Оценка ошибки округления приближения функций двух переменных одномерными операторами
В статье предложен подход к оценке ошибки округления, возникающей при приближении функции двух
 переменных одномерными операторами смешанной аппроксимации при решении системы линейных
 алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы. В статті запропоновано підхід до оцінки похибк...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Искусственный интеллект |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85241 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оценка ошибки округления приближения функций двух переменных одномерными операторами / О.Н. Литвин, Е.В. Ярмош // Искусственный интеллект. — 2014. — № 1. — С. 64–73. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860028991412371456 |
|---|---|
| author | Литвин, О.Н. Ярмош, Е.В. |
| author_facet | Литвин, О.Н. Ярмош, Е.В. |
| citation_txt | Оценка ошибки округления приближения функций двух переменных одномерными операторами / О.Н. Литвин, Е.В. Ярмош // Искусственный интеллект. — 2014. — № 1. — С. 64–73. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Искусственный интеллект |
| description | В статье предложен подход к оценке ошибки округления, возникающей при приближении функции двух
переменных одномерными операторами смешанной аппроксимации при решении системы линейных
алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы.
В статті запропоновано підхід до оцінки похибки заокруглення, що виникає при наближенні функції двох
змінних одновимірними операторами, шляхом розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що
зводиться до обчислення оберненої матриці.
This paper proposes an approach to the assessment of rounding errors arising in the approximation of a function of
two variables-dimensional operators, by solving a system of linear algebraic equations, which can be reduced to the
computation of the inverse matrix.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:51:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561-5359 «Искусственный интеллект» 2014 № 1 64
2Л
УДК 519.6
О.Н. Литвин, Е.В. Ярмош
Украинская инженерно-педагогическая академия, г. Харьков
Украина, 61003, г. Харьков, ул. Университетская 16
Оценка ошибки округления
приближения функций двух переменных
одномерными операторами
O.M. Lytvyn, O.V. Iarmosh
Ukrainian Engineering Pedagogics Academy, c. Kharkiv
Ukraine, 61003, c. Kharkiv, Universitetska st., 16
Estimation of Rounding Errors of Two Variables Functions
Approximation of One-Dimensional Operators
О.М. Литвин, О.В. Ярмош
Українська інженерно-педагогічна академія, м. Харків
Україна, 61003, м. Харків, вул. Університетська, 16
Оцінка похибки заокруглення наближення функцій
двох змінних одномірними операторами
В статье предложен подход к оценке ошибки округления, возникающей при приближении функции двух
переменных одномерными операторами смешанной аппроксимации при решении системы линейных
алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы.
Ключевые слова: одномерный оператор, смешанная аппроксимация, ошибка округления,
ошибка метода, ошибка данных, обратная матрица.
This paper proposes an approach to the assessment of rounding errors arising in the approximation of a function of
two variables-dimensional operators, by solving a system of linear algebraic equations, which can be reduced to the
computation of the inverse matrix.
Key words: one-dimensional operator, blending approximation, rounding error,
error of the method, data error, inverse matrix
В статті запропоновано підхід до оцінки похибки заокруглення, що виникає при наближенні функції двох
змінних одновимірними операторами, шляхом розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що
зводиться до обчислення оберненої матриці.
Ключові слова: одновимірний оператор, змішана апроксимація, похибка заокруглення,
похибка методу, похибка даних, обернена матриця
Введение
С каждым годом сложность проведения вычислительных расчетов на ЭВМ
увеличивается, возникает необходимость решения научных и прикладных задач,
связанных с обработкой больших массивов входных данных. Все более актуальной
становится проблема оценки ошибки округления при приближении функции двух и
более переменных одномерными операторами, возникающей при расчетах на ЭВМ,
и определение ее влияния на общий результат с учетом ошибок метода вычисления и
входящих данных.
Оценка ошибки округления приближения функций двух переменных...
«Штучний інтелект» 2014 № 1 65
2Л
Сегодня широко используются интерполяционные и аппроксимационные методы
приближения функций, среди которых можно отметить приближение функций двух
переменных, заданных следами на системе взаимно перпендикулярных прямых или
набором дискретных данных через операторы, действующие на функцию по одной
переменной [1]. В дальнейшем будем называть такие операторы одномерными.
Цель работы – разработать метод оценки ошибки округления приближения
функции двух переменных заданных следами на системе взаимно перпендикулярных
прямых, через одномерные операторы, рассмотренные в работе [1], учитывая вид
операторов и предположение, что соответствующие интегралы вычислены точно.
Считаем, что ошибка округления возникает в ходе решения систем )(11 yFuB T и
)(22 xFvB путем нахождения решения с помощью обратных матриц.
Постановка задачи
В работе [2] авторы доказали теорему об ошибке приближения, включая ошибку
метода приближения и ошибку входящих данных, функции двух переменных
22,2 ]1,0[),( Cyxf оператором сплайн-интерлинации вида
N
k
N
l
lklk
N
l
ll
N
k
kk yhxhfyhxxhyyxfO
0 0
,2,1,
0
,2
0
,1 )()(~)()()()(),(~
, (1)
когда следы ),( yxf k , ),( lyxf заданы функциями )( yk , )(xl с ошибками и зна-
чения ),( lk yxf также заданы числами lkf ,
~
с ошибками. Рассмотрим подходы к
оценке ошибки округления при применении разработанного в [2] метода приближе-
ния функций двух переменных, заданных следами на системе взаимно перпендику-
лярных прямых, когда оператор (1) задан в виде
),(),(),(),( 2121
* yxfAAyxfAyxfAyxfZ , (2)
где одномерные операторы 1A , 2A задают наилучшее среднеквадратическое прибли-
жение функции ),( yxf по переменным x и y , и определяются формулами
)()()()(),( 1
1
1111 yFBxhyxhyxfA TT , )()()()(),( 2
1
2222 yhBxFyhxyxfA TT ,
)()(),( 2
1
2
1
1121 yhFBBxhyxfAA T , )](),...,([)( ,10,11 xhxhxh N ,
)](),...,([)( ,20,22 yhyhyh N ,
1
0
111 )()( dxxhxhB T ,
1
0
222 )()( dyyhyhB T ,
G
T dxdyyhyxfxhF )(),()( 21 ,
1
0
11 ),()()( dxyxfxhyF TT ,
1
0
22 )(),()( dyyhyxfxF .
Теоретические подходы к оценке ошибки округления
Отметим основополагающие труды, посвященные оценке ошибки округления [3-8].
В работе [9] предлагается метод оценки погрешностей округления, отличный от рас-
смотренных в [3-8].
Ошибка округления – это ошибка, возникающая при выполнении арифметиче-
ских операций на ЭВМ с округлением результатов до фиксированного количества
разрядов. Различают два режима работы ЭВМ – с фиксированной запятой и пла-
Литвин О.Н., Ярмош Е.В.
«Искусственный интеллект» 2014 № 1 66
2Л
вающей запятой. Для расчетов с фиксированной запятой каждое число находится в
интервале 11 x , в который исходные числа приводятся путем масштабирования.
При расчетах с плавающей запятой каждое число представляется в виде ax b2 , где b –
целое положительное или отрицательное число, называемое порядком, a (мантисса) –
число, удовлетворяющее одному из неравенств: 2
11 a или 12
1 a [3].
Теоретические сведения по оценке погрешности округления описаны в [5], [6].
В работе [3] комплексно анализируются важнейшие вычислительные аспекты
определения ошибки математической модели и построения ее оптимальных реализаций.
Комплексный подход основан на анализе трех основных характеристик вычислитель-
ных методов – точности, времени реализации, требуемой памяти ЭВМ. По данным
характеристикам выполняется сравнительный анализ и оптимизация соответствую-
щих численных методов. Отмечено, что в практике численного вычисления задач на
ЭВМ применяются следующие характеристики задач, алгоритмов и ЭВМ: ),,( YXIE –
полная ошибка решения E задачи P на ЭВМ с помощью алгоритма A , ),,( YXIT –
время, необходимое для получения решения задачи; ),,( YXIM – необходимая память
ЭВМ; fef – коэффициент технико-экономической эффективности.
В свою очередь полная абсолютная ошибка решения задачи )(IP на ЭВМ
)(YC с помощью вычислительного алгоритма )(XA определяется так
)~,(~),(,),,( qp RRIYXARYXI .
3
'
21),,( YXI , ))(,( ,,
'
2 phq IXAR , где ),( ,,1 hqRR – не-
устранимая ошибка решения задачи или ошибка за счет неточности входных данных; '
2 –
ошибка алгоритма )(XA для определения hqR ,, , )),(,( '
3 pq IYXAR – ошибка
округления реализации вычислительного алгоритма )(XA на ЭВМ )(YC .
В дальнейших рассуждениях рассмотрим два способа нахождения обратной матри-
цы, определяющие подход к оценке ошибки округления при приближении функции двух
переменных оператором вида (2) с использованием одномерных операторов.
В работе [7] отмечено, что значительная часть наиболее известных численных
методов решения систем линейных алгебраических уравнений (далее – СЛАУ)
bAx (3)
основаны на разложении матрицы A на сомножители.
В зависимости от того, как связаны сомножители с матрицей A , различают две
схемы построения методов. В первой схеме предполагается, что явно известны сами
сомножители, на которые разложена матрица A . Пусть
CBA . (4)
Решение системы (3) сводится к последовательному решению таких систем:
bBy , yCx .
Во второй схеме предполагается, что найденные матрицы L , S ,G , для которых
выполняется соотношение
GLAS . (5)
Оценка ошибки округления приближения функций двух переменных...
«Штучний інтелект» 2014 № 1 67
2Л
Тогда
Sux , (6)
где u – решение системы
lGu (7)
с матрицею G из (5) и правой частью
Lbl . (8)
Решение системы (3) сводится теперь к вычислению вектора l согласно (8),
решению системы (7) и определению искомого вектора x по формуле (6). В данной
схеме матрицы L и S обычно бывают представлены в виде произведения элементарных
матриц.
Разложения (4), (5) можно использовать для вычисления обратной матрицы.
Для (4) следует, что
111 BCA , (9)
а из (5) имеем
LSGA 11 . (10)
Поэтому если выполнено преобразование (4) или (5), то для получения матрицы
1A остается только преобразовать одну или две матрицы простого вида и осуществить
умножение матриц согласно (9) или (10).
К задаче вычисления обратной матрицы можно подойти несколько иначе. Матрица
1A является единственным решением матричного уравнения EAX .
Обозначим через nxx ,...,1 вектор-столбцы матрицы 1A . Тогда ix является
решением системы линейных алгебраических уравнений
ii eAx , (11)
где ie – координатный вектор с единицей на i -м месте. Снова для решения системы
(11) будут полезными разложения (4), (5).
С практической точки зрения безразлично, вычислять обратную матрицу по форму-
ле (9), (10) или с помощью решения систем (11). Автор работы [7] предпочитает второй
способ, поскольку все вопросы, связанные с решением систем, уже исследованы. При
реализации этого способа может потребоваться некоторое изменение вычислительной
схемы методов, вызванное необходимостью одновременного решения систем (11) со
многими правыми частями.
Предположим, что выполнено преобразование (5), причем матрица G – правая
треугольная, а матрица S представлена в виде произведения 121... nn UUU матриц
отражения. Последовательное решение систем (7) с правыми частями nee ,...,1 вновь
позволяет разместить всю информацию о решении на месте соответствующих столбцов
матрицы G . Преобразование (6) будем осуществлять последовательно, путем умно-
жения сначала всех векторов на 1nU , затем на 2nU и, наконец, на 1U . При этом
следует учитывать как специальный вид преобразуемых векторов, так и специаль-
ный вид самых преобразований. Элементы матрицы 1A снова могут быть получены
на месте матрицы 1A после выполнения около 33n арифметических операций.
Литвин О.Н., Ярмош Е.В.
«Искусственный интеллект» 2014 № 1 68
2Л
Для численных методов решения системы линейных алгебраических уравнений, ос-
нованных на разложении матрицы, для каждого столбца реально вычисленной матрицы
1~A и для самой матрицы 1A можем записать [8]
1
1
11
)(2
~
t
A
E
E pnf
A
AA
, (12)
где A – евклидовое число обусловленности матрицы A , EEA AA 1 ,
n
i
m
j
jiE aA
1 1
2
, )( .
Применение систем (11) для вычисления матрицы 1A позволяет, если будет
необходимо, уточнить отдельные или все ее столбцы [8].
Кроме того, провести оценку ошибки округления построения обратной матрицы
можно с помощью следующих соображений [7]. Пусть T~ – реально задана или реально
вычисленная по некоторому вектору b согласно предварительным условиям матри-
ца вращения. Возьмем любой действительный вектор a . Если ~ и Ea гораздо больше
машинного нуля, где – количество базисных элементов, моделирующих число
разрядов p -ичной системы исчисления вычислительной машины, то при умножении
матрицы T~ на вектор a выполняются соотношения
faTaTfl ~)~( , E
t
E apf 1~2~ , )(~)~( aTaTfl , E
t
E ap 12~ ,
где )(fl – результат вычислений на ЭВМ выражения в скобках, t – количество
разрядов после запятой (в случае фиксированной запятой) или мантиссы (в случае
плавающей запятой).
Для матрицы T~ , реально вычисленной, согласно тому же условию матрица
'~~TT является скалярной, и при этом выполняются следующие оценки
1
2
'
2
5~~~ tpETT , 1
4
5~~ tpTT , 1)~~(~ 2/122 sc , 1
4
5~ tp .
Пусть по вектору b реально вычисляется матрица T и вычисляется
единственная ненулевая координата вектора Tb , тогда
)(~)( bTTbfl , E
t
E bp 1
2
5~ .
Приведенные оценки говорят о том, что реально вычисленная матрица вращения T
с высокой степенью точности не только близка к некоторой ортогональной матрице,
но даже близка к ортогональной матрице, получаемой при точных вычислениях. При
этом выявляются малыми и эквивалентные возмущения преобразованных векторов.
Пусть n -мерный вектор z умножается на последовательность из N матриц
вращения
NN jiji TT ,...,
11
. Предположим, что
NN jiji TT ~,...,~
11
– реально заданные или реально
вычисленные матрицы вращения, удовлетворяющие описанному выше условию. Тогда
для любой последовательности пар индексов NN jiji ,...,11 имеют место соотношения
)(~...~~...~
1111
zTTzTTfl
NNNN jijijiji , E
t
E zNp 12~ .
Оценка ошибки округления приближения функций двух переменных...
«Штучний інтелект» 2014 № 1 69
2Л
Отметим, если точное решение есть результат реализации некоторого алгорит-
ма над входными данными A , а приближенно вычисленное решение можно рас-
сматривать как результата реализации того же точного алгоритма над входными
данными tA , то отклонение tA от A называется эквивалентным возмущением [7].
Для эквивалентного возмущения M матрицы A при разложении A на множи-
тели имеет место оценка
E
t
E ApnfM 1)(~ . (13)
Тогда реально вычисленное решение x~ системы bAx является точным ре-
шением возмущенной системы bxA ~)( . При этом
E
t
E Apn 1)( , E
t
E bpn 1)( ,
где )(2~)()( nfnn , если только в пределах таких возмущений матрица остается
невырожденной.
При этом выполняется неравенство
1)(2~
~
t
A
E
E pnf
x
xx
, (14)
которое является следствием неравенства EE
t
E xApnfbxA ~)(2~~ 1 .
Согласно (14) точность любого метода полностью определяется точностью раз-
ложения матрицы на множители.
Результаты вычислительного эксперимента
Учитывая, что в операторе (2) используются одномерные операторы, дейст-
вующие на одну переменную, проведем вычислительный эксперимент и определим
ошибку округления при приближении функции одной переменной )(xf .
На основе теоремы о виде остатка интерполяционного полинома Лагранжа сте-
пени 1n функции )(tg вида [10]
t
t
r
kr
n
k
knn
k
d
r
tgtltgR
)!1(
)(
)()()(
1
)(
0
,1 , nr 1
запишем минимизационное условие приближения функции )(xf в виде
,)(
!1
)()(
)()()(
min
1
0
2
0
''
0
1
0
2
0
kC
n
k
x
n
k
n
k
k
n
k
k
dxknxhdt
t
n
k
tf
n
kfknxhC
dxxfknxhCCJ
где
2
121
)(
ttt
th .
Литвин О.Н., Ярмош Е.В.
«Искусственный интеллект» 2014 № 1 70
2Л
В результате для нахождения kC , nk ,0 получаем систему линейных ал-
гебраических уравнений 0)(
pC
CJ , np ,0 .
Получим, положив kkk fC ,
n
kff k ,
1
0
, )()( dxpnxhknxhB kp , npk ,0
n
k
x
n
k
n
k
pk
n
k
kkp dxpnxhknxhdtt
n
ktfFB
0
1
0
''
0
,
0
, )()()( , np ,0 (15)
Из системы (15) вытекает, что, если 0)('' tf 0k , то kk fC , то есть
для xbbxf 10)( МНК при указанной )(th является точным.
Если же 2
10 2
)( tNtbbtf , то есть constNtf )('' , то pkF , , входящие в
правые части имеют вид
.0,
30
1
,1,
!5
3
,2,0
)()(
2
3
3
1
0
2
,
pk
n
N
pk
n
N
pk
dxpnxhknxhx
n
kNF pk
Докажем эти формулы.
При 2 pk получаем )(sup)(sup pnxhknxh , то есть 0, pkF .
При 1 pk получаем
.
40!5
!1!3
2
)1()(
2
))(1()(
2
33
1
3
2
1
2
1,
n
N
n
Ndxnxppnx
n
N
dxpnxpnxx
n
pNF
n
p
n
p
n
p
n
p
pp
Аналогично,
3,1
40n
NF pp .
При 0 pk получаем
n
p
n
p
pp dxpnxpnxhnxp
n
NF
1
1
2
2, ))(()(
2
.
30
1
!5
!2!21)1()(
32
1
22
2
n
N
nn
Ndxnxpnxp
n
N n
p
n
p
Оценка ошибки округления приближения функций двух переменных...
«Штучний інтелект» 2014 № 1 71
2Л
Тогда система (15) имеет вид
n
k
kp
n
k
kkp FB
0
,
0
, , np ,0 ,
где, в случае 11 np ,
.0,
30
1
,2,
40
1
,2,0
3
3,
kp
n
N
kp
n
N
kp
F pk
то есть если np ,0 правые части будут равняться
3333
1
1
,
0
,
1240
1
30
1
40
1
n
N
n
N
n
N
n
NFF
p
pk
pk
n
k
pk
.
Если 0p , 0k , то
33
1
0
22
1
0
2
0
,0
1
0
2
0,0
60!5
!2!2
2
)1(
2
)()(0
2
)()(
2
n
N
n
NdxnxxN
dxnxhnxhx
n
Ndxpnxhknxhx
n
kNF
n
p
k
Для случая, когда 0p , 1k , то
!5
!1!31
2
)1(
2
)()1(1
2
)()(
2
3
1
0
3
2
1
0
2
2
0
,1
1
0
2
1,0
n
Nnxdxnx
n
Ndxnxhnxhnx
n
N
dxpnxhknxhx
n
kNF
n
p
k
Тогда если 0p правая часть будет иметь вид
3330,10,0
0
0,
244060 n
N
n
N
n
NFFF
n
k
k
.
Аналогично при np получаем
333,,1
0
,
246040 n
N
n
N
n
NFFF nnnn
n
k
nk
.
Таким образом, система алгебраических уравнений может быть записана в виде
np
n
NB
np
n
NB
p
n
NB
n
nk
kkp
p
pk
kkp
k
kkp
,
24
1,1,
12
0,
24
3
1
,
3
1
1
,
3
1
0
,
,
Литвин О.Н., Ярмош Е.В.
«Искусственный интеллект» 2014 № 1 72
2Л
В условиях вычислительного эксперимента, решая СЛАУ вида (3), получаем
точные значения матрицы A . Для нахождения эквивалентного возмущения M ис-
пользуем матрицу tA , полученную с учетом различного количества разрядов ман-
тиссы. Информация о норме матрицы возмущения позволяет из (13) определить
E
t
E
Ap
M
nf 1
~)( и далее относительную ошибку из (14).
Учитывая, что возмущение вычислительного эксперимента получено только за
счет учета количества разрядов мантиссы, считаем, что величина (14) является отно-
сительной ошибкой связанной с округлением.
Тогда для функции 2)( 2xxf при 10n , 10p относительная ошибка
округления, возникающая при нахождении члена )(1
1
1 yFBz T в одномерных опе-
раторах формулы (2), составляет )10( 9O при 10t , )10( 14O при 15t , )10( 19O
при 20t . Следует отметить, что для большего n ошибка увеличивается.
Выводы и перспективы дальнейших исследований
Выполнение различных научных исследований сегодня невозможно без приме-
нения ЭВМ для автоматизации сложных вычислительных процессов и преобразова-
ния большого количества информации. Такие преобразования в конечном счете
сводятся к выполнению последовательности простейших операций, что и приводит к
необходимости учитывать ошибку округления на каждом этапе. В данной работе
предложен подход к оценке ошибки округления, которая возникает в ходе решения
систем )(11 yFuB T и )(22 xFvB путем вычисления обратной матрицы.
В дальнейших исследованиях авторы планируют рассмотреть метод оценки
ошибки округления приближения функций двух переменных через одномерные
операторы с использованием подходов, описанных в [9].
Список литературы
1. Литвин О.М. Наближення функціями спеціального виду функцій двох змінних, заданих дискретно або
слідами на системі прямих / О.М. Литвин, О.В. Ярмош // Вісник Харківського національного універси-
тету імені В.Н. Каразіна. Серія «Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані
системи управління»: Зб. наук. праць. – Харків, 2012. – №1015, Випуск 19. – С. 218-225.
2. Литвин О.М. Про похибку апроксимації функції двох змінних білінійними сплайнами МНК в
інтегральній формі / О.М. Литвин, О.В. Ярмош // Біоніка інтелекту: наук.-техн. журнал. – 2012. -
№ 1(78). – С. 33-36.
3. Сергієнко І.В. Теорія оптимальних алгоритмів / І.В. Сергієнко, В.К. Задірака, О.М. Литвин. – К. :
Наукова думка, 2012. – 404 с.
4. Оптимальні алгоритми обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій та їх застосування. Том 1.
Алгоритми / І.В. Сергієнко, В.К. Задірака, О.М. Литвин, С.С. Мельникова, О.П. Нечуйвітер. – К. :
Наукова думка, 2011. – 448 с.
5. Бабич М.Д. Округления погрешности. Энциклопедия кибернетики / М.Д. Бабич. – К. : Главная
редакция Украинской Советской энциклопедии. – Т. 2. – 1974. – С. 108-109.
6. Уилкинсон Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений / Дж. Х. Уилкинсон. – М.:
Наука, 1970. – 564 с.
7. Воеводин В.В. Матрицы и вычисления / В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов. – М.: Наука, 1984. – 320 с.
8. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / В.В. Воеводин. – М.: Наука, 1977. – 303 с.
9. Бирюков А.Г. Метод оценки погрешностей округления решений задач вычислительной математики в
арифметике с плавающей запятой, основанный на сравнении решений с изменяемой длиной мантиссы
машинного числа / А.Г. Бирюков, А.И. Гриневич // Труды МФТИ. – 2013. – Том 5, № 2. – С. 160-174.
10. Литвин О.М. Интерполирование функций. Учеб. пособ. / О.М. Литвин. – Киев: Учеб.-метод. каб.
высш. образования (УМК ВО), 1988. – 31 с.
Оценка ошибки округления приближения функций двух переменных...
«Штучний інтелект» 2014 № 1 73
2Л
References
1. Lytvyn O.M. Nablyzhennya funktsiyamy spetsial'noho vydu funktsiy dvokh zminnykh, zadanykh
dyskretno abo slidamy na systemi pryamykh / O.M. Lytvyn, O.V. Yarmosh // Visnyk Kharkivs'koho
natsional'noho universytetu imeni V.N. Karazina. Seriya «Matematychne modelyuvannya. Informatsiyni
tekhnolohiyi. Avtomatyzovani systemy upravlinnya»: Zb. nauk. prats'. – Kharkiv, 2012. – #1015,
Vypusk 19. – S. 218-225.
2. Lytvyn O.M. Pro pokhybku aproksymatsiyi funktsiyi dvokh zminnykh biliniynymy splaynamy MNK v
intehral'niy formi / O.M. Lytvyn, O.V. Yarmosh // Bionika intelektu: nauk.-tekhn. zhurnal. – 2012.
#1(78). – S. 33-36.
3. Serhiyenko I.V. Teoriya optymal'nykh alhorytmiv / I.V. Serhiyenko, V.K. Zadiraka, O.M. Lytvyn. – K.:
Naukova dumka, 2012. – 404 s.
4. Optymal'ni alhorytmy obchyslennya intehraliv vid shvydkoostsylyuyuchykh funktsiy ta yikh
zastosuvannya. Tom 1. Alhorytmy / I.V. Serhiyenko, V.K. Zadiraka, O.M. Lytvyn, S.S. Mel'nykova,
O.P. Nechuyviter. – K.: Naukova dumka, 2011. – 448 s.
5. Babich M.D. Okruglenija pogreshnosti. Jenciklopedija kibernetiki / M.D. Babich. – K.: Glavnaja
redakcija Ukrainskoj Sovetskoj jenciklopedii. – T. 2. – 1974. – S. 108-109.
6. Uilkinson Dzh. H. Algebraicheskaja problema sobstvennyh znachenij / Dzh. H. Uilkinson. – M.: Nauka,
1970. – 564 s.
7. Voevodin V.V. Matricy i vychislenija / V.V. Voevodin, Ju.A. Kuznecov. – M.: Nauka, 1984. – 320 s.
8. Voevodin V.V. Vychislitel'nye osnovy linejnoj algebry / V.V. Voevodin. – M.: Nauka, 1977. – 303 s.
9. Birjukov A.G. Metod ocenki pogreshnostej okruglenija reshenij zadach vychislitel'noj matematiki v
arifmetike s plavajushhej zapjatoj, osnovannyj na sravnenii reshenij s izmenjaemoj dlinoj mantissy
mashinnogo chisla / A.G. Birjukov, A.I. Grinevich // Trudy MFTI. – 2013. – Tom 5, № 2. – S. 160-174.
10. Litvin O.M. Interpolirovanie funkcij. Ucheb. posob. / O.M. Litvin. – Kiev: Ucheb.-metod. kab. vyssh.
obrazovanija (UMK VO), 1988. – 31 s.
RESUME
O.M. Lytvyn, O.V. Iarmosh
Estimation of Rounding Errors of Two Variables Functions
Approximation of One-Dimensional Operators
The article discusses approaches to assessing rounding error when applying the
method of approximation of two variables functions defined on a system of tracks
perpendicular straight lines when approximation operator is given in the form of a Boolean
operator sum through dimensional operators acting on the one variable function [1].
On the assumption that the rounding error occurs in the calculation of inverse
matrices, considered two ways of finding the inverse matrix: according to the first method
of solving linear algebraic equations systems bAx , that is search 1A based on the
decomposition of the matrix A into factors, the second method is based on the assumption
that the matrix 1A is the only solution of the matrix equation EAX .
In each case, the inequality given to estimate the relative error of solving systems
bAx by inverse matrix according to [7], [8].
The results of numerical experiments have shown that the one variable function
2)( 2xxf when 10n , 10p relative rounding error is )10( 9O at 10t , )10( 14O
at 15t , )10( 19O at 20t ( t – the number of digits after the decimal point (in the case
of fixed-point) or the mantissa (in the case of floating-point) p -ary system of any
computer calculation). In addition, for more n error increases.
Статья поступила в редакцию 20.12.2013.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85241 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:51:23Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Литвин, О.Н. Ярмош, Е.В. 2015-07-23T12:03:40Z 2015-07-23T12:03:40Z 2014 Оценка ошибки округления приближения функций двух переменных одномерными операторами / О.Н. Литвин, Е.В. Ярмош // Искусственный интеллект. — 2014. — № 1. — С. 64–73. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85241 519.6 В статье предложен подход к оценке ошибки округления, возникающей при приближении функции двух
 переменных одномерными операторами смешанной аппроксимации при решении системы линейных
 алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы. В статті запропоновано підхід до оцінки похибки заокруглення, що виникає при наближенні функції двох
 змінних одновимірними операторами, шляхом розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що
 зводиться до обчислення оберненої матриці. This paper proposes an approach to the assessment of rounding errors arising in the approximation of a function of
 two variables-dimensional operators, by solving a system of linear algebraic equations, which can be reduced to the
 computation of the inverse matrix. ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Искусственный интеллект Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем Оценка ошибки округления приближения функций двух переменных одномерными операторами Оцінка похибки заокруглення наближення функцій двох змінних одномірними операторами Estimation of rounding errors of two variables functions approximation of one-dimensional operators Article published earlier |
| spellingShingle | Оценка ошибки округления приближения функций двух переменных одномерными операторами Литвин, О.Н. Ярмош, Е.В. Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем |
| title | Оценка ошибки округления приближения функций двух переменных одномерными операторами |
| title_alt | Оцінка похибки заокруглення наближення функцій двох змінних одномірними операторами Estimation of rounding errors of two variables functions approximation of one-dimensional operators |
| title_full | Оценка ошибки округления приближения функций двух переменных одномерными операторами |
| title_fullStr | Оценка ошибки округления приближения функций двух переменных одномерными операторами |
| title_full_unstemmed | Оценка ошибки округления приближения функций двух переменных одномерными операторами |
| title_short | Оценка ошибки округления приближения функций двух переменных одномерными операторами |
| title_sort | оценка ошибки округления приближения функций двух переменных одномерными операторами |
| topic | Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем |
| topic_facet | Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85241 |
| work_keys_str_mv | AT litvinon ocenkaošibkiokrugleniâpribliženiâfunkciidvuhperemennyhodnomernymioperatorami AT ârmošev ocenkaošibkiokrugleniâpribliženiâfunkciidvuhperemennyhodnomernymioperatorami AT litvinon ocínkapohibkizaokruglennânabližennâfunkcíidvohzmínnihodnomírnimioperatorami AT ârmošev ocínkapohibkizaokruglennânabližennâfunkcíidvohzmínnihodnomírnimioperatorami AT litvinon estimationofroundingerrorsoftwovariablesfunctionsapproximationofonedimensionaloperators AT ârmošev estimationofroundingerrorsoftwovariablesfunctionsapproximationofonedimensionaloperators |