при A = −I [1, 2] и являются дополнением работы [3]. Двойные симметрические
решения изучались в [4].
2. Однозначная разрешимость слабонелинейных уравнений. Изучение симмет-
рических и периодических решений x уравнения (1) эквивалентно решению уравнения (1)
на отрезке t ∈ [0, T ] с краевыми условиями x(T ) = Ax(0).
Рассмотрим задачу типа
ẋ = εf(x, t), t ∈ [0, T ], x(0) = x. (4)
Положим ϕε(x, t) — единственное решение (4). Заметим, что ϕε(x, 0) := x. Очевидно,
что pT -периодическое решение уравнения (1) определяет уравнение
Pε(x) := ϕε(x, pT ) = x.
С другой стороны, T -периодические и симметрические решения (1), т. е. решения, прина-
длежащие X, задаются уравнением Ax = ϕε(x, T ). С этой целью введем новое отображение
gε(x) := A−1ϕε(x, T ).
Предполагаем, что функция f будет C∞-гладкой. Асимптотическое разложение можно
получить с помощью методов усреднения. Т. е. допускаем, что существует разложение Pε
и gε в ряд Тейлора по малому параметру ε:
Pε(x) = P0(x) + εP1(x) + · · · ,
gε(x) = g0(x) + εg1(x) + · · · .
Теорема 1. При малом параметре ε 6= 0 уравнение (1) имеет единственное T -пе-
риодическое и pT -периодическое решение xε(t) ∈ X такое, что xε(0) = xε, gε(xε) = xε,
Pε(xε) = xε и xε(t) = O(ε).
3. Устойчивость T -периодических и симметрических решений. Для изучения
устойчивости T -периодического и симметрического решения xε(t) ∈ X уравнения (1) мы
рассматриваем линеаризацию Dxgε(xε) в фиксированной точке xε = O(ε).
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. При любом малом параметре ε > 0 единственное симметрическое и T -пе-
риодическое решение x(t) = O(ε) уравнения (1) будет асимптотически устойчивым, если
выполняется условие
Re
{
σ
( T
∫
0
Dxf(0, s)ds
)}
⊂ (−∞, 0).
4. k-Гиперболичность. Анализируя доказательства теорем 2.2 и 2.4 работы [5], при-
ходим к следующему обобщению.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 23
Теорема 3. Из сильной k-гиперболичности вытекает k-гиперболичность.
Теорема 4. Предположим, что непрерывная матричная функция Lε : R
n → R
n явля-
ется C∞-гладкой, т. е. существует разложение в ряд Тейлора Lε = L0 + εL1 + · · ·+ εkLk,
если собственные значения L0 — различные числа на единичном круге и, кроме этого, соб-
ственные значения λi(ε) функции Lε, соответственно пронумерованные, удовлетворяют
|λi(ε)| < 1 − cεk для i = 1, . . . , r, |λi(ε)| > 1 − cεk для i = r + 1, . . . , n, при некоторых
константах c > 0 и малом ε > 0, тогда функция Lε будет сильно k-гиперболической.
Замечание 2. Разница между нашей теоремой 4 и теоремой 2.2 работы [5] в том, что в по-
следней предполагается Lε = I + εL1 + · · ·+ εkLk и что собственные значения L1 различны.
Мы можем улучшить теорему 2 следующим образом.
Теорема 5. Пусть все собственные значения A — различные комплексные числа на
единичном круге. Пусть xε = O(ε) — единственное решение уравнения gε(xε) = xε. Если
Dxgε(xε) = Gε,k + o(εk) := A−1 + εG1 + · · · + εkGk + o(εk),
где матричнозначная функция Gε,k k-гиперболическая, то Dxgε(xε) будет гиперболической
с тем же типом гиперболичности, что и Gε,k, в частности Gε,k будет k-гиперболической,
если она удовлетворяет предположениям теоремы 4.
Из теоремы 5 мы получаем следующее утверждение.
Теорема 6. Предположим, что все собственные значения A — различные комплексные
числа на единичном круге. Пусть собственные значения λi(ε) разложения A−1+εG1+· · ·+
+εkGk, соответственно пронумерованные, удовлетворяют |λi(ε)| < 1−cεk при i = 1, . . . , r,
|λi(ε)| > 1 − cεk при i = r + 1, . . . , n, для некоторых констант c > 0 и малого ε > 0. Тогда
единственное симметрическое и T -периодическое решение уравнения (1) гиперболично при
любом малом ε > 0.
5. Пример. Рассмотрим в плоскости дифференциальные уравнения
ẋ1 = ε(f1(x1, x2) + h1(t)),
ẋ2 = ε(f2(x1, x2) + h2(t))
(5)
с гладкими функциями f1,2, h1,2, T = π/2, p = 4 и
A =
(
0 −1
1 0
)
. (6)
Из условия симметричности (2) вытекают следующие свойства:
f1(x1, x2) = f2(−x2, x1), f2(x1, x2) = −f1(−x2, x1), (7)
h1
(
t +
π
2
)
= −h2(t), h2
(
t +
π
2
)
= h1(t). (8)
Отметим, что из (8) мы получаем h1,2(t + π) = −h1,2(t) и
2π
∫
0
h1,2(t) dt = 0.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
Следовательно, P1(x) =
d
dε
ϕ0(x, pT ) [6–10] принимает форму
P1(x) = 2π(f1(x1, x2), f2(x1, x2)), x = (x1, x2). (9)
Условия симметричности (7) выполняются, к примеру, для полинома
f1(x1, x2) = a0x1 + b0x2 +
m
∑
j,k=0, j+k>3
2|j+k+1
(ajkx
j
1x
k
2 + bkjx
k
1x
j
2),
f2(x1, x2) = −b0x1 + a0x2 −
m
∑
j,k=0, j+k>3
2|j+k+1
((−1)kbkjx
j
1x
k
2 + (−1)jajkx
k
1x
j
2).
(10)
Следовательно, DxP1(0) =
(
a0 b0
−b0 a0
)
. Из теоремы 1 мы знаем, что только x0(t) = O(ε)
является симметрическим и π/2-периодическим решением уравнения (5), которое, кроме
этого, асимптотически устойчиво (соответственно, репеллер), если a0 < 0 (соответственно,
a0 > 0), при малом ε > 0. Для дальнейших исследований нам понадобится вычислить слага-
емые более высоких порядков при a0 = 0, но этого мы здесь приводить не будем, поскольку
в полиномах общего вида (10) эти вычисления занимают много места. Мы ограничимся
рассмотрением только специфических случаев.
Вырожденный случай. Если a0 = b0 = 0, то DxP1(0) = 0 и, понятно, нельзя применить
общую классическую теорему [6–10], но теорема 1 гарантирует существование и единствен-
ность решения x0(t). В этом одно из преимуществ наших результатов. Рассмотрим
ẋ1 = ε(ajx
j
1 + bjx
j
2 + h1(t)),
ẋ2 = ε(−bjx
j
1 + ajx
j
2 + h2(t)),
(11)
где aj, bj ∈ R \ {0}, j ∈ N, j > 3 нечетные и h1,2 6= 0 удовлетворяют (8). Линеаризация (11)
по x0(t) = (x1,0(t), x2,0(t)) принимает вид
ẋ1 = ε(jajx1,0(t)
j−1x1 + jbjx2,0(t)
j−1x2),
ẋ2 = ε(−jbjx1,0(t)
j−1x1 + jajx2,0(t)
j−1x2).
(12)
Пусть Xε(t) — фундаментальное матричное решение задачи (12). Тогда, в обозначениях
пп. 2, 3, мы получим, что Dxgε(xε) = A−1Xε(π/2) и DxPε(xε) = Xε(2π) при xε = x0(0).
Далее, σ(A−1X0(π/2)) = {e±πı/2}. Таким образом, σ(A−1Xε(π/2)) = {λε, λε} стремится
к {e±πı/2}. Пусть σ(Xε(2π)) = {λε,1, λε,2}. Тогда, применяя теорему Данфорда о спектраль-
ных отображениях [11], что
σ(DxPε(xε)) = [σ(Dxgε(xε))]
p,
получим, что λε,1 = λ4
ε и λε,2 = (λε)
4 = λ4
ε = λε,1. С другой стороны, учитывая теорему
Лиувилля [11],
λε,1λε,2 = det Xε(2π) = e
2π
∫
0
jaj(x1,0(t)j−1+x2,0(t)j−1)dt
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 25
Т. е.
2π
∫
0
(x1,0(t)
j−1 + x2,0(t)
j−1) dt > 0, видим, что |λε,1| = |λε,2| < 1 при aj < 0 и |λε,1| =
= |λε,2| > 1 при aj > 0. Далее, тот факт, что P1(x) = 0 принимает форму
ajx
j
1 + bjx
j
2 = 0, −bjx
j
1 + ajx
j
2 = 0, (13)
дает (x1x2)
j(a2
j + b2
j) = 0. Таким образом, (13) имеет только нулевое решение x1 = x2 = 0.
Подводя итоги, мы получаем следующее утверждение.
Теорема 7. Слабонелинейная система (11) имеет только 2π-периодическое решение
x0(t) = O(ε) при малом ε > 0, которое, кроме того, −π/2-симметрическое, т. е. удовле-
творяет условию
x0
(
t +
π
2
)
=
(
0 −1
1 0
)
x0(t) ∀t ∈ R. (14)
Если aj < 0, то x0(t) будет глобально асимптотически устойчивым решением, и если
aj > 0, то x0(t) будет глобальным репеллером.
Невырожденный случай. Чтобы получить самый интересный результат, мы рассмотрим
следующий простой вид уравнений (10):
f1(x1, x2) = x1 + x2 + ax2
1x2 + bx1x
2
2,
f2(x1, x2) = −x1 + x2 + bx2
1x2 − ax1x
2
2,
(15)
где a, b ∈ R — константы, (a, b) 6= (0, 0). Следовательно, x0(t) — репеллер при малом
ε > 0. Мы намереваемся найти больше 2π-периодических решений уравнений (5) вида (15).
С этой целью решим систему
x1 + x2 + ax2
1x2 + bx1x
2
2 = 0,
−x1 + x2 + bx2
1x2 − ax1x
2
2 = 0,
(16)
что дает
x2(2 + (a + b)x2
1 − (a − b)x1) = 0. (17)
При x2 = 0 из (16) получаем решение x1 = 0, т. е. опять получаем x0(t). Если x2 6= 0
и a = b > 0, то (17) не имеет больше решений. Таким образом, мы предполагаем, что a 6= b
и из (17) получаем, что x1 6= 0 наряду с
x2 =
(a + b)x2
2 + 2
(a − b)x1
. (18)
Подставляя (18) в первое из уравнений (16) и производя некоторые преобразования, по-
лучаем
2(a + b) + 4(a2 + b2)x2
1 + (a + b)(a2 + b2)x4
1 = 0. (19)
Если a + b = 0, то из (19) вычисляем x1 = 0, и, таким образом, снова имеем x2 = 0.
Предположим, что a + b 6= 0, тогда (19) дает
x2
1,+ =
√
2(a − b) − 2
√
a2 + b2
(a + b)
√
a2 + b2
, x2
1,− = −
√
2(a − b) + 2
√
a2 + b2
(a + b)
√
a2 + b2
. (20)
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
Легко видеть, что
√
2(a − b) − 2
√
a2 + b2 < 0,
√
2(a − b) + 2
√
a2 + b2 > 0
при a+ b 6= 0. Таким образом, (20) имеет действительные корни тогда и только тогда, когда
a + b < 0. Дальше предполагаем, что это условие выполняется. Используя (18), мы полу-
чаем четыре корня уравнения (16). Согласно (7), система уравнений (16) эквивариантна
относительно симметрии (6), эти решения поворотно симметричны. Мы концентрируемся
на первом решении, заданном
x1,+ =
√√
2(a − b) − 2
√
a2 + b2
(a + b)
√
a2 + b2
, x2,+ =
√
2(a + b)√
a2 + b2(
√
2(a − b) − 2
√
a2 + b2)
. (21)
Учитывая (9) и (15), получаем
DxP1(x1,+, x2,+) =
2π
(a + b)
√
a2 + b2
×
×
(
(a − b)
√
a2 + b2 +
√
2(2a2 + ab + b2) (b − a)
√
a2 + b2 +
√
2(a2 + ab + 2b2)
(a − b)
√
a2 + b2 +
√
2(a2 + ab + 2b2) (a − b)
√
a2 + b2 −
√
2(a2 + ab + 2b2)
)
.
Интересно отметить, что detDxP1(x1,+, x2,+) = −16π. Собственные значения
DxP1(x1,+, x2,+) задаются
λ± = 2π
a − b ∓
√
9a2 + 14ab + 9b2
a + b
.
Из предположения, что a + b < 0, получаем, что λ+ > 0 и λ− < 0.
Подводя итоги, из всего вышеизложенного мы приходим к следующей теореме.
Теорема 8. Рассмотрим
ẋ1 = ε(x1 + x2 + ax2
1x2 + bx1x
2
2 + h1(t)),
ẋ2 = ε(−x1 + x2 + bx2
1x2 − ax1x
2
2 + h2(t)),
(22)
где a, b ∈ R — константы с (a, b) 6= (0, 0), h1,2 — непрерывные функции, удовлетворяю-
щие (8) и ε > 0 — малый параметр. Если a + b > 0, то в уравнении (22) будет толь-
ко 2π-периодическое решение x0(t) = O(ε), которое, кроме того, является репеллером
и −π/2-симметрическое, т. е. удовлетворяет условию (14). Если a + b < 0, то уравне-
ние (22) будет иметь, кроме этого, еще четыре 2π-периодических решения xj(t), j = 1, 4,
которые будут гиперболическими с одинаковым типом гиперболичности, а также орби-
тально −π/2-симметрическими друг к другу.
Работa выполненa при частичной поддержке грантом National Scholarship Programme of the
Slovak Republic, грантами Президиума НАН Украины, No. 0108U004 117, и Государственного фонда
фундаментальных исследований, GP/F26/0154, а также Grant VEGA-SAV, 2/7140/27.
1. Aizovici S., Fečkan M. Forced symmetric oscillations of evolution equations // Nonlinear Anal. – 2006. –
64. – P. 1621–1640.
2. Aizovici S., Pavel N.H. Anti-periodic solutions to a class of nonlinear differential equations in Hilbert
space // J. Funct. Anal. – 1991. – 99. – P. 387–408.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 27
3. Fečkan M., Ma R., Thompson B. Forced symmetric oscillations // Bull. Belg. Math. Soc. – 2007. – 14. –
P. 73–85.
4. Mucoz-Almaraz F. J., Freire E., Galan-Vioque J., Vanderbauwhede A. Continuation of normal doubly sym-
metric orbits in conservative reversible systems // Celest. Mech. Dyn. Astr. – 2007. – 97. – P. 17–47.
5. Murdock J., Robinson C. Qualitative dynamics from asymptotic expansions: local theory // J. Different.
Equat. – 1980. – 36. – P. 425–441.
6. Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. –
Utrecht: VSP, 2004. – 317 p.
7. Mитропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. – Киев: Наук. думка, 1971. – 440 с.
8. Mitropolsky Yu.A., Samoilenko A.M., Kulik V. L. Dichotomies and stability in nonautonomous linear
systems. Stability and Control: Theory, Methods and Applications, 14. – London, 2003. – 368 p.
9. Montgomery J. T. Existence and stability of periodic motion under higher order averaging // J. Differen.
Equat. – 1986. – 64. – P. 67–78.
10. Самойленко А.М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные то-
ры. – Москва: Наука, 1987. – 303 с.
11. Irwin M.C. Smooth dynamical systems. – London: Academic Press, 1980. – 260 p.
Поступило в редакцию 04.08.2008Институт математики НАН Украины, Киев
Математический институт САН, Братислава, Словакия
Университет Комениуса, Братислава, Словакия
N.Z. Dilna, M. Fečkan
About the uniqueness and stability of symmetric and periodic solutions
of weakly nonlinear ordinary differential equations
We show the existence of unique periodic and symmetric solutions of weakly nonlinear ordinary
differential equations. Conditions for the stability of these solutions are established as well.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8504 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T05:03:56Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дильная, Н.З. Фечкан, М. 2010-06-04T14:29:59Z 2010-06-04T14:29:59Z 2009 Однозначная разрешимость и устойчивость симметрических и периодических решений слабонелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Н. З. Дильная, М. Фечкан // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 22-28. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8504 517.9 Встановлено умови iснування єдиного перiодичного та симетричного розв’язку слабонелiнiйного звичайного диференцiального рiвняння загального виду. Одержано умови стiйкостi цього розв’язку. We show the existence of unique periodic and symmetric solutions of weakly nonlinear ordinary differential equations. Conditions for the stability of these solutions are established as well. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Однозначная разрешимость и устойчивость симметрических и периодических решений слабонелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений About the uniqueness and stability of symmetric and periodic solutions of weakly nonlinear ordinary differential equations Article published earlier |
| spellingShingle | Однозначная разрешимость и устойчивость симметрических и периодических решений слабонелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений Дильная, Н.З. Фечкан, М. Математика |
| title | Однозначная разрешимость и устойчивость симметрических и периодических решений слабонелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений |
| title_alt | About the uniqueness and stability of symmetric and periodic solutions of weakly nonlinear ordinary differential equations |
| title_full | Однозначная разрешимость и устойчивость симметрических и периодических решений слабонелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений |
| title_fullStr | Однозначная разрешимость и устойчивость симметрических и периодических решений слабонелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений |
| title_full_unstemmed | Однозначная разрешимость и устойчивость симметрических и периодических решений слабонелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений |
| title_short | Однозначная разрешимость и устойчивость симметрических и периодических решений слабонелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений |
| title_sort | однозначная разрешимость и устойчивость симметрических и периодических решений слабонелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8504 |
| work_keys_str_mv | AT dilʹnaânz odnoznačnaârazrešimostʹiustoičivostʹsimmetričeskihiperiodičeskihrešeniislabonelineinyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenii AT fečkanm odnoznačnaârazrešimostʹiustoičivostʹsimmetričeskihiperiodičeskihrešeniislabonelineinyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenii AT dilʹnaânz abouttheuniquenessandstabilityofsymmetricandperiodicsolutionsofweaklynonlinearordinarydifferentialequations AT fečkanm abouttheuniquenessandstabilityofsymmetricandperiodicsolutionsofweaklynonlinearordinarydifferentialequations |