Математичне моделювання процесів дифузії домішкової речовини у двофазному півпросторі з ерлангівським розподілом включень
Досліджено процеси дифузії домішкової речовини у двофазному півпросторі випадково неоднорідної шаруватої структури з урахуванням умов неідеального масового контакту на границях розділу фаз. Шаруваті включення розташовано за ерлангівським розподілом. Отримано рівняння масопереносу для усього тіла, що...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85100 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математичне моделювання процесів дифузії домішкової речовини у двофазному півпросторі з ерлангівським розподілом включень / Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, Ю.І. Білущак // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2013. — № 3. — С. 89-103. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860214376596766720 |
|---|---|
| author | Чапля, Є.Я. Чернуха, О.Ю. Білущак, Ю.І. |
| author_facet | Чапля, Є.Я. Чернуха, О.Ю. Білущак, Ю.І. |
| citation_txt | Математичне моделювання процесів дифузії домішкової речовини у двофазному півпросторі з ерлангівським розподілом включень / Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, Ю.І. Білущак // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2013. — № 3. — С. 89-103. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Системні дослідження та інформаційні технології |
| description | Досліджено процеси дифузії домішкової речовини у двофазному півпросторі випадково неоднорідної шаруватої структури з урахуванням умов неідеального масового контакту на границях розділу фаз. Шаруваті включення розташовано за ерлангівським розподілом. Отримано рівняння масопереносу для усього тіла, що враховує стрибки шуканої функції та її похідної на міжфазних границях. Сформульовано еквівалентне інтегродиференціальне рівняння, розв’язок якого побудовано у вигляді інтегрального ряду Неймана. Усереднення отриманого розв’язку проведено за ансамблем конфігурацій фаз з ерлангівською функцією розподілу. Визначено вплив характеристик матеріалу на поведінку та величину усередненого поля концентрації домішкових частинок.
Исследованы процессы диффузии примесного вещества в двухфазном полупространстве случайно неоднородной слоистой структуры с учетом условий неидеального массового контакта на границах раздела фаз. Слоистые включения расположены по ерланговському распределению. Получено уравнение массопереноса для всего тела, учитывающее скачки искомой функции и ее производной на межфазных границах. Сформулировано эквивалентное интегродифференциальное уравнение, решение которого построено в виде интегрального ряда Неймана. Усреднение полученного решения проведено по ансамблю конфигураций фаз с ерланговской функцией распределения. Определенно влияние характеристик материала на поведение и величину усредненного поля концентрации примесных частиц.
Admixture diffusion processes are studied in a two-phase semispace of randomly nonhomogeneous stratified structure, taking into account the conditions of non-ideal mass contact on interphases. Layered inclusions are disposed by the Erlangian distribution. A mass transfer equation for whole body is obtained, considering the jumps of both desired function and its derivative on the interphases. An equivalent integrodiffential equation is formulated and its solution is constructed in terms of Neumann series. Averaging the obtained solution is carried out over the ensemble of phase configurations with the Erlangian distribution function. Material characteristics influence on behaviour and values of the averaged of admixture particle concentration is established.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:15:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, Ю.І. Білущак, 2013
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 89
УДК 517.958:532.72
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ ДИФУЗІЇ
ДОМІШКОВОЇ РЕЧОВИНИ У ДВОФАЗНОМУ ПІВПРОСТОРІ
З ЕРЛАНГІВСЬКИМ РОЗПОДІЛОМ ВКЛЮЧЕНЬ
Є.Я. ЧАПЛЯ, О.Ю. ЧЕРНУХА, Ю.І. БІЛУЩАК
Досліджено процеси дифузії домішкової речовини у двофазному півпросторі
випадково неоднорідної шаруватої структури з урахуванням умов неідеально-
го масового контакту на границях розділу фаз. Шаруваті включення розташо-
вано за ерлангівським розподілом. Отримано рівняння масопереносу для
усього тіла, що враховує стрибки шуканої функції та її похідної на міжфазних
границях. Сформульовано еквівалентне інтегродиференціальне рівняння,
розв’язок якого побудовано у вигляді інтегрального ряду Неймана. Усеред-
нення отриманого розв’язку проведено за ансамблем конфігурацій фаз з ерлан-
гівською функцією розподілу. Визначено вплив характеристик матеріалу на
поведінку та величину усередненого поля концентрації домішкових частинок.
ВСТУП
Процеси дифузії лежать в основі багатьох технологій, зокрема, спікання по-
рошків, хіміко-термічної обробки металів (азотування і цементування ста-
лей), гомогенізації сплавів, металізації та зварювання матеріалів. Роль до-
кладного вивчення процесів дифузії значно зросла зі створенням нано
матеріалів та композитних матеріалів із заданими властивостями.
Математичний опис цих процесів базується на відповідних задачах ма-
тематичної фізики для конкретних фізичних систем. При цьому у випадку
дослідження шаруватих структур, часто невідомі їх геометричні параметри
[1, 2], проте достатньо повно встановлено дифузійні властивості окремих
елементів та умови контакту між ними.
У зв’язку з цим слід оцінити вплив просторових реалізацій структури
середовища [3] та умов міжфазного контакту на описувані фізичні процеси.
У цій роботі розв’язано контактно-крайову задачу дифузії у двофазно-
му випадково неоднорідному багатошаровому півпросторі. При цьому рів-
няння дифузії в контактуючих галузях сформульовано з використанням кі-
нетичних коефіцієнтів переносу, що при зведенні задачі до еквівалентного
інтегродиференціальгого рівняння призводить до врахування похідної за
часом у його операторі. Визначено вплив характеристик матеріалу на пове-
дінку і величину усередненого поля концентрації домішкових частинок.
ОБ’ЄКТ ДОСЛІДЖЕННЯ ТА ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Нехай домішкові частинки одного хімічного сорту мігрують у шаруватому
півпросторі, який складається з підшарів двох типів (фаз). Вважаємо, що
дифузійні властивості фаз можуть суттєво відрізнятися. Приймаємо, що
об’єм, який займає одна з фаз (матриця), є набагато більшим ніж об’єм іншої
Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, Ю.І. Білущак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 90
фази (включень). При цьому координати включень, а отже і підшарів мат-
риці, є невідомими, тобто структура тіла є випадково неоднорідною. Нехай
включення розташовані в області тіла за ерлангівським розподілом [4] з па-
раметрами ),( μn , який описує проміжок до появи (реалізації) n подій про-
цесу Пуасона з параметром μ (рис. 1).
Густина ерлангівського розподілу зі ступенями вільності n в загально-
му випадку має вигляд
⎩
⎨
⎧
<
≥Γ=
−−
,0,0
;0,)()()(
1
z
zneznzf
znnn μμ (1)
де )(nΓ — гама-функція; ;Ν∈n .0>μ
Зазначимо, що у випадку 1=n ерлангівський розподіл співпадає з екс-
поненціальним (рис. 1, а), густина якого є zezf μμ −=)( , ,0≥z а при ∞→n
цей розподіл прямує до виродженого [4].
Зауважимо, що зі збільшенням n функція густини ерлангівського роз-
поділу (1) зменшується на всьому проміжку і прямує до симетричного
вигляду, при цьому її максимум також зменшується і зсувається в глиб тіла
(рис. 1). Це означає, що, якщо при =n 1 (експоненціальний розподіл) вклю-
чення в основному розташовуються біля поверхні півпростору (рис. 2, а), то
з ростом n область найбільш імовірного знаходження включень зсувається
вглиб тіла, причому тут спостерігається ущільнення підшарів (рис. 2, b).
Зміна параметра μ густини ерлангівського розподілу (1) не приводить
до зміни поведінки функції )(zf (рис. 1, а та 1, b), впливаючи тільки на кіль-
кісні характеристики розподілу. Зокрема, з ростом μ область ймовірнішого
знаходження включень зсувається до поверхні півпростору (рис. 1, а та 1, b).
Процес міграції домішки в такому тілі описують рівняння дифузії, сфор-
мульовані для кожної фази зокрема. А саме
2
2 ),(),(
z
tzc
d
t
tzc j
j
j
j ∂
∂
=
∂
∂
ρ , U
jn
i
ijjz
1=
Ω=Ω∈ , ],0[ τ∈t )( ∞<τ , ,1,0=j (2)
де ),( tzc j — концентрація домішкових частинок у фазі ;j jρ — густина;
jd — кінетичний коефіцієнт переносу в області jΩ , яку займає фаза ;j
a б
Рис. 1. Густина ерлангівського розподілу для різних значень параметра n при
3,0=μ (а) та 1=μ (b). Криві 1–5 відповідають значенням 15,5,3,2,1=n
Математичне моделювання процесів дифузії домішкової речовини у двофазному …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 91
jn — кількість підшарів фази ;j ijΩ — i -та однозв’язна область фази ,j
,,1 jni = 1,0=j ; z — просторова координата, t — час.
Приймаємо, що на границі тіла 0=z підтримується постійне значення
концентрації домішкової речовини *c , а при ∞→z концентрація дорівнює
нулю, тобто
const),( *
00 ≡== ctzc z , .0),(0 =∞→ztzc (3)
Також накладена нульова початкова умова:
.0),(),( 0100 == == tt tzctzc (4)
На границях поділу областей lzz = та 1ll hzz += (де 1lh — товщина
включення 1lΩ , l — номер підшару, 1,1 nl = , 1n — кількість включень)
виконуються умови рівності хімічних потенціалів та дифузійних потоків
частинок домішкової речовини. Якщо прийняти лінійну залежність хімічно-
го потенціалу від концентрації, то отримуємо умови неідеального контакту
для функції концентрації у вигляді [5]
011000 +=−= =
ll zzzz ckck ,
0
1
11
0
0
00
+=−= ∂
∂
=
∂
∂
ll zzzz z
c
d
z
c
d ρρ ; (5)
000011 11 ++=−+= =
llll hzzhzz ckck ,
0
0
00
0
1
11
11 ++=−+= ∂
∂
=
∂
∂
llll hzzhzz z
c
d
z
c
d ρρ , (6)
де jk — коефіцієнт концентраційної залежності хімічного потенціалу у фазі
j [6], lz — випадкова координата «верхньої» межі шару .1lΩ
Зазначимо, що за такої постановки задачі випадковими величинами
є границі контакту прошарків lzz = та 1ll hzz += , тобто межі областей
0iΩ та 1iΩ , які є внутрішніми для тіла. Це, у свою чергу, призводить до
стохастичності поля концентрації домішкової речовини, яка мігрує в тілі.
РІВНЯННЯ МАСОПЕРЕНЕСЕННЯ ДЛЯ УСЬОГО ТІЛА
Розв’язок сформульованої контактно-крайової задачі (2)–(6) будемо шукати
у вигляді інтегрального ряду Неймана [7], оскільки таке подання випадко-
вих полів є зручним для проведення процедури усереднення за ансамблем
a б
Рис. 2. Можливі реалізації структури багатошарового півпростору для ерлангівсь-
кого розподілу включень при 1=n (а) та 2≥n (b)
Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, Ю.І. Білущак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 92
конфігурацій фаз. Для цього введемо у розгляд випадкову функцію просто-
рової координати ),( tzc , яка описує поле концентрації в усьому тілі:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
=
Ω∈−
=
.),6(умовиконтактні
;),5(умовиконтактні
;),2(рівняньязки,розв),(
),(
1ll
l
jj
hzz
zz
ztzc
tzc (7)
Знайдемо похідну за просторовою координатою від функції (7),
приймаючи до уваги, що функція ),( tzc в області тіла має розриви І-го роду
(перші співвідношення умов (5), (6)). Враховуючи формули диференціювання
розривних функцій [8], для цього випадку маємо:
)(∑
=
+==
Ω∈
+−+−+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∂
∂
=
∂
∂ 1
1
1
1))(()],([)()],([
n
l
llhzzlzz
z
hzztzczztzc
z
c
z
c
lll
ij
δδ ,(8)
де
ijz Ω∈}{K — області неперервності функції,
lzz=][K — стрибок функції
І-го роду в точці lzz = , )(zδ — дельта-функція Дірака.
Знайдемо другу похідну за змінною z від функції ).,( tzc Оскільки
ztzc ∂∂ ),( теж має розриви І-го роду (другі співвідношення умов (5), (6)), то
для диференціювання функції (8) також використовуємо формули диферен-
ціювання розривних функцій [8]. Маємо:
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−′+−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
+
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∂
∂
=
∂
∂ ∑
=
=
=Ω∈
1
1
2
2
2
2
)()],([)(
n
l
lzzl
zzz
zztzczz
z
c
z
c
z
c
l
lij
δδ
( )∑
=
+=
+= ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−′++−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
+
1
1
11
11 ))(()],([)(
n
l
llhzzll
hzz
hzztzchzz
z
c
ll
ll
δδ , (9)
де )(xδ ′ — похідна від дельта-функції Дірака.
Коефіцієнти )(zρ та )(zd означені у відкритих областях 0Ω та :1Ω
,}{}{)(
1
1
1
0
1
1
1
0 ∑∑
=
Ω∈
=
Ω∈ +=
n
i
z
n
i
z ii
z ρρρ .}{}{)(
1
1
1
0
1
1
1
0 ∑∑
=
Ω∈
=
Ω∈ +=
n
i
z
n
i
z ii
ddzd (10)
При цьому на границях контакту lzz = та 1ll hzz += відбувається
стрибок цих коефіцієнтів 011
)]([)]([ ρρρρ −=−= +== lll hzzzz zz , == lzzzd )]([
=−= += 1
)]([
ll hzzzd 01 dd − , .,1 1nl =
З урахуванням співвідношень (9), (10) рівняння дифузії для тіла в ціло-
му запишемо у вигляді:
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−′+−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∂
∂
=
∂
∂ ∑
=
=
=Ω∈
1
1
2
2
)()],([)()()(
n
l
lzzl
zzz
zztzczz
z
c
z
czd
t
cz
l
lij
δδρ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−′++−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
+∑
=
+=
+=
1
1
11
11 ))(()],([))((
n
l
llhzzll
hzz
hzztzchzz
z
c
ll
ll
δδ . (11)
Зауважимо, що функції )(zρ та )(zd є випадковими функціями прос-
торової координати.
Математичне моделювання процесів дифузії домішкової речовини у двофазному …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 93
ЗВЕДЕННЯ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧІ ДИФУЗІЇ
ДО ІНТЕГРОДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО РІВНЯННЯ
Введемо до розгляду випадкову функцію просторової координати («функ-
цію структури») [9]
⎩
⎨
⎧
Ω∉
Ω∈
= .,0
;,1
)(
ij
ij
ij z
z
zη (11)
Причому
,1)(
,
∑ =
ij
ij zη (12)
тобто виконується умова суцільності тіла. У випадку, який розглядається
(одновимірний за просторовою координатою, тобто шарувате тіло), функ-
цію форми (11) можна подати як різницю двох випадкових функцій Хеві-
сайда [10].
Коефіцієнти рівняння (10) запишемо через функцію (11)
∑∑
= =
=
1
0 1
)()(
j
n
i
ijj
j
zz ηρρ , ∑∑
= =
=
1
0 1
)()(
j
n
i
ijj
j
zdzd η (13)
та підставимо таке подання (13) у рівняння (10). Тоді з використанням умо-
ви (12) маємо
+
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∂
∂
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∂
∂
Ω∈= =Ω∈= =
∑∑∑∑
ij
j
ij
j
zj
n
i
ijj
zj
n
i
ijj
z
czd
t
cz 2
21
0 1
1
0 1
)()( ηηρ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−′+−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
+∑
=
=
=
1
1
)()],([)(
n
l
lzzl
zz
zztzczz
z
c
l
l
δδ
.))(()],([))((
1
1
11
11
⎥
⎥
⎦
⎤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−′++−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
+∑
=
+=
+=
n
l
llhzzll
hzz
hzztzchzz
z
c
ll
ll
δδ (14)
Якщо позначити оператор рівняння (14) через ),( tzL , тобто
∑∑∑∑
= = Ω∈Ω∈= = ⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∂
∂
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∂
∂
≡
1
0 1
2
21
0 1
)()(),(
j
n
i z
ijj
zj
n
i
ijj
j
ijij
j
z
zd
t
ztzL ηηρ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−′+−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
+∑
=
=
=
1
1
)(][)(
n
l
lzzl
zz
zzzz
z l
l
δδ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−′++−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
+∑
=
+=
+=
1
1
11
11 ))((][))((
n
l
llhzzll
hzz
hzzhzz
z ll
ll
δδ , (15)
тоді рівняння (14) можна подати у вигляді
.0),(),( =tzctzL (16)
Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, Ю.І. Білущак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 94
У рівнянні (16) додамо і віднімемо детермінований оператор дифузії
,),( 22
000 zdttzL ∂∂−∂∂= ρ коефіцієнти якого є характеристиками матері-
алу фази .0Ω Тоді маємо
),,(),(),(),(0 tzctzLtzctzL s= (17)
де ),(),(),( 0 tzLtzLtzLs −= — оператор, який із використанням умови (12)
можна подати так
−
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∂
∂
−−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∂
∂
−=
Ω∈Ω∈
∑∑
ijij z
n
i
i
z
n
i
is
z
zdd
t
ztzL
11
2
2
110110 )()()()(),( ηηρρ
+
⎢
⎢
⎣
⎡
−′−−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
− ∑∑ ∑
=
=
=
1
0
1 1
)(][)()(
j
n
i
n
l
lzzl
zz
ijj zzzz
z
zd
l
l
δδη
⎥
⎥
⎦
⎤
+−′−+−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
+∑ +=
+=
1
1
1
))((][))(( 11
n
l
llhzzll
hzz
hzzhzz
z ll
ll
δδ . (18)
Вважаємо праву частину рівняння (17) джерелом, тобто неоднорідність
середовища розглядаємо як внутрішні джерела. Тоді розв’язок крайової за-
дачі (17), (3), (4) можна подати у вигляді суми розв’язку однорідної крайової
задачі і згортки функції Гріна з джерелом:
tdzdtzctzLttzzGtzctzc
t
s ′′′′′′′′+= ∫ ∫
∞
),(),(),,,(),(),(
0 0
0 , (19)
де ),(0 tzc — розв’язок однорідного рівняння дифузії з коефіцієнтами, які
є характеристиками матриці 0Ω , за крайових умов (3), (4), тобто [11]:
{ },4erfc),( 00*0 tdzctzc ρ= (20)
де ),,,( ttzzG ′′ — функція Гріна задачі (17), (3), (4). Функція Гріна
є озв’язком відповідної крайової задачі з точковим джерелом і нульовими
крайовими умовами:
;)()(),,,(),,,(
2
2
00 zztt
z
ttzzGd
t
ttzzG ′−′−=
∂
′′∂
−
∂
′′∂ δδρ (21)
,0),,,(),,,( 0 =′′=′′
∞→= zz ttzzGttzzG .0),,,( 0 =′′
=tttzzG (22)
Розв’язком задачі (21), (22) є функція [6]:
.
)(4
)(
exp
)(4
)(
exp
)(2
)(),,,(
0
0
2
0
0
2
00
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′−
′+
−−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′−
′−
−
′−
′−
=′′
ttd
zz
ttd
zz
ttd
ttttzzG
ρρ
πρ
θ (23)
Таким чином ми побудували інтегродиференціальне рівняння (19), ек-
вівалентне вихідній контактно-крайовій задачі. Рівняння (19) з випадковим
ядром є рівнянням Вольтерра ІІ-го роду за часовою змінною і Гаммерштей-
на за просторовою.
Математичне моделювання процесів дифузії домішкової речовини у двофазному …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 95
РЯД НЕЙМАНА. УСЕРЕДНЕННЯ ПОЛЯ КОНЦЕНТРАЦІЇ
ЗА АНСАМБЛЕМ КОНФІГУРАЦІЙ ФАЗ
Розв’язок інтегродиференціального рівняння (19) шукаємо у вигляді ряду
Неймана [7, 9], який будуємо ітеруванням співвідношення (19).
Оскільки рівняння (19) справедливе для всіх точок області ],;0[{ τ∈t
)};0[ ∞∈z , то воно справджується і для zz ′= , .tt ′= Тоді
.),(),(),,,(),(),( 0
0 0
0 tdzdtzctzLttzzGtzctzc
t
s ′′′′′′′′′′′′′′′′′′+′′=′′ ∫ ∫
′ ∞
Підставимо цей вираз у праву частину (19), отримаємо
+′′′′′′′′+= ∫ ∫
∞
tdzdtzctzLttzzGtzctzc
t
s ),(),(),,,(),(),( 0
0 0
0
.),(),(),,,(),(),,,(
0 00 0
∫ ∫∫ ∫
′ ∞∞
′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′+
t
s
t
s tdzdtdzdtzctzLttzzGtzLttzzG (24)
Запишемо значення поля концентрації ),( tzc у точці ),( tz ′′′′ й підста-
вимо його у праву частину (24), тоді одержимо другу ітерацію. Повторюючи
таку процедуру нескінченну кількість разів, отримаємо інтегральний ряд
Неймана, а саме
+′′′′′′′′+= ∫ ∫
∞
tdzdtzctzLttzzGtzctzc
t
s ),(),(),,,(),(),( 0
0 0
0
∫ ∫∫ ∫
′ ∞∞
+′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′+
t
s
t
s tdzdtdzdtzctzLttzzGtzLttzzG
0
0
00 0
),(),(),,,(),(),,,(
×′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′+ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫
′′ ∞′ ∞∞
),(),,,(),(),,,(),(),,,(
0 00 00 0
t
s
t
s
t
s tzLttzzGtzLttzzGtzLttzzG
K+′′′′′′′′′′′′′′′′′′× tdzdtdzdtdzdtzc ),(0 . (25)
У подальшому для знаходженння середнього поля концентрації доміш-
кової речовини обмежимося першими двома членами ряду Неймана.
Врахувавши вигляд оператора ),( tzLs ′′ (18) і неперервність функції
концентрації ),(0 tzc на всьому проміжку отримаємо наближену формулу
для випадкового поля концентрації домішкової речовини:
∫ ∫ ∑
∞
=
⎢⎣
⎡ −
′∂
′′∂
−′′+≈
t n
i t
tzcttzzGtzctzc
0 0 1
0
100
1 ),()(),,,(),(),( ρρ
tdzdz
z
tzcdd i ′′′
⎥
⎥
⎦
⎤
′∂
′′∂
−− )(),()( 12
0
2
10 η . (26)
Усереднимо вираз (26) за ансамблем конфігурацій фаз із ерлангівською
функцією розподілу включень (1).
Оскільки ),(0 tzc є невипадковою функцією, то
).,(),( 0conf0 tzctzc =
Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, Ю.І. Білущак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 96
Усереднимо другий доданок виразу (26). Врахуємо, що
,)(];0[,0
];0[,1
];[,0
];[,1
)( 11
1
1
11
11
1 ii
i
i
ii
ii
i zzhzz
hzz
hzzz
hzzz
z −′=
⎩
⎨
⎧
∉−′
∈−′
=
⎩
⎨
⎧
+∉′
+∈′
=′ ηη ( 1,1 ni = ) (27)
і в підінтегральному виразі співвідношення (26) від випадкових величин
(координат границь контакту 1iz , 1,1 ni = ) залежить тільки функція ),(1 zi ′η
а також немає інших членів із індексом ,i тоді всі множники та знак суми
можемо винести за знак середнього:
−⎢⎣
⎡
′∂
′′∂
−′′= ∫ ∫
∞t
t
tzc
ttzzGI
0 0
0
10conf
),(
)(),,,( ρρ
∑ ∫
=
−− ′′
Γ
′
⎥
⎥
⎦
⎤
′∂
′′∂
−−
1
1
1
1
1
1
)(
12
0
2
10 )(
)()(
),(
)(
n
i
i
znn
i
n
V
i tdzddzez
n
nz
z
tzc
dd iμμη . (28)
Зазначимо, що ми прийняли 1ihh ≈ , 1,1 ni =∀ , h — характерна (серед-
ня) товщина прошарків.
Враховуючи властивості функції )(1 zi ′η (27) і використовуючи в інтег-
ралі заміну змінних 1izzx −′= , можемо записати
=
Γ
−′∑ ∫
=
−−∞1 1
1
1
1
1
1
0
1 )(
)()(
n
i
i
znn
i
n
ii dz
n
eznzz
iμμη
=
Γ
−′
=∑ ∫
=
−′−−′
∞−′
1
1
)(1
1 )(
)()()(
n
i
xznnnz
z
i dx
n
exznx
μμη
∑∫
=
−′−−′
Γ
−′
=
1
1
)(1
0
1 )(
)()()(
n
i
xznnnz
i dx
n
exznx
μμη , (29)
оскільки .
];0[,0
];0[,1
)(1
⎩
⎨
⎧
∉
∈
=
hx
hx
xiη Зауважимо, що змінна зовнішнього інтегру-
вання z′ приймає значення від 0 до ,∞ тоді можливі два випадки:
• hz <′ та інтеграл (29) набуває значення
;),(
)(
1
)(
)()()(
)(1
0
1 znn
n
dx
n
exznx
xznnnz
i ′
Γ
=
Γ
−′ −′−−′
∫ μγμη
μ
• hz ≥′ , тоді отримаємо
))](,(),([
)(
1
)(
)()()(
)(1
0
1 hznnznn
n
dx
n
exznx
xznnnh
i −′−′
Γ
=
Γ
−′ −′−−
∫ μγμγμη
μ
,
де ∫ −−=
x
t dtetx
0
11),( αλ
λα
αλγ — неповна гама-функція [10].
У результаті інтеграл (29) знаходимо у формі
Математичне моделювання процесів дифузії домішкової речовини у двофазному …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 97
=
Γ
−′∑ ∫
=
−′−−′1
1
)(1
0
1 )(
)()()(
n
i
xznnnz
i dx
n
exznx
μμη
⎩
⎨
⎧
≥′Γ−′−′
<′Γ′
= .,)())](,(),([
,,)(),(
1
1
hznhznnznnn
hznznnn
μγμγ
μγ
Тоді усереднена функція (28) набуде вигляду
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎢
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
⎡
′∂
′′∂
−′′= ∫ ∫
t h
conf t
tzc
ttzzGnI
0 0
0
101
),(
)(),,,( ρρ
∫
∞
⎢
⎣
⎡
−
′∂
′′∂
−′′+′′
⎥
⎥
⎦
⎤
′∂
′′∂
−−
h t
tzc
ttzzGzdznn
z
tzc
dd
),(
)(),,,(),(
),(
)( 0
102
0
2
10 ρρμγ
⎟
⎟
⎠
⎞
′
⎥
⎥
⎦
⎤
′−′−′
⎥
⎥
⎦
⎤
′∂
′′∂
−− tdzdhznnznn
z
tzc
dd ))](,(),([
),(
)( 2
0
2
10 μγμγ .
Як наслідок для усередненого поля концентрації домішкових частинок
отримаємо
+′′
⎥
⎥
⎦
⎤
′∂
∂
−−
⎢
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
⎡
′∂
∂
−+= ∫ ∫ zdnzQ
z
c
dd
t
c
Gtzctzc
t h
112
0
2
10
0 0
0
100conf )()()(),(),( ρρ
,)()()( 122
0
2
10
0
10 tdzdnzQ
z
c
dd
t
c
G
h
′
⎥
⎥
⎦
⎤
′′
⎥
⎥
⎦
⎤
′∂
∂
−−⎢
⎣
⎡
′∂
∂
−+ ∫
∞
ρρ (30)
де
;
)(
)()2)(1()1(
)(
)(
)(
1)(
1
1
1
1
1
1 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
′−−−
−+
′
Γ
−
Γ
−
=′ ∑
−
=
−−
+
−
′−
n
k
kn
k
k
n
zn
n
z
n
knnn
n
ze
n
n
n
nzQ
μμ
μ μ K
⎜
⎜
⎝
⎛
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−′
Γ
=′
−
−′−
μ
μ μ
n
hz
e
n
nzQ
n
ihzn
n
i
1
1)(
2
)(
)(
)()( 1
−
⎥
⎥
⎦
⎤
−′
−−−
−+∑
−
=
−−
+
1
1
1
11 )(
)(
)()2)(1()1(
n
k
kn
ik
k hz
n
knnn
μ
K
⎟
⎟
⎠
⎞
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
′−−−
−+
′
− ∑
−
=
−−
+
−
′−
1
1
1
1
1
)(
)()2(1)1(
n
k
kn
k
k
n
zn z
n
knnn
n
ze
μμ
μ K .
Таким чином ми отримали формулу для знаходження усередненого за
ансамблем конфігурацій фаз поля концентрації домішкової речовини у дво-
фазному випадково неоднорідному багатошаровому півпросторі з ерлангів-
ським розподілом включень в області тіла.
Підставляючи у співвідношення (30) вирази для концентрації домішко-
вої речовини в однорідному півпросторі (20) та функції Гріна (23), отримає-
мо розрахункову формулу в загальному випадку:
Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, Ю.І. Білущак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 98
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
t
zd
erfcctzc
2
),( *conf
ρ
( ) ( )
⎢
⎢
⎣
⎡
×
′
′
−
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
−+ ∫ ∫
′+−′−−
−
3
*
10
0 0
44
0
2
1
2
)(
2
2
2
2
2
t
dcz
ee
d
n
t h
d
zz
d
zz
t tt
π
ρρ
πρ
ρ
+′′
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
′
′
−−× ′
′
−
′
′
−
zdzQe
t
dcz
dde t
zd
t
zd
)(
2
)( 1
4
3
3*
10
4
2222
ρρ
π
ρ
( ) ( )
∫
∞
′+−′−−
−
×
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
h
d
zz
d
zz
t tt ee
d 2
2
2
2
44
0
2
2 πρ
,)(
2
)(
2
)( 2
4
3
3*
10
4
3
*
10
2222
tdzdzQe
t
dcz
dde
t
dcz t
zd
t
zd
′
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
′′
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
′
′
−−
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
′
′
−× ′
′
−
′
′
− ρρ
ππ
ρρ ρρ (31)
де ;00
2 dd ρρ = 00 )( ρttddt ′−= .
Для конкретного значення параметра n функції ерлангівського розпо-
ділу (1) у формулі (31) можна взяти інтеграли за просторовою змінною. Зок-
рема одержимо для 1=n (експоненціальний розподіл, рис. 2, а):
⎢
⎣
⎡
×++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= +−
− ))),(()),(((
22
),( 41
*
22
tzaerftzaerfe
t
qn
t
zd
erfcctzc tzdρ
π
ρ
( ) +⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−−−× +−−−+ )2()(8)()1( )1(),(),( 22
μπ ρμμμ
ρ
μ neeedeee tdnznnztzutzuhn
( )( ) ( )( )( )⎜
⎜
⎝
⎛
+′′−′+ ∫ +−ρ
−
t
tdttAerfttAerfzdt
0
1 ,,
∫ +′′−′−′′+ −−
′
−
−
t
hnttb tdttBttKerfettBerfettM
0
),( ))),(),(()),(((),( μ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎟
⎟
⎠
⎞
′′+′−′′+ ∫ ++
′
+
+
t
hnttb tdttBttKerfettBerfettM
0
),( ))),(),(()),(((),( μ ,
де
0101 ρρ+= ddq ; tzddtntza 22),( 1
ρρμ ±= −
± ;
tzdtndtzu 0
22
0 4/)(),( ρμ ρ±=± ; tznttttndttb ′±′−′=′ −
± μμρ /)()(),( 22 ;
2),( 1 tthdttK t ′=′ − ; 2),(),( 1 ttzdttKttA t ′±′=′ −
± ;
)2(4),( 2
00 tdnzdttM μρ ±=′± ; ttdnzdttB tt ′±=′ −
± )2(),( 1 μ .
Математичне моделювання процесів дифузії домішкової речовини у двофазному …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 99
Для 2=n (рис. 2, b):
[ −′−′′+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= +−
−
∫ )),(),(()(exp
42
erfc),( 11
0
241
*
22
ttYttYtze
qn
t
zd
ctzc
t
tzdρ
π
ρ
+′−′′−′+′− +−+− )),(),((),()),(),(( 3322 ttYttYttttYttY α
+′−′′−+ +−
− )),(),()(,()1( 44 ttYttYtte h αλ
] .)),(),()(1)1(( 55 tdttYttYhe h ′′+′−−+ +−
− λλ
де
);)),((()(),( )),(2121
1
2 tzetzerftttzdttY ±−
±
−
± −′−′=′ β
ρ βπ
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +′′′=′ ′−
±±±
′
±
±± ),(2121),(
2
2
))),(()),(()(,(),( ttEttw ettwerfttEerfttwettY mπ ;
mm⎢
⎣
⎡ ′′⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ′+=′ ±±±
′
±
± ))),(()),(((),(
2
1),( 21),(
3 ttwerfttEerfttwettY ttw π
⎥
⎥
⎦
⎤
′′−
′−
′
±±
′− ± )),(2),(( 21),(2
ttwttEe
tt
tzd ttE mm
ρ ;
;),()),((),(
2
1),( ),(),(
4
2
⎢
⎣
⎡ ′+′⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ′+=′ ′−
±±±
′
±
±± ttEttw ettEttEerfcttwettY π
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +′′=′ ′−
±±
′
±
±± ),(21),(
5
2
)),((),(),( ttEttw ettEerfcttwettY π ;
tttdtt ′′−=′ − )(),( 1
ρλα ; ;)())((),( 21 tzhtttdtt ′±′−′=′± ρβ
)()(),( 12 tttztttdzttw ′−λ+′λ±′−′=′ −
ρ± ;
tttttzdhtttdttE ′′−+′−±′−′=′ −
± )()())((),( 121 λρρ .
Зазначимо, що неоднорідна частина розв’язку (31) пропорційна кілько-
сті включень 1n , а також безрозмірній величині .0101 ρρ+= ddq
ЧИСЛОВИЙ АНАЛІЗ УСЕРЕДНЕНОГО ПОЛЯ КОНЦЕНТРАЦІЇ
Числові розрахунки проводились у безрозмірних змінних [11] ,00 ztd=τ
,0zz=ξ 10 =z м. На рис. 3–8 проілюстровано характерні розподіли
усередненого за ансамблем конфігурацій фаз поля концентрації домішкової
речовини у випадку ерлангівського розподілу фаз для різних значень пара-
метрів задачі та у різні моменти часу. При цьому, за базові приймались такі
значення коефіцієнтів: =01 dd 10; =01 ρρ 1,1; =1n 50; == 0zhh 0,1;
=τ 2; =n 3. На рис. 3–7 обчислення, проведені для =μ 0,3, подані на рис. a
та для =μ 1 — на рис. b. Криві а (штрихові лінії) позначають концентрацію
домішки в однорідному півпросторі з характеристиками матриці.
Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, Ю.І. Білущак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 100
На рис. 3 наведено розподіли усередненої концентрації в різні моменти
безрозмірного часу =τ 0,5; 1; 2; 5; 10 (криві 1–5). На рис. 4 продемонстро-
вано поведінку усередненого поля концентрації домішок у залежності від
різних значень відношення кінетичних коефіцієнтів переносу =01 dd 0,1;
0,5; 3; 5; 7; 10 (криві 1–6). А рис. 5 за різних значень характерної безроз-
мірної товщини включень =h 0,001; 0,01; 0,05; 0,1; 0,2 (криві 1–5).
Рис. 3. Розподіли усередненої концентрації в різні моменти часу для 3,0=μ (a) та
1=μ (б)
0
0,3
0,6
0,9
1,2
0 2,5 5 7,5 10
1 2
3
4
5
a
1a
2a
3a 5a4a
*),( cc τξ
ξ
0
1
2
0 2,5 5 7,5 10
12
3
4 5
b
1a
2a
3a
4a
5a
*),( cc τξ
ξ
а б
Рис. 4. Розподіли усередненої концентрації в залежності від різних значень
відношення кінетичних коефіцієнтів переносу 01 dd для 3,0=μ (a) та 1=μ (б)
0
0,3
0,6
0,9
1,2
0 2,5 5 7,5 10
1
2
3
4
5
a
a
6
*),( cc τξ
ξ 0
0,4
0,8
1,2
1,6
0 2,5 5 7,5 10
1
2
3
4
5
b
a
6
*),( cc τξ
ξ
а б
Рис. 5. Розподіли усередненої концентрації за різних значень характерної товщини
прошарків h для 3,0=μ (a) та 1=μ (б)
0
0,5
1
1,5
2
0 2,5 5 7,5 10
1, a
2
3
4
5
a
*),( cc τξ
ξ 0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 2,5 5 7,5 10
1,a
2
3
4
5 b
*),( cc τξ
ξ
а б
Математичне моделювання процесів дифузії домішкової речовини у двофазному …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 101
Рис. 4 зображено поведінку усередненого поля концентрації домішок
у залежності від різних значень відношення кінетичних коефіцієнтів переносу
=01 dd 0,1; 0,5; 3; 5; 7; 10 (криві 1–6). А рис. 5 за різних значень характерної
безрозмірної товщини включень =h 0,001; 0,01; 0,05; 0,1; 0,2 (криві 1–5).
Рис. 6 ілюструє вплив кількості прошарків на поведінку усередненої
концентрації домішкових частинок; тут криві 1–6 відповідають значенням
=1n 3; 5; 10;15, 25; 50. На рис. 7 подано характерні розподіли функції
*),( cc τξ в залежності від значення параметра функції ерлангівського
розподілу =n 1, 2, 3, 4, 5 (криві 1–5).
На рис. 8 наведено розподіли усередненої концентрації при різних зна-
ченнях параметра μ функції ерлангівського розподілу: =μ 0,1; 0,3; 0,5; 1; 2;
5 (криві 1–6) у моменти безрозмірного часу =τ 2 (рис. а) та =τ 5 (рис. б).
Зазначимо, що параметри ерлангівського розподілу n та μ суттєво
впливають на розподіли усередненої концентрації домішки в шаруватому
півпросторі, проте якщо значення параметра μ впливає тільки на кількісні
характеристики ерлангівського розподілу )(zf (рис. 1), то його зміна веде
до зміни поведінки функції *),( cc τξ (рис. 8). При цьому, зростання зна-
Рис. 6. Розподіли усередненої концентрації в півпросторі з різною кількістю про-
шарків 1n в тілі для 3,0=μ (a) та 1=μ (б)
0
0,4
0,8
1,2
0 2,5 5 7,5 10
1
2
3
4 5
ξ
*),( cc τξ
a
a
6
0
0,4
0,8
1,2
1,6
0 2,5 5 7,5 10
1
2
3 4
5
ξ
*),( cc τξ
b
a
6
а б
Рис. 7. Розподіли усередненої концентрації при різних значеннях параметра n для
3,0=μ (a) та 1=μ (б)
0
0,3
0,6
0,9
1,2
0 2,5 5 7,5 10
1
2 3
4
5
a
a
*),( cc τξ
ξ 0
0,4
0,8
1,2
1,6
0 2,5 5 7,5 10
1
3
b
a
2
5
4
*),( cc τξ
ξа б
Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, Ю.І. Білущак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 102
чення параметра μ призводить спочатку до зростання максимальних зна-
чень усередненої концентрації (криві 1–3, рис. 8), а потім — до поступового
зменшення величини цих максимумів та їхнього наближення до поверхні
(криві 3–6, рис. 8). Зміна іншого параметра ерлангівського розподулу ,n що
суттєво впливає на поведінку і значення )(zf (рис. 1), не змінює поведінку
функції *),( cc τξ . При чому зі збільшенням параметра n максимум усе-
редненої концентрації домішки зростає (рис. 7) і для малих μ зсувається
вглиб тіла (рис. 7,а).
Також зауважимо, що для часів, далеких від усталеного режиму, кількі-
сні та якісні характеристики розподілів концентрації домішки в однорідно-
му й неоднорідному тілі суттєво відрізняються (рис. 3).
Для малих часів характерна поява приповерхневого максимуму усеред-
неної концентрації (рис. 3), який з часом зростає (криві 1–3 рис. 3,а), для ма-
лих μ зсувається в глиб шаруватого півпростору (рис. 3,а), а потім спадає
доки не співпаде з концентрацією домішкових частинок в однорідному пів-
просторі.
Зазначимо, що зміна всіх коефіцієнтів задачі, не тільки впливає на зна-
чення усередненої концентрації, але й може призвести до зміни поведінки
функції *),( cc τξ (рис. 4–6). Наприклад, для малих відношень кінетичних
коефіцієнтів переносу 01 dd розподіл усередненої концентрації подібний
до розподілу концентрації в однорідному тілі (криві 1–2, рис. 4), а зі
збільшенням величини 01 dd усереднена концентрація зростає, і можлива
поява її максимуму в приповерхневій області (криві 5 – 6, рис. 4,а та криві
3–6, рис. 4,б).
Якщо товщина включень є малою (рис. 5) або таких прошарків є мало
(рис. 6), то концентрація в однорідному і неоднорідному півпросторах або
співпадають (криві 1; 2, рис. 5), або не суттєво відрізняються (криві 1 та 2,
рис. 6). У випадку великої кількості прошарків (рис. 6) або значної їхньої
характерної товщини (рис. 5) спостерігається суттєве накопичення
домішкової речовини в околі границі тіла, де діє джерело маси.
Рис. 8. Розподіли усередненої концентрації при різних значеннях параметра μ для
2=τ (a) та 5=τ (б)
0
0,4
0,8
1,2
1,6
0 2,5 5 7,5 10
1
2
3 4
5
a
a
6
*),( cc τξ
ξ 0
0,4
0,8
1,2
0 2,5 5 7,5 10
1
2
3
4
5
b
a
6
*),( cc τξ
ξ
а б
Математичне моделювання процесів дифузії домішкової речовини у двофазному …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 103
ВИСНОВКИ
Таким чином з використанням апарату теорії узагальнених функцій
контактну задачу дифузії домішкової речовини у двофазному випадково
неоднорідному шаруватому півпросторі зведено до рівнняння масопереносу
частинок у всьому тілі. Побудовано інтегродиференціальне рівняння
розв’язано шляхом ітерування. Розв’язок отримано у вигляді ряду Неймана.
Зауважимо, що спрямовуючи часову змінну до безмежності ряд Неймана
стає розбіжним, і тому стаціонарний випадок потребує окремого розгляду.
Усереднення поля концентрації проведено за ансамблем конфігурацій
фаз із ерлангівською функцією розподілу включень. Одержано в загальному
випадку формулу для визначення усередненого поля концентрації в такому
тілі та наведено розрахункові формули в часткових випадках. Проведено
числовий аналіз отриманих результатів у залежності від характеристик
середовища та параметрів ерлангівського розподілу. Зокрема показано, що
зростання значення параметра μ призводить спочатку до зростання макси-
мальних значень усередненої концентрації, а потім до поступового змен-
шення величини цих максимумів та їхнього наближення до поверхні.
ЛІТЕРАТУРА
1. Keller J.B. Flow in random porous media // Transport in Porous Media. — 2001. —
43. — P. 395–406.
2. Zhu Y., Fox P.J. Smoothed particle hydrodynamics model for diffusion through
porous media // Transport in Porous Media. — 2001. — 43. — P. 441–471.
3. Mikdam A., Makardi A., Ahzi S., Garmestani H, Li D.S., Remond Y. Effective con-
ductivity in isotropic heterogeneous media using a strong-contrast statistical con-
tinuum theory // J. Mech. and Phys. of Solids. — 2009. — 57. — P. 76–86.
4. Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по тео-
рии вероятности и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.
5. Мюнстер А. Химическая термодинамика. М.: Мир, 1971. — 295 с.
6. Чапля Є.Я., Чернуха О.Ю. Математичне моделювання дифузійних процесів у ви-
падкових і регулярних структурах. — Київ: Наукова думка, 2009. — 302 с.
7. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975. — 300 с.
8. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976. —
527 с.
9. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радио-
физику. Ч. ІІ, Случайные поля. — М.: Наука, 1978. — 436 с.
10. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица
и И. Стиган. — М.: Мир, 1979. — 830 с.
11. Лыков А.В. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1978. — 463 с.
Надійшла 09.11.2011
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85100 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1681–6048 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:15:52Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чапля, Є.Я. Чернуха, О.Ю. Білущак, Ю.І. 2015-07-19T11:34:46Z 2015-07-19T11:34:46Z 2013 Математичне моделювання процесів дифузії домішкової речовини у двофазному півпросторі з ерлангівським розподілом включень / Є.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха, Ю.І. Білущак // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2013. — № 3. — С. 89-103. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85100 517.958:532.72 Досліджено процеси дифузії домішкової речовини у двофазному півпросторі випадково неоднорідної шаруватої структури з урахуванням умов неідеального масового контакту на границях розділу фаз. Шаруваті включення розташовано за ерлангівським розподілом. Отримано рівняння масопереносу для усього тіла, що враховує стрибки шуканої функції та її похідної на міжфазних границях. Сформульовано еквівалентне інтегродиференціальне рівняння, розв’язок якого побудовано у вигляді інтегрального ряду Неймана. Усереднення отриманого розв’язку проведено за ансамблем конфігурацій фаз з ерлангівською функцією розподілу. Визначено вплив характеристик матеріалу на поведінку та величину усередненого поля концентрації домішкових частинок. Исследованы процессы диффузии примесного вещества в двухфазном полупространстве случайно неоднородной слоистой структуры с учетом условий неидеального массового контакта на границах раздела фаз. Слоистые включения расположены по ерланговському распределению. Получено уравнение массопереноса для всего тела, учитывающее скачки искомой функции и ее производной на межфазных границах. Сформулировано эквивалентное интегродифференциальное уравнение, решение которого построено в виде интегрального ряда Неймана. Усреднение полученного решения проведено по ансамблю конфигураций фаз с ерланговской функцией распределения. Определенно влияние характеристик материала на поведение и величину усредненного поля концентрации примесных частиц. Admixture diffusion processes are studied in a two-phase semispace of randomly nonhomogeneous stratified structure, taking into account the conditions of non-ideal mass contact on interphases. Layered inclusions are disposed by the Erlangian distribution. A mass transfer equation for whole body is obtained, considering the jumps of both desired function and its derivative on the interphases. An equivalent integrodiffential equation is formulated and its solution is constructed in terms of Neumann series. Averaging the obtained solution is carried out over the ensemble of phase configurations with the Erlangian distribution function. Material characteristics influence on behaviour and values of the averaged of admixture particle concentration is established. uk Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичне моделювання процесів дифузії домішкової речовини у двофазному півпросторі з ерлангівським розподілом включень Математическое моделирование процессов диффузии примесного вещества в двухфазном полупространстве с ерланговским рапределением включений Mathematical modeling admixture diffusion processes in a two-phase semispace with the erlang distribution of inclusion Article published earlier |
| spellingShingle | Математичне моделювання процесів дифузії домішкової речовини у двофазному півпросторі з ерлангівським розподілом включень Чапля, Є.Я. Чернуха, О.Ю. Білущак, Ю.І. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| title | Математичне моделювання процесів дифузії домішкової речовини у двофазному півпросторі з ерлангівським розподілом включень |
| title_alt | Математическое моделирование процессов диффузии примесного вещества в двухфазном полупространстве с ерланговским рапределением включений Mathematical modeling admixture diffusion processes in a two-phase semispace with the erlang distribution of inclusion |
| title_full | Математичне моделювання процесів дифузії домішкової речовини у двофазному півпросторі з ерлангівським розподілом включень |
| title_fullStr | Математичне моделювання процесів дифузії домішкової речовини у двофазному півпросторі з ерлангівським розподілом включень |
| title_full_unstemmed | Математичне моделювання процесів дифузії домішкової речовини у двофазному півпросторі з ерлангівським розподілом включень |
| title_short | Математичне моделювання процесів дифузії домішкової речовини у двофазному півпросторі з ерлангівським розподілом включень |
| title_sort | математичне моделювання процесів дифузії домішкової речовини у двофазному півпросторі з ерлангівським розподілом включень |
| topic | Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| topic_facet | Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85100 |
| work_keys_str_mv | AT čaplâêâ matematičnemodelûvannâprocesívdifuzíídomíškovoírečoviniudvofaznomupívprostorízerlangívsʹkimrozpodílomvklûčenʹ AT černuhaoû matematičnemodelûvannâprocesívdifuzíídomíškovoírečoviniudvofaznomupívprostorízerlangívsʹkimrozpodílomvklûčenʹ AT bíluŝakûí matematičnemodelûvannâprocesívdifuzíídomíškovoírečoviniudvofaznomupívprostorízerlangívsʹkimrozpodílomvklûčenʹ AT čaplâêâ matematičeskoemodelirovanieprocessovdiffuziiprimesnogoveŝestvavdvuhfaznompoluprostranstveserlangovskimrapredeleniemvklûčenii AT černuhaoû matematičeskoemodelirovanieprocessovdiffuziiprimesnogoveŝestvavdvuhfaznompoluprostranstveserlangovskimrapredeleniemvklûčenii AT bíluŝakûí matematičeskoemodelirovanieprocessovdiffuziiprimesnogoveŝestvavdvuhfaznompoluprostranstveserlangovskimrapredeleniemvklûčenii AT čaplâêâ mathematicalmodelingadmixturediffusionprocessesinatwophasesemispacewiththeerlangdistributionofinclusion AT černuhaoû mathematicalmodelingadmixturediffusionprocessesinatwophasesemispacewiththeerlangdistributionofinclusion AT bíluŝakûí mathematicalmodelingadmixturediffusionprocessesinatwophasesemispacewiththeerlangdistributionofinclusion |