Про умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда
Розглянуто модель розвитку загального патологічного утворення на основі динаміки Ріхарда. Побудовано математичну модель росту патологічного утворення з урахуванням імунної відповіді. Перше рівняння описує зміну кількості клітин патологічного утворення в організмі людини. Друге рівняння описує ріст п...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85102 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда / В.П. Марценюк, О.А. Багрий-Заяць // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2013. — № 3. — С. 118-129. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859728760825184256 |
|---|---|
| author | Марценюк, В.П. Багрий-Заяць, О.А. |
| author_facet | Марценюк, В.П. Багрий-Заяць, О.А. |
| citation_txt | Про умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда / В.П. Марценюк, О.А. Багрий-Заяць // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2013. — № 3. — С. 118-129. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Системні дослідження та інформаційні технології |
| description | Розглянуто модель розвитку загального патологічного утворення на основі динаміки Ріхарда. Побудовано математичну модель росту патологічного утворення з урахуванням імунної відповіді. Перше рівняння описує зміну кількості клітин патологічного утворення в організмі людини. Друге рівняння описує ріст плазматичних клітин. Третє рівняння описує зміну кількості антитіл, які реагують із рецептором клітин патологічного утворення. Четверте рівняння описує ступінь пошкодження органу. Побудовано конструктивні умови асимптотичної стійкості для моделі розвитку загального патологічного утворення на основі динаміки Ріхарда. Досліджено умови локальної асимптотичної стійкості стаціонарного стану, що відповідає відсутності захворювання. Отримано достатні умови асимптотичної стійкості рівноважного стану моделі розвитку патологічного утворення в термінах коефіцієнтів характеристичного рівняння. Проведено чисельний аналіз розробленої моделі, а отримані математичні результати проаналізовано для конкретних параметрів моделі розвитку патологічного утворення.
Рассмотрена модель развития общего патологического образования на основе динамики Рихарда. Построена математическая модель роста патологического образования с учетом иммунного ответа. Первое уравнение описывает изменение количества клеток патологического образования в организме человека. Второе уравнение описывает рост плазматических клеток. Третье уравнение описывает изменение количества антител, которые реагируют с рецептором клеток патологического образования. Четвертое уравнение описывает степень повреждения органа. Построены конструктивные условия асимптотической устойчивости для модели развития общего патологического образования на основе динамики Рихарда. Исследованы условия локальной асимптотической устойчивости стационарного состояния, который соответствуют отсутствию заболевания. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости равновесного состояния модели развития патологического образования в терминах коэффициентов характеристического квазиполинома. Проведен численный анализ разработанной модели, а полученные математические результаты проанализированы для конкретных параметров модели развития патологического образования.
The model of common pathological formation development on the basis of Richard’s dynamic is considered. A mathematical model of pathological formation growth process taking into account the immune response is built. The first equation describes the change of cell number of pathological formation in human body. The second equation describes plasma cells growth. The third equation describes the change of number of antibodies that react with receptor cells of pathological formation. The fourth equation describes the extent of organ damage. Structural conditions of asymptotic stability for the model of general pathological formation growth based on Richard dynamic is built. The conditions of local asymptotic stability of the stationary state corresponding to the absence of disease is investigated. Sufficient conditions for asymptotic stability of equilibrium models of pathological formation in terms of the coefficients of the characteristic quazipolynomian is obtained. The numerical analysis of the developed model is carried out, and the resulting math results for specific parameters of the model of the pathological entity are analyzed.
|
| first_indexed | 2025-12-01T11:52:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.П. Марценюк, О.А. Багрій-Заяць, 2013
118 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3
TIДC
МЕТОДИ АНАЛІЗУ
ТА УПРАВЛІННЯ СИСТЕМАМИ
В УМОВАХ РИЗИКУ І НЕВИЗНАЧЕНОСТІ
УДК 535.242.65
ПРО УМОВИ АСИМПТОТИЧНОЇ СТІЙКОСТІ В МОДЕЛЯХ
РОСТУ ПАТОЛОГІЧНИХ УТВОРЕНЬ НА ОСНОВІ
ДИНАМІКИ РІХАРДА
В.П. МАРЦЕНЮК, О.А. БАГРІЙ-ЗАЯЦЬ
Розглянуто модель розвитку загального патологічного утворення на основі ди-
наміки Ріхарда. Побудовано математичну модель росту патологічного утво-
рення з урахуванням імунної відповіді. Перше рівняння описує зміну кількості
клітин патологічного утворення в організмі людини. Друге рівняння описує
ріст плазматичних клітин. Третє рівняння описує зміну кількості антитіл, які
реагують із рецептором клітин патологічного утворення. Четверте рівняння
описує ступінь пошкодження органу. Побудовано конструктивні умови асимп-
тотичної стійкості для моделі розвитку загального патологічного утворення на
основі динаміки Ріхарда. Досліджено умови локальної асимптотичної стійкості
стаціонарного стану, що відповідає відсутності захворювання. Отримано до-
статні умови асимптотичної стійкості рівноважного стану моделі розвитку па-
тологічного утворення в термінах коефіцієнтів характеристичного рівняння.
Проведено чисельний аналіз розробленої моделі, а отримані математичні ре-
зультати проаналізовано для конкретних параметрів моделі розвитку пато-
логічного утворення.
ВСТУП
Останнім часом збільшується увага дослідників до проблеми розвитку пато-
логічних утворень у людському організмі. Актуальною є розробка адекват-
них математичних моделей росту клітинних популяцій. Оскільки пато-
логічні процеси переважно описуються нелінійними диференціальними
рівняннями, які не мають аналітичних розв’язків, то доводиться шукати ме-
тоди, відмінні від аналітичного інтегрування диференціальних рівнянь. По-
ряд із використанням чисельних методів розв’язування диференціальних
рівнянь часто можна виявити важливі якісні властивості розв’язків неліній-
них рівнянь, не розв’язуючи їх явно. До таких якісних властивостей нале-
жить стійкість розв’язків рівнянь.
У роботах [1, 2] досліджено стійкість моделей на основі динаміки Гом-
перца, що застосовувалися для дослідження процесів росту пухлин. Зокрема
в [2] розглянуто питання стійкості в моделі протипухлинного імунітету
з урахуванням порушення функціонування органа-мішені за допомогою ме-
тода вироджених функціоналів Ляпунова. У той же час не досліджено умови
стійкості, коли ріст популяцій патологічних клітин підлягає більш загальній
динаміці Ріхарда [3].
Про умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 119
Мета роботи — побудова конструктивних умов асимптотичної стійко-
сті в моделях росту патологічних утворень у людському організмі.
МАТЕРІАЛИ ТА МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ
Розглядається модель розвитку патологічного утворення на основі динаміки
Ріхарда. У моделі враховуються наступні визначальні для перебігу процесу
чинники:
• Концентрація клітин патологічного утворення ).(tL
• Концентрація антитіл ).(tF Під антитілами розуміють субстрати
імунної системи, що нейтралізують рецептори клітин патологічного утво-
рення.
• Концентрація плазматичних клітин ).(tC Це популяція носіїв і виро-
бників антитіл.
• Відносна характеристика росту патологічного утворення ).(tm
За відсутності жодного лікуючого впливу маємо таку систему дифе-
ренціальних рівнянь:
)()()(1)()( tLtFtLtL
dt
tdL
L
n
L
L γ
θ
α −
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−= , (1)
,))(()()()()(
0CtCtFtLm
dt
tdC
C −−−−= μτταξ (2)
,)())(()()( tFtLtCb
dt
tdF
Lff γημ +−= (3)
.)()()( tmtL
dt
tdm
mμσ −= (4)
Тут )(tL — кількість клітин патологічного утворення; )(tC — концент-
рація плазматичних клітин; )(tF — концентрація специфічних антитіл;
)(tm — ступінь ушкодженості органа; Lγ — коефіцієнт, що визначає ймо-
вірність нейтралізації (руйнування) клітини патологічного утворення анти-
тілом; fb — швидкість виробництва антитіл однією плазматичною кліти-
ною; Lα — коефіцієнт, що зумовлює ймовірність зустрічі антиген–антитіло;
Cμ — коефіцієнт, обернений до часу життя плазматичних клітин; fμ —
коефіцієнт, обернено пропорційний до часу розпаду антитіл; mμ — коефіці-
єнт, що враховує швидкість відновлення пошкодженого органу; η — число
специфічних антитіл, що потрібно для нейтралізації одного антигена; σ —
коефіцієнт, що визначає швидкість загибелі клітин за рахунок пошкоджую-
чої дії антигенів; )(mξ — неперервна незростаюча функція ( 1)(0 ≤≤ mξ ),
що характеризує порушення нормального функціонування імунної системи
через значне пошкодження органа-мішені; α — коефіцієнт, що зумовлює
ймовірність зустрічі антиген-антитіло; τ — фаза запізнення (час, за який
здійснюється формування каскаду плазматичних клітин).
Перераховані параметри є додатні й специфічні, як для виду рецептора,
так і для органа і для конкретного організму.
В.П. Марценюк, О.А. Багрій-Заяць
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 120
Припустимо, що .),[)(),(),(),( 0
1 ∞∈ tCtmtFtCtL Задано неперервні по-
чаткові умови на :),[ 00 ttt τ−∈ )()( 0 tLtL = , )()( 0 tCtC = , ,)()( 0 tFtF =
)()( 0 tmtm = .
Позначимо через }),,,{( 4
+∈=Ω RmFCL біологічно значущу область,
яка є додатньо інваріантною для системи (5), оскільки векторне поле на гра-
ниці Ω не виходить назовні Ω .
Знайдемо стани рівноваги системи:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=−
=+−
=−−
=−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
.0
,0)(
,0)()(
,01
0
mL
FLCb
CCLFm
FLLL
m
Lff
C
L
n
L
L
μσ
ηγμ
μαξ
γ
θ
α
(5)
Розв’язками (5) будуть ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= 0,,,0 0
00
f
f Cb
CE
μ
та стаціонарні стани вигля-
ду ),,,,( ***** mFCLE = де zeL =* ,
C
z
LCF
z
f
CFL
z
eeb
Ce
C
μηγμμα
μμηγ
++−
+
= 0* )(
,
Cf
z
f
Cf
eb
Cb
F
μμα
μ
+
= 0* , .* z
C
em
μ
σ
= Тут z — корінь даного рівняння
0ln
)(
ln 0 =−
++−
−++−
− L
C
Z
LCf
Z
fL
CfLC
Z
LLCfL
Z
fL n
eeb
Cbeeb
zn θ
μηγμμαα
μγμηγαμμααα
.
Cтаціонарний стан ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= 0,,,0 0
00
f
f Cb
CE
μ
відповідає відсутності захво-
рювання (патологічного утворення). Параметр 0C відповідає за кількість
плазматичних клітин в організмі у нормі, а
f
f Cb
μ
0 — кількість антитіл, що
є в нормі за відсутності патологічного утворення. При цьому патологічних
клітин немає — тому орган неушкоджений.
Кількість стаціонарних станів вигляду ),,,( ***** mFCLE = залежить
від значення параметра n . Біологічний зміст мають лише додатні значення
розв’язків, які відповідають хронічному захворюванню різного ступеня
важкості. Коли 0=n система (5) має єдиний стаціонарний розв’язок —
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= 0,,,0 0
00
f
f Cb
CE
μ
. Зауважимо, що у випадку 1=n кількість стаціонар-
них станів визначається коренями рівняння другого ступеня:
,)( 32
2
1 azazazA ++=
де
Про умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 121
LLCfLL ba θηγμγθα 2
1 −= , LLLCfLLCfL ba αθηγμααθμμα +−=2 ,
LfC bCa αμ 03 −= .
У випадку 2=n кількість стаціонарних станів визначається коренями
рівняння третього степеня:
,)( 43
2
2
3
1 bzbzbzbzB +++=
де
CLLLfbb μηγααα −=1 , CLfb μαμ=2 ,
CLLLLfbb μθηγααα 2
3 +−= , CLLfLLCf Cbb μθαμθγμ 22
04 +−= .
При довільному натуральному значенні параметра n система (5) має
2+n розв’язки, проте їх потрібно аналізувати, оскільки вони можуть не ма-
ти біологічного змісту.
ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ СТАНУ РІВНОВАГИ *E
Здійснивши лінеаризацію системи в околі точки ,),,,( **** mFCL отримуємо
лінійну систему зі сталими коефіцієнтами:
2
*
1
*
*
1 ))1(( xLxFLn
dt
dx
LL
n
L
LL γγ
θ
αα −−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−= , (6)
,)()()()()(
)(
4
**
23
**
1
**2 x
dm
mdFLxtxLmtxFm
dt
tdx
C
ξαμταξταξ +−−+−= (7)
1
*
3
*
32
3 xFxLxxb
dt
dx
LLff ηγηγμ −−−= , (8)
.41
4 xx
dt
dx
mμσ −= (9)
Характеристичне рівняння отриманої лінійної системи (6)–(9)
є рівнянням четвертого ступеня:
,032
2
143
2
2
3
1
4 =+++++++ −−− λτλτλτ λλλλλλ ebebebaaaa (10)
де
***
1 )/()1( FLnLa L
n
LLLfmC γθααηγμμμ +++−+++= ,
−++++= **
2 LLa mCfmmCfC ηγμηγμμμμμμμ
+++− *** )/()1( LLnL n
LLL ηγθαηγα
++++−−−+ )()/()1( ***
fC
n
LLmLfLCLL LnLF μμθαμαμαμαηγγ
,)/)(1( ****** LFFFFLn LLmLfLCm
n
L ηγγγμγμγμμθ ++++++
+++++−++= ****
3 )()/()1(( LFLnLa CfCL
n
LLLmCmfC ηγμμμγθααηγμμμμμ
В.П. Марценюк, О.А. Багрій-Заяць
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 122
)()/()1() *****
mCL
n
LLmfmCm LFLLnL μμηγγηγθαηγμμμμμ ++++−++ ,
++++−+= ))/()1()(( ***
4 FLnLa L
n
LLLmCmfC γθααηγμμμμμ
dm
mdLFbLF LfmCL
)( *
**** ξαγσμμηγγ ++ ,
,)( **
1 Lmbb f αξ−=
))/()1(2()( ****
2
n
LLLmLf LnFLmbb θααμγαξ ++−−= ,
.)2)/()1(()( ****
3 FLnLmbb L
n
LLLf γθαααξ +++−=
При вивченні розміщення коренів рівняння буде використано наступ-
ний результат, доведений в роботі [4] із використанням теореми Руше [5].
Лема 1. Для експоненціального полінома
+++++= −
−−− )0()0(
1
1)0(
1 ...),...,,( 1
nn
nn pppeeP m λλλλ λτλτ
...]...[ 1)1()1(
1
1)1(
1 +++++ −
−
− λτλλ eppp nn
n
,]...[... )1()1(
1
1)1(
1
meppp m
n
m
n
nm λτλλ −−−
−
−− ++++
де ),...,2,1(0 mii =≥τ та ),...,2,1;1,...,1,0()( njmip i
j =−= є константами, при
зміні ),...,,( 21 mτττ сума порядків нулів ),...,,( 1 meeP λτλτλ −−
у відкритій правій
напівплощині може змінюватися, коли нуль з’являється на уявній осі або
перетинає її.
Зрозуміло, що )0( >wiw буде коренем рівняння (10) тоді й тільки тоді,
коли:
+−−++−− )sin(cos2
143
2
2
3
1
4 ττ wiwwbawiawawiaw
.0)sin(cos)sin(cos 32 =−+−+ ττττ wiwbwiwwib
Розділяючи дійсну та уявну частини, маємо:
,cossincos 32
2
14
2
2
4 τττ wbwwbwwbawaw −−=+−
.sincossin 32
2
13
3
1 τττ wbwwbwwbwawa +−−=+ (11)
Додаючи квадрати обох рівнянь (11), маємо:
=+−++++−+ 2
4
2
42
2
3
4
314
2
2
6
2
2
1
8 )2()22()2( awaaawaaaawaaw
,2 2
31
2
3
22
2
42
1 wbbbwbwb −++=
тобто
+−+++−+ 42
1314
2
2
6
2
2
1
8 )22()2( wbaaaawaaw
.0)()22( 2
3
2
4
2
31
2
242
2
3 =−++−−+ bawbbbaaa (12)
Про умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 123
Покладемо 2wz = та введемо позначення
,22,2 2
1314
2
22
2
1 baaaaqaap −++=−=
.,22 2
3
2
431
2
242
2
3 basbbbaaar −=+−−=
Тоді рівняння (12) набуває вигляду:
.0234 =++++ srzqzpzz (13)
Твердження 1. Якщо ,0<s то рівняння (13) має принаймні один до-
датній розв’язок.
Доведення. Позначимо
.)( 234 srzqzpzzzh ++++= (14)
Зрозуміло, що ,0)0( <= sh а ∞=
∞→
)(lim zh
z
.
Звідси випливає, що
існує
),0(0 ∞∈z , при якому ,0)( 0 =zh що й потрібно було показати.
Твердження 2. Якщо ,0≥s та рівняння (13) має додатні дійсні ко-
рені, то
,027/4/ 3
2 ≥+=Δ ηξ (15)
де 2/16/3,4/8/432/18 23 qprpqp +−=+−= ηξ .
Доведення. Із (14) маємо
.234)( 23 rqzpzz
dz
zdh
+++=
Покладемо
.0234 23 =+++ rqzpzz (16)
Тоді три корені рівняння (16) (із врахуванням кратності) можуть бути знай-
дені за формулою Кардано [5]:
.27/4/2/27/4/2/ 3 323 32
3,2,1 ηξξηξξ +−−+++−=z (17)
Причому, беручи послідовно по одному з трьох значень кубічного ко-
реня 3 32 27/4/2/ ηξξα ++−= , потрібно з трьох можливих значень ко-
реня 3 32 27/4/2/ ηξξβ +−−= вибрати те, для якого .3/ηαβ −=
Якщо ,0≤Δ то (16) не має дійсних коренів. Отже, функція )(zh є зрос-
таючою. З умови 0)0( ≥= sh випливає, що рівняння (13) не має додатних
дійсних коренів. Отримали суперечність, що й доводить справедливість
твердження
У випадку, коли ,0≥Δ серед коренів 321 ,, zzz згідно з формулами 17
існує принаймні один, який є локальним мінімумом ).(zh
Позначимо:
.3,1),(minarg* == izhz i
В.П. Марценюк, О.А. Багрій-Заяць
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 124
Твердження 3. Якщо ,0≥s то рівняння (13) має додатні корені тоді
й тільки тоді, коли 0* >z та .0)( * ≥zh
Доведення. Достатність твердження є очевидною. Під час доведення
необхідності скористаємося доведенням від супротивного. Тобто, припус-
тимо, що рівняння (13) має додатні корені, але при цьому або ,0* ≤z або
0* >z та .0)( * ≥zh
Якщо ,0* ≤z то оскільки )(zh є зростаючою при *zz ≥ та
,0)0( ≥= sh то звідси випливає, що )(zh не має додатних дійсних коренів.
Якщо 0* >z та ,0)( * ≥zh то )(zh не має додатних дійсних коренів значен-
ня .*z
Отже, в загальному випадку маємо:
Лема 2. Якщо ,0<s то рівняння (13) має принаймні один додатній ко-
рінь.
Якщо ,0≥s то рівняння (13) має додатні корені тоді і тільки тоді, коли
0* >z та .0)( * ≤zh Якщо ж 0≥s та ,0<Δ то рівняння (13) не має додатніх
коренів.
Припустимо, що рівняння (13) має додатні корені. Не обмежуючи
загальності, припустимо, що воно має чотири додатні корені, які позначимо
відповідно 4321 ,,, zzzz . Тоді рівняння (12) має чотири додатні корені:
,11 zw = .,, 443322 zwzwzw ===
Позначимо
,...1,0,4,3,2,1,)1(2
)(
arcsin1
22
13
22
2
3
3
1)( ==
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+−
−+
+
= jkj
wbbwb
wawa
w
kk
kk
k
j
k πϕτ
Тут ϕ є розв’язком таких рівнянь:
22
13
22
2
2
13
22
13
22
2
2
)(
cos,
)(
sin
kkkk
k
wbbwb
wbb
wbbwb
wb
−+
−
=
−+
−
= ϕϕ .
Тоді, як випливає з другого рівняння (11), kiw± є парами чисто уявних
коренів рівняння (10) при ...,1,0,3,2,1,)( === jkj
kττ . Зрозуміло, що
,lim )( ∞=
∞→
j
kj
τ .3,2,1=k
Отже, означимо
0
0
0 0
)(
1,31
)(
0 },{min k
j
kjk
j
k ww ===
≥≤≤
τττ .
Далі розглянемо гурвіціан
.
000
0
1
001
34
122334
11223
1
ba
bababa
ababa
a
A
+
+++
++
= (18)
Про умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 125
Теорема 1. Припустимо, що всі головні мінори гурвіціана (18) додатні.
Якщо 0≥s та ,0<Δ тоді всі корені рівняння (10) мають від’ємні дійсні ча-
стини при всіх 0≥τ . Якщо 0<s або ,0≥s 0* >z та ,0)( * ≤zh тоді всі ко-
рені рівняння (10) мають від’ємні дійсні частини при ),0[ 0ττ ∈ .
Доведення. При 0=τ рівняння (10) набуває вигляду
0)()()( 3423
2
12
3
1
4 =+++++++ bababaa λλλλ . (19)
За критерієм Рауса-Гурвіца всі корені рівняння (19) мають від’ємні
дійсні частини тоді і тільки тоді, коли всі головні мінори гурвіціана (18) до-
датні.
Якщо 0≥s та ,0<Δ то за лемою 2 рівняння (10) не має коренів із ну-
льовою дійсною частиною для всіх 0≥τ . Коли 0<τ або 0≥s , 0* >z та
,0)( * ≤zh то за лемою 2 маємо, що коли 1,3,2,1,)( ≥=≠ jkj
kττ , то рів-
няння (10) не має коренів із нульовою дійсною частиною й 0τ є мінімаль-
ним значенням τ таким, що рівняння (10) має чисто уявні корені. Згідно
з лемою 1 коренів із додатньою дійсною частиною рівняння (10) при цьому
не має. Теорему доведено.
Доведений вище результат можна переформулювати в термінах коефі-
цієнтів моделі росту патологічного утворення, таким чином отримавши дос-
татню умову стійкості.
Теорема 2. Припустимо, що коефіцієнти моделі росту патологічного
утворення (5) задовольняють умови теореми 1.
Тоді, якщо 0≥s та ,0<Δ то стан рівноваги ),,,( **** mCFV системи
ЗДР (5) є абсолютно стійким (асимптотично стійким для всіх 0≥τ ). Якщо
0<s або ,0≥s 0* >z та ,0)( * ≤zh тоді стан рівноваги ),,,( **** mCFV
системи ЗДР (5) є асимптотично стійким при ),0[ 0ττ ∈ .
Доведення випливає з теореми 1 та теореми про стійкість за першим
наближенням [6].
ЧИСЕЛЬНИЙ ЕКСПЕРИМЕНТ
Проведемо дослідження стійкості стану 0E на конкретному прикладі.
Зауважимо, що дослідження стану 0E визначається значенням .0C Розгля-
немо два випадки.
1. Випадок .00 =C В такому разі TE )0,0,0,0(0 = й дослідження зво-
диться до вивчення коренів характеристичного рівняння четвертого по-
рядку:
,043
2
2
3
1
4 =++++ aaaa λλλλ (20)
де
LfmCa αμμμ −++=1 , mLfLCLfmmCfCa μαμαμαμμμμμμ −−−++=2 ,
)(3 fmCmfCLmfCa μμμμμμαμμμ ++−= , LmfCa αμμμ−=4 .
В.П. Марценюк, О.А. Багрій-Заяць
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 126
Тоді корені рівняння (20) такі:
mμλ −=1 , fμλ −=2 , Cμλ −=3 , Lαλ =4 .
Враховуючи додатність параметрів системи, бачимо, що завжди існує
одне власне значення ,04 >= Lαλ яке вказує на нестійкість стану .0E За-
уважимо, що нестійкість стану 0E у випадку 00 =C вказує на невідворот-
ній ріст патологічного утворення незважаючи на протидію імунної системи.
На рис. 1 показано розв’язки системи (1)–(4) для значень параметрів:
;00396,0=Lα ;14=Lθ ;008,0=Lγ ;1=α ;5,0=Cμ ;17,0=fμ
;10=η ;12,0=mμ ;1=fb ;10=σ ;8=n ;1)( =mξ .00 =C
Якщо в організмі людини в нормі немає специфічних антитіл до даного
виду патологічних клітин )0( 0 =C , то патологічне утворення зростає, а кіль-
кість патологічних клітин збільшується до певної межі насичення.
2. Випадок .00 >C У такому разі ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= 0,,,0 0
00
f
f Cb
CE
μ
й дослідження
зводиться до вивчення коренів характеристичного рівняння четвертого по-
рядку:
,043
2
2
3
1
4 =++++ aaaa λλλλ (21)
де
f
f
LLfmC
Cb
a
μ
γαμμμ 0
1 +−++= ,
+−−−++= mLfLCLfmmCfCa μαμαμαμμμμμμ2
,000
f
f
Lm
f
f
Lf
f
f
LC
CbCbCb
μ
γμ
μ
γμ
μ
γμ +++
,)(0
3 fmCmfC
f
f
LLmfC
Cb
a μμμμμμ
μ
γαμμμ ++⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−+=
L(t)
m(t)
C(t), F(t)
t
Рис. 1. Чисельне моделювання системи (1)–(4) у випадку 00 =C
Про умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 127
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
f
f
LLmfC
Cb
a
μ
γαμμμ 0
4 .
Корені рівняння (21) такі:
mμλ −=1 , fμλ −=2 , Cμλ −=3 ,
f
fLfL Cb
μ
μαγ
λ
+−
= 0
4 .
Бачимо, що власні значення 4,3,2,1,0 =< iiλ у випадку fLfL Cb μαγ >0 ,
що вказує на стійкість стану .0E Зауважимо, що стійкість стану 0E у випад-
ку 00 >C вказує на протидію імунної системи росту патологічного утво-
рення.
На рис. 2 показано розв’язки системи (1)–(4) для значень парамет-
рів:
;00396,0=Lα ;14=Lθ ;008,0=Lγ ;1=α ;5,0=Cμ ;17,0=fμ
;10=η ;12,0=mμ ;1=fb ;10=σ ;8=n ;1)( =mξ .10 =C
Покладемо .1,0=τ Маємо випадок, що відповідає стійкому розв’язку
(рис. 2).
У наступному прикладі покладемо 2=τ (рис. 3). Спостерігається пе-
ріодичний розв’язок.
L(t)
m(t)
C(t)
F(t)
t
Рис. 2. Чисельне моделювання системи (1)–(4) у випадку 10 =C та 1,0=τ
В.П. Марценюк, О.А. Багрій-Заяць
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2013, № 3 128
Якщо в організмі людини в нормі є плазматичні клітини, що виробля-
ють специфічні антитіла до даного виду патологічних клітин ,)0( 0 >C то
імунна система бореться зі ростом патологічного утворення.
Графічне представлення (рис. 2, 3) отриманого результату показує, що
ріст патологічного утворення )(tL зумовлює збільшення кількості антитіл
)(tF із деяким запізненням у часі. Організм бореться з захворюванням і пе-
реводить хворобу в хронічний стан.
За допомогою програмного пакету INTEGRA-POST було здійснене чи-
сельне інтегрування системи (1)–(4) з використанням методу Адамса 4-го
порядку (Свідоцтво про реєстрацію авторського права на твір № 6027,
30.07.2002, Державний департамент інтелектуальної власності МОН
України).
ВИСНОВКИ
Отже, в роботі вивчаються питання стійкості моделей розвитку патологіч-
них утворень на основі динаміки Ріхарда. Вказано шляхи вивчення стійкості
узагальненої моделі динаміки Ріхарда. Досліджено умови локальної асимп-
тотичної стійкості стаціонарного стану, що відповідає відсутності пато-
логічного утворення. Отримано достатні умови асимптотичної стійкості рів-
новажного стану моделі розвитку патологічного утворення в термінах
коефіцієнтів характеристичного рівняння. Проведено чисельний аналіз роз-
робленої моделі, а отримані математичні результати проаналізовано для
конкретних параметрів моделі розвитку патологічного утворення. Показано,
якщо в нормі в організмі людини немає специфічних антитіл до даного виду
патологічних клітин, то патологічне утворення росте, а кількість патологіч-
них клітин збільшується до певної межі насичення, а якщо в організмі лю-
дини в нормі є плазматичні клітини, що виробляють специфічні антитіла до
даного виду патологічних клітин, то імунна система бореться з ростом пато-
логічного утворення
L(t)
m(t)
C(t)
F(t)
t
Рис. 3. Чисельне моделювання системи (1)–(4) у випадку 10 =C та 2=τ
Про умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2013, № 3 129
ЛІТЕРАТУРА
1. Марценюк В.П. Построение и изучение устойчивости модели противоопухоле-
вого иммунитета // Кибернетика и системный анализ. — 2004. — № 5. —
С. 123–130.
2. Марценюк В.П. Об устойчивости в модели иммунной защиты с учетом нару-
шения функционирования органа–мишени: метод вырожденных функцио-
налов Ляпунова // Кибернетика и системный анализ. — 2004. — № 1. —
С. 153–164.
3. Richards F.J. A flexible growth function for empirical use// Journal of experimental
botany. — 1959. — 10 (29). — P. 290–300.
4. Sabatier J.–P., Guaydier–Souquieres Laroche D. Bone Mineral Acquisition During
Adolescence and Early Adulthood: A Study in 574 Healthy Female 10–24 Years
of Age // Osteoporosis Int. — 1996. — 6, № 2. — Р. 141–148.
5. Dieudonne J. Foundation of Modern Analysis. — NY: Academic Press, 1960. —
407 с.
6. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука,
1967. — 472 с.
Надійшла 23.01.2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85102 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1681–6048 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T11:52:55Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Марценюк, В.П. Багрий-Заяць, О.А. 2015-07-19T11:38:06Z 2015-07-19T11:38:06Z 2013 Про умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда / В.П. Марценюк, О.А. Багрий-Заяць // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2013. — № 3. — С. 118-129. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85102 535.242.65 Розглянуто модель розвитку загального патологічного утворення на основі динаміки Ріхарда. Побудовано математичну модель росту патологічного утворення з урахуванням імунної відповіді. Перше рівняння описує зміну кількості клітин патологічного утворення в організмі людини. Друге рівняння описує ріст плазматичних клітин. Третє рівняння описує зміну кількості антитіл, які реагують із рецептором клітин патологічного утворення. Четверте рівняння описує ступінь пошкодження органу. Побудовано конструктивні умови асимптотичної стійкості для моделі розвитку загального патологічного утворення на основі динаміки Ріхарда. Досліджено умови локальної асимптотичної стійкості стаціонарного стану, що відповідає відсутності захворювання. Отримано достатні умови асимптотичної стійкості рівноважного стану моделі розвитку патологічного утворення в термінах коефіцієнтів характеристичного рівняння. Проведено чисельний аналіз розробленої моделі, а отримані математичні результати проаналізовано для конкретних параметрів моделі розвитку патологічного утворення. Рассмотрена модель развития общего патологического образования на основе динамики Рихарда. Построена математическая модель роста патологического образования с учетом иммунного ответа. Первое уравнение описывает изменение количества клеток патологического образования в организме человека. Второе уравнение описывает рост плазматических клеток. Третье уравнение описывает изменение количества антител, которые реагируют с рецептором клеток патологического образования. Четвертое уравнение описывает степень повреждения органа. Построены конструктивные условия асимптотической устойчивости для модели развития общего патологического образования на основе динамики Рихарда. Исследованы условия локальной асимптотической устойчивости стационарного состояния, который соответствуют отсутствию заболевания. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости равновесного состояния модели развития патологического образования в терминах коэффициентов характеристического квазиполинома. Проведен численный анализ разработанной модели, а полученные математические результаты проанализированы для конкретных параметров модели развития патологического образования. The model of common pathological formation development on the basis of Richard’s dynamic is considered. A mathematical model of pathological formation growth process taking into account the immune response is built. The first equation describes the change of cell number of pathological formation in human body. The second equation describes plasma cells growth. The third equation describes the change of number of antibodies that react with receptor cells of pathological formation. The fourth equation describes the extent of organ damage. Structural conditions of asymptotic stability for the model of general pathological formation growth based on Richard dynamic is built. The conditions of local asymptotic stability of the stationary state corresponding to the absence of disease is investigated. Sufficient conditions for asymptotic stability of equilibrium models of pathological formation in terms of the coefficients of the characteristic quazipolynomian is obtained. The numerical analysis of the developed model is carried out, and the resulting math results for specific parameters of the model of the pathological entity are analyzed. uk Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності Про умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда Об условиях асимптотической устойчивости в моделях роста патологических образований на основе динамики Рихарда On conditions for asymptotic stability in models of pathological entities growth based on the Richard’s dynamic Article published earlier |
| spellingShingle | Про умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда Марценюк, В.П. Багрий-Заяць, О.А. Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності |
| title | Про умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда |
| title_alt | Об условиях асимптотической устойчивости в моделях роста патологических образований на основе динамики Рихарда On conditions for asymptotic stability in models of pathological entities growth based on the Richard’s dynamic |
| title_full | Про умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда |
| title_fullStr | Про умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда |
| title_full_unstemmed | Про умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда |
| title_short | Про умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда |
| title_sort | про умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки ріхарда |
| topic | Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності |
| topic_facet | Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85102 |
| work_keys_str_mv | AT marcenûkvp proumoviasimptotičnoístíikostívmodelâhrostupatologíčnihutvorenʹnaosnovídinamíkiríharda AT bagriizaâcʹoa proumoviasimptotičnoístíikostívmodelâhrostupatologíčnihutvorenʹnaosnovídinamíkiríharda AT marcenûkvp obusloviâhasimptotičeskoiustoičivostivmodelâhrostapatologičeskihobrazovaniinaosnovedinamikiriharda AT bagriizaâcʹoa obusloviâhasimptotičeskoiustoičivostivmodelâhrostapatologičeskihobrazovaniinaosnovedinamikiriharda AT marcenûkvp onconditionsforasymptoticstabilityinmodelsofpathologicalentitiesgrowthbasedontherichardsdynamic AT bagriizaâcʹoa onconditionsforasymptoticstabilityinmodelsofpathologicalentitiesgrowthbasedontherichardsdynamic |