Ефективні за точністю алгоритми обчислення оцінки частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами
Запропоновано два підходи до побудови ефективних за точністю алгоритмів обчислення оцінки частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами, які базуються на використанні перетворення Фур’є. Розглянуто випадки, коли відомі алгоритми наближеного обчислення перетв...
Saved in:
| Published in: | Искусственный интеллект |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85193 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Ефективні за точністю алгоритми обчислення оцінки частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами / В.К. Задірака, О.М. Коломис, Л.В. Луц, С.С. Мельникова // Искусственный интеллект. — 2013. — № 3. — С. 47–57. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859980641906458624 |
|---|---|
| author | Задірака, В.К. Коломис, О.М. Луц, Л.В. Мельникова, С.С. |
| author_facet | Задірака, В.К. Коломис, О.М. Луц, Л.В. Мельникова, С.С. |
| citation_txt | Ефективні за точністю алгоритми обчислення оцінки частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами / В.К. Задірака, О.М. Коломис, Л.В. Луц, С.С. Мельникова // Искусственный интеллект. — 2013. — № 3. — С. 47–57. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Искусственный интеллект |
| description | Запропоновано два підходи до побудови ефективних за точністю алгоритмів обчислення оцінки
частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами, які базуються на
використанні перетворення Фур’є. Розглянуто випадки, коли відомі алгоритми наближеного обчислення
перетворення Фур’є та оцінки їх похибки, а також коли ці алгоритми та відповідно оцінки їх похибки
невідомі. Наведені оцінки похибки обчислення оцінки частотної характеристики за допомогою розроблених
підходів в обох випадках.
Предложены два подхода к построению эффективных по точности алгоритмов вычисления оценки
частотной характеристики линейной модели объектов управления с постоянными параметрами,
которые основаны на использовании преобразования Фурье. Рассмотрены случаи, когда известны
алгоритмы приближенного вычисления преобразования Фурье и оценки их погрешности, а также
когда эти алгоритмы и соответственно оценки их погрешности неизвестны. Приведены оценки
погрешности вычисления оценки частотной характеристики с помощью разработанных подходов в
обоих случаях.
The two approaches to construction of effective by accuracy algorithms for calculation of estimation of
frequency characteristic of linear model of control objects with permanent parameters, based on the use of
Fourier transformation are suggested. Both the case when algorithms of approximate calculation of Fourier
transformation and estimation of their errors are known as well as the case when such algorithms and
corresponding estimations of their errors are unknown, are considered. Estimations of the calculation error of
the calculation of frequency characteristic by means of the approach developed in both cases are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:25:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561-5359 «Штучний інтелект» 2013 № 3 47
2-З
УДК 519.644; 519.711
В.К. Задірака, О.М. Коломис, Л.В. Луц, С.С. Мельникова
Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, м. Київ, Україна
Проспект Академіка Глушкова, 40, Київ, 03680 МСП, Україна
Ефективні за точністю алгоритми обчислення
оцінки частотної характеристики лінійної моделі
об’єктів керування з постійними параметрами
V.K. Zadiraka, O.M. Kolomys, L.V. Luts, S.S. Melnikova
Glushkov Institute of Cybernetic of NAS of Ukraine
40 Glushkova ave., Kyiv, Ukraine, 03187
Effective by Accuracy Algorithms for Calculation
of Estimation of Frequency Characteristic of Linear Model
of Control Objects with Permanent Parameters
В.К. Задирака, Е.Н. Коломыс, Л.В. Луц, С.С. Мельникова
Институт кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины
Проспект Академика Глушкова, 40, Киев, 03680 МСП, Украина
Эффективные по точности алгоритмы вычисления
оценки частотной характеристики линейной модели
объектов с постоянными параметрами
Запропоновано два підходи до побудови ефективних за точністю алгоритмів обчислення оцінки
частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами, які базуються на
використанні перетворення Фур’є. Розглянуто випадки, коли відомі алгоритми наближеного обчислення
перетворення Фур’є та оцінки їх похибки, а також коли ці алгоритми та відповідно оцінки їх похибки
невідомі. Наведені оцінки похибки обчислення оцінки частотної характеристики за допомогою розроблених
підходів в обох випадках.
Ключові слова: ефективні за точністю алгоритми, частотна характеристика, перетворення
Фур’є, оцінки похибки, лінійна модель.
The two approaches to construction of effective by accuracy algorithms for calculation of estimation of
frequency characteristic of linear model of control objects with permanent parameters, based on the use of
Fourier transformation are suggested. Both the case when algorithms of approximate calculation of Fourier
transformation and estimation of their errors are known as well as the case when such algorithms and
corresponding estimations of their errors are unknown, are considered. Estimations of the calculation error of
the calculation of frequency characteristic by means of the approach developed in both cases are presented.
Key words: effective by accuracy algorithms, frequency characteristic, Fourier transformation,
estimation of error, linear model.
Предложены два подхода к построению эффективных по точности алгоритмов вычисления оценки
частотной характеристики линейной модели объектов управления с постоянными параметрами,
которые основаны на использовании преобразования Фурье. Рассмотрены случаи, когда известны
алгоритмы приближенного вычисления преобразования Фурье и оценки их погрешности, а также
когда эти алгоритмы и соответственно оценки их погрешности неизвестны. Приведены оценки
погрешности вычисления оценки частотной характеристики с помощью разработанных подходов в
обоих случаях.
Ключевые слова: эффективные по точности алгоритмы, частотная характеристика, преобразо-
вание Фурье, оценки погрешности, линейная модель.
Задірака В.К., Коломис О.М., Луц Л.В., Мельникова С.С.
«Искусственный интеллект» 2013 № 3 48
2-З
Властивості об’єктів керування, систем автоматичного керування (САК) або
окремих її ланок у перехідних процесах або динамічних режимах визначаються за
допомогою динамічних характеристик (ДХ). В залежності від властивостей системи
та розв’язуваних задач аналізу і синтезу для опису перехідних процесів Використо-
вуються диференціальні рівняння, передаточні функції, частотні характеристики та
ін. Зокрема, частотна характеристика широко використовується при перевірці стійкості
САК, аналізі якості процесів керування у відповідності до обраної цільової функції,
оцінці та ідентифікації параметрів математичних моделей об’єктів керування та окре-
мих ланок САК.
Для побудови математичних моделей неперервних виробничих процесів необ-
хідні оцінки їх динамічних характеристик.
Розглянемо лінійні моделі ОК з одним входом і виходом. Рівняння динаміки у
випадку довільної лінійної моделі об’єкта має вигляд [1]:
∫=
∞−
t
dxtkty τττ )(),()( , 0),( =τtk , 0<t , (1)
де )(tx та )(ty – відповідно входи та виходи об’єкта, ),( τtk – імпульсна пере-
хідна функція (ІПФ) об’єкта.
Для об’єктів з постійними параметрами (стаціонарних) вид реакції залежить
тільки від різниці τ−t .
Тому для таких об’єктів )(),( ττ −= tktk і співвідношення (1) прийме вигляд
∫ ∫ −=−=
∞−
∞t
duutxukdtkxty
0
)()()()()( τττ , τ−= tu . (2)
У випадку лінійної стаціонарної моделі об’єкта (існують інтеграли ∫
∞
−
0
)( dtetx
tiω
та
0
( )
i t
y t e dt
ω
∞
−
∫ ), застосувавши перетворення Фур’є до обох частин співвідно-
шення (2), в силу теореми про згортку двох функцій отримаємо:
( ) ( ) ( )ωωω iXii ⋅Φ=Υ ,
де ( )ωiX , ( )ωiΥ , ( )ωiΦ – перетворення Фур’є відповідно від ( )tx , ( )ty і ( )τ−tk .
Частотною характеристикою лінійної моделі об’єкта називається відношення
перетворення Фур’є ( )ωiΥ вихідної величини ( )ty до перетворення Фур’є ( )ωiX
вхідної величини ( )tx (при нульових початкових умовах):
( )
( )
( )
i
i
X i
ω
ω
ω
Υ
Φ = . (3)
Знаючи частотну характеристику )( ωiΦ та перетворення Фур’є вхідного сигналу
( )ωiX , за формулою (3) можна знайти перетворення Фур’є вихідної величини ( )ωiΥ .
Далі, застосовуючи до нього обернене перетворення Фур’є, отримаємо процес
зміни вихідної величини ОК при довільному впливі ( )tx на нього:
( ) ( )∫ Φ=
∞
∞−
ωωω
π
ω deiiXty ti
2
1
)( .
Таким чином, частотна характеристика повністю характеризує динамічні власти-
вості САК і тому є однією з її важливих характеристик.
Ефективні за точністю алгоритми обчислення оцінки…
«Штучний інтелект» 2013 № 3 49
2-З
Частотна характеристика і ІПФ пов’язані між собою за допомогою прямого і
оберненого перетворення Фур’є
( ) ( ) ( ) ( )∫Φ=∫=Φ
∞
∞−
∞
−
dueiukdueuki
uiui ωω
ω
π
ω
2
1
,
0
.
Мета даної роботи - запропонувати загальні підходи до побудови алгоритмів
наближеного обчислення оцінок частотної характеристики )( ωiΦ неперервних ви-
робничих процесів та отримати оцінки їх похибок.
Постановка задачі
Для обчислення оцінки частотної характеристики ( )ωiΦ пропонуються наступні
підходи.
Підхід 1. Нехай )(tx та )(ty – деякі реєстровані відповідно входи та виходи
об’єкта і представляють собою функції часу t , які можна занурити, в залежності від
відомої апріорної інформації про об’єкт керування, в деякі класи функцій 1F і 2F
відповідно.
Нехай )( ωiR
x
– результат наближеного обчислення перетворення Фур’є ( )ωiX
за допомогою квадратурної формули 1А , яка використовує N значень функції
1
( )x t F∈ , 1,0),( −== Njtxx jj , )( ωiRY – результат наближеного обчислення перетво-
рення Фур’є ( )ωiΥ за допомогою квадратурної формули
2
А , яка використовує N
значень функції
2
( )y t F∈ 1,0),( −== Njtyy jj . В якості
1
А та
2
А можна викори-
стовувати ефективні за точністю та (або) швидкодією на класах 1F і 2F квадратурні
формули обчислення перетворення Фур’є [2], [3].
Позначимо )()( ωωε iRiX XX −= та )()( ωωε iRiY YY −= – абсолютні похибки
методу обчислення відповідно ( )ωiX за допомогою квадратурної формули
1
А та ( )ωiΥ
за допомогою квадратурної формули
2
А :
( ) ( )
( ) ( ),)(max)(
,)(max)(
2
1
)(
)(
ωωωωε
ωωωωε
iRiYEiRiY
iRiXEiRiX
y
Fty
YyY
x
Ftx
XxX
−=≤−=
−=≤−=
∈
∈
(4)
де XE , YE – відповідно оцінки похибок квадратурних формул
1
А та
2
А набли-
женого обчислення перетворення Фур’є ( )ωiX та ( )ωiΥ на класах 1F і 2F [2-4].
За аналогією з (3) запишемо вираз для обчислення оцінки частотної характе-
ристики ( )ωiΦ
( )
( )
( )ω
ω
ω
iR
iR
i
x
y
R =Φ . (5)
Для оцінки Φε похибки обчислення )( ωiΦ за допомогою )( ωiRΦ справедливе
співвідношення
( ) ( ) ),( 21 FFEii R ≤Φ−Φ=Φ ωωε ( ) ( )ωω ii R
Fty
Ftx
Φ−Φ=
∈
∈
2
1
)(
,)(
max . (6)
Доведемо лему, яка буде необхідна нам в подальшому для обчислення
оцінки Φε .
Задірака В.К., Коломис О.М., Луц Л.В., Мельникова С.С.
«Искусственный интеллект» 2013 № 3 50
2-З
Лема. Для довільного дійсного числа z , 500 ,z ≤≤ , та довільного натурального
1≥n справедлива оцінка
2...1
1
1 2
⋅++++≤
−
n
zzz
z
. (7)
Доведення. Відомо [5], що
21
1 ... ...
1
n
z z z
z
= + + + + +
−
. Для доведення тверджен-
ня (7) необхідно довести, що
...zzz
nnn
++≥
++ 21 . (8)
Нерівність (8) запишемо у вигляді
z
z...)zz(zz nnn
−
⋅=+++≥
++
1
1
1
121 . Скоро-
чуючи на n
z , отримаємо:
z
z
−
≥
1
1 . (9)
Якщо 0≥z і 50,z ≤ , у співвідношенні
1 2
1
1 1
z z
z z
−
− =
− −
чисельник і знаменник
додатні, то 0
1
21
≥
−
−
z
z
. Отже виконується нерівність (9), а значить, справедлива
нерівність (7).
Лема доведена.
Побудуємо оцінку Φε вигляду (6) обчислення )i( ωΦ за допомогою )i(R ωΦ ,
використовуючи співвідношення (4), (5), (7).
Справедлива наступна теорема.
Теорема 1. Для оцінки Φε похибки обчислення )( ωiΦ за допомогою )( ωiRΦ з
точністю до величин першого порядку мализни відносно Xε і
Y
ε справедливе спів-
відношення:
+≤Φ
)()()(
)(
ω
ε
ω
ε
ω
ω
ε
iRiRiR
iR
Y
X
X
Y
X
Y . (10)
Доведення. Оцінимо
=−
+
+
=−=Φ−Φ=Φ
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
ω
ω
εω
εω
ω
ω
ω
ω
ωωε
iR
iR
iR
iR
iR
iR
iX
iY
ii
X
Y
XX
YY
X
Y
R
( ) ( )
( ) ( )
=
+
−
=
+
+−+
=
)()(
)()(
)()(
)()()()(
ωεω
ωεωε
ωεω
εωωωεω
iRiR
iRiR
iRiR
iRiRiRiR
XXX
YXXY
XXX
XXYXYY
)()(
)()(
ωεω
ωεωε
iRiR
iRiR
XXX
YXXY
+
−
= .
Для спрощення наступних викладок в подальшому аргумент ωi опустимо.
Використовуючи нерівності baba −≥+ і a b a b− ≤ + , маємо:
( ) 2
1
1
X
YXXY
X
X
XXX
YXXY
XXX
YXXY
R
RR
RRR
RR
RR
RR εεε
ε
εε
ε
εε
ε
+
−=
−
+
≤
+
−
=
−
Φ . (11)
Ефективні за точністю алгоритми обчислення оцінки…
«Штучний інтелект» 2013 № 3 51
2-З
Нехай xX R<<ε і yY R<<ε , тоді можна застосувати лему, взявши у спів-
відношенні (7) значення
X
X
R
z
ε
= . Поклавши 1=n , отримаємо:
X
X
X
X
RR
εε ⋅
+≤
−
−
2
11
1
.
Тоді
=
+
⋅
+≤
+
−≤
−
Φ 22
1
211
X
YXXY
X
X
X
YXXY
X
X
R
RR
RR
RR
R
εεεεεε
ε
2
322
22
X
X
Y
YX
XX
YXXY
R
R
RR
RR
εεε
εε
++
+
= . (12)
Виключаючи члени другого порядку малості відносно X
ε і
Y
ε , з точністю до
величин першого порядку малості відносно X
ε і
Y
ε , маємо оцінку
Φε 2
X
YXXY
R
RR εε +
≤
+=
Y
X
X
Y
X
Y
RRR
R εε
.
Теорема 1 доведена.
Наслідок 1. У випадку, коли відомі оцінки похибок
X
E і
Y
E (див. (4))
квадратурних формул
1
А та
2
А обчислення перетворення Фур’є ( )ωiX та ( )ωiΥ на
класах функцій 1F і 2F , має місце наступна оцінка похибки методу обчислення
)( ωiΦ за допомогою )( ωiRΦ на відповідних класах функцій
( ) ( )ωΦωΦ iimax)F,F(E R
F)t(y
,F)t(x
−=
∈
∈
2
1
21
+≤
Y
Y
X
X
X
Y
R
E
R
E
R
R
,
що і доводить твердження (10).
Наслідок 2. Якщо FFF == 21 ,
1
А =
2
А і max( , )
X Y
ε ε ε= , то
≤Φε
)i(R
)i(R)i(R
x
ху
ω
ωω
ε
2
+
⋅ . (13)
У цьому випадку співвідношення (10) прийме вигляд
+≤Φ
x
X
y
Y
x
y
RRR
R εε
ε
+
⋅
=
xyx
y
RRR
R 11ε
2
x
ху
R
RR +
⋅≤ ε . (14)
Співвідношення (5) дає загальний підхід до побудови алгоритму ( )ωiRΦ –
наближеного обчислення частотної характеристики ( )ωiΦ , у випадку, коли викори-
стовуються квадратурні формули 1А та 2А обчислення оцінки перетворення Фур’є,
для яких відомі їх оцінки похибки методу Xε і Yε , зокрема, ефективні за точністю
та (або) швидкодією на класах 1F і 2F квадратурні формули 1А та 2А наближеного
обчислення )( ωiR
x
та )( ωiRy
як інтегралів від швидкоосцилюючих функцій [2], [3].
Задірака В.К., Коломис О.М., Луц Л.В., Мельникова С.С.
«Искусственный интеллект» 2013 № 3 52
2-З
У зв’язку з розвитком комп’ютерних технологій та ускладненням техноло-
гічних процесів зростає вимога до якості математичних моделей, які описують до-
сліджувані об’єкти керування. Для аналізу точності математичних моделей об’єктів
керування все частіше використовують програмне забезпечення, яке містить достатньо
ефективні алгоритми розв’язання багатьох задач обчислювальної математики (напр.,
відомі пакети Mathlab, MathCad [6], [7]). Програмні модулі таких пакетів можна
використовувати для обчислення динамічних та імовірнісних характеристик неперер-
вних виробничих процесів, наприклад, для наближеного обчислення оцінки частот-
ної характеристики (5), але в цьому випадку оцінки
X
ε і
Y
ε невідомі, оскільки невідомі
алгоритми
1
А та
2
А , а отже, ми не можемо отримати оцінки (10), (13). В такому
випадку для обчислення оцінок частотної характеристики ( )ωiΦ пропонується на-
ступний підхід.
Підхід 2. Побудова квадратурних формул, як правило, ґрунтується на алго-
ритмах апроксимації підінтегральної функції. Нехай )(ts
x
і )(ts y – функції, які апро-
ксимують, відповідно підінтегральні функції )(tx та )(ty за допомогою ефективних
за точністю алгоритмів апроксимації функцій на класах 1F і 2F . Позначимо
)()( tstx
xx
−=δ та )()( tsty yy −=δ – абсолютні похибки апроксимації відповідно ( )tx
за допомогою функції )(ts
x
та ( )ty за допомогою функції )(ts y , які можна оцінити
наступним чином:
( )
( ),)(max)()(
,)(max)()(
2
1
)(
)(
tytsEtyts
txtsEtxts
y
Fty
Yyy
x
Ftx
Xxx
−=≤−=
−=≤−=
∈
∈
δ
δ
(15)
де
X
E ,
Y
E – оцінки похибок апроксимації функцій )(tx і )(ty відповідно вира-
зами )(ts
x
і )(tsy на класах 1F і 2F .
Нехай ( ) ( )ωωω iSiXi XX −=∆ )( , ( ) ( )ωωω iSiYi YY −=∆ )( – похибки відповідно пере-
творення Фур’є оцінок xδ і
yδ , де ( )ωiX , ( )ωiΥ – перетворення Фур’є відповідно від
( )tx , ( )ty , ( )ωiS X , ( )ωiSY – перетворення Фур’є відповідно від функцій ( )ts
x
, ( )ts y .
Тоді відповідно ( ) ( )ωωω iiSiX XX ∆+= )( , ( ) ( )ωωω iiSiY YY ∆+= )( .
За аналогією з (5) запишемо вираз для апроксимації частотної характеристики
( )ωiΦ з використанням )(ts
x
та )(tsy :
( )
( )
( )ω
ω
ω
iS
iS
i
X
Y
S =Φ . (16)
Для оцінки ),( 21 FFE похибки обчислення )( ωiΦ за допомогою )( ωiSΦ спра-
ведливе співвідношення
( ) ( ) ),( 21 FFEii S ≤Φ−Φ=∆Φ ωω ( ) ( )ωω ii S
Fty
Ftx
Φ−Φ=
∈
∈
2
1
)(
,)(
max . (17)
Справедлива наступна теорема.
Ефективні за точністю алгоритми обчислення оцінки…
«Штучний інтелект» 2013 № 3 53
2-З
Теорема 2. Для оцінки Φ∆ похибки обчислення )( ωiΦ за допомогою )( ωiRΦ з
точністю до величин першого порядку мализни відносно
x
δ і
yδ справедливе спів-
відношення:
≤Φ∆
+⋅
⋅ )()()(
)(
ω
δ
ω
δ
ωω
ω
iSiSiS
iS
x
x
y
y
x
y
. (18)
Доведення. Доведення теореми проведемо аналогічно доведенню теореми 1.
Оцінимо
)(
)(
)(
)(
)()(
ω
ω
ω
ω
ωω
iS
iS
iX
iY
ii
x
y
S −=Φ−Φ=∆Φ =−
∆+
∆+
=
)(
)(
)(
)(
ω
ω
ω
ω
iR
iR
iR
iR
X
Y
XX
YY
)()(
)()(
ωω
ωω
iRiR
iRiR
XXX
YXXY
∆+
∆−∆
.
Для спрощення наступних викладок у подальшому опустимо аргумент ωi та
будемо використовувати нерівності baba −≥+ і baba +≤− . Отримаємо
( ) 2
1
1
X
YXXY
X
X
XXX
YXXY
XXX
YXXY
R
RR
RRR
RR
RR
RR ∆+∆
∆
−=
∆−
∆+∆
≤
∆+
∆−∆
=∆
−
Φ .
Далі, повторюємо ті ж міркування, що і при доведенні співвідношення (12) в
теоремі 1. Враховуючи, що xX R<<∆ і yY R<<∆ , можна застосувати лему, взявши
в співвідношенні (7) значення
X
X
R
z
∆
= . Поклавши 1=n , отримаємо:
X
X
X
X
RR
∆⋅
+≤
∆
−
−
2
11
1
.
Тоді
=
∆+∆
⋅
∆
+≤
∆+∆
∆
−≤∆
−
Φ 22
1
211
X
YXXY
X
X
X
YXXY
X
X
R
RR
RR
RR
R
2
322
22
X
X
Y
YX
XX
YXXY
R
R
RR
RR
∆+∆∆+
∆+∆
= . (19)
Виключаючи члени другого порядку малості відносно X
∆ і
Y
∆ , з точністю
до величин першого порядку малості відносно X
∆ і
Y
∆ , маємо оцінку
Φ∆ 2
X
YXXY
R
RR ∆+∆
≤
∆
+
∆
⋅=
Y
X
X
Y
X
Y
RRR
R
. (20)
Обчислимо ∫ =∫ ==∆
∞
−
∞
−
00
)(
ω
δ
δδω
ωω
i
dtedtei
xti
x
ti
xX
. Аналогічно
ω
δ
ω
i
i
y
Y =∆ )( . Тоді
≤∆Φ
+⋅
⋅ x
x
y
y
x
y
SSS
S δδ
ω
,
що і доводить твердження (18).
Теорема 2 доведена.
Задірака В.К., Коломис О.М., Луц Л.В., Мельникова С.С.
«Искусственный интеллект» 2013 № 3 54
2-З
Наслідок 3. У випадку, коли відомі оцінка похибки XE на класі 1F апро-
ксимації ( )tx виразом )t(s
x
та оцінка похибки YE на класі 2F апроксимації ( )ty ви-
разом )(ts y (див. (15)), має місце наступна оцінка похибки методу обчислення )( ωiΦ
за допомогою )( ωiSΦ на відповідних класах функцій 1F та 2F :
( ) ( )ωω iiFFE R
Fty
Ftx
Φ−Φ=
∈
∈
2
1
)(
,)(
21 max),(
+≤
Y
Y
X
X
X
Y
R
E
R
E
R
R
.
Наслідок 4. Якщо FFF == 21 , )()( tsts yx = і ),max( yx δδδ = , то:
≤Φ∆
+
⋅
)(
)()(
2
ω
ωω
ω
δ
iS
iSiS
x
ху
. (21)
Позначимо ( ) ))(,)(max( ωωω iii yx ∆∆=∆ . В цьому випадку співвідношення (20)
має вигляд
≤∆Φ
∆
+
∆
x
X
y
Y
x
y
RRR
R
+
∆⋅
≤
xyx
y
RRR
R 11
+
⋅≤
2
x
ху
S
SS
ω
δ
, (22)
оскільки ∫ =∫ ==∆
∞
−
∞
−
00
)(
ω
δ
δδω
ωω
i
dtedtei
titi .
Теорема 2 дає загальний підхід до побудови алгоритму ( )ωi
s
Φ апроксимації
частотної характеристики ( )ωiΦ , який використовує алгоритми )(ts
x
та )(ts y апрок-
симації функцій )(tx та )(ty (вхідного і вихідного сигналів), для яких відомі їх
оцінки похибки апроксимації
x
δ і
yδ . Зокрема, в якості )(ts
x
, )(ts y можна викорис-
товувати апроксимацію функцій рядами Фур’є, сплайнами, інтерполяційними полі-
номами, дробово-раціональними виразами тощо [3], [8-10]. Такий підхід доцільно
використовувати у випадку, коли значення похибок
x
ε і
yε
квадратурних формул
1А та 2А обчислення оцінок перетворення Фур’є невідомі, або невідомі самі 1А та
2А (як при використанні штатного математичного забезпечення). Потреба в апрок-
симації функцій )(tx та )(ty може виникати на практиці доволі часто, особливо у
випадках, коли обчислювати значення )(tx та )(ty із заданою точністю «важко», або
взагалі неможливо, оскільки, як правило, ці функції задаються своїми значеннями як
результат експерименту, або можуть мати складну аналітичну будову і потребувати
значних обчислювальних затрат. У таких ситуаціях природно замість функцій )(tx
та )(ty використовувати деякі інші функції )(ts
x
та )(tsy , які достатньо «близькі» до
них, але мають більш простий аналітичний вигляд.
Таким чином, у цьому випадку задача обчислення частотної характеристики
( )ωiΦ зводиться до задачі апроксимації функцій )(tx та )(ty на деяких класах
функцій, які визначаються досліджуваним об’єктом керування.
У зв’язку з необхідністю обчислювати перетворення Фур’є в співвідношеннях
(5), (16) та в деяких інших випадках доцільно використовувати чисельні методи
обчислення дискретного перетворення Фур’є, ефективні за швидкодією. Серед таких
Ефективні за точністю алгоритми обчислення оцінки…
«Штучний інтелект» 2013 № 3 55
2-З
методів можна назвати алгоритми швидкого перетворення Фур’є (ШПФ), що в
log
N
N
разів економить кількість арифметичних операцій у порівнянні зі стандарт-
ними методами і є ефективним за швидкодією [2], [3] (у випадку, коли функції
належать класу С – неперервних функцій). Також доцільно використовувати на-
ведені в роботі [9], ефективні за точністю алгоритми апроксимації рядами Фур’є з
використанням оптимальних за точністю та близьких до них квадратурних формул
для обчислення коефіцієнтів Фур’є на деяких класах функцій.
У випадках, коли класи ≡iF ,L
C
α
, 10 ≤<α , LC , LrW ,
, 1>r , LrW ,,2 21,i = , де
α,LC – клас функцій, що задовольняють умові Гельдера з константою L и показ-
ником α , 10 ≤<α : ,)()(
"'"'
α
xxLxfxf −≤− ],[,
"'
baxx ∈ ; LC – клас функцій Ліп-
шица (клас
α,LC , 1=α ); 1,
,
>rW Lr – клас функцій, що мають )1( −r -у неперервну
похідну, і при цьому L
r
Cxf ∈
−
)(
)1( , в роботах [2], [3] побудовані ефективні за точні-
стю та швидкодією на класах iF квадратурні формули обчислення оцінок пере-
творення Фур’є як інтегралів від швидкоосцилюючих функцій та отримані оцінки їх
точності. Відмічено [2], [4], що підвищення «потенційної спроможності» квад-
ратурних формул обчислення оцінок перетворення Фур’є може бути здійснено шляхом
звуження класів F підінтегральних функцій ( )f t F∈ на клас NF , коли { }
1
0
N
i
t
−
і
{ } { }
1 1
0 0
( )
N N
i i
f f t
− −
= фіксовані (наприклад, випадок, коли функція задана таблицею значень
з її області визначення). Використання оптимальних за точністю на класах NF і
близьких до них квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилю-
ючих функцій дозволяє підвищити якість запропонованих алгоритмів. Розглянуті на-
ступні класи функцій NF : NLC , – клас функцій LC із заданими фіксованими зна-
ченнями
if у вузлах фіксованої сітки it , 0, 1i N= − ; NLW ,,2 – клас функцій LW ,2 із
заданими фіксованими значеннями
if у вузлах фіксованої сітки it , 0, 1i N= − .
Використовуючи наведені в роботах [2], [3] квадратурні формули обчислення
перетворення Фур’є як інтегралів від швидкоосцилюючих функцій та оцінки їх
точності на класах F та NF у співвідношенні (5), можна побудувати ефективну
оцінку ( )ωiRΦ частотної характеристики ( )ωiΦ на конкретних класах функцій.
Запропоновані підходи побудови ( )ωiRΦ можна використовувати також для
лінійних моделей об’єктів керування з m входами і n виходами:
njdxtkty
m
s
t
ssjj ,1,)(),()(
1
, =∑ ∫=
= ∞−
τττ , (23)
де ),(, τtk sj – ІПФ по js -у каналу, яка визначається як реакція на j -у виході на
збурення ( ) ( )τδ −= uux
s
при 0≡px
(для всіх sp ≠ ).
Література
1. Методы алгоритмизации непрерывных производственных процессов. / [В.В. Иванов, А.И. Березов-
ский, В.К. Задирака и др.]. – М. : Наука, 1975. – 400 с.
2. Задирака В.К. Теория вычисления преобразования Фурье / Задирака В.К. – Киев : Наук. думка,
1983. – 216 с.
Задірака В.К., Коломис О.М., Луц Л.В., Мельникова С.С.
«Искусственный интеллект» 2013 № 3 56
2-З
3. Оптимальні алгоритми обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій та їх застосування /
[Сергієнко І.В., Задірака В.К., Литвин О.М. та ін.]. - Т. 1 : Алгоритми. – Киев : Наукова думка,
2011. – 448 с.; Т. 2 : Застосування. – К. : Наук. думка, 2011. – 348 с.
4. Сергієнко І.В. Елементи загальної теорії оптимальних алгоритмів та суміжні питання /
І.В. Сергієнко, В.К. Задірака, О.М. Литвин. – К. : Наук. думка, 2011. – 418 с.
5. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и призведений / И.С. Градштейн,
И.М. Рыжик. – М. : Физматгиз, 1963 – 1100 с.
6. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB / Смоленцев Н.К. – М. : ДМК
Пресс, 2005. – 304 с.
7. Дьяконов В.П. Mathcad 8-12 для студентов. Серия «Библиотека студента». – М. : СОЛОН –
Пресс. – 2005. – 632 с.
8. Завьялов А.С. Методы сплайн-функций / Завьялов А.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. – М. :
Наука, 1980. – 352 с.
9. Эффективные по точности алгоритмы аппроксимации функций некоторых классов рядами Фурье /
[Задирака В.К., Коломыс Е.Н., Луц Л.В. и др.] // Проблемы управления и информатики. – 2013. –
№ 4. – C. 18-35.
10. Оценки вычислительной сложности некоторых алгоритмов аппроксимации функций рядами
Фурье с заданной точностью / [Коломыс Е.Н., Луц Л.В., Людвиченко В.А. и др.] // Управляющие
системы и машины. – 2013. – № 4. – С. 54-79.
Literatura
1. Algorithmic methods for continuous production processes. / [VV Ivanov, AI Berezovsky, VK Zadyraka et
al.] - Moscow: Nauka, 1975. - 400 s.
2. Zadyraka VK The theory of Fourier transformation / VK Zadyraka - Kiev: Science. Dumka, 1983. - 216 p.
3. Optimalnі algorithmic obchislennya іntegralіv od shvidkoostsilyuyuchih funktsіy that їh zastosuvannya /
[Sergієnko І.V., Zadіraka VK, Litvin O. that іn.]. - Volume 1: Algorithms. - Kiev: Naukova Dumka,
2011. - 448 p., T. 2 Zastosuvannya. - K.: Science. Dumka, 2011. - 348.
Sergієnko І.V. Elements zagalnoї teorії optimality algoritmіv that sumіzhnі supply / І.V. Sergієnko,
V.K. Zadіraka, O.M. Litvin. - K. : Science. Dumka, 2011. - 418.
5. Gradshtein Tables of integrals, series and Artwork / IS Gradstein, IM Saffron. - Moscow: Fizmatgiz,
1963. - 1100 p.
6. Smolentsev NK Fundamentals of the theory of wavelets. Wavelets in MATLAB / Smolentsev NK –
Moscow : DMK Press, 2005. - 304.7. Deacons VP Mathcad 8-12 for students. Series "Library of the
student." - Moscow: SOLON - Press. - 2005. - 632 p.
8. Zav'yalov AS Methods of spline functions / Zav'yalov AS, brew BI, VL Miroshnichenko - Moscow:
Nauka, 1980. - 352.9. Efficient algorithms for accurate approximation of certain classes of Fourier series /
[Zadyraka V.K., Kolomys E.N., L. Lutz and others] / / Control and Informatics. - 2013. - № 4. - C. 18-35.
10. Evaluation of the computational complexity of some algorithms for the approximation of functions by
Fourier series with the required accuracy / [Kolomys EN, L. Lutz, VA Lyudvichenko and others] / /
Control systems and machines. - 2013. - № 4. - S. 54-79.
RESUME
V.K. Zadiraka, O.M. Kolomys, L.V. Luts, S.S. Melnikova
Effective by Accuracy Algorithms for Calculation of Estimation
of Frequency Characteristic of Linear Model of Control Objects
with Permanent Parameters
Two approaches of construction of effective with respect to accuracy algorithms for
estimation of calculation of frequency characteristic of linear model of control objects with
permanent parameters, based on the use of Fourier transformation are suggested.
Ефективні за точністю алгоритми обчислення оцінки…
«Штучний інтелект» 2013 № 3 57
2-З
Estimations of the calculation error of the approximate estimation of frequency chara-
cteristic by means of the approach developed are presented. Two cases are considered:
1) quadrature formulas for approximate calculation of the Fourier transformation and
their calculation errors are known. In this case, the errors of calculation of the frequency
characteristics are determined up to the first order quantities of smallness using the relative
error of quadrature formulas used.
Using quadrature formulas for approximate calculation of the Fourier transformation
as integrals of quickly oscillations functions and their estimates of accuracy on specific
classes of functions, which are functions of the input and output signals of the control objects,
an effective evaluation of the frequency characteristics of these classes can be built.
2) quadrature formulas for approximate calculation of the Fourier transformation and
their evaluating errors are unknown, such as in the case of software (including the famous
packages Matlab, MathCad, Mathematika). Since it is known that the construction of
quadrature formulas is usually based on algorithms for integral function approximation in
this case calculation error of frequency characteristics are determined up to first order
quantities of smallness used because of the relative error of efficient algorithms for
accurate approximation of functions. As these algorithms approximation of functions by
Fourier, spline, polynomial interpolation, fractional rational expressions etc. can be used.
Thus, in this case the problem of calculating the frequency response is reduced to the
problem of approximation of functions of input and output signals in some classes of
functions defined by the searched control object.
Due to the fact that for the calculation of frequency characteristic we should calculate
the estimates of the Fourier transformation, in some other cases it is necessary to use the
algorithm of fast Fourier transformation (FFT), which reduces greatly the number of
arithmetic operations in comparison to standard methods and is effective for speed (when
the function belongs to the class of continuous functions).
Стаття надійшла до редакції 19.04.2013.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85193 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:25:31Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Задірака, В.К. Коломис, О.М. Луц, Л.В. Мельникова, С.С. 2015-07-21T15:25:55Z 2015-07-21T15:25:55Z 2013 Ефективні за точністю алгоритми обчислення оцінки частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами / В.К. Задірака, О.М. Коломис, Л.В. Луц, С.С. Мельникова // Искусственный интеллект. — 2013. — № 3. — С. 47–57. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85193 519.644; 519.711 Запропоновано два підходи до побудови ефективних за точністю алгоритмів обчислення оцінки частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами, які базуються на використанні перетворення Фур’є. Розглянуто випадки, коли відомі алгоритми наближеного обчислення перетворення Фур’є та оцінки їх похибки, а також коли ці алгоритми та відповідно оцінки їх похибки невідомі. Наведені оцінки похибки обчислення оцінки частотної характеристики за допомогою розроблених підходів в обох випадках. Предложены два подхода к построению эффективных по точности алгоритмов вычисления оценки частотной характеристики линейной модели объектов управления с постоянными параметрами, которые основаны на использовании преобразования Фурье. Рассмотрены случаи, когда известны алгоритмы приближенного вычисления преобразования Фурье и оценки их погрешности, а также когда эти алгоритмы и соответственно оценки их погрешности неизвестны. Приведены оценки погрешности вычисления оценки частотной характеристики с помощью разработанных подходов в обоих случаях. The two approaches to construction of effective by accuracy algorithms for calculation of estimation of frequency characteristic of linear model of control objects with permanent parameters, based on the use of Fourier transformation are suggested. Both the case when algorithms of approximate calculation of Fourier transformation and estimation of their errors are known as well as the case when such algorithms and corresponding estimations of their errors are unknown, are considered. Estimations of the calculation error of the calculation of frequency characteristic by means of the approach developed in both cases are presented. uk Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Искусственный интеллект Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем Ефективні за точністю алгоритми обчислення оцінки частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами Эффективные по точности алгоритмы вычисления оценки частотной характеристики линейной модели объектов с постоянными параметрами Effective by accuracy algorithms for calculation of estimation of frequency characteristic of linear model of control objects with permanent parameters Article published earlier |
| spellingShingle | Ефективні за точністю алгоритми обчислення оцінки частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами Задірака, В.К. Коломис, О.М. Луц, Л.В. Мельникова, С.С. Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем |
| title | Ефективні за точністю алгоритми обчислення оцінки частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами |
| title_alt | Эффективные по точности алгоритмы вычисления оценки частотной характеристики линейной модели объектов с постоянными параметрами Effective by accuracy algorithms for calculation of estimation of frequency characteristic of linear model of control objects with permanent parameters |
| title_full | Ефективні за точністю алгоритми обчислення оцінки частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами |
| title_fullStr | Ефективні за точністю алгоритми обчислення оцінки частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами |
| title_full_unstemmed | Ефективні за точністю алгоритми обчислення оцінки частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами |
| title_short | Ефективні за точністю алгоритми обчислення оцінки частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами |
| title_sort | ефективні за точністю алгоритми обчислення оцінки частотної характеристики лінійної моделі об’єктів керування з постійними параметрами |
| topic | Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем |
| topic_facet | Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85193 |
| work_keys_str_mv | AT zadírakavk efektivnízatočnístûalgoritmiobčislennâocínkičastotnoíharakteristikilíníinoímodelíobêktívkeruvannâzpostíinimiparametrami AT kolomisom efektivnízatočnístûalgoritmiobčislennâocínkičastotnoíharakteristikilíníinoímodelíobêktívkeruvannâzpostíinimiparametrami AT luclv efektivnízatočnístûalgoritmiobčislennâocínkičastotnoíharakteristikilíníinoímodelíobêktívkeruvannâzpostíinimiparametrami AT melʹnikovass efektivnízatočnístûalgoritmiobčislennâocínkičastotnoíharakteristikilíníinoímodelíobêktívkeruvannâzpostíinimiparametrami AT zadírakavk éffektivnyepotočnostialgoritmyvyčisleniâocenkičastotnoiharakteristikilineinoimodeliobʺektovspostoânnymiparametrami AT kolomisom éffektivnyepotočnostialgoritmyvyčisleniâocenkičastotnoiharakteristikilineinoimodeliobʺektovspostoânnymiparametrami AT luclv éffektivnyepotočnostialgoritmyvyčisleniâocenkičastotnoiharakteristikilineinoimodeliobʺektovspostoânnymiparametrami AT melʹnikovass éffektivnyepotočnostialgoritmyvyčisleniâocenkičastotnoiharakteristikilineinoimodeliobʺektovspostoânnymiparametrami AT zadírakavk effectivebyaccuracyalgorithmsforcalculationofestimationoffrequencycharacteristicoflinearmodelofcontrolobjectswithpermanentparameters AT kolomisom effectivebyaccuracyalgorithmsforcalculationofestimationoffrequencycharacteristicoflinearmodelofcontrolobjectswithpermanentparameters AT luclv effectivebyaccuracyalgorithmsforcalculationofestimationoffrequencycharacteristicoflinearmodelofcontrolobjectswithpermanentparameters AT melʹnikovass effectivebyaccuracyalgorithmsforcalculationofestimationoffrequencycharacteristicoflinearmodelofcontrolobjectswithpermanentparameters |