Деформирование волокнистого материала c ортотропными компонентами при микроповреждаемости волокна
Викладається теорiя мiкропошкодженостi волокнистих матерiалiв з ортотропними компонентами. Мiкроруйнування моделюються порожнiми порами. Критерiй руйнування в мiкрооб’ємi приймається у формi Губера–Мiзеса, де границя мiцностi є випадковою функцiєю координат з степеневим розподiлом або розподiлом Вей...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8511 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Деформирование волокнистого материала c ортотропными компонентами при микроповреждаемости волокна / Л. B. Назаренко // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 66-72. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860244477542662144 |
|---|---|
| author | Назаренко, Л.B. |
| author_facet | Назаренко, Л.B. |
| citation_txt | Деформирование волокнистого материала c ортотропными компонентами при микроповреждаемости волокна / Л. B. Назаренко // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 66-72. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Викладається теорiя мiкропошкодженостi волокнистих матерiалiв з ортотропними компонентами. Мiкроруйнування моделюються порожнiми порами. Критерiй руйнування в мiкрооб’ємi приймається у формi Губера–Мiзеса, де границя мiцностi є випадковою функцiєю координат з степеневим розподiлом або розподiлом Вейбулла. Напружено-деформований стан визначається на основi стохастичних рiвнянь теорiї пружностi для матерiалiв з ортотропними компонентами. Замикання рiвнянь деформування та пошкоджуваностi здiйснюється на основi рiвняння балансу пористостi компонентiв. Побудовано нелiнiйнi залежностi сумiсних процесiв деформування таких матерiалiв вiд макродеформацiй.
A model of nonlinear deformation of stochastic composites under microdamaging is developed for the case of a fibrous composite with orthotropic components, when the microdamages are accumulated in fibers. Fractured microvolumes are modeled by a system of randomly distributed quasispherical pores. The porosity balance equation and relations for determining the effective elastic moduli in the case of orthotropic components are taken as basic relations. The fracture criterion is assumed to be given as the limit value of the intensity of average shear stresses occurring in the undamaged part of the material. Using the numerical solution, the nonlinear stress-strain diagrams for an orthotropic composite in the case of uniaxial tension are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:34:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2009
Л. B. Назаренко
Деформирование волокнистого материала
c ортотропными компонентами
при микроповреждаемости волокна
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Л.П. Хорошуном)
Викладається теорiя мiкропошкодженостi волокнистих матерiалiв з ортотропними
компонентами. Мiкроруйнування моделюються порожнiми порами. Критерiй руйнува-
ння в мiкрооб’ємi приймається у формi Губера–Мiзеса, де границя мiцностi є випадковою
функцiєю координат з степеневим розподiлом або розподiлом Вейбулла. Напружено-де-
формований стан визначається на основi стохастичних рiвнянь теорiї пружностi для
матерiалiв з ортотропними компонентами. Замикання рiвнянь деформування та по-
шкоджуваностi здiйснюється на основi рiвняння балансу пористостi компонентiв. По-
будовано нелiнiйнi залежностi сумiсних процесiв деформування таких матерiалiв вiд
макродеформацiй.
1. Теория совместных процессов деформирования и кратковременной микроповреждаемос-
ти однородных [1, 2] и композитных материалов с изотропными [3–8] и трансверсаль-
но-изотропными компонентами [9] основана на моделировании рассеянных единичных
микроповреждений квазисферическими микропорами, пустыми или заполненными части-
цами разрушенного материала. Это дает возможность описывать деформирование та-
ких материалов на основе механики стохастически неоднородных сред с применени-
ем теории эффективных модулей. Описание процесса образования и накопления микро-
разрушений при нагружении материала базируется на использовании критерия раз-
рушения микрообъема в виде предельного значения определенной комбинации напря-
жений в микроточке типа Губера–Мизеса или Шлейхера–Надаи [10] и формулирова-
нии уравнения баланса разрушенных микрообъемов, исходя из общих свойств функции
распределения предела микропрочности микрообъема, являющегося случайной функ-
цией координат. Это дает возможность построить замкнутую систему уравнений, опи-
сывающих совместные процессы деформирования и кратковременной микроповреждае-
мости.
В настоящей работе данная модель обобщается на случай кратковременной поврежда-
емости волокнистого композитного материала с ортотропными компонентами при микро-
повреждаемости волокна. Построены нелинейные диаграммы макродеформирования ком-
позита.
2. Рассмотрим композитный материал, представляющий собой матрицу, армированную
однонаправленными бесконечными волокнами. Предполагается, что компоненты обладают
ортотропной симметрией упругих свойств, причем в процессе нагружения в волокне возни-
кают микроразрушения, которые будем моделировать случайно расположенными пустыми
микропорами квазисферической формы. Будем считать, что заданы макродеформации ком-
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
позита 〈εkl〉, тогда макронапряжения в композите 〈σij〉 связаны с ними следующими соот-
ношениями:
〈σij〉 = λ∗
ijkl〈εkl〉. (1)
Здесь λ∗
ijkl — тензор эффективных упругих модулей, который определяется [11] как функ-
ция тензора упругих модулей поврежденных компонентов λ
[1]
ijkl, λ
[2]
ijkl, объемного содержания
включений c1 и параметра, характеризующего эллипсоидальное волокно t2, т. е.
λ∗
ijkl = λ∗
ijkl(λ
[1]
mnpq, λ
[2]
mnpq, c1, t2),
t2 =
t2
t1
,
(2)
где t1, t2 — размеры полуосей эллипсоида в направлении осей x1, x2; индексы 1 и 2 сверху
обозначают соответственно включения и матрицу.
Тензоры модулей упругости поврежденных компонентов λ[1]
mnpq, λ[2]
mnpq определяются [12]
через тензоры модулей упругости скелетов компонентов λ1
ijkl, λ2
ijkl и их пористости p1, p2,
характеризующие поврежденность, т. е.:
λ[1]
mnpq = λ[1]
mnpq(λ
1
ijkl, p1),
λ[2]
mnpq = λ[2]
mnpq(λ
2
ijkl, p2).
(3)
Зная эффективные модули упругости и макродеформации композита, мы можем опре-
делить деформации в волокне композита посредством соотношений
〈εkl|1〉 =
(
Iklpq +
1
c1
(λ∗
klmn − 〈λklmn〉)(λ
[3]
mnpq)
−1
)
〈εpq〉. (4)
Здесь
〈λklmn〉 = c1λ
[1]
klmn + c2λ
[2]
klmn;
λ[3]
mnpq = λ[1]
mnpq − λ[2]
mnpq.
(5)
Средние напряжения в волокне 〈σij |1〉 связаны с его средними деформациями 〈εkl|1〉
следующим образом:
〈σij |1〉 = λ
[1]
ijkl
〈εkl|1〉. (6)
Средние по скелету волокна напряжения 〈σ1
ij〉 связаны со средними напряжениями
〈σij|1〉 зависимостями
〈σ1
ij〉 =
1
1 − p01
〈σij |1〉, (7)
где p01 — начальная пористость волокна, и тогда на основании (1), (4)–(6) средние по ске-
лету волокна напряжения 〈σ1
ij〉 могут быть определены через макродеформации всего ком-
позита:
〈σ1
ij〉 =
1
1 − p01
λ
[1]
ijmn
(
Iklpq +
1
c1
(λ∗
klmn − 〈λklmn〉)(λ
[3]
mnpq)
−1
)
〈εpq〉. (8)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 67
Для случая, когда процесс накопления повреждений происходит в волокнах, примем
критерий кратковременного разрушения в микрообъеме неповрежденной части материала
матрицы в форме Губера–Мизеса [9]
I1
〈σ〉 = (〈σ1
ij〉
′〈σ1
ij〉
′) = k1, (9)
где 〈σ1
ij〉
′ — девиатор средних по неповрежденной части материала волокна напряже-
ний; k1 — предельное значение инварианта I1
〈σ〉, являющееся случайной функцией коор-
динат.
Одноточечную функцию распределения F (k1) параметра k1 можно описывать экспо-
ненциально-степенным законом на полубесконечном интервале распределением Вейбул-
ла [1]:
F (k1) =
{
0, k1 < k01,
1 − exp(−m1(k1 − k01)
α1), k1 > k01.
(10)
Здесь k01 — минимальная величина предельного значения k1, с которого начинается разру-
шение в некоторых микрообъемах материала волокон; m1, α1 — постоянные, характеризу-
ющие разброс микропрочности в материале.
Примем, что случайное поле предела микропрочности k1 является статистически одно-
родным, что характерно для реальных материалов, а размеры единичных микроразруше-
ний и расстояний между ними пренебрежимо малы по сравнению с размерами рассма-
триваемого макрообъема материала. Тогда имеет место свойство эргодичности, согласно
которому функция распределения F (k1) определяет относительное содержание неразру-
шенной части материала волокна, где предел микропрочности меньше соответствующего
значения k1. Поэтому при ненулевых напряжениях 〈σ1
ij〉 функция I1
〈σ〉 определяет, согла-
сно (8), (9), относительное содержание мгновенно разрушенных микрообъемов материала
волокна. Так как разрушенные микрообъемы моделируются порами, то, принимая началь-
ную пористость волокна равной p01, можем записать уравнение баланса разрушенных мик-
рообъемов [1]:
p = p01 + F (I1
σ)(1 − p01). (11)
Тогда на основании уравнений (1)–(10) напряжения по скелету волокна 〈σ1
ij〉 могут быть
определены через макродеформации всего композита 〈εkl〉. Подставляя (8) в (10), получаем
систему уравнений для определения пористости волокна p1, как функции макродеформа-
ций:
p1 = p1(〈εkl〉). (12)
Подставляя затем p1 вместо p01 в уравнения (2)–(9), получаем нелинейные зависимости
между макронапряжениями 〈σij〉 и макродеформациями 〈εkl〉 композита.
3. Итерационную схему решения трансцендентного уравнения, которое описывается со-
отношениями (1)–(10), можно представить следующим образом:
пористость волокна в n-м приближении p
(n)
1 связана с предельным значением ин-
тенсивности средних касательных напряжений в каркасе материала в n-м приближении
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
k
(n)
1 , т. е. с интенсивностью средних касательных напряжений скелета в n-м приближе-
нии I
1(n)
〈σ〉
;
интенсивность средних касательных напряжений скелета связана с текущей пористо-
стью матрицы в (n − 1)-м приближении p
(n−1)
1 , эффективными упругими модулями всего
композита в (n − 1)-м приближении λ
∗(n−1)
ij и макродеформациями 〈εkl〉, согласно соотно-
шениям (4)–(9);
эффективные упругие модули также связаны с текущей пористостью матрицы в (n−1)-м
приближении p
(n−1)
1 в соответствии с формулами (2), (3).
Таким образом, на основании выражений (11) находим
p
(n)
1 = p01 + (1 − p01)F (k
(n)
1 ), (13)
где k
(n)
1 определяется соотношением
k
(n)
1 = I
1(n)
〈σ〉 . (14)
Здесь принимаем распределение Вейбулла
F (k
(n)
1 ) =
{
0, k
(n)
1 < k01,
1 − exp(−m1(k
(n)
1 − k01)
α1), k
(n)
1 > k01.
(15)
Согласно соотношениям (4)–(8), имеем
I
1(n)
〈σ〉 = I
1(n)
〈σ〉 (λ
∗(n−1)
ijkl , p
(n−1)
1 , 〈εkl〉), (16)
причем из соотношений (2)–(10) следует
λ
∗(n−1)
ijkl = λ∗
ijkl(λ
1
mnpq, λ
2
mnpq, c1, p
(n−1)
1 , t2). (17)
Таким образом, уравнения (2)–(16) позволяют определить эффективные упругие харак-
теристики изотропного материала, армированного бесконечными ортотропными волокнами
в зависимости от макродеформаций, согласно равенству
λ∗
ijkl = lim
n→∞
λ
∗(n)
ijkl . (18)
Задавая макродеформации, которым подвергается материал, и определив его эффектив-
ные упругие характеристики, на основании выражений (1)–(10) можно вычислить макро-
напряжения.
4. Используя изложенную методику и полученные соотношения баланса пористости,
в качестве примера, построим нелинейную диаграмму макродеформирования и исследуем
поведение композита на основе изотропной матрицы с ортотропными эллипсоидальными
волокнами для одноосногоо растяжения
〈ε33〉 6= 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 69
Рис. 1. Зависимости повреждаемости p1 от макродеформации 〈ε33〉 в волокнистом ортотропном композите
при микроразрушениях волокна и различных значениях параметра m1 функции прочности F (k1) и началь-
ной пористости волокна p01
Рассмотрим случай, когда накопление повреждений происходит в волокне рассматри-
ваемого композитного материала. В качестве включений и матрицы взяты соответственно
топаз и эпоксидная смола с характеристиками неповрежденной части
λ1
11 = 287 ГПа, λ1
22 = 365 ГПа, λ1
33 = 300 ГПа,
λ1
23 = 90 ГПа, λ1
13 = 85 ГПа, λ1
12 = 128 ГПа,
λ1
44 = 110 ГПа, λ1
55 = 135 ГПа, λ1
66 = 133 ГПа,
E2 = 3 ГПа, ν2 = 0,35,
(19)
объемной концентрации включений, начальных пор в матрице и форме эллипсоидального
волокна
c1 = 0,6, p01 = 0; 0,2; 0,4, t2 = 2,
при заданных параметрах функции распределения микропрочности волокна
α1 = 6, m1 = 103; 104, k01 = 0,4 ГПа.
На рис. 1, 2 показаны кривые зависимостей соответственно повреждаемости p1 от мак-
родеформации 〈ε33〉, макронапряжений 〈σ11〉, 〈σ22〉 и 〈σ33〉 от макродеформации 〈ε33〉 для
различных значений параметров p01 и m1, а также без учета разброса микропрочности
(предполагается, что k1 является постоянной величиной, равной k01). Сплошной линией
обозначены кривые, не учитывающие разброс микропрочности, штриховой — кривые, учи-
тывающие разброс микропрочности с параметрами α1 = 6, m1 = 103, пунктирной линией —
кривые, учитывающие разброс микропрочности с параметрами α1 = 6, m1 = 104. До момен-
та возникновения повреждений все три кривые совпадают. Из графиков видно, что кривые,
учитывающие разброс микропрочности, являются более гладкими, без изломов, причем,
варьируя параметры m1 и α1 для каждого конкретного материала, теоретическую кривую
макродеформирования можно максимально приблизить к экспериментальной. Кроме того,
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
Рис. 2. Зависимости макронапряжения 〈σ11〉 (а), 〈σ22〉 (б ), 〈σ33〉 (в) от макродеформации 〈ε33〉 в волокнистом
ортотропном композите при микроразрушениях волокна и различных значениях параметра m1 функции
прочности F (k1) и начальной пористости волокна p01
из графиков также видно, что кривые, полученные без учета разброса микропрочности,
не учитывают влияния начальной пористости p01 на поведение материала после начала
образования микротрещин. Из рисунков также следует, что диаграммы макродеформиро-
вания, в которых учитывался разброс микропрочности, существенно зависят от начальной
пористости.
1. Khoroshun L.P. Principles of the micromechanics of material damage. 1. Short-term damage // Int. Appl.
Mech. – 1998. – 34, No 10. – P. 120–127.
2. Khoroshun L. P., Nazarenko L.V. Model of short-term damaging of transversally isotropic materials //
Ibid. – 2001. – 37, No 1. – P. 74–83.
3. Desrumaux F., Meraghni F., Benzeggagh L. Generalised Mori–Tanaka scheme to model anisotropic damage
using numerical eshelby tensor // J. of Composite Material. – 2001. – 35, No 7. – P. 603–623.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 71
4. Khoroshun L.P., Shikula E.N. Deformation of composite material under microdestructions // Int. Appl.
Mech. – 1996. – 32, No 6. – P. 52–58.
5. Khoroshun L. P., Shikula E.N. Effect of the spread of strength characteristics on the deformation of granular
composite under microdestructions // Ibid. – 1997. – 33, No 8. – P. 39–45.
6. Khoroshun L.P., Shikula E.N. To theory of short-term microdestructions of composite materials of granular
structure under temperature influences // Ibid. – 2002. – 38, No 1. – P. 79–87.
7. Khoroshun L. P., Shikula E.N. Short-term microdestructions of fibrous materials with transversally isotro-
pic fibers under temperature influences // Ibid. – 2002. – 38, No 6. – P. 74–83.
8. Khoroshun L.P., Shikula E.N. Short-term microdamageability of a fibrous composites with physically
nonlinear matrix and microdamaged reinforcement // Ibid. – 2006. – 42, No 2. – P. 127–135.
9. Khoroshun L. P., Nazarenko L.V. Deformation and microdamaging of discretely-fibrous composites with
transversally-isotropic components // Int. Appl. Mech. – 2003. – 39, No 6. – P. 696–703.
10. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. – Москва: Наука, 1974. – 311 с.
11. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Шикула Е.Н., Назаренко Л.В. Статистическая механика и эффектив-
ные свойства материалов. – Киев: Наук. думка, 1993. – 390 с. – (Механика композитов: в 12-ти т.
Т. 3).
12. Nazarenko L.V. Thermoelastic properties of orthotropic porous materials // Int. Appl. Mech. – 1997. –
33, No 2. – P. 114–122.
Поступило в редакцию 04.08.2008Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
L.V. Nazarenko
Deformation of fibrous materials with orthotropic components under
fiber microdamages
A model of nonlinear deformation of stochastic composites under microdamaging is developed
for the case of a fibrous composite with orthotropic components, when the microdamages are
accumulated in fibers. Fractured microvolumes are modeled by a system of randomly distributed
quasispherical pores. The porosity balance equation and relations for determining the effective
elastic moduli in the case of orthotropic components are taken as basic relations. The fracture
criterion is assumed to be given as the limit value of the intensity of average shear stresses occurri-
ng in the undamaged part of the material. Using the numerical solution, the nonlinear stress-strain
diagrams for an orthotropic composite in the case of uniaxial tension are obtained.
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8511 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:34:45Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Назаренко, Л.B. 2010-06-04T14:54:00Z 2010-06-04T14:54:00Z 2009 Деформирование волокнистого материала c ортотропными компонентами при микроповреждаемости волокна / Л. B. Назаренко // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 66-72. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8511 539.3 Викладається теорiя мiкропошкодженостi волокнистих матерiалiв з ортотропними компонентами. Мiкроруйнування моделюються порожнiми порами. Критерiй руйнування в мiкрооб’ємi приймається у формi Губера–Мiзеса, де границя мiцностi є випадковою функцiєю координат з степеневим розподiлом або розподiлом Вейбулла. Напружено-деформований стан визначається на основi стохастичних рiвнянь теорiї пружностi для матерiалiв з ортотропними компонентами. Замикання рiвнянь деформування та пошкоджуваностi здiйснюється на основi рiвняння балансу пористостi компонентiв. Побудовано нелiнiйнi залежностi сумiсних процесiв деформування таких матерiалiв вiд макродеформацiй. A model of nonlinear deformation of stochastic composites under microdamaging is developed for the case of a fibrous composite with orthotropic components, when the microdamages are accumulated in fibers. Fractured microvolumes are modeled by a system of randomly distributed quasispherical pores. The porosity balance equation and relations for determining the effective elastic moduli in the case of orthotropic components are taken as basic relations. The fracture criterion is assumed to be given as the limit value of the intensity of average shear stresses occurring in the undamaged part of the material. Using the numerical solution, the nonlinear stress-strain diagrams for an orthotropic composite in the case of uniaxial tension are obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Деформирование волокнистого материала c ортотропными компонентами при микроповреждаемости волокна Deformation of fibrous materials with orthotropic components under fiber microdamages Article published earlier |
| spellingShingle | Деформирование волокнистого материала c ортотропными компонентами при микроповреждаемости волокна Назаренко, Л.B. Механіка |
| title | Деформирование волокнистого материала c ортотропными компонентами при микроповреждаемости волокна |
| title_alt | Deformation of fibrous materials with orthotropic components under fiber microdamages |
| title_full | Деформирование волокнистого материала c ортотропными компонентами при микроповреждаемости волокна |
| title_fullStr | Деформирование волокнистого материала c ортотропными компонентами при микроповреждаемости волокна |
| title_full_unstemmed | Деформирование волокнистого материала c ортотропными компонентами при микроповреждаемости волокна |
| title_short | Деформирование волокнистого материала c ортотропными компонентами при микроповреждаемости волокна |
| title_sort | деформирование волокнистого материала c ортотропными компонентами при микроповреждаемости волокна |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8511 |
| work_keys_str_mv | AT nazarenkolb deformirovanievoloknistogomaterialacortotropnymikomponentamiprimikropovreždaemostivolokna AT nazarenkolb deformationoffibrousmaterialswithorthotropiccomponentsunderfibermicrodamages |