Integration of a rational fraction of a special kind
In the paper new representations for the functions cosⁿx and sinⁿx are obtained, which are effective for evaluation of many integrals, especially Kn=∫(x²+a²)⁻ⁿdx . It is found a primitive of the integral Kn in the explicit form, while in the mathematical analysis this integral is calculated by mean...
Saved in:
| Published in: | Искусственный интеллект |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85124 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Integration of a rational fraction of a special kind / L.P. Mironenko // Искусственный интеллект. — 2013. — № 4. — С. 253–258. — Бібліогр.: 5 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860206077213147136 |
|---|---|
| author | Mironenko, L.P. |
| author_facet | Mironenko, L.P. |
| citation_txt | Integration of a rational fraction of a special kind / L.P. Mironenko // Искусственный интеллект. — 2013. — № 4. — С. 253–258. — Бібліогр.: 5 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Искусственный интеллект |
| description | In the paper new representations for the functions cosⁿx and sinⁿx are obtained, which are effective for evaluation of many integrals, especially Kn=∫(x²+a²)⁻ⁿdx . It is found a primitive of the integral Kn in the explicit form, while in the mathematical analysis this integral is calculated by means of a recurrent equation. Besides, the received representation gives new representation of Wallace’s formula.
У статті отримано представлення для функцій cosⁿx і sinⁿx , які ефективні для обчислення інтегралів вигляду Kn=∫(x²+a²)⁻ⁿdx. Знайдена первісна інтегралу Kn в явному вигляді, тоді як у математичному аналізі інтеграл обчислюють за допомогою рекурентного співвідношення. Крім того, представлення використано для отримання нового представлення формули Валіса.
В статье получены представления для функций cosⁿx и sinⁿx, которые оказались эффективными для вычисления интегралов вида Kn=∫(x²+a²)⁻ⁿdx. Найдена первообразная интеграла Kn в явном виде, в то время как в математическом анализе этот интеграл вычисляется с помощью рекуррентного соотношения. Кроме того, полученное представление дает новое представление формулы Валлиса.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:12:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561-5359 «Штучний інтелект» 2013 № 4 253
4M
УДК 514.116
L.P. Mironenko
Donetsk National Technical University, Ukraine
Ukraine, 83000, с. Donetsk, Аrtema st., 58
Integration of a Rational Fraction of a Special Kind
Л.П. Мироненко
Донецкий национальный технический университет, Украина
Украина, 83000, г. Донецк, ул. Артема, 58
Интегрирование рациональной дроби специального вида
Л.П. Мироненко
Донецький національний технічний університет, Україна
Україна, 83000, м. Донецьк, вул. Артема, 58
Інтегрування рацiонального дробу спецiального вигляду
In the paper new representations for the functions cos n x and sin n x are obtained, which are effective for
evaluation of many integrals, especially 2 2( ) n
nK x a dx . It is found a primitive of the integral nK in
the explicit form, while in the mathematical analysis this integral is calculated by means of a recurrent equation.
Besides, the received representation gives new representation of Wallace’s formula.
Keywords: integral, rational fraction, sine, cosine, identity, primitive.
В статье получены представления для функций sin n x и cos n x , которые оказались эффективными
для вычисления интегралов вида 2 2( ) n
nK x a dx . Найдена первообразная интеграла nK в явном
виде, в то время как в математическом анализе этот интеграл вычисляется с помощью рекуррентного
соотношения. Кроме того, полученное представление дает новое представление формулы Валлиса.
Ключевые слова: интеграл, рациональная дробь, синус, косинус, тождество, первообразная.
У статті отримано представлення для функцій sin n x і cosn x , які ефективні для обчислення інтегралів
вигляду 2 2( ) n
nK x a dx . Знайдена первісна інтегралу nK в явному вигляді, тоді як у
математичному аналізі інтеграл обчислюють за допомогою рекурентного співвідношення. Крім того,
представлення використано для отримання нового представлення формули Валіса.
Ключові слова: інтеграл, раціональний дріб, синус, косинус, тотожність, первісна.
Introduction
Integration of the fraction of the kind [ 0
4
, ,
)(
2
2
qpNndt
qptt
NMt
n
presents the
well-known problem in mathematical analysis [1]. After the appropriate replacement of a
variable and the transformation of the numerator of the fraction the problem is reduced to
the integral nK :
nn ax
dxK
)( 22 , 1n . (1)
In the case 1n integration is not a problem. It is the tabular integral:
C
a
ta
ata
dtK
tan1
221 .
Mironenko L.P.
«Искусственный интеллект» 2013 № 4 254
4M
In the general case the integral (1) is calculated by means of a recurrent equality [1-3] in
which nK is expressed by 1nK .
121222 )1(2
32
))(1(2
K
aata
tK . (2)
Knowing 1K we find from the recursion (2) the next
integral 122222 2
1
)(2
K
aata
tK
. And from 2K we will find 3K and so on.
In the paper we will consider other way of evaluation of the integral K . For this
purpose we introduce some important and useful equalities. It will be done in the next
section.
1. A new representation of the functions xncos and xnsin .
Let's consider the problem of expressing of the functions xncos and xnsin by a linear
combination of the functions kxcos and kxsin .
For this Euler’s formula xixeix sincos can be used. Thus, for cosine function
xcos we have the following representation 2/)(cos ixix eex , where i is imaginary
unit. Then, .1
22
1cos 2 nix
n
nix
nixix
n
n eeeex
Applying Newton's binomial
,
0
knk
n
k
k
n
n baCba
where –
)!(!
!
knk
nC k
n
are binomial factors [4-5], we will receive
).)2( sin)2( (cos
2
1
2
1
2
cos
0
)2(
0
)(2
0
knxiknxCeCeCex
n
k
k
nn
knix
n
k
k
nn
knix
n
k
k
nn
nix
n
Now we will show the last term is null:
02 sin
0
knxC
n
k
k
n . (3)
At 2/nk it is obvious. For 2/nk because to the property kn
n
k
n CC of the factors k
nC
to everyone k in the sum (3) there is existed the same term of opposite on a sign.
As a result we will receive a simple formula:
0
1cos cos 2 ,
2
n
n k
nn
k
x C n k x
(4)
This representation can be considered as a generalization of the formula
2/)2cos1(cos2 xx for any kn 2 . Really, in the case 2n from (4) the well-known
formula is followed .
2
2cos122 cos
2
1cos
2
0
22
2 xxkCx
k
k
Let’s move out from the sum (4) the term with / 2k n :
.2 cos
2
1
2
cos
2/
0
2/
xknCCx
n
nk
k
k
nnn
n
nn
(5)
The term with 2/nk corresponds to a case when a value of the cosine function is unit.
Integration of a rational fraction of a special kind
«Штучний інтелект» 2013 № 4 255
4M
The next step is to get the expression for xnsin like to (4) - (5). We will transform the
function ieex ixix 2/)(sin which follows from Euler’s formula like the cosine function:
.)1(
2
1)1(
2
1
2
sin 2
0
2
0
2 knix
n
k
kk
nnn
knxi
n
k
kk
nnn
ixn
nxi
nn
ixn
n eC
i
eC
i
ee
i
ex
Let’s represent imaginary unit i in the exponential form 2/iei and after this we will apply
Euler’s formula
,)1(
2
1)1(
2
1sin 2
2
0
2
0
2
inknitn
k
kk
nn
knit
n
k
kk
n
in
n
n eCeCet
2
2 cos 2 sin 2 .
2 2
it n k in
e t n k n i t n k n
It is not difficult to show 0
2
2sin)1(
0
nkntC
n
k
kk
n . Therefore, there is a similar formula
as (4) only for xnsin :
2
2 cos)1(
2
1sin
0
nknxCx k
n
k
n
k
n
n . (6)
This formula can be considered as a generalization of the formula for 2/)2cos1(sin 2 xx
for any kn 2 .
.
2
2cos122cos)1(
2
122 cos)1(
2
1sin
2
0
2
1
2
2
0
22
2 xkxCkxCx
k
kk
k
kk
We can move out the term with 2/nk from the sum (6) like we did it for the cosine
function:
.
2
2 cos)1(
2
1
2
cos
2
)1(sin
2/
0
2/2/
nknxCnCx k
n
k
n
nk
k
nn
n
n
n
n
(7)
Let’s consider some properties of the formulas (4) - (7). First of all, we will write
down the equalities for even and odd values of n . When mn 2 is an even number the for-
mula (5) looks as follows:
,2 cos
2
1
2
cos
2
0
222
22 xkmCCx
m
mk
k
k
mmm
m
mm
Using the property km
m
k
m CC 2
22 of binomial factors we will get:
.2 cos
2
1
2
cos
1
0
2122
22 xkmCCx
m
k
k
mmm
m
mm
(8)
If the number 12 mn is odd the property of symmetry of binomial factors gives the equality:
2 1
2 12
0
1cos cos 2 1 2 .
2
m
m k
mm
k
x C m k x
(9)
Similar formulas we will receive for a sine function:
1
2 2
22 2 1
0
1sin ( 1) cos 2 ,
2 2
m m
m k m km
mm m
k
Cx C m k x
(10)
2 1
2 12
0
1sin ( 1) sin 2 1 2 .
2
m
m k m k
mm
k
x C x m k
(11)
Mironenko L.P.
«Искусственный интеллект» 2013 № 4 256
4M
Here the equality xmx m sin1
2
12cos
was used.
2 The integral nK
Now we return to the In integral nK (1) in which we will make the substitution
tant a x , ,cos 2 xdxadt xaat nnn 2222 cos)( . The result we will write down in terms
of the variable t again:
tdt
a
K n
nn
)1(2
12 cos1
. (12)
In the integral (12) we will substitute the expression (8):
.12cos
2
1
2
cos1 2
0
)1(2123212)1(2
1
)1(2)1(2
12
dttknC
a
dt
a
C
tdt
a
K
n
k
k
nnnnn
n
nn
nn
Integration becomes a very simple:
.
1
)1((2sin
2
1 2
0
)1(2
1
)1(212)1(2 C
kn
kntCtC
a
K
n
k
k
n
n
nnnn
(13)
This is one of the main result of the paper. Comparison of the formula (13) with the
recursion (2) allows to make a conclusion on some advantage of our theory. For example,
if there will be a necessity to calculate a definite integral (especially at 1n ) it easier to
make it using the formula (13), instead of (2).
Besides, our approach allows to continue logically researches and to receive, for
example, Wallice’s formula, meanwhile it is impossible to do by of the classical method.
Some sequence values of nK are given bellow according toour theory.
,2sin2
4
1
)1(2
1(2sin
2
1
3
1
2
2
1,0
2322 Ctt
a
tC
k
ktC
a
K
kk
k
Cttt
a
tC
k
ktC
a
K
kk
k
2sin84sin12
32
1
)2(2
2(2sin
2
1
5
2
4
4
2,0
4543
etc.
3. Integrals nI and nJ . Wallace’s formula
Let's apply the theory to the integrals
/2
0
cosn
nI tdt
/2
0
sin n
nJ tdt
. We use the
representations of the functions xncos in the forms (8) – (9) and the functions xnsin in the
forms (10) – (11). For the function (8) we take into account 02cos
2/
0
tkmdt
.
,
2
2cos
2
1
2 212
2/
0
1
0
212
2/
0
2
2
2
m
mm
m
k
k
mmm
m
m
m CtkmdtCdtCI
.
2122
1
212
2
212sin
2
1212cos
2
1 12
0
2
0
122
2/
00
12212 km
C
km
km
CtkmdtCI
k
m
m
k
m
m
k
k
mm
m
k
k
mmm
Integration of a rational fraction of a special kind
«Штучний інтелект» 2013 № 4 257
4M
For function (10) we also to take into account equality 02cos
2/
0
tkmdt
.
.
2
2cos)1(
2
1
2 212
2/
0
1
0
212
2/
0
2
2
2
m
mm
m
k
k
m
mk
mm
m
m
m CtkmdtCdtCJ
It is not wonder, that, mm JI 22 . The equality follows from the obvious geometrical equa-
lity
/2 /2
0 0
cos sinn ntdt tdt
. At last,
.
212
)1(
2
1
212
12/cos)1(
2
1
212
12/212cos)1(
2
1212sin)1(
2
1
12
0
212
0
2
12
0
2
2/
0
12
0
212
km
C
km
kmC
km
kmCtkmdtCJ
k
m
mkm
k
m
k
m
mk
m
k
m
k
m
mk
m
k
m
k
m
mk
m
k
mm
Integration of the obvious inequality 2 1 2 2 1sin sin sinn n nx x x over the interval,
[0, ]
2
x
yields the integral inequalities:
12212 mmm III . (14)
We use the formulas for the integral nI in the cases 2 1 2 2 1, ,m m mI I I :
xxx nnn 12212 sinsinsin
,
(15)
that is equavivalent to the expanded form:
11
2 1 2 1
0 02 2
( 1) ( 1)1 4 .
2 1 2 2 2 1 2
m k k m k km m
m m
m m
k km m
C C
C m k C m k
For example, 1m ,42,6674
3
8
2m
9
32
45
128 3,5562,844 etc.
The sequence of integrals monotonously }{ mI decreases, and 0lim
mm
I . From here
follows, that there is a limit:
2 1
02
( 1)1lim
2 2 1 2
m k km
m
mm km
C
C m k
. (16)
Let’s compare this formula with Wallace’s formula [1]
2
)!12(
)!2(
12
1lim
2
n
n
nn
(17)
It is easy for receiving from inequalities (14) which can be written down in an explicit form,
using a recurrent parity between integrals 2
1
nn I
n
nI
22
)!12(
)!2(
2
1
2)!12(
)!2(
12
1
)!12(
)!22(
2)!2(
)!12(
)!12(
)!2(
n
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
.
(18)
The sign means !!m product of the first natural m numbers taking into account parity, for
example (2 )!! 2 (2 2) ... 2m m m .
Comparing formulas (14) and (15) and inequalities (13) and (16), we will receive:
,
)!12(
)!2(
12
1
212
)1(1
2
12
02
m
m
mkm
C
C
k
m
kmm
k
m
m
.
!)!2(
!)!12(
22
2
m
mC
m
m
m
Mironenko L.P.
«Искусственный интеллект» 2013 № 4 258
4M
These equalities are easily checked for the various m .
The APPENDIX. Identity 1)sin(cos 22 mxx .
The approach allows to write down often used identity in 2 2(cos sin ) 1mx x a kind:
.2cos)1(1
2
1
!)!2(
!)!12(2sincos
1
0
212
22 xkmC
m
mxx mk
m
k
k
mm
mm
In particular, at we have 1m identity, 2 2cos sin 1x x at - 2,3m often used equalities:
.cossin314cos
8
3
8
532cos)1(1
2
1
!3
!6
2
1sincos
,cossin214cos
4
1
4
322cos)1(1
2
1
!2
!4
2
1sincos
223
2
0
6525
66
222
1
0
4323
44
xxxxkCxx
xxxxkCxx
k
k
k
k
k
k
Conclusions
1. Representations of the functions xncos and xnsin in the form of liniar combinations
of the functions kxcos and kxsin are received.
2. New representation of the left part of identity from 1)sin(cos 22 nxx which a
number of known parities follows is received 1)sin(cos 22 nxx .
3. Cjomparison of the formula (13) with a recurrent equation (2) allows to make a
conclusion about some advantage of our theory. For example, if you need to calculate a
definite integral (especially when 1n ).
4. Our approach gives a new representation for well-known Wallace’s formula.
Literature
1. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ / Кудрявцев Л.Д. – М. : Наука,1970. – Том I. – 571 с.
2. Ильин В.А. Основы математического анализа / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. – Москва : Издательство
ФМЛ, 1956. – Т. 1. – 472 с.
3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Фихтенгольц Г.М. – М. :
Наука ; ФМЛ, 1972. – Т. 2. – 795 с.
4. Apostol T.M. Calculus. One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra / Apostol T.M. –
John Wilay and Sons, Inc., 1966. – Vol 1. – 667 с.
5. Wrede R.C. Theory and problems of advanced calculus / R.C. Wrede, M. Spiegel. – 2002. – 433 s.
Literature
1. Kudryavtsev L.D. Matematicheski anakiz. - Tom I., Nauka, 1970 - 571 s.
2. Ilyin V. A, Pozdniak E.G. Osnowi matematicheskiogo anakiza. – Tom 1, FMF, Moskwa, 1956. - 472 s.
3. Fichtengoltz G.M. Kurs differentcialnogo i integralnogo ischislenia, Tom. 2, Nauka, «FizML», 1972 - 795 s.
4. Apostol T.M. Calculus. One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. Vol 1. – John
Wilay and Sons, Inc., 1966, 667 with.
5. Wrede R.C., Spiegel M. Theory and problems of advanced calculus 2002, 433s.
The paper is received by the edition 26.04.2013.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85124 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | English |
| last_indexed | 2025-12-07T18:12:02Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Mironenko, L.P. 2015-07-19T15:57:57Z 2015-07-19T15:57:57Z 2013 Integration of a rational fraction of a special kind / L.P. Mironenko // Искусственный интеллект. — 2013. — № 4. — С. 253–258. — Бібліогр.: 5 назв. — англ. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85124 514.116 In the paper new representations for the functions cosⁿx and sinⁿx are obtained, which are effective for evaluation of many integrals, especially Kn=∫(x²+a²)⁻ⁿdx . It is found a primitive of the integral Kn in the explicit form, while in the mathematical analysis this integral is calculated by means of a recurrent equation. Besides, the received representation gives new representation of Wallace’s formula. У статті отримано представлення для функцій cosⁿx і sinⁿx , які ефективні для обчислення інтегралів вигляду Kn=∫(x²+a²)⁻ⁿdx. Знайдена первісна інтегралу Kn в явному вигляді, тоді як у математичному аналізі інтеграл обчислюють за допомогою рекурентного співвідношення. Крім того, представлення використано для отримання нового представлення формули Валіса. В статье получены представления для функций cosⁿx и sinⁿx, которые оказались эффективными для вычисления интегралов вида Kn=∫(x²+a²)⁻ⁿdx. Найдена первообразная интеграла Kn в явном виде, в то время как в математическом анализе этот интеграл вычисляется с помощью рекуррентного соотношения. Кроме того, полученное представление дает новое представление формулы Валлиса. en Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Искусственный интеллект Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Integration of a rational fraction of a special kind Інтегрування рацiонального дробу спецiального вигляду Интегрирование рациональной дроби специального вида Article published earlier |
| spellingShingle | Integration of a rational fraction of a special kind Mironenko, L.P. Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| title | Integration of a rational fraction of a special kind |
| title_alt | Інтегрування рацiонального дробу спецiального вигляду Интегрирование рациональной дроби специального вида |
| title_full | Integration of a rational fraction of a special kind |
| title_fullStr | Integration of a rational fraction of a special kind |
| title_full_unstemmed | Integration of a rational fraction of a special kind |
| title_short | Integration of a rational fraction of a special kind |
| title_sort | integration of a rational fraction of a special kind |
| topic | Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| topic_facet | Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85124 |
| work_keys_str_mv | AT mironenkolp integrationofarationalfractionofaspecialkind AT mironenkolp íntegruvannâracionalʹnogodrobuspecialʹnogoviglâdu AT mironenkolp integrirovanieracionalʹnoidrobispecialʹnogovida |