Прямая и обратная задачи магнитометрии для совокупности горизонтально расположенных круговых цилиндрических тел
Наведено розв’язок прямої й оберненої задач магнiтометрiї у класi горизонтально розташованих колових цилiндрiв. Акцентовано увагу на можливостi застосування цього розв’язку для побудови аналiтичної моделi початкового зовнiшнього поля, для оцiнки мiсцеположення намагнiчених рудних тiл, для конструюва...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8523 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Прямая и обратная задачи магнитометрии для совокупности горизонтально расположенных круговых цилиндрических тел / Е. Г. Булах // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 136-141. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859612614584172544 |
|---|---|
| author | Булах, Е.Г. |
| author_facet | Булах, Е.Г. |
| citation_txt | Прямая и обратная задачи магнитометрии для совокупности горизонтально расположенных круговых цилиндрических тел / Е. Г. Булах // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 136-141. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Наведено розв’язок прямої й оберненої задач магнiтометрiї у класi горизонтально розташованих колових цилiндрiв. Акцентовано увагу на можливостi застосування цього розв’язку для побудови аналiтичної моделi початкового зовнiшнього поля, для оцiнки мiсцеположення намагнiчених рудних тiл, для конструювання складної геологiчної моделi, маси якої можуть зумовлювати спостережне поле.
The solution of the direct and inverse problems of magnetometry in a class of horizontally located circular cylinders is given. The attention is paid to opportunities to use this solution for the construction of an analytical model of the initial external field, for the estimation of a site of magnetized ore bodies, and for designing a complex geological model, whose weights can cause the observed field.
|
| first_indexed | 2025-11-28T15:31:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 550.8
© 2009
Член-корреспондент НАН Украины Е.Г. Булах
Прямая и обратная задачи магнитометрии
для совокупности горизонтально расположенных
круговых цилиндрических тел
Наведено розв’язок прямої й оберненої задач магнiтометрiї у класi горизонтально роз-
ташованих колових цилiндрiв. Акцентовано увагу на можливостi застосування цього
розв’язку для побудови аналiтичної моделi початкового зовнiшнього поля, для оцiнки мi-
сцеположення намагнiчених рудних тiл, для конструювання складної геологiчної моделi,
маси якої можуть зумовлювати спостережне поле.
Рассматривается решение прямой и обратной задач магнитометрии для случая, ког-
да геологическая модель представлена совокупностью однородно намагниченных, горизон-
тально расположенных круговых цилиндрических тел. При этом вектор интенсивности на-
магничения каждого тела задан своими составляющими по осям декартовой системы коор-
динат. Интерес к такой постановке вызван следующими обстоятельствами.
Первое. В практической работе уже имеется опыт, когда сложная геологическая сре-
да аппроксимируется набором материальных точек. С помощью такого вспомогательного
массива конструируется сложная геологическая модель, массы которой могут обусловить
наблюденное поле [1].
Второе. В практику интерпретационных работ вошел метод набухания, предложенный
Д. Зидаровым, Ж. Желевым [2–4]. Алгоритмическое решение дает возможность построить
геологическую модель, если известны координаты центральных точек аномалиеобразую-
щих тел.
Третье. Часто обратные задачи решаются в заранее выбранном модельном классе. Тре-
буется построить гипотетическую модель, которая могла бы обусловить исходное поле.
Некоторые классы тел требуют постулирования положения внутренней точки аномально-
го источника. В определенном модельном классе эта точка позволяет фиксировать центр
звездности геологического объекта. В другом классе такая точка позволяет закрепить по-
ложение средней плоскости [5].
Четвертое. Нельзя не обратить внимание на вопросы аналитической аппроксимации
исходного аномального поля. Для решения этой задачи широко используется метод под-
собных тел, по А.К. Маловичко [6]. Класс круговых цилиндрических тел хорошо подходит
для решения данной задачи. Можно привести и другие примеры.
1. Прямая задача магнитометрии для совокупности двухмерных, горизон-
тально расположенных круговых цилиндрических тел. Пусть геологическая модель
состоит из фиксированного числа намагниченных тел. Каждое тело есть горизонтальный
круговой цилиндр. Горизонтальные оси цилиндров между собой параллельны. Выберем сис-
тему координат. Начало этой системы поместим в точку на дневной поверхности. Ось аппли-
кат направлена вертикально вниз, тогда координатная плоскость XOY совпадает с дневной
поверхностью, если последняя — горизонтальная плоскость. Направление горизонтальных
осей выберем так, чтобы ось ординат совпадала с простиранием цилиндрических тел.
136 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
Обратимся к геологической модели, которую будем описывать в координатной плос-
кости XOZ (ξOζ). Положение каждого цилиндра определено координатами его централь-
ной точки и радиусом той окружности, которая определяет внешнюю поверхность тела.
Массы цилиндрических тел намагничены однородно. Вектор интенсивности намагничения
каждого цилиндра разный и задан своими составляющими. Таким образом, геологическую
модель можно описать такими параметрами:
P = {m : [r; (a; b)]t; [Ix; Iz]t; t = 1, 2, . . . ,m}. (1)
Поясним эту запись. Модель состоит из m горизонтальных круговых цилиндров. Каждый
t-й цилиндр характеризуется своим радиусом и координатами геометрического центра. Мас-
сы цилиндра намагничены. Вектор интенсивности намагничения определен своими состав-
ляющими.
В точках вне намагниченных масс нужно вычислить аномальное поле.
Известно, что напряженность магнитного поля во внешних точках пространства харак-
теризуется своим потенциалом:
U(x, z) =
∫∫
S
(I, grad V )ds =
∫∫
S
(IxVx + IzVz)ds;
V = 2 ln
1
[(ξ − x)2 + (ζ − z)2]1/2
= − ln[(ξ − x)2 + (ζ − z)2].
Напряженность аномального поля может быть выражена через составляющие.
Области интегрирования имеют такую форму, что удобно перейти к криволинейным
интегралам. Имеем
Z = Tz(x, z) = −2Ix
∮
L
(ζ − z)dζ
(ξ − x)2 + (ζ − z)2
+ 2Iz
∮
L
(ξ − x)dζ
(ξ − x)2 + (ζ − z)2
;
H = Tx(x, z) = −2Ix
∮
L
(ξ − x)dζ
(ξ − x)2 + (ζ − z)2
− 2Iz
∮
L
(ζ − z)dζ
(ξ − x)2 + (ζ − z)2
.
(2)
Геологическая модель состоит из t круговых цилиндров. Будем полагать, что взаимным
влиянием намагниченных тел можно пренебречь. В этом случае внешнее магнитное поле
подчиняется закону аддитивности.
Здесь для каждого t-го тела выбрана своя локальная система координат. Ее начало
совпадает с центром окружности. Запишем
xt = x − at; zt = z − bt.
Теоретическое поле, обусловленное всей моделью, опишем так:
Zt(x, z) =
m
∑
t=1
[
−2Ixj
2π
∫
0
(bt + rt sin ϕ − z)rt cos ϕdϕ
(at + rt cos ϕ − x)2 + (bt + rt sin ϕ − z)2
+
+ 2Izj
2π
∫
0
(at + rt cos ϕ − x)rt cos ϕdϕ
(at + rt cos ϕ − x)2 + (bt + rt sin ϕ − z)2
]
; (3.1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 137
Ht(x, z) =
m
∑
t=1
[
−2Ixj
2π
∫
0
(at + rt cos ϕ − x)rt cos ϕdϕ
(at + rt cos ϕ − x)2 + (bt + rt sinϕ − z)2
−
− 2Izj
2π
∫
0
(bt + rt sin ϕ − z)rt cos ϕdϕ
(at + rt cos ϕ − x)2 + (bt + rt sin ϕ − z)2
]
. (3.2)
Интегрирование по контуру заменим интегральной суммой.
Так решается прямая задача. Нужно только определить совокупность тех точек вне
намагниченных масс, в которых следует выполнить решение прямой задачи.
2. Обратная задача. Пусть в n фиксированных точках дневной поверхности заданы
две функции. Это вертикальная и горизонтальная составляющие вектора напряженности
внешнего магнитного поля. Эти величины чаще всего определяются относительно условного
уровня. Обычно выбирают контрольный или нулевой пункт, а измеренное поле в любой i-й
точке есть приращение составляющей напряженности поля относительно поля в нулевом
пункте. Имеем
∆Zn(xi, zi) = ∆Zn(i) = Zn(i) − Zn(0), i = 1, 2, . . . , n,
∆Hn(xi, zi) = ∆Hn(i) = Hn(i) − Hn(0), i = 1, 2, . . . , n.
}
(4)
Полагают, что нулевой пункт выбран в нормальном магнитном поле и аномальные по-
ля, определенные записанными выше функциями, вызваны только неоднородностями гео-
логического строения. Вместе с тем нет оснований полагать, что магнитное поле в нулевом
пункте свободно от влияния совершенно посторонних намагниченных объектов. В практике
полевых работ интерпретатор часто сам корректирует уровень отсчета аномального поля.
Отмеченные выше обстоятельства позволяют при решении обратной задачи сделать два
подхода относительно использования исходного магнитного поля.
Первый подход. Будем полагать, что функции (4) отражают неоднородности геоло-
гического строения. Требуется построить такую геологическую модель, которая порождает
теоретическое магнитное поле, весьма близкое к исходному. Модель — это совокупность
намагниченных круговых цилиндрических тел.
Нужно создать начальную геологическую модель. Обратимся к записи (1) и каждому
параметру модели присвоим численное значение. Таким способом начальная модель опи-
сана параметрами P (0). Наблюденное или исходное магнитное поле, приведенное в форму-
лах (4), было определено в n точках. Есть возможность в каждой фиксированной точке
получить теоретическое поле:
∆Zt(xi, zi, P ) = ∆Zt(i, P ), i = 1, 2, . . . , n; (5.1)
∆Ht(xi, zi, P ) = ∆Ht(i, P ), i = 1, 2, . . . , n. (5.2)
Здесь подчеркнуто, что теоретическое поле определено численными значениями параметров
геологической модели.
Сопоставление полей сделаем в метрике L2, тогда нетрудно записать такие функцио-
налы:
FZ(P ) =
n
∑
i=1
[∆Zn(i) − ∆Zt(i, P )]2; (6.1)
138 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
FH(P ) =
n
∑
i=1
[∆Hn(i) − ∆Ht(i, P )]2. (6.2)
Часто исходное поле сглаживается, тогда влияния случайных погрешностей весьма незна-
чительны. Если число n в записи функционалов (6) — достаточно большое, а исходная
функция не была сглажена, то и в этом случае влияние случайных величин крайне мало.
Совсем другое дело, когда исходная функция содержит региональную составляющую
или фоновый эффект. Его нужно прогнозировать и учесть при сопоставлении полей. По-
ложим, что региональное поле может быть аппроксимировано полиномом не выше второго
порядка:
f(x;A) = A0 + A1x + A2x
2; A = (A0;A1;A2). (7)
В этом случае функционалы (6) должны быть переписаны так:
FZ(P,A) =
n
∑
i=1
[∆Zn(i) − ∆Zt(i, P ) − f1(i, A)]2; (8.1)
FH(P,A) =
n
∑
i=1
[∆Hn(i) − ∆Ht(i, P ) − f2(i, A)]2. (8.2)
Таким образом, обратная задача магнитометрии сведена к минимизации параметрических
функционалов (6) или (8). Нужно от численных значений составляющих кортежа парамет-
ров P (0) перейти к кортежу P (∗), который минимизирует функционалы.
Если минимизируются функционалы (8), то используется метод группового покоорди-
натного спуска. Первая группа итерации подбирает параметры вектора P , а вторая — па-
раметры вектора A. Такой цикл повторяется многократно.
Второй подход. Вновь обратимся к исходным данным формулы (4). Наблюденное маг-
нитное поле определенно в n фиксированных точках. Это первый массив исходных данных
для решения обратной задачи.
Для интерпретационных расчетов введем новую функцию — вариацию магнитного поля
относительно поля в фиксированной точке. Обратимся к записанному выше массиву. Из
совокупности i-х точек выберем одну i = l, координаты которой (x0, z0). Получим массив
исходных данных как вариацию элементов магнитного поля относительно поля в четко
фиксированной точке:
δZn = (i, l) = ∆Zn(i) − ∆Zn(l) = (Zn(i) − Zn(0)) − (Zn(l) − Zn(0)) =
= Zn(i) − Zn(l), i = 1, 2, . . . , n. (9.1)
Аналогично, для горизонтальной составляющей имеем
δHn = (i) = ∆Hn(i) − ∆Hn(l) = (Hn(i) − Hn(0)) − (Hn(l) − Hn(0)) =
= Hn(i) − Hn(l), i = 1, 2, . . . , n. (9.2)
Функции (9) свободны от постоянной составляющей поля. Они определяют начальный мас-
сив исходных данных для решения обратной задачи.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 139
Далее, как и в первом подходе, необходимо прогнозировать положение той модели, ко-
торая могла обусловить наблюденное поле. Пусть установлено, что модель содержит m
круговых цилиндрических тел. Обратимся к записи (1) и каждому параметру присвоим
численные значения. Так образован кортеж параметров P (0). Это уже вторая группа исход-
ных данных для решения обратной задачи. Определена модель и в фиксированных ранее
точках может быть получено теоретическое поле. В массиве этих точек была фиксирова-
на одна точка i = l, координаты которой (x0, z0). Как и для исходных данных, построим
массив теоретических функций — вариацию элементов магнитного поля относительно поля
в фиксированной точке. Имеем
δZt(i, l, P ) = Zt(i) − Zt(l); (10.1)
δHt(i, l, P ) = Ht(i) − Ht(l). (10.2)
Сопоставим теперь исходное поле и теоретическое. Как и ранее, сопоставление полей
сделаем в метрике L2 и получим такие функционалы:
FZ(P )=
n
∑
i=1
[δZn(i) − δZt(i, P )]2; (11.1)
FH(P )=
n
∑
i=1
[δHn(i) − δHt(i, P )]2. (11.2)
Задача сведена к минимизации параметрических функционалов. Сопоставляемые функ-
ции свободны от своих постоянных составляющих [7]. Для минимизации функционалов
воспользуемся методом градиентного спуска. Его идея принадлежит еще Коши (Couchy,
Огюст Луи, 1789–1857). Далее метод совершенствовался. Он получил развитие в работах
Л.В. Канторовича [8]. Для решения задачи необходимо выбрать начальное приближение.
Каждая компонента вектора (1) получает численное значение:
P (0) = {p
(0)
1 , p
(0)
2 , . . . , p
(0)
k }.
Теперь от вектора P (0)итерационно переходим к вектору P ∗, который минимизирует не-
вязки сопоставляемых функций [9, 10]. Итерационная последовательность всегда сходится.
Решение задачи существенно зависит от выбора начального приближения. Такая особен-
ность метода требует очень внимательного подхода к построению начальной модели. Что ка-
сается устойчивости решения, то можно уверенно сказать, что градиентный метод устойчив.
Здесь, как мы полагаем, достаточно сослаться на работу В.И. Старостенко и С.М. Огане-
сяна [11]. Особенности решения задачи были описаны в обзорной работе Е. Г. Булаха (2006).
Алгоритмическое и программное решение описанной выше задачи проверено на боль-
шом числе примеров. Можно надеяться, что эта задача будет применена в практике геоло-
гической интерпретации магнитометрических данных.
1. Петрищевский А.М. Опыт аппроксимации сложных геологических сред массивом материальных
точек // Геология и геофизика. – 1981. – № 5. – С. 105–115.
2. Зидаров Д.П. О решении обратных задач потенциальных полей и его применении к вопросам геофи-
зики. – София: Изд-во Болгар. АН, 1968. – 154 с.
3. Zidarov D., Zhelev Zh. On obtaining a Family of Bodies with Identical Exterior Fields Method of Bubb-
ling // Geophys. Prospect. – 1970. – 18, No 1. – P. 14–33.
140 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
4. Zidarov D. Inverse gravimetric problem in Geoprospecting and Geodesy. Elsevir, 1990. – 284 p.
5. Сретенский Л.Н. О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его
внешнего потенциала // Докл. АН СССР. – 1954. – 99, № 1. – С. 21–22.
6. Маловичко А.К. Методы аналитического продолжения аномалий силы тяжести и их применения к
задачам гравиразведки. – Москва: Гостоптехиздат, 1956. – 160 с.
7. Страхов В.Н. К теории метода подбора // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. – 1964. – № 4. – С. 494–509.
8. Канторович Л.В. О методах наискорейшего спуска // Докл. АН СССР. – 1947. – 56, № 3. – С. 233–236.
9. Булах Е. Г. Об автоматизированном подборе контура возмущенного тела на цифровой электронной
вычислительной машине // Изв. АН СССР. Физика Земли. – 1965. – № 8. – С. 85–88.
10. Булах Е. Г. Автоматизированная система интерпретации гравитационных аномалий (метод миними-
зации). – Киев: Наук. думка, 1973. – 111 с.
11. Старостенко В.И., Оганесян С.М. Некорректно поставленные задачи по Адамару и их прибли-
женное решение методом регуляризации по А.Н. Тихонову // Геофиз. журн. – 2001. – 23, № 6. –
С. 3–20.
Поступило в редакцию 22.09.2008Институт геофизики им. С.И. Субботина
НАН Украины, Киев
Corresponding Member of the NАS of Ukraine E.G. Bulakh
Direct and inverse problems of magnetometry for a set of horizontally
located circular cylindrical bodies
The solution of the direct and inverse problems of magnetometry in a class of horizontally located
circular cylinders is given. The attention is paid to opportunities to use this solution for the
construction of an analytical model of the initial external field, for the estimation of a site of
magnetized ore bodies, and for designing a complex geological model, whose weights can cause the
observed field.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 141
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8523 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T15:31:34Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Булах, Е.Г. 2010-06-04T15:20:31Z 2010-06-04T15:20:31Z 2009 Прямая и обратная задачи магнитометрии для совокупности горизонтально расположенных круговых цилиндрических тел / Е. Г. Булах // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 136-141. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8523 550.8 Наведено розв’язок прямої й оберненої задач магнiтометрiї у класi горизонтально розташованих колових цилiндрiв. Акцентовано увагу на можливостi застосування цього розв’язку для побудови аналiтичної моделi початкового зовнiшнього поля, для оцiнки мiсцеположення намагнiчених рудних тiл, для конструювання складної геологiчної моделi, маси якої можуть зумовлювати спостережне поле. The solution of the direct and inverse problems of magnetometry in a class of horizontally located circular cylinders is given. The attention is paid to opportunities to use this solution for the construction of an analytical model of the initial external field, for the estimation of a site of magnetized ore bodies, and for designing a complex geological model, whose weights can cause the observed field. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Науки про Землю Прямая и обратная задачи магнитометрии для совокупности горизонтально расположенных круговых цилиндрических тел Direct and inverse problems of magnetometry for a set of horizontally located circular cylindrical bodies Article published earlier |
| spellingShingle | Прямая и обратная задачи магнитометрии для совокупности горизонтально расположенных круговых цилиндрических тел Булах, Е.Г. Науки про Землю |
| title | Прямая и обратная задачи магнитометрии для совокупности горизонтально расположенных круговых цилиндрических тел |
| title_alt | Direct and inverse problems of magnetometry for a set of horizontally located circular cylindrical bodies |
| title_full | Прямая и обратная задачи магнитометрии для совокупности горизонтально расположенных круговых цилиндрических тел |
| title_fullStr | Прямая и обратная задачи магнитометрии для совокупности горизонтально расположенных круговых цилиндрических тел |
| title_full_unstemmed | Прямая и обратная задачи магнитометрии для совокупности горизонтально расположенных круговых цилиндрических тел |
| title_short | Прямая и обратная задачи магнитометрии для совокупности горизонтально расположенных круговых цилиндрических тел |
| title_sort | прямая и обратная задачи магнитометрии для совокупности горизонтально расположенных круговых цилиндрических тел |
| topic | Науки про Землю |
| topic_facet | Науки про Землю |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8523 |
| work_keys_str_mv | AT bulaheg prâmaâiobratnaâzadačimagnitometriidlâsovokupnostigorizontalʹnoraspoložennyhkrugovyhcilindričeskihtel AT bulaheg directandinverseproblemsofmagnetometryforasetofhorizontallylocatedcircularcylindricalbodies |