Об определении сингуларисных переходных функций нелинейных колебательных систем
Наводиться метод визначення сингуларисних перехiдних функцiй нелiнiйних коливальних систем (НКС). Розглядаються НКС з нелiнiйною пружнiстю та НКС з нелiнiйним демпфуванням. A method to determine singularisnal transient functions of nonlinear oscillatory systems is given. The oscillatory systems with...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8510 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об определении сингуларисных переходных функций нелинейных колебательных систем / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 60-65. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860267825733566464 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. |
| citation_txt | Об определении сингуларисных переходных функций нелинейных колебательных систем / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 60-65. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Наводиться метод визначення сингуларисних перехiдних функцiй нелiнiйних коливальних систем (НКС). Розглядаються НКС з нелiнiйною пружнiстю та НКС з нелiнiйним демпфуванням.
A method to determine singularisnal transient functions of nonlinear oscillatory systems is given. The oscillatory systems with nonlinear elasticity and nonlinear damping are considered.
|
| first_indexed | 2025-12-07T19:02:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
5 • 2009
МЕХАНIКА
УДК 621-.318.232.001.2
© 2009
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
Об определении сингуларисных переходных функций
нелинейных колебательных систем
Наводиться метод визначення сингуларисних перехiдних функцiй нелiнiйних коливаль-
них систем (НКС). Розглядаються НКС з нелiнiйною пружнiстю та НКС з нелiнiйним
демпфуванням.
Большинство реально существующих колебательных систем являются нелинейными. Нели-
нейность этих систем проявляется в диссипативных и восстанавливающих силах, т. е. в си-
лах трения (сопротивления) и упругости (жесткости). В общем случае для нелинейной ко-
лебательной системы (НКС) с одной степенью свободы уравнение движения имеет вид
m
d2x
dt2
+ R
(
dx
dt
)
+ f(x) = F (t),
где m — масса; x — перемещение; t — время; R(dx/dt), f(x) — нелинейные силы диссипации
и упругости соответственно; F (t) — вынуждающая сила.
В частных случаях уравнения НКС с одной степенью свободы следующие:
m
d2x
dt2
+ b
dx
dt
+ f(x) = F (t), (1)
m
d2x
dt2
+ R
(
dx
dt
)
+ cx = F (t). (2)
Здесь b, c — коэффициенты диссипации и упругости соответственно.
В (2) нелинейность проявляется в силе упругости, а в (3) — в силе трения (диссипации).
Заметим, что решение нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих НКС, осу-
ществляется приближенными методами [1–3]. В этих решениях имеют место задачи по опре-
делению переходных функций НКС. Однако сингуларисные переходные функции НКС на-
учной общественности до сих пор были не известны, так как этот факт является прерогати-
вой автора. Существо нахождения сингуларисной переходной функции (СПФ) заключается
в решении задачи о переходном процессе в НКС при скачкообразном входном воздействии
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
в форме сингуларисного разложения единичной функции 1(t) =
{
1 при t > 0
0 при t < 0
}
в ви-
де [4]
1(t) = 1 − e−αt + e−αt
g
∑
l=1
Uas cos ωst,
Ua1 =
1
π
, Uas =
Ua1
s
, s =
ωs
ω1
,
n
∑
s=1
Uas = 1,
(3)
где α — коэффициент затухания.
В данной работе рассмотрим НКС, описываемые уравнениями (1) и (2). Смысл решения
будет заключаться в линеаризации этих уравнений и представлении их в виде
m
d2x
dt2
+ b
dx
dt
+ cэквx = F (t), (4)
m
d2x
dt2
+ bэкв
dx
dt
+ cx = F (t), (5)
где cэкв, bэкв — эквивалентные коэффициенты упругости и диссипации соответственно.
В дальнейшем решение будем проводить последовательно. Вначале для НКС с уравне-
ниями (1), (4), а затем для НКС с нелинейным сопротивлением (уравнения (2), (5)).
Итак, НКС с нелинейной жесткостью. Для нахождения cэкв необходимо представить пе-
риодическое решение уравнения (1) с помощью метода гармонического баланса [2] с учетом
ограничения первой гармоникой в виде
x(t) = x0 + xa sin(ωt − ϕ) (6)
(ω — круговая частота дополнительно вводимого гармонического воздействия F (t) =
= Fa sin ωt; ϕ — сдвиг фаз между F (t) и x(t)). В соответствии с этим нелинейную упругую
силу запишем соотношением
f(x) = f0 + fa sin(ωt − ϕ), (7)
где
f0 =
1
T
T
∫
0
f [x0 + xa sin(ωt − ϕ)]dt, (8)
fa =
2
T
T
∫
0
f [x0 + xa sin(ωt − ϕ)] sin(ωt − ϕ)dt. (9)
При подстановке в (1) выражений (6) и (7) получим
−mω2xa sin(ωt − ϕ) + bω cos(ωt − ϕ) + f0 + fa sin(ωt − ϕ) = Fa sin ωt. (10)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 61
Из (10) следует, что для периодичности искомого решения f0 = 0, a [5]
xa =
Fa
m
√
(ω2 − ω2
0
)2 + 4h2ω2
,
ϕ = arctg
2hω
ω2
0
− ω2
, h =
b
2m
.
(11)
Смещение x0 определяется из (8) с учетом того, что f0 = 0. Тогда x0(xa) является функ-
цией аргумента xa. При подстановке в x0(xa) выражений (9)–(11) получаем соотношения
ω2
0
=
fa(xa)
mxa
=
2
T0mxa
T
∫
0
f [x0(xa) + xa sin(ωt − ϕ) sin(ωt − ϕ)] dt. (12)
Далее, подставляя (12) в (11), получаем
xa =
Fa
m{[ω2 − ω2
0
(xa)]2 + 4h2ω2}1/2
. (13)
Выражение (13) отображает амплитудно-частотную характеристику НКС, описываемую
уравнением (1) при условии, что Fa = const. Частота, при которой (13) имеет максимум,
определяется на основе решения задачи на экстремум, т. е.
d(14)
dω
=
dx0
dω
= −
Fa
m
{
[ω2 − ω2
0(xa)]
[
ω − ω0(xa)
dω0(xa)
dxa
dxa
dω
]
+ 2h2ω
}
×
× {[ω2 − ω2
0
(xa)]
2 + 4h2ω2} = 0,
откуда
[ω2 − ω2
0
(xa)]
[
ω − ω0(xa)
dω0(xa)
dxa
dxa
dω
]
+ 2h2ω = 0. (14)
В уравнении (14) имеется dxa/dω, которая в данном решении должна равняться нулю.
Тогда (14) приобретает вид [ω2−ω2
0(xa)]+2h2 = 0, из него ω =
√
ω2
0
(xa) − 2h2. При ω2
0(xa) ≫
≫ 2h2 максимум (14) будет при ω = ω0(xa), где ω0(xa) — собственная частота колебаний
НКС. С учетом линеаризации данной НКС ω0(xa) =
√
cэкв/m и тогда cэкв = mω2
0
(xa).
Подставляя cэкв в (4), получим уравнение
m
d2x
dt2
+ b
dx
dt
+ mω2
0(xa)x = F (t),
являющееся в данном решении условно линейным, соответствующим (1).
Далее осуществим линеаризацию уравнения (2). Приближенное решение (2) можно по-
лучить методом энергетического баланса [5], заменив нелинейную силу эквивалентной ей
линейной, рассеивающей ту же энергию за период T установившегося движения. Это усло-
вие записывается в виде
T
∫
0
R(x)xdt =
T
∫
0
bэквx
2dt. (15)
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
Установившиеся колебания x(t) = xa sin(ωt − ϕ), где ϕ = arctg(2hэквω/(ω2
0 − ω2)), hэкв =
= bэкв/(2m). Учитывая, что скорость колебаний dx/dt, а значит и сила сопротивления
R(dx/dt) сохраняют знак в течение полупериода T/2 = π/ω, запишем (15) в виде
π/ω
∫
0
R(ẋ)ẋdt =
π
2
x2
aωbэкв,
откуда
bэкв =
2
π/ω
∫
0
R(ẋ)ẋdt
πωx2
a
, (16)
где ẋ = dx/dt.
Зная из (16) bэкв, получим выражение амплитуды нелинейных вынужденных колеба-
ний [6]
xa =
Fa
√
(ω2 − ω2
0
)2m2 + [bэкв(xa)ω]2
.
Для амплитуды резонансных колебаний с учетом того, что резонансная частота ωp =
=
√
ω2
0
− 2h2 < ω0,
xa рез =
2mFa
bэкв(xа рез)
√
4mc − b2
экв
(xа рез)
. (17)
Выражение (17) требует выполнения условия b2
экв
(xа рез) < 4mc.
Итак, уравнение (2) линеаризовано в виде уравнения (5) и оба уравнения (1) и (2) при-
ведены к линейному уравнению колебательной системы с одной степенью свободы в клас-
сическом виде
m
d2x
dt2
+ b
dx
dt
+ cx = F (t). (18)
Далее нахождение сингуларисных переходных функций (СПФ) рассматриваемых не-
линейных колебательных систем сводится к определению СПФ линейной колебательной
системы (КС), описываемой уравнением (18), заменяя для каждой НКС коэффициенты b
на bэкв и c на cэкв. Дальнейшее решение осуществляется при подстановке в (18) F (t) = (3).
В данном решении применим операционный метод Карсона [7]. В изображениях Кар-
сона (18) имеет вид
(τ2p2 + 2ξτp + 1)x(p) =
α
α + p
+
n
∑
s=1
Uasp(p + α)
(p + α)2 + ω2
s
, (19)
где τ2 = m/c, 2ξτ = b/c.
Из (19) получаем изображение
x(p) =
1
(τ2p2 + 2ξτp + 1)
[
α
α + p
+
n
∑
s=1
Uasp(p + α)
(p + α)2 + ω2
s
]
. (20)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 63
Оригинал, соответствующий (20), и есть СПФ линейной колебательной системы. Для
нахождения этого оригинала представим (20) в виде суммы простых дробей, оригиналы
которых определим по таблицам [7].
Для краткости запишем окончательный результат вычисления оригинала x(t) ⇄ x(p) =
= (20), представляющего СПФ колебательной системы (18)
hCKC(t) =
A
α
(1 − ℓ−αT ) +
B
ω
ℓ−ξt/τ sin ωt + Dτ2
[
1 − ℓ−ξt/τ
(
cos ωt +
ξ
τω
sin ωt
)]
+
+
n
∑
s=1
Uas
{
as
ω
ℓ−ξt/τ sin ωt + csτ
2
[
1 − ℓ−ξt/τ
(
cos ωt +
ξ
τω
sinωt
)]
+
+
bs
ωs
ℓ−αt sin ωst +
ds
α2 + ω2
s
[
1 − ℓ−αt
(
cos ωst +
α
ωs
sinωst
)]}
, (21)
где
A =
−B
τ2
; D = 1 +
B
τ2α
; B =
τ2α
2ατξ − α2T 2 − 1
;
as = −bsτ
2; ds = −cs(α
2 + ω2
s); bs =
1 − cs[1 − τ2(α2 + ω2
s)]
2τ(ξ − ατ)
;
cs = [2ατ(ξ − ατ) + τ2(α2 + ω2
s) − 1]{4ατ(ξ − ατ) − [1 − τ2(α2 + ω2
s)]
2}−1.
Для нахождения СПФ НКС, описываемых (1) и (2), необходимо использовать формулы
τ2 = m/c, 2ξτ = b/c, в которых для (1) вместо c поставить cэкв, а для b — bэкв, выведенные
ранее (cэкв = mω2
0(xa), bэкв = (16)).
Таким образом, в результате данного решения представлен метод определения СПФ
нелинейных колебательных систем на основе приближенной линеаризации НКС линейной.
А это значит, что совершенно точного аналитического представления СПФ нелинейных
колебательных систем найти затруднительно из-за большой математической громоздко-
сти. Но, в принципе, на наш взгляд, данная задача решаема, особенно при использова-
нии экспериментальных методов. Полученные СПФ дают предварительное представление
о переходных процессах в НКС при сингуларисном единичном воздействии на нелинейную
колебательную систему.
1. Бабаков И.М. Теория колебаний. – Москва: Наука, 1965. – 560 с.
2. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. –
Москва: Наука, 1974. – 503 с.
3. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. – Москва: Машиностроение, 1970. – 735 с.
4. Божко А. Е. Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электри-
ческих цепях // Доп. НАН України. – 2007. – № 6. – С. 81–87.
5. Пановко Я. Г. Введение в теорию механический колебаний. – Москва: Наука, 1971. – 239 с.
6. Божко А.Е., Голуб Н.М. Динамико-энергетические связи колебательных систем. – Киев: Наук. дум-
ка, 1980. – 188 с.
7. Гинзбург С. Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях. – Москва:
Сов. радио, 1959. – 404 с.
Поступило в редакцию 18.02.2008Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.E. Bozhko
On definition of singularisnal transient functions of nonlinear oscillatory
systems
A method to determine singularisnal transient functions of nonlinear oscillatory systems is given.
The oscillatory systems with nonlinear elasticity and nonlinear damping are considered.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 65
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8510 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:02:43Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. 2010-06-04T14:51:53Z 2010-06-04T14:51:53Z 2009 Об определении сингуларисных переходных функций нелинейных колебательных систем / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 60-65. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8510 621-.318.232.001.2 Наводиться метод визначення сингуларисних перехiдних функцiй нелiнiйних коливальних систем (НКС). Розглядаються НКС з нелiнiйною пружнiстю та НКС з нелiнiйним демпфуванням. A method to determine singularisnal transient functions of nonlinear oscillatory systems is given. The oscillatory systems with nonlinear elasticity and nonlinear damping are considered. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Об определении сингуларисных переходных функций нелинейных колебательных систем On definition of singularisnal transient functions of nonlinear oscillatory systems Article published earlier |
| spellingShingle | Об определении сингуларисных переходных функций нелинейных колебательных систем Божко, А.Е. Механіка |
| title | Об определении сингуларисных переходных функций нелинейных колебательных систем |
| title_alt | On definition of singularisnal transient functions of nonlinear oscillatory systems |
| title_full | Об определении сингуларисных переходных функций нелинейных колебательных систем |
| title_fullStr | Об определении сингуларисных переходных функций нелинейных колебательных систем |
| title_full_unstemmed | Об определении сингуларисных переходных функций нелинейных колебательных систем |
| title_short | Об определении сингуларисных переходных функций нелинейных колебательных систем |
| title_sort | об определении сингуларисных переходных функций нелинейных колебательных систем |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8510 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae obopredeleniisingularisnyhperehodnyhfunkciinelineinyhkolebatelʹnyhsistem AT božkoae ondefinitionofsingularisnaltransientfunctionsofnonlinearoscillatorysystems |