Критерій існування неперервних похідних у функцій з класу Lp на відрізку в термінах локальних наближень найпростішими дробами0

Критерій існування неперервних похідних у функцій з класу Lp на відрізку в термінах локальних наближень найпростішими дробами0

Доведено теорему про локальне найкраще наближення найпростiшими дробами, тобто логарифмiчними похiдними алгебраїчних многочленiв з комплексними коефiцiєнтами. У теоремi одержано аналог вiдомої теореми Морозова про опис функцiй, n разiв неперервно диференцiйовних на вiдрiзку Δ, що є підмножиною R, у...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2009
1. Verfasser: Новак, Я.В.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2009
Schlagworte:
Математика
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8506
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Критерій існування неперервних похідних у функцій з класу Lp на відрізку в термінах локальних наближень найпростішими дробами / Я.В. Новак // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 36-40. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8506
record_format dspace
spelling Новак, Я.В.
2010-06-04T14:41:14Z
2010-06-04T14:41:14Z
2009
Критерій існування неперервних похідних у функцій з класу Lp на відрізку в термінах локальних наближень найпростішими дробами / Я.В. Новак // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 36-40. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
1025-6415
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8506
517.538.5
Доведено теорему про локальне найкраще наближення найпростiшими дробами, тобто логарифмiчними похiдними алгебраїчних многочленiв з комплексними коефiцiєнтами. У теоремi одержано аналог вiдомої теореми Морозова про опис функцiй, n разiв неперервно диференцiйовних на вiдрiзку Δ, що є підмножиною R, у термiнах локальних наближень у метрицi простору Lp, p належить [1,∞), алгебраїчними многочленами.
We prove a theorem on the best local approximation by the simplest fractions, i. e., the logarithmic derivatives of algebraic polynomials with complex coefficients. In the theorem, an analog of the wellknown A.N. Morozov’s theorem on the description of functions, which are n times continuously differentiable on a segment Δ is included in R, in terms of the local approximation in the metric of a space Lp, p belongs [1,∞), by algebraic polynomials is obtained.
uk
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
Математика
Критерій існування неперервних похідних у функцій з класу Lp на відрізку в термінах локальних наближень найпростішими дробами0
A criterion of the existence of continuous derivatives for functions of the class Lp on a segment in terms of local approximations by the simplest fractions
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Критерій існування неперервних похідних у функцій з класу Lp на відрізку в термінах локальних наближень найпростішими дробами0
spellingShingle Критерій існування неперервних похідних у функцій з класу Lp на відрізку в термінах локальних наближень найпростішими дробами0
Новак, Я.В.
Математика
title_short Критерій існування неперервних похідних у функцій з класу Lp на відрізку в термінах локальних наближень найпростішими дробами0
title_full Критерій існування неперервних похідних у функцій з класу Lp на відрізку в термінах локальних наближень найпростішими дробами0
title_fullStr Критерій існування неперервних похідних у функцій з класу Lp на відрізку в термінах локальних наближень найпростішими дробами0
title_full_unstemmed Критерій існування неперервних похідних у функцій з класу Lp на відрізку в термінах локальних наближень найпростішими дробами0
title_sort критерій існування неперервних похідних у функцій з класу lp на відрізку в термінах локальних наближень найпростішими дробами0
author Новак, Я.В.
author_facet Новак, Я.В.
topic Математика
topic_facet Математика
publishDate 2009
language Ukrainian
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
format Article
title_alt A criterion of the existence of continuous derivatives for functions of the class Lp on a segment in terms of local approximations by the simplest fractions
description Доведено теорему про локальне найкраще наближення найпростiшими дробами, тобто логарифмiчними похiдними алгебраїчних многочленiв з комплексними коефiцiєнтами. У теоремi одержано аналог вiдомої теореми Морозова про опис функцiй, n разiв неперервно диференцiйовних на вiдрiзку Δ, що є підмножиною R, у термiнах локальних наближень у метрицi простору Lp, p належить [1,∞), алгебраїчними многочленами. We prove a theorem on the best local approximation by the simplest fractions, i. e., the logarithmic derivatives of algebraic polynomials with complex coefficients. In the theorem, an analog of the wellknown A.N. Morozov’s theorem on the description of functions, which are n times continuously differentiable on a segment Δ is included in R, in terms of the local approximation in the metric of a space Lp, p belongs [1,∞), by algebraic polynomials is obtained.
issn 1025-6415
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8506
citation_txt Критерій існування неперервних похідних у функцій з класу Lp на відрізку в термінах локальних наближень найпростішими дробами / Я.В. Новак // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 36-40. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT novakâv kriteríiísnuvannâneperervnihpohídnihufunkcíizklasulpnavídrízkuvtermínahlokalʹnihnabliženʹnaiprostíšimidrobami0
AT novakâv acriterionoftheexistenceofcontinuousderivativesforfunctionsoftheclasslponasegmentintermsoflocalapproximationsbythesimplestfractions
first_indexed 2025-11-25T11:49:56Z
last_indexed 2025-11-25T11:49:56Z
_version_ 1850511702587604992
fulltext УДК 517.538.5 © 2009 Я.В. Новак Критерiй iснування неперервних похiдних у функцiй з класу Lp на вiдрiзку в термiнах локальних наближень найпростiшими дробами (Представлено членом-кореспондентом НАН України П. М. Тамразовим) Доведено теорему про локальне найкраще наближення найпростiшими дробами, тобто логарифмiчними похiдними алгебраїчних многочленiв з комплексними коефiцiєнтами. У теоремi одержано аналог вiдомої теореми Морозова про опис функцiй, n разiв непе- рервно диференцiйовних на вiдрiзку ∆ ⊂ R, у термiнах локальних наближень у метрицi простору Lp, p ∈ [1,∞), алгебраїчними многочленами. Найпростiшим дробом степеня n (термiн запропоновано Є.П. Долженком) називається ра- цiональна функцiя вигляду rn(z) = n ∑ k=1 1 z − ak , {ak} n k=1 ⊂ C (n ∈ N := {1, 2, . . .}). Як апарат наближення найпростiшi дроби активно дослiджуються з 1999 р., коли В. I. та Д.Я. Данченки (див. [1]) встановили можливiсть рiвномiрного наближення з довiльною точнiстю найпростiшими дробами кожної комплексної функцiї, неперервної на заданому компактi i аналiтичної в його внутрiшнiх точках, за умови, що даний компакт не розбиває площини (аналог вiдомої теореми Мергеляна). Деякi iншi задачi теорiї рiвномiрного набли- ження найпростiшими дробами вивчались у роботах [2–4] (див. також список лiтератури у цих роботах). Зокрема, в [2] встановлено аналог вiдомої теореми Джексона про набли- ження неперервних на вiдрiзку функцiй iз заданим модулем неперервностi, а в [3] доведена можливiсть наближення найпростiшими дробами функцiй, неперервних на дiйснiй прямiй R, якi зникають на нескiнченностi. Дослiдження диференцiально-рiзницевих властивостей неперервних на вiдрiзку функ- цiй, якi мають степеневу швидкiсть локальних наближень у метрицi Lp (1 6 p 6 ∞) найпро- стiшими дробами заданого степеня [5] показало, що залежно вiд показника степеня, який визначає швидкiсть таких наближень, функцiя, що наближається, може бути або найпро- стiшим дробом, або належати класу Гельдера–Зiгмунда певного порядку. У данiй роботi в термiнах локальних наближень найпростiшими дробами отримано кри- терiй належностi функцiй, сумовних iз заданим степенем на вiдрiзку дiйсної осi, до кла- су n разiв неперервно диференцiйовних функцiй на цьому вiдрiзку. Подiбний критерiй у тер- мiнах локальних наближень алгебраїчними полiномами був ранiше отриманий А.Н. Моро- зовим [6]. Означення та позначення. Через SRn ми позначаємо множину всiх найпростiших дробiв степеня не вище n; при n = 0, за означенням, ця множина мiстить у собi єдину функцiю, тотожно рiвну нулевi. Нехай ∆ = [a, b] — фiксований вiдрiзок дiйсної осi. Далi ми розглядаємо вимiрнi функцiї, заданi на вiдрiзку ∆ зi значеннями в C. Якщо 1 6 p < ∞, 36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5 то Lp(∆) — (лiнiйний) простiр усiх функцiй f , iнтегровних за Лебегом у степенi p на ∆, з нормою ‖f‖p,∆ := ( b ∫ a |f(x)|pdx )1/p . Нехай 1 6 p < ∞. Через ρn(f ;∆)p := inf{‖f − rn‖p,∆ : rn ∈ SRn} (n = 0, 1, 2, . . .) позна- чимо найкраще наближення функцiї f ∈ Lp(∆) найпростiшими дробами степеня не вище n у метрицi простору Lp(∆). Ця величина завжди скiнченна i обмежена зверху числом ‖f‖p,∆, оскiльки як найпростiший дрiб, що наближає функцiю f , можна взяти тотожний нуль. За- мiнивши в означеннi величини ρn(f ;∆)p множину SRn на множину Pn усiх алгебраїчних многочленiв степеня не вище n, отримаємо величину En(f ;∆)p. Нехай C(∆) — лiнiйний простiр неперервних на вiдрiзку ∆ функцiй f з нормою ‖f‖∆ = = max t∈∆ |f(t)|, Cn(∆) — множина n разiв неперервно диференцiйовних функцiй на вiдрiзку ∆. Всюди нижче I := [α, β] ⊂ ∆ (α < β), C1(r) := ((1+ r)er)−1, C (θ) 2 (r) := (1+ (2+ θ)re(1+θ)r)er (r, θ ∈ R, r > 0, θ > 0), x ∈ I, d := max{β − x, x − α}, p′ := p/(p − 1). Для функцiї f , iнте- гровної на вiдрiзку I = [α, β], покладемо α(f, x; t) := t ∫ x f(τ)dτ . Функцiя α(f, x; t), очевидно, належить простору C(I). Допомiжнi твердження. У 1940 р. С.Н. Бернштейн [7] отримав критерiй наявностi у функцiї f ∈ C(∆) певної кiлькостi неперервних похiдних на вiдрiзку ∆. Нижченаведена теорема Морозова [6] є перенесенням результату Бернштейна на випадок функцiй, сумовних iз степенем p, 1 6 p < ∞. Теорема А. Для того щоб функцiя f(t) ∈ Lp(∆) (1 6 p < ∞) належала класу Cn(∆), необхiдно i достатньо, щоб рiвномiрно за x при α, β → x була справедливою така умова: En−1(f ; [α, β])p(β − α)−(n+1/p) → λ(x), a 6 α < x < β 6 b, де λ — деяка функцiя з C(∆); якщо ця умова виконується, то має мiсце рiвнiсть c−1 n,pλ(x) ≡ ≡ |f (n)(x)|, де cn,p := En−1(x n/n!; [0, 1])p. Лема 1. Нехай 1 6 p 6 ∞, θ > 0, f , g ∈ Lp(I), G(x) = 1 + α(g;x), δ := ‖g − feα(f ;·)‖p,I , ε := ‖g/G − f‖p,I , η := δd1/p′ · ed1/p′‖f‖p,I < 1. Тодi: (a) ε 6 ((1 − η)C1(d 1/p′‖f‖p,I)) −1 · δ; (b) δ 6 C (θ) 2 (d1/p′‖f‖p,I) · ε при ε 6 (1 + θ)‖f‖p,I . Доведення. Ми використовуємо позначення та iдеї роботи [4]. Для зручностi введемо скорочене позначення ‖ · ‖p,I = ‖ · ‖p. Для доведення нерiвностi (a) скористаємося тим, що ‖G− eα‖ = ‖α(g− feα; ·)‖ 6 d1/p′δ, а також тим, що при t ∈ I виконується нерiвнiсть |G(t)| > |eα(t)|−|G(t)−eα(t) |. Будемо мати ε = ∥ ∥ ∥ ∥ f − g G ∥ ∥ ∥ ∥ p = ∥ ∥ ∥ ∥ fG − g G ∥ ∥ ∥ ∥ p 6 ‖fG − g‖p ∥ ∥ ∥ ∥ 1 G ∥ ∥ ∥ ∥ 6 (‖fG − feα‖p + ‖feα − g‖p) ∥ ∥ ∥ ∥ 1 G ∥ ∥ ∥ ∥ 6 6 ‖fG − feα‖p + ‖feα − g‖p min t∈[α,β] {|eα(t)|} − ‖G − eα‖ 6 ‖f‖pd 1/p′δ + δ min t∈[α,β] {|eα(t)|} − d1/p′δ 6 6 (1 + d1/p′‖f‖p)δ e−d1/p′‖f‖p − d1/p′δ 6 (1 − η)−1ed1/p′‖f‖p(1 + d1/p′‖f‖p)δ. Тобто справедлива нерiвнiсть (a). ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 37 Нижче нам будуть потрiбнi такi очевиднi нерiвностi: ‖α‖ 6 d1/p′‖f‖p, ‖α(g/G; ·)‖ 6 6 d1/p′‖g/G‖p 6 d1/p′(‖f‖p + ε). Щоб отримати першу з них, скористаємось iнтегральною нерiвнiстю Гельдера для функцiй 1 ∈ Lp′ та f ∈ Lp: ‖α‖ = max t∈I ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ t ∫ 0 (1 · f(τ))dτ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 6 max t∈I ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ t ∫ 0 |1|p ′ dτ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1/p′∣ ∣ ∣ ∣ ∣ t ∫ 0 |f(τ)|pdτ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1/p 6 d1/p′ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ d ∫ −d |f(τ)|pdτ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1/p = = d1/p′‖f‖p. Для доведення другої з них, крiм нерiвностi Гельдера, потрiбно також скористатись озна- ченням величини ε i вiдомою нерiвнiстю трикутника для норм. Використовуючи цi нерiв- ностi, одержуємо: δ = ‖g − feα‖p = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ g G eα(g/G;·) − feα ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ p 6 ∥ ∥ ∥ ∥ g G eα(g/G;·) − g G eα ∥ ∥ ∥ ∥ p + ∥ ∥ ∥ ∥ g G eα − feα ∥ ∥ ∥ ∥ p 6 6 ∥ ∥ ∥ ∥ g G ∥ ∥ ∥ ∥ p ‖eα(·)−eα(g/G;·)‖+‖eα‖ ∥ ∥ ∥ ∥ f− g G ∥ ∥ ∥ ∥ p 6 (‖f‖p + ε) ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ α(g/G;·) ∫ α(·) eτdτ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ + ed1/p′‖f‖pε 6 6 (‖f‖p + ε)‖α ( g G ; · ) − α(·)‖emax{‖α‖,‖α(g/G;·)‖} + ed1/p′‖f‖pε 6 6 (d1/p′(‖f‖p + ε)ed1/p′ (‖f‖p+ε) + ed1/p′‖f‖p)ε. Якщо ε 6 (1 + θ)‖f‖p, то справедлива нерiвнiсть (b). Лема 2. Нехай 1 6 p < ∞, функцiя f ∈ Lp(I) \ SRn+1, η := En(feα(f,x;·))pd 1/p′ exp(d1/p′‖f‖p,I) < 1, C1 = C1(d 1/p′‖f‖p,I), C2 = C (0) 2 (d1/p′‖f‖p,I), n ∈ N0. Тодi (1 − η)C1(d 1/p′‖f‖p,I) 6 En(feα(f,x;·); I)p ρn+1(f ; I)p 6 C2(d 1/p′‖f‖p,I). Доведення. Нехай Pn(z) — многочлен степеня не вище n найкращого (у метрицi про- стору Lp) наближення функцiї feα ∈ Lp на I (такий многочлен iснує: див., напр., [8, c. 40]). Покладемо Qn+1 := 1 + α(Pn; ·). Тодi, згiдно з лемою 1 з g ≡ Pn, матимемо ρn+1(f)p 6 ∥ ∥ ∥ ∥ Pn Qn+1 − f ∥ ∥ ∥ ∥ p 6 (1 − η)−1(1 + d1/p′‖f‖p)e d1/p′‖f‖p‖Pn − feα‖p = = (1 − η)−1(1 + d1/p′‖f‖p)e d1/p′‖f‖pEn(feα)p. Цим доведена лiва частина потрiбної нам подвiйної нерiвностi. Доведемо праву частину даної нерiвностi. Згiдно з означенням точної нижньої гранi, для довiльного θ > 0 знайдеться найпростiший дрiб Rn+1 = Pn(z)/(1 + α(Pn; z)) степеня 38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5 не вище n + 1 такий, що ρn+1(f)p 6 ‖Rn+1 − f‖p 6 ρn+1(f)p + θ‖f‖p. Оскiльки завжди ρn+1(f)p 6 ‖f‖p, то ε := ‖Rn+1 − f‖p 6 (1 + θ)‖f‖p. Скориставшись лемою 1 для g ≡ Pn, одержуємо En(feα)p 6 ‖Pn − feα‖p 6 (1 + (2 + θ)d1/p′‖f‖pe (1+θ)d1/p′ ‖f‖p)ed1/p′‖f‖p‖Rn+1 − f‖p 6 6 (1 + (2 + θ)d1/p′‖f‖pe (1+θ)d1/p′‖f‖p)ed1/p′‖f‖p(ρn+1(f)p + θ‖f‖p) = = C (θ) 2 (d1/p′‖f‖p)(ρn+1(f)p + θ‖f‖p). Остання нерiвнiсть справедлива для довiльного θ > 0. Враховуючи те, що C (0) 2 (r) = = lim θ→0+ C (θ) 2 (r) (r > 0), перейдемо в останнiй рiвностi до границi при θ → 0+ i отримаємо праву частину потрiбної нам нерiвностi. Оскiльки при p > 1 C1(d 1/p′‖f‖p,I) → 1, C2(d 1/p′‖f‖p,I) → 1, а η = En(feα(f,x;·))pd 1/p′ × × exp(d1/p′‖f‖p,I) → 0 при d → 0, то має мiсце такий результат. Лема 3. Нехай 1 < p < ∞, f ∈ Lp(∆) \SRn+1. Тодi при довiльному x ∈ ∆ виконується рiвнiсть lim α,β→x En(feα(f,x;·); I)p ρn+1(f ; I)p = 1. Лема 4 (див. [5]). Нехай n ∈ N0. Функцiя f належить класу SRn+1 тодi i тiльки тодi, коли функцiя feα(f ;·) є многочленом степеня не вище n. Основний результат. Теорема. Нехай 1 < p < ∞. Тодi для того щоб функцiя f ∈ Lp(∆) належала класу Cn(∆), необхiдно i достатньо, щоб iснувала функцiя λ ∈ C(∆) така, що ρn(f ; [α, β])p(β − α)−(n+1/p) → λ(x), a 6 α < x < β 6 b, рiвномiрно за x при α, β → x. Якщо остання умова виконується, то має мiсце тотож- нiсть c−1 n,p · λ(x) ≡ ∣ ∣ ∣ ∣ dn dtn (f(t)eα(f,x;t))t=x ∣ ∣ ∣ ∣ , (1) де cn,p := En−1(x n/n!; [0, 1])p. Доведення. Випадок f ∈ SRn тривiальний (див. лему 4), тому вважатимемо, що f 6∈ SRn. Спочатку зауважимо, що функцiї f(t) i feα(f,x;t) строго одночасно належать або не належать класу Cn(∆) (див. [4, с. 32]). Нехай f ∈ Cn(∆), тодi також feα(f,x;t) ∈ Cn(∆). Застосувавши до останньої функцiї теорему Морозова, отримаємо, що En−1(f ; I)p/(β − α)n+1/p → λ(x), a 6 α < x < β 6 b, рiвномiрно за x при α, β → x, де неперервна функцiя λ(x) визначається рiвнiстю (1). Порiвнюючи з лемою 3, маємо необхiднiсть умов теореми. Нехай тепер ρn(f ; I)p/(β − α)(n+1/p) → λ(x), a 6 α < x < β 6 b, рiвномiрно за x при α, β → x, де неперервна функцiя λ(x) визначається рiвнiстю (1). Знову, скориставшись лемою 3, отримаємо справедливiсть умов теореми Морозова для функцiї feα(f,x;t), згiдно з якою остання (а разом з нею i сама функцiя f(t)) належить класу Cn(∆). Цим доведена достатнiсть умов теореми. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 39 1. Данченко В.И., Данченко Д.Я. О приближении наипростейшими дробями // Мат. заметки. – 2001. – 70, вып. 4. – С. 553–559. 2. Косухин О.Н. Об аппроксимационных свойствах наипростейших дробей // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат., мех. – 2001. – № 4. – С. 54–59. 3. Бородин П.А., Косухин О.Н. О приближении наипростейшими дробями на действительной оси // Там же. – 2005. – № 1. – С. 3–8. 4. Косухин О.Н. О некоторых нетрадиционных методах приближения, связанных с комплексными по- линомами: Дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Москва: Изд-во Моск. ун-та, 2005. – 80 с. 5. Новак Я.В. Характеризацiя класiв Гельдера–Зiгмунда на вiдрiзку в термiнах локальних наближень найпростiшими дробами // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2006. – 3, № 4. – С. 239–243. 6. Морозов А.Н. Об одном описании пространств дифференцируемых функций // Мат. заметки. – 2001. – 70, вып. 5. – С. 758–768. 7. Бернштейн А.Н. К вопросу о локальном наилучшем приближении функций // Докл. АН СССР. – 1940. – 26. – С. 839–842. 8. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – Москва: Физматгиз, 1960. – 624 с. Надiйшло до редакцiї 11.12.2008Iнститут математики НАН України, Київ Ya. V. Novak A criterion of the existence of continuous derivatives for functions of the class Lp on a segment in terms of local approximations by the simplest fractions We prove a theorem on the best local approximation by the simplest fractions, i. e., the logarithmic derivatives of algebraic polynomials with complex coefficients. In the theorem, an analog of the well- known A.N. Morozov’s theorem on the description of functions, which are n times continuously differentiable on a segment ∆ ⊂ R, in terms of the local approximation in the metric of a space Lp, p ∈ [1,∞) by algebraic polynomials is obtained. 40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5

Ähnliche Einträge