Практичне застосування неітераційного методу розв'язання рівняння Фредгольма першого роду до задач геофізики
Розглянуто можливiсть ефективного використання неiтерацiйного методу, заснованого на теоремi про згортку й на знаходженнi шуканої функцiї у виглядi ряду Фур’є, що дає змогу знаходити розв’язок рiвняння Фредгольма першого роду типу згортки. The possibility to use efficiently the non-iteration method...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8525 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Практичне застосування неітераційного методу розв'язання рівняння Фредгольма першого роду до задач геофізики / М.Л. Миронцов // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 149-152. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859640434824839168 |
|---|---|
| author | Миронцов, М.Л. |
| author_facet | Миронцов, М.Л. |
| citation_txt | Практичне застосування неітераційного методу розв'язання рівняння Фредгольма першого роду до задач геофізики / М.Л. Миронцов // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 149-152. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Розглянуто можливiсть ефективного використання неiтерацiйного методу, заснованого на теоремi про згортку й на знаходженнi шуканої функцiї у виглядi ряду Фур’є, що дає змогу знаходити розв’язок рiвняння Фредгольма першого роду типу згортки.
The possibility to use efficiently the non-iteration method permitting to find a solution of the Fredholm equation of the first kind of the convolution type based on the convolution theorem and the Fourier transformation is considered.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:22:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 550.8
© 2009
М. Л. Миронцов
Практичне застосування неiтерацiйного методу
розв’язання рiвняння Фредгольма першого роду
до задач геофiзики
(Представлено академiком НАН України В. I. Старостенком)
Розглянуто можливiсть ефективного використання неiтерацiйного методу, засновано-
го на теоремi про згортку й на знаходженнi шуканої функцiї у виглядi ряду Фур’є, що
дає змогу знаходити розв’язок рiвняння Фредгольма першого роду типу згортки.
Розв’язання рiвняння Фредгольма першого роду є класичною некоректною задачею [1, 2],
тому для її розв’язання використовують методи регуляризацiї [3, 4]. Розглянемо задачу
встановлення в деякiй областi L функцiї g(~r), де ~r — вектор n вимiрного простору, за
даними вимiру f(~r), якщо вiдомо, що функцiї пов’язанi мiж собою рiвнянням Фредгольма
першого роду з ядром K:
f(~r) =
∫
L
K(~r ′ − ~r) · g(~r ′) · d~r ′. (1)
При позначеннi коефiцiєнтiв представлення функцiй f , g, σ комплексним n-вимiрним
рядом Фур’є як fi1,...,in , gi1,...,in , σi1,...,in вiдповiдно i, використовуючи теорему про згорт-
ку [5, 6] для ряду, можна стверджувати, що:
gi1,...,in =
fi1,...,in
σi1,...,in
∗
. (2)
Позначимо g′ знайдений ряд Фур’є обмеженої кiлькостi членiв, розрахованих за фор-
мулою (2), продемонструємо застосування цього методу до розв’язання актуальних задач
геофiзики. В цьому методi є лише один параметр, який можна змiнювати i вiд якого зале-
жить розв’язок: це кiлькiсть членiв ряду Фур’є. Вибiр значення цього параметра є очевид-
ним i залежить вiд метрики, в якiй розв’язується задача. За аналогiєю з iншими методами
регуляризацiї його можна називати параметром регуляризацiї. Ми будемо використовувати
метрику L1 та обирати кiлькiсть членiв ряду з умови:
∫
L
∣
∣
∣
∣
∣
f(~r) −
∫
L
K(~r ′ − ~r) · g(~r ′)d~r ′
∣
∣
∣
∣
∣
· d~r → min .
Пiд 1D задачею будемо розумiти задачу, де шукана функцiя залежить вiд однiєї скаляр-
ної змiнної, пiд 2D задачею, вiдповiдно якщо шукана функцiя залежить вiд двох скалярних
змiнних.
1D задача. Для одновимiрного випадку (1) набуватиме вигляду:
f(x) =
∫
L
K(x′ − x) · g(x) · dx′,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 149
Рис. 1. Геометричний фактор зонда iндукцiйного каротажу I2.05
Рис. 2. Розв’язок 1D. Провiднiсть: 1 — вимiряна уявна; 2 — знайдена; 3 — питома (результат розв’язку
оберненої задачi для знайденої уявної провiдностi)
яке, наприклад, пов’язує вимiряну уявну провiднiсть деяким зондом iндукцiйного каро-
тажу з геометричним фактором K [7]. На рис. 1 наведено графiк функцiї геометричного
фактора, широко застосовного на практицi зонда I2.05 [8], для цього зонда на рис. 2 зо-
бражено графiки отриманої чисельно функцiї вимiряної уявної провiдностi для заданого
розподiлу питомої провiдностi (пачка пластiв рiзної питомої провiдностi щiльнiстю 1 м вiд-
дiлених прошарками завтовшки 3 м провiднiстю 10 мСм/м) та графiк значень ряду Фур’є
з коефiцiєнтами, розрахованими за формулою (2).
2D задача. Для двовимiрного випадку розглянемо поширене в задачах гравiметрiї та
магнiтометрiї рiвняння вигляду:
f(x, y) =
∫
L
zg(x, y) dx′dy′
((x − x′)2 + (y − y′)2 + z2)3/2
, (3)
яке пов’язує, наприклад, вимiряну аномалiю поля f для заданого розподiлу невiдомих
мас (зарядiв) g на площинi, вiддаленiй вiд площини вимiру на вiдстань z [9, 10]. Для
моделi, яка складається з квадратної аномалiї густиною 10 в. о., має квадратну форму
в площинi XY (розмiром 100 × 100 в. о.) вiдстанi та знаходиться в нескiнченному про-
сторi густини, що дорiвнює 1 в. о., та вимiру на площинi, вiддаленiй вiд площини роз-
ташування аномалiї на 10 в. о. (z = 10), на рис. 3 наведено графiки ядра рiвняння (3),
150 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
Рис. 3. Данi для 2D задачi (опис моделi див. у текстi): 1 — розподiл густини; 2 — аномальне поле (резуль-
тат розв’язку прямої задачi для заданої питомої провiдностi); 3 — знайдена густина (результат розв’язку
оберненої задачi для знайденої уявної провiдностi); 4 — ядро рiвняння
отриманої чисельно функцiї аномального поля, заданого розподiлу мас та знайденого ря-
ду з коефiцiєнтами, розрахованими за формулою (2). Для зручностi порiвняння — да-
нi наведено для перерiзу (графiки ядра та аномального поля нормованi для можливо-
го порiвняння з графiками заданої та обчисленої густини), що проходить через центр
аномалiї.
Необхiдно пам’ятати про можливiсть виникнення ситуацiї, коли для деяких членiв ряду
|σi1,...,in | = 0 вiдповiднi члени необхiдно вiдкидати або змiнювати (навiть незначним чином)
межi областi L. Крiм того, для випадку кусково-сталої функцiї g в околi точок розриву
обчислений ряд з коефiцiєнтами (2) буде мати особливiсть Гiбса [11]. Тому для наведених
прикладiв для отриманих рядiв було застосовано багаторазову процедуру “згладжування”.
Вибiр необхiдної кiлькостi повторення процедури залежить вiд кiлькостi членiв ряду, якi
використовуються при обчисленнi ряду, та вiд спiввiдношення характерних розмiрiв шука-
них особливостей функцiї g та кроку, з яким проводиться вимiр f . Для збереження точностi
в наведених прикладах при використаннi k-кратної процедури “згладжування” функцiя f
була довизначена в k − 1 точках (по кожнiй з координат у випадку 2D), що рiвномiрно
розташованi мiж сусiднiми точками вимiру.
Принаймнi для розв’язку задачi iндукцiйного каротажу даний метод був описаний, про-
те наведенi результати [12, 13], навiть для простiших модельних задач, значно вiдрiзняються
за точнiстю вiд представлених в цiй роботi. Це можна пояснити значними обчислювальними
ресурсами, необхiдними для знаходження i представлення розв’язку, якi стали широкодо-
ступними лише в останнi роки, хоча навiть при сучасному розвитку обчислювальної технiки
практичне використання методу вже для 2D задач вимагає значного часу числового роз-
рахунку.
Таким чином, можна стверджувати, що метод, заснований на знаходженнi шуканої
функцiї у виглядi ряду Фур’є, дозволяє розв’язувати рiвняння Фредгольма типу згортки
i точно (у межах похибки, визначеної точнiстю числового iнтегрування, кiлькiстю членiв
ряду тощо) розв’язувати задачi геофiзики, заснованi на використаннi цього iнтегрального
рiвняння.
Автор висловлює глибоку вдячнiсть академiку НАН України В. I. Старостенку за увагу до
викладених матерiалiв та конструктивнi зауваження.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №5 151
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – Москва: Наука, 1979. – 284 с.
2. Старостенко В.И., Оганесян С.М. Некорректно поставленные задачи по Адамару и их приближен-
ное решение методом регуляризации А.Н. Тихонова // Геофиз. журн. – 2001. – 23. – С. 3–20.
3. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А. Г. Численные методы решения некоррект-
ных задач. – Москва: Наука, 1990. – 320 с.
4. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. – Киев: Наук. думка,
1973. – 111 с.
5. Свертка // Математическая энциклопедия. Т. 4 / Под ред. И.М. Виноградова. – Москва: Сов. эн-
циклопедия, 1984. – 1216 с.
6. Страхов В.Н. О решении некорректных задач магнито- и гравиметрии, представляемых интеграль-
ным уравнением типа свертки. 1 // Физика Земли. – 1967. – № 4. – С. 36–54.
7. Кауфман А.А. Теория индукционного каротажа. – Москва: Наука, 1965. – 236 с.
8. Девицин В.А., Каган Г.Я., Пантюхин В.А. и др. Многозондовые комплексы индукционного каро-
тажа // НТВ Каротажник. – 1997. – № 30. – С. 24–32.
9. Дор Г. Введение в прикладную геофизику. – Москва: Недра, 1984. – 237 с.
10. Гладкий К.В. Гравиразведка и магниторазведка. – Москва: Недра, 1967. – 321 с.
11. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 2. – Москва: Наука, 1973. – 392 с.
12. Anderson B. I. Barber T.D. Induction Logging. – Paris: Sсhlumberger, 1996. – 45 p.
13. Anderson B. I. Modeling and inversion methods for the interpretation of resistivity lodding tool response. –
Paris: Schlumberge print, 2001. – 377 p.
Надiйшло до редакцiї 11.09.2008ВАТ Дослiдно-конструкторське бюро геофiзичного
приладобудування, Київ
M.L. Myrontsov
Practical application of the non-iteration method for solution of the
Fredholm equation of the first kind to geophysical problems
The possibility to use efficiently the non-iteration method permitting to find a solution of the
Fredholm equation of the first kind of the convolution type based on the convolution theorem and
the Fourier transformation is considered.
152 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8525 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:22:01Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Миронцов, М.Л. 2010-06-04T15:25:01Z 2010-06-04T15:25:01Z 2009 Практичне застосування неітераційного методу розв'язання рівняння Фредгольма першого роду до задач геофізики / М.Л. Миронцов // Доп. НАН України. — 2009. — № 5. — С. 149-152. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8525 550.8 Розглянуто можливiсть ефективного використання неiтерацiйного методу, заснованого на теоремi про згортку й на знаходженнi шуканої функцiї у виглядi ряду Фур’є, що дає змогу знаходити розв’язок рiвняння Фредгольма першого роду типу згортки. The possibility to use efficiently the non-iteration method permitting to find a solution of the Fredholm equation of the first kind of the convolution type based on the convolution theorem and the Fourier transformation is considered. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Науки про Землю Практичне застосування неітераційного методу розв'язання рівняння Фредгольма першого роду до задач геофізики Practical application of the non-iteration method for solution of the Fredholm equation of the first kind to geophysical problems Article published earlier |
| spellingShingle | Практичне застосування неітераційного методу розв'язання рівняння Фредгольма першого роду до задач геофізики Миронцов, М.Л. Науки про Землю |
| title | Практичне застосування неітераційного методу розв'язання рівняння Фредгольма першого роду до задач геофізики |
| title_alt | Practical application of the non-iteration method for solution of the Fredholm equation of the first kind to geophysical problems |
| title_full | Практичне застосування неітераційного методу розв'язання рівняння Фредгольма першого роду до задач геофізики |
| title_fullStr | Практичне застосування неітераційного методу розв'язання рівняння Фредгольма першого роду до задач геофізики |
| title_full_unstemmed | Практичне застосування неітераційного методу розв'язання рівняння Фредгольма першого роду до задач геофізики |
| title_short | Практичне застосування неітераційного методу розв'язання рівняння Фредгольма першого роду до задач геофізики |
| title_sort | практичне застосування неітераційного методу розв'язання рівняння фредгольма першого роду до задач геофізики |
| topic | Науки про Землю |
| topic_facet | Науки про Землю |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8525 |
| work_keys_str_mv | AT mironcovml praktičnezastosuvannâneíteracíinogometodurozvâzannârívnânnâfredgolʹmaperšogorodudozadačgeofíziki AT mironcovml practicalapplicationofthenoniterationmethodforsolutionofthefredholmequationofthefirstkindtogeophysicalproblems |