Про задачу оптимального керування в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда
У даній роботі запропоновано модель керування патологічним процесом, розвиток якого описує динаміка Ріхарда. Модель представлено як задачу оптимального керування системою нелінійних диференціальних рівнянь. Сформульовано необхідні умови оптимальності та аналітично показано вигляд оптимального роз...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Искусственный интеллект |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85209 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про задачу оптимального керування в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда / І.Є. Андрущак, О.А. Багрій-Заяць // Искусственный интеллект. — 2013. — № 1. — С. 111–116. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859586977970520064 |
|---|---|
| author | Андрущак, І.Є. Багрій-Заяць, О.А. |
| author_facet | Андрущак, І.Є. Багрій-Заяць, О.А. |
| citation_txt | Про задачу оптимального керування в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда / І.Є. Андрущак, О.А. Багрій-Заяць // Искусственный интеллект. — 2013. — № 1. — С. 111–116. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Искусственный интеллект |
| description | У даній роботі запропоновано модель керування патологічним процесом, розвиток якого описує динаміка
Ріхарда. Модель представлено як задачу оптимального керування системою нелінійних диференціальних
рівнянь. Сформульовано необхідні умови оптимальності та аналітично показано вигляд оптимального
розв’язку на деякому інтервалі часу.
В данной работе предложена модель управления патологическим процессом, развитие которого описывает
динамика Рихарда. Модель представлена как задача оптимального управления системой нелинейных
дифференциальных уравнений. Сформулированы необходимые условия оптимальности и аналитически
показан вид оптимального решения на некотором интервале времени.
In the work there is offered the model of control for pathologic process that describe Richard dynamics. The model
is presented as optimal control problem for the system of nonlinear differential equations. There are stated
necessary optimality conditions and the form of optimal solution is analytically shown on some initial interval.
|
| first_indexed | 2025-11-27T11:19:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561-5359 «Штучний інтелект» 2013 № 1 111
4А
УДК 519.71:616-092.18
І.Є. Андрущак
1
, О.А. Багрій-Заяць
2
1
Луцький національний технічний університет, Україна
Україна, 43018, м. Луцьк, вул. Львівська, 75
2
Тернопільський державний медичний університет імені І.Я. Горбачевського
Україна, 46001, м. Тернопіль, майдан Волі, 1
Про задачу оптимального керування в моделях росту
патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда
I.Ye. Andruschak
1
, O. Bagrij-Zayats
2
1
Lutsk National Technical University, Ukraine
75 Lvivska, st. Lutsk 43018, Ukraine
2
I.Horbachevsky Ternopil State Medical University
Ukraine, 46001, c. Ternopil, m. Voli, 1
On the Optimal Control Problem in the Models of Pathological
Formation Growth Based on Richard Dynamics
И.Е. Андрущак
1
, О.А. Багрий-Заяц
2
1
Луцкий национальный технический университет, Украина
Украина, 43018, г. Луцк, ул. Львовская, 75
2
Тернопольский государственный медицинский университет им. И.Я. Горбачeвского
Украина, 46001, г. Teрнополь, площадь Воли, 1
О задаче оптимального управления в моделях роста
патологических образований на основе динамики Рихарда
У даній роботі запропоновано модель керування патологічним процесом, розвиток якого описує динаміка
Ріхарда. Модель представлено як задачу оптимального керування системою нелінійних диференціальних
рівнянь. Сформульовано необхідні умови оптимальності та аналітично показано вигляд оптимального
розв’язку на деякому інтервалі часу.
Ключові слова: оптимальне керування, принцип максимуму Понтрягіна,
необхідні умови оптимальності.
In the work there is offered the model of control for pathologic process that describe Richard dynamics. The model
is presented as optimal control problem for the system of nonlinear differential equations. There are stated
necessary optimality conditions and the form of optimal solution is analytically shown on some initial interval.
Key words: optimal control, Pontryagin’s maximum principle, necessary optimality conditions.
В данной работе предложена модель управления патологическим процессом, развитие которого описывает
динамика Рихарда. Модель представлена как задача оптимального управления системой нелинейных
дифференциальных уравнений. Сформулированы необходимые условия оптимальности и аналитически
показан вид оптимального решения на некотором интервале времени.
Ключевые слова: оптимальное управление, принцип максимума Понтрягина,
необходимые условия оптимальности.
Вступ
При проведенні системних медичних досліджень виникають питання прогнозу-
вання кількісної та якісної поведінки захворювання. Це, в першу чергу, форма патоло-
гічного процесу, на яку впливає цілий ряд невизначеностей – час формування каскаду
специфічних плазматичних клітин, вплив ушкодженого органа на імунну відповідь,
схема проведеного лікування та ін. Розв’язування проблем такого роду вимагає роз-
робки відповідних алгоритмів системного аналізу [1-10].
Андрущак І.Є., Багрій-Заяць О.А.
«Искусственный интеллект» 2013 № 1 112
4А
Дослідження проблеми розвитку патологічних утворень у людському організмі є
актуальним і в наш час. Зокрема, в роботах [1-7] розглядають ріст пухлинних популяцій
на основі динаміки Гомпертца. В роботі [8] вивчають розвиток загального патологіч-
ного утворення на основі динаміки Ріхарда. В [9] розглянуто питання стійкості в моделі
росту патологічного утворення на основі динаміки Ріхарда. Проте не досліджене пи-
тання керування процесом росту патологічних утворень.
Метою роботи є розгляд задачі оптимального керування процесом росту пато-
логічного утворення, який описує динаміка Ріхарда, та визначення необхідних умов
оптимальності.
Матеріали та методи дослідження
Нехай функції ( ) Nit
i
,1, =η є розв’язками системи диференціальних рівнянь
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
−+= ∑∑
==
m
j
n
L
j
ij
m
j
jiji
i
t
tatutbt
dt
td
11
1
θ
η
η
η , (1)
( )
ii
t ηη =
0
де ( ) ( )tat
iji
,η – кусково-неперервні функції на відрізку ),(
0
Tt , ( )tB – mN × -
матриця з елементами ( )tb
ij
, що є також кусково-неперервними. При цьому розв’я-
зок ( )t
i
η розуміється в загальному, тобто:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
dt
t
tatutbtt
m
j
n
L
j
ij
m
j
jij
t
t
iii
−++= ∑∑∫
== 11
1
0
θ
η
ηηη .
У рівнянні (1) зробимо заміну ( )
( )
n
L
n
i
i
t
tx
θ
η
= . Тоді отримаємо:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
−+∑∑
==
=
m
j
n
L
j
ij
m
j
jiji
i
t
tatutbtnx
dt
tdx
11
1
θ
η
. (2)
Розглянемо керований об’єкт, що описується системою рівнянь (2), де
n
Rx∈ –
фазовий стан об’єкта; r
Ru∈ – керування.
Розглянемо задачу оптимального керування
( )
xu
T
t
dttuuJ
,
2 min)(
0
→= ∫ , (3)
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
−+ ∑∑
==
=
N
j
jij
m
j
jiji
i
txtatutbtnx
dt
tdx
11
)(1 , ( ) n
i
Rtx ∈ , (4)
( )
0
0 xx = , ( )
1
xTx = , (5)
( ) Vtu ∈ , Ttt ≤≤
0
, (6)
де ( )tuu = – вважаються кусково-неперервними функціями на ],[
0
Tt , і точки
0
x ,
1
x – задані, n
EV ∈ – не залежить від часу і фазові обмеження при Ttt ≤≤
0
відсутні.
Необхідно знайти таке припустиме керування ( )tu , що переводить систему з
фазового стану ( ) ( )0
0 xx
r
= у фазовий стан ( ) ( )1
xTx
r
= , причому відповідний припусти-
мий процес ( ) ( )( )tutx , надає мінімального значення функціоналу (3), де функція )(2 tu −
неперервна за сукупністю усіх змінних.
Про задачу оптимального керування в моделях росту патологічних утворень…
«Штучний інтелект» 2013 № 1 113
4А
Застосуємо принцип максимуму Понтрягіна [10] до задачі оптимального керу-
вання (3) − (6).
Введемо допоміжні змінні ( ) ( ) ( ) n
n
Ettt ∈= ),...(
1
ψψψ і сталу 1
0
−=ψ . Визначимо
функцію Гамільтона-Понтрягіна:
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
−++−=
=+==
∑∑
∑
==
=
N
j
jij
m
j
jiji
N
j
j
j
txtatutbtnxttu
tutxftftutxfttutxH
11
2
00
0
)(1)()(
))(),(()()(),()),(),((
ψ
ψψψ
. (7)
Парі ))(),(( txtu , Ttt ≤≤
0
поставимо у відповідність систему диференціальних
рівнянь
( ) ( )
∑
=
∂
∂
−=
∂
∂
−=
N
j
j
i
j
i
i
x
ttutxf
x
ttutxH
dt
d
0
),(),(),(),(
ψ
ψ
, ni ,0= . (8)
Продиференціюємо функцію Гамільтона-Понтрягіна (7) за змінною )(tu :
( ) )()()(2
)),(),((
1
ttxtbntu
u
ttutxH
i
N
j
ij ψ∑
=
+−=
∂
∂
.
З умови 0
)),(),((
=
∂
∂
u
ttutxH
знайдемо:
( ) )()(
2
1
)(
1
ttxtbntu i
N
i
ij ψ∑
=
= . (9)
Продиференціюємо функцію Гамільтона-Понтрягіна (7) за змінними
i
ψ і
i
x :
( ) ( )
( )
−+=
===
∂
∂
=
∂
∂
∑∑
∑
==
=
N
j
jij
m
j
jiji
ii
N
j
j
j
ii
txtatutbtbx
dt
dx
uxfuxf
H
10
0
)(1)()()()(
,,ψ
ψψ
, Ni ,0= , (10)
( )
( )
( ) ∑∑∑
∑∑
===
==
−
−+=
=−=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
m
j
iji
N
j
jij
m
j
jij
i
N
j i
j
j
N
j
j
j
ii
tattnxtxtatutbtn
dt
d
x
uxf
uxf
xx
H
111
10
)()()()(1)()()()(
,
,
ψψ
ψ
ψψ
, Ni ,0= . (11)
Тепер співвідношення (10) і (11) з урахуванням )(tu можна переписати у ви-
гляді гамільтонової системи:
( )
( )
=+
+
−+−=
∂
=
−+=
∂
∑
∑∑∑
∑∑∑
=
===
===
.,0,)()()(
)(1)()()()()(
2
1
)(
,,0,)(1)()()()()(
2
1
)(
1
111
111
nitattnx
txtattxtbtbntn
t
d
nitxtattxtbtbntnx
t
dx
m
j
iji
N
j
jij
N
j
iij
m
j
ij
i
N
j
jij
N
j
iij
m
j
iji
i
ψ
ψψ
ψ
ψ
(12)
Отже, можемо сформулювати необхідні умови оптимальності для задачі (3) − (6).
Андрущак І.Є., Багрій-Заяць О.А.
«Искусственный интеллект» 2013 № 1 114
4А
Теорема. Нехай ))(*),(*( ttxH ψ − розв’язок задачі оптимального керуван-
ня (3) − (6). Тоді ))(*),(*( ttx ψ є розв’язком крайової задачі (12), (5).
Далі розглянемо скалярний стаціонарний випадок, увівши позначення
( ) ( ) .,
11
btbata
N
j
ij
N
j
ij == ∑∑
==
Припустимо, що 0, >ba .
Розглянемо систему:
−+−=
+−=
)()(
2
1
)()(2)(
)()(
2
1
)()(
222
2222
ttxbnttnaxtna
dt
d
ttxbntnaxtnax
dt
dx
ψψψ
ψ
ψ
. (13)
Для визначення двох сталих із загального розв’язку системи (13) маємо дві умови (5).
Отримали крайову задачу (13), (5) – для системи двох звичайних диференціаль-
них рівнянь.
Система (13) має загальні розв’язки:
))(,0)((
0
nat
CettxP
−
=== ψ , (14)
++−
=
+++−
==
++
+
)(
))((2)(2)(2
)(
,
444
4
)(
222
2
44)(22)(22
1
22
)(2
1
1
1221
12
txbn
tx
dt
d
tnaxtnax
t
aneaneCan
eC
txP
CCtCtC
CCt
ψ
(15)
( )
( ) ( )
.
)(
))((2)(2)(2
)(
,
44
41
4
)(
222
2
2
1
2244
22
2
2
1
2
22
12
++−
=
−++
==
++
+
txbn
tx
dt
d
tnaxtnax
t
Canan
e
an
e
e
C
txP
CCtCCt
CCt
ψ
(16)
Розв’язок
0
P − тривіальний.
Розглянемо розв’язок
1
P . Підставимо крайові умови (5) в загальний розв’я-
зок (15) і визначимо сталі інтегрування
1
C та
2
C :
ZC =
1
, де Z − корінь полінома
,0))1/(())244(
4444()(
42
1
2
0
22
1
2
0
2
1
2
01
2
0
2
10
22
1
2
0
3
1010
22
1
22
01
=−+−−++−+
+−−+=
anRZxxZxxRxxRxxRxxRxx
RxxRxxRxRxZQ
а D
eR = , де D − корінь квазіполінома:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
448
42
4444)(
2
2
3
222
1
2
0
22222
10
2
2
2222
10
2
3
2222
10
2
2
2222
1
2
0
2
4
2222
1
2
0
4
3
10
4
10
4
2
2
1
4
2
2
02
DenaTxxDenaTxxDenaTxx
DenaTxxDenaTxxDenaTxx
DexxDexxDexDexDQ
DDD
DDD
DDDD
+−−+
+−−+
+++−−=
Про задачу оптимального керування в моделях росту патологічних утворень…
«Штучний інтелект» 2013 № 1 115
4А
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
.4
64
48
4442
1
2
0
4442
1
2
0
2
4442
1
2
0
3
4442
1
2
0
4
444
1
2
0
22222
1
2
0
2222
1
2
0
2
2
222
1
2
0
101010
naTxxenaTxx
enaTxxenaTxxenaTxx
DnaTxxDenaTxxDenATxx
D
DDD
DD
−+
+−+−
−+−+
Коефіцієнт
2
C визначається через значення
1
C і дорівнює:
1
1
2
1
222
1
2
1
4
1
2
1
22
1
2
1
22
1
2
1
2444
2
1
ln C
ex
CanCxCCanxCanx
C
TC
++−±+−
= .
Визначивши
1
C та
2
C ми отримаємо частковий розв’язок задачі (13), (5). Вираз
для )(tx і )(tψ з урахуванням значень
1
C та
2
C підставимо у (9) і отримаємо керуван-
ня )(tu .
Розглянемо розв’язок
2
P . Підставимо крайові умови (5) в загальний розв’язок (16)
і визначимо сталі інтегрування
3
C та
4
C :
ZC =
3
, де Z − корінь полінома:
,0)1)()24
4()4444(()(
22
1
2
0
2
1
2
01
2
0
2
10
22
1
2
0
2
1
2
0
4
10
3
10
22
0
22
13
=−−−+
++−++−−+=
anRZxxRxxRxx
RxxRxxxxZRxxRxxRxRxZQ
а D
eR = , де D − корінь квазіполінома:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) .484
484
24
64
4444)(
22222
1
2
0
222
1
2
0
2
222
1
2
0
2
3
222
1
2
0
22222
10
2
2
2222
10
2
3
2222
10
2
2
2222
1
2
0
2
4
2222
1
2
0
4442
1
2
0
4442
1
2
0
2
4442
1
2
0
3
4442
1
2
0
4
4442
1
2
0
4
3
10
4
10
4
2
2
1
4
2
2
04
DnaTxxenaTxxenaTxxDenaTxx
DenaTxxDenaTxxDenaTxx
DenaTxxDenaTxxnaTxxenaTxx
enaTxxenaTxxenaTxx
DexxDexxDexDexDQ
DDD
DDD
DDD
DDD
DDDD
−+−+
++−+
++−+−
−+−+
+−−+=
Коефіцієнт
4
C визначається через значення
3
C і дорівнює:
32
3
22
1
44
1
2
3
222
1
4
3
2
3
22
1
2
3
22
1
4
3)44(
2444
2
1
ln C
eCanxanx
CanxCCanxCanx
C
TC
−
++−±+−
= .
Визначивши
3
C та
4
C ми отримаємо частковий розв’язок задачі (13), (5). Вираз для
)(tx і )(tψ з урахуванням значень
3
C та
4
C підставимо у (9) і отримаємо керування )(tu .
Висновки
Сформульовано задачу оптимального керування. Знайдено загальні розв’язки
крайової задачі, яка описує процес росту патологічного утворення на основі динаміки
Ріхарда. Застосовано принцип максимуму Понтрягіна до задачі оптимального керування
та отримано необхідну умову оптимальності.
Література
1. Марценюк В.П. Построение и изучение устойчивости модели противоопухолевого иммунитета /
В.П. Марценюк // Кибернетика и системный анализ. – 2004. – № 5. – С. 123-130.
2. Марценюк В.П. Про алгоритм розв’язування задачі оптимального керування на основі моделі
динаміки Гомперца / В.П. Марценюк, Р.Б. Ладика, Д.В. Вакуленко // Вісник Київського
університету. Серія: фізико-математичні науки. – 2004. − № 1. – С. 250-255.
3. Марценюк В.П. О задаче выбора схемы химиотерапии с точки зрения теории управления /
В.П. Марценюк // Проблемы управления и информатики. – 2003. − № 2. – С. 134-145.
Андрущак І.Є., Багрій-Заяць О.А.
«Искусственный интеллект» 2013 № 1 116
4А
4. Marzeniuk V.P. Taking Into Account Delay in the Problem of Immune Protection of Organism /
V.P. Marzeniuk // Nonlinear Analysis: Real World Applications. – 2001. – Vol. 2/4. – Р. 483-496.
5. Марценюк В.П. Про оптимізаційний підхід в задачі вибору схеми хіміотерапії / В.П. Марценюк,
Р.Б. Ладика, О.Я. Ковальчук // Вісник Харківського національного університету. Серія :
математика, прикладна математика і механіка. – 2003. – Т. 582, вип. 52. – С. 71-80.
6. Наконечный А.Г. Задачи управляемости для дифференциальных уравнений динамики Гомперца /
А.Г. Наконечный, В.П. Марценюк // Кибернетика и системный анализ. – 2004. – № 2. – С. 123-133.
7. Марценюк В.П. Об обобщенной модели динамики Гомперца / В.П. Марценюк // Проблемы
управления и информатики. – 2004. – № 6. – С. 130-141.
8. Марценюк В.П. Про модель Ріхарда в задачах росту патологічних утворень з урахуванням імунної
відповіді / В.П. Марценюк, О.А. Багрій-Заяць // Штучний інтелект. – 2012. – № 1. – С. 267-274.
9. Марценюк В.П. Про умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на
основі динаміки Ріхарда / В.П. Марценюк, І.Є. Андрущак, О.А. Багрій-Заяць // Математичне та
комп’ютерне моделювання. Серія: Технічні науки : зб. наук. пр. – Кам’янець-Подільський :
Кам’янець-Подільський нац. ун-т, 2012. – Вип. № 6. – С. 131-142.
10. Крак Ю.В. Теорія керування. Навчальний посібник для студентів факультету кібернетики cпеціальності
прикладна математика // Ю.В. Крак, О.Л. Левошич. – Київ, 2001.
Literatura
1. Marzeniuk V.P. Kibernetyka i sustemnyj analiz. № 5. 2004. S. 123-130.
2. Marzeniuk V.P. Visnyk Kyivskoho universutety. № 1. 2004. S. 250-255.
3. Marzeniuk V.P. Problemy upravleniya i informatiki. № 2. 2003. S. 134-145.
4. Marzeniuk V.P. Nonlinear Analysis: Real World Applications. V. 2/4. 2001. Р. 483-496.
5. Marzeniuk V.P. Visnyk Kharkivskoho natsionalnoho universutety. T. 582, v. 52. 2003. S. 71-80.
6. Nakonechnyj A.H. Kibernetyka i sustemnyj analiz. № 2. 2004. S. 123-133.
7. Marzeniuk V.P. Problemy upravleniya i informatiki. № 6. 2004. S. 130-141.
8. Marzeniuk V.P. Shtuchnyj intelekt. № 1. 2012. S. 267-274.
9. Marzeniuk V.P. Matematychne ta kompiuterne modeliuvannya. № 6. 2012. S. 131-142.
10. Krak Iu.V. Teoriya keruvannya. Kyiv. 2001.
RESUME
I.Ye. Andrushak, О.А. Bagrij-Zayats
On the Optimal Control Problem in the Models of Pathological Formation
Growth Based on Richards Dynamics
The theory of optimal control has been well developed for over forty years. With the
advances of computer technique, optimal control is now widely used in multi-disciplinary
applications such as biological systems, communication networks and socio-economic systems
etc. As a result, more and more people will benefit greatly by learning to solve the optimal
control problems numerically.
Treatment of a pathogenic disease process is interpreted as the optimal control of a
dynamic system. Evolution of the disease is characterized by a non-linear ordinary differential
equation that describes concentrations of pathogens, plasma cells, and antibodies, as well as a
numerical indication of patient health. Without control, the dynamic model evidences sub-
clinical or clinical decay, chronic stabilization, or unrestrained lethal growth of the pathogen.
The dynamic equations are controlled by therapeutic agents that affect the ate of change
of system variables. Optimal control solutions that defeat the pathogen and preserve organ
health are demonstrated. It is shown that control theory can point the way toward new
protocols for treatment and remediation of human diseases.
Interaction of laser irradiation and biological systems are investigated. The pathological
formation growth based on Richards dynamics are considered.
Pontryagin maximum principle is applied in this work to find the optimal control of
the pathological formation growth. The general solution of the controlled system is
obtained. Finally, numerical example are presented to explain the analytical solution.
Стаття надійшла до редакції 01.10.2012.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85209 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-27T11:19:08Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Андрущак, І.Є. Багрій-Заяць, О.А. 2015-07-21T19:04:54Z 2015-07-21T19:04:54Z 2013 Про задачу оптимального керування в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда / І.Є. Андрущак, О.А. Багрій-Заяць // Искусственный интеллект. — 2013. — № 1. — С. 111–116. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85209 519.71:616-092.18 У даній роботі запропоновано модель керування патологічним процесом, розвиток якого описує динаміка Ріхарда. Модель представлено як задачу оптимального керування системою нелінійних диференціальних рівнянь. Сформульовано необхідні умови оптимальності та аналітично показано вигляд оптимального розв’язку на деякому інтервалі часу. В данной работе предложена модель управления патологическим процессом, развитие которого описывает динамика Рихарда. Модель представлена как задача оптимального управления системой нелинейных дифференциальных уравнений. Сформулированы необходимые условия оптимальности и аналитически показан вид оптимального решения на некотором интервале времени. In the work there is offered the model of control for pathologic process that describe Richard dynamics. The model is presented as optimal control problem for the system of nonlinear differential equations. There are stated necessary optimality conditions and the form of optimal solution is analytically shown on some initial interval. uk Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Искусственный интеллект Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Про задачу оптимального керування в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда О задаче оптимального управления в моделях роста патологических образований на основе динамики Рихарда On the optimal control problem in the models of pathological formation growth based on Richard dynamics Article published earlier |
| spellingShingle | Про задачу оптимального керування в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда Андрущак, І.Є. Багрій-Заяць, О.А. Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| title | Про задачу оптимального керування в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда |
| title_alt | О задаче оптимального управления в моделях роста патологических образований на основе динамики Рихарда On the optimal control problem in the models of pathological formation growth based on Richard dynamics |
| title_full | Про задачу оптимального керування в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда |
| title_fullStr | Про задачу оптимального керування в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда |
| title_full_unstemmed | Про задачу оптимального керування в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда |
| title_short | Про задачу оптимального керування в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда |
| title_sort | про задачу оптимального керування в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки ріхарда |
| topic | Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| topic_facet | Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85209 |
| work_keys_str_mv | AT andruŝakíê prozadačuoptimalʹnogokeruvannâvmodelâhrostupatologíčnihutvorenʹnaosnovídinamíkiríharda AT bagríizaâcʹoa prozadačuoptimalʹnogokeruvannâvmodelâhrostupatologíčnihutvorenʹnaosnovídinamíkiríharda AT andruŝakíê ozadačeoptimalʹnogoupravleniâvmodelâhrostapatologičeskihobrazovaniinaosnovedinamikiriharda AT bagríizaâcʹoa ozadačeoptimalʹnogoupravleniâvmodelâhrostapatologičeskihobrazovaniinaosnovedinamikiriharda AT andruŝakíê ontheoptimalcontrolprobleminthemodelsofpathologicalformationgrowthbasedonricharddynamics AT bagríizaâcʹoa ontheoptimalcontrolprobleminthemodelsofpathologicalformationgrowthbasedonricharddynamics |