Mironenko’s limit test for numerical and power series
The report describes the derivation and application of Mironenko’s test for series with positive terms. Mironenko’s test has the same limitations that have d'Alembert's ratio test and Cauchy's radical test. But in practical sense Mironenko’s test has some advantages, moreover, it ca...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Искусственный интеллект |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Англійська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85259 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Mironenko’s limit test for numerical and power series / S.V. Kaida, I.V. Petrenko, L.P. Mironenko // Искусственный интеллект. — 2014. — № 2. — С. 96–99. — Бібліогр.: 2 назв. — англ. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859591587584016384 |
|---|---|
| author | Kaida, S.V. Petrenko, I.V. Mironenko, L.P. |
| author_facet | Kaida, S.V. Petrenko, I.V. Mironenko, L.P. |
| citation_txt | Mironenko’s limit test for numerical and power series / S.V. Kaida, I.V. Petrenko, L.P. Mironenko // Искусственный интеллект. — 2014. — № 2. — С. 96–99. — Бібліогр.: 2 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Искусственный интеллект |
| description | The report describes the derivation and application of Mironenko’s test for series with positive terms.
Mironenko’s test has the same limitations that have d'Alembert's ratio test and Cauchy's radical test. But in
practical sense Mironenko’s test has some advantages, moreover, it can be used for power series research.
У статті описується походження і застосування ознаки Мироненко для рядів з позитивними членами.
Ознака Мироненко має ті ж обмеження, які мають ознака Даламбера та радикальна ознака Коші. Але
в практичному сенсі тест Мироненко має деякі переваги. Крім того, він може бути використаний для
дослiдження степеневих рядiв.
В статье описывается вывод и применение признака Мироненко для рядов с положительными членами.
Признак Мироненко имеет те же ограничения, что и признак Даламбера и радикальный признак Коши.
Однако в практическом смысле признак Мироненко имеет ряд преимуществ и, кроме того, он может быть
использован при исследовании степенных рядов.
|
| first_indexed | 2025-11-27T15:27:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561-5359 «Искусственный интеллект» 2014 № 2 96
4K
UDK 514.116
S.V. Kaida, I.V. Petrenko, L.P. Mironenko
Donetsk National Technical University, Ukraine
Ukraine, 83000, Donetsk, Аrtema st., 58, mironenko.leon@yandex.ru
Mironenko’s Limit Test for Numerical and Power Series
С.В. Кайда, И.В. Петренко, Л.П. Мироненко
Донецкий национальный технический университет, Украина
Украина, 83000, г. Донецк, ул. Артема, 58, mironenko.leon@yandex.ru
Предельный признак Мироненко для числовых и степенных рядов
С.В. Кайда, И.В. Петренко, Л.П. Мироненко
Донецький національний технічний університет, Україна
Україна, 83000, м. Донецьк, вул. Артема, 58
Гранична ознака Мироненко для числових та степеневих рядів
The report describes the derivation and application of Mironenko’s test for series with positive terms.
Mironenko’s test has the same limitations that have d'Alembert's ratio test and Cauchy's radical test. But in
practical sense Mironenko’s test has some advantages, moreover, it can be used for power series research.
Keywords: series, limit test, d'Alembert's ratio test, Cauchy's radical test, limit.
В статье описывается вывод и применение признака Мироненко для рядов с положительными членами.
Признак Мироненко имеет те же ограничения, что и признак Даламбера и радикальный признак Коши.
Однако в практическом смысле признак Мироненко имеет ряд преимуществ и, кроме того, он может быть
использован при исследовании степенных рядов.
Ключевые слова: ряд, предельный признак, признак Даламбера,
радикальный признак Коши, предел.
У статті описується походження і застосування ознаки Мироненко для рядів з позитивними членами.
Ознака Мироненко має ті ж обмеження, які мають ознака Даламбера та радикальна ознака Коші. Але
в практичному сенсі тест Мироненко має деякі переваги. Крім того, він може бути використаний для
дослiдження степеневих рядiв.
Ключові слова: ряд, гранична ознака, ознака Даламбера, радикальна ознака Коші, межа.
Introduction
Tests of the convergence of series with positive terms such as Cauchy’s and
D’alembert’s tests are usually applied to quickly converging series. In the limit form for
any series
1n nu , 0nu these tests can be written down in the forms of inequalities:
0 ,1lim
n
n
nn
uu ,
1lim 1
n
n
n u
u , 0nu .
The first inequality is called Cauchy’s radical test, the second one is D’alembert’s test. For
both tests the sign of equality means uncertainty in a question of convergence of the series.
1 Mironenko’s limit comparison test for series with positive terms
Mironenko’s limit comparison test for series with positive terms is the union of
d'Alembert's ratio test and Cauchy's radical test [1].
Mironenko’s Limit Test for Numerical and Power Series
«Штучний інтелект» 2014 № 2 97
4K
It can be obtained by using arguments similar to d'Alembert's ratio test or Cauchy's
radical test. We will proceed accordingly and show that d'Alembert's ratio test and
Cauchy's radical test are followed from Mironenko’s test.
We consider the series with positive terms
1n nu and compare it with the
geometric progression series
1n
nq , which converges when 1q and diverges when
1q . Assume that inequality n
n qu is satisfied for all n or starting with some arbitrary
number oN . In consequence of continuous and monotonic increase of the logarithmic
function xln when 0x we have the inequality ,lnlnln npqnqu n
n qp ln . From
the last inequality we have got
p
n
un
ln . (1)
Remark. According to the comparison test of convergence for series with positive
terms, if ,1 ,lnln qqp
n
un then series
1n nu diverges.
When n , then according to the necessary comparison test for series with
positive terms we have 0nu or nuln . This means that under the limit sign the
uncertainty
takes place and all conditions of L'Hospital’s rule are fulfilled:
pu
n
u
nn
n
n
lnlimlnlim . (2)
So we have came to the equality
punn
lnlim , (3)
which expresses Mironenko’s limit test: if 0p , then the series
1n nu converges, if
0p , the series diverges, and finally if 0p , the test can not answer the question of the
series convergence.
Cauchy's radical test follows from the inequalities (1) taking into account the remark
ququq
n
u n
n
n
n
n lnlnlnln
and applying subsequent transition to the limit at n .
If there be given the limit [2]
,lim qun
nn
0nu
and 1q , then the series
1n nu converges, if 1q , the series diverges, and finally if
1q , the test can not answer the question of the series convergence.
Let us use Mironenko’s limit test in the form p
u
u
n
n
n
lim to derive d'Alembert's ratio test.
At large value of n the derivative can be represented as nn uu 1 or 1 nn uu . In any
of these embodiments we can get d'Alembert's ratio test.
Kaida S.V., Petrenko I.V., Mironenko L.P.
«Искусственный интеллект» 2014 № 2 98
4K
В
Substitute this expression in the previous inequality and we obtain
p
u
up
u
uu
n
n
n
n
nn
n
1limlim 11 или .1limlim 11 p
u
up
u
uu
n
n
n
n
nn
n
We can demonstrate on simple examples the advantages of Mironenko’s test in
comparison with d'Alembert's and Cauchy's tests.
1. The test convenient to use when the general term of the series has a lot of factors.
Due to the properties of the logarithmic function multiplication and division are converted
to the sum and difference, which is convenient to compute the derivative.
Example 1. Need to establish convergence or divergence of the series
1 23 532
)1ln()2(
n n nn
nn .
Here ,53ln
2
12ln31lnln2lnln 2 nnnnnun
,532
322ln
1ln
1
2
1ln 2
nn
n
nn
un .02lnlnlim
nn
u The series
convergence.
2. Test can be used when the general term has the factorial function !n . At large n
possible to use asymptotic formula for the derivative of the function !n : nnn ln!)!( . This
formula allows to apply test to Cauchy's series as well as d'Alembert's series which contain
as multipliers factorial function.
Example 2. Need to establish convergence or divergence of the series
1 !n
n
n
e .
Here ,!ln!lnlnln nnneu n
n
,ln1
!
ln!1ln n
n
nnun .0lnlim
nn
u The series convergence.
3. Test can be used to power series without distinguishing if series refers to
d'Alembert's ratio test or Cauchy's radical test.
Example 3. Need to establish the radius of convergence of the power series.
1 23
2
533n n
n
nn
x .
Here ,53ln
2
13ln3lnln 22 nnnxu n
n
,532
323lnln2ln 2
nn
nxun 1
3
0
3
ln3lnln2lnlim
22
xx
xunn
The
radius of convergence is 33 x .
Example 4. Need to establish the radius of convergence of the power series.
1
12
)!2(n
n
n
x .
Here ,)!2ln(ln)12()!2ln(lnln 12 nxnnxu n
n
,2lnln2
)!2(
))!2((ln2ln nx
n
nxun
0lnlim
nn
u The radius of convergence is
x .
Mironenko’s Limit Test for Numerical and Power Series
«Штучний інтелект» 2014 № 2 99
4K
4. Mironenko’s test has the same limitations that have d'Alembert's ratio test and
Cauchy's radical test.
Example 5. Need to establish convergence or divergence of the series
1 !n n
n
en
n .
Here ,!lnlnlnln nennnun ,0
!
!11lnln
n
nnun .0lnlim
nn
u Test can
not answer the question of convergence of the series.
Conclusions
1. Mironenko’s limit comparison test for series with positive terms is obtained. The
test has the same opportunities as d'Alembert's ratio test and Cauchy's radical test, but it
has some advantages in comparison with them.
2. d'Alembert's ratio test and Cauchy's radical test are follow from Mironenko’s test.
Appendix. Calculating the derivative of !n we will proceed from the Stirling's formula
)(
51840
139
288
1
12
112! 4
32 no
nnn
ennn nn ,
which confine only a first approximation. Need to logarithm and differentiate
.
12
11lnlnln2ln!ln
n
ennu nn
We assume approximationе ,12/112/11ln nn when
,
12
1lnln
2
12ln!ln
n
nnnnu ,
12
1
2
1ln!ln 2nn
nn
Finally, nn
nn
nnn
n
ln!
12
1
2
1ln!!
12
References
1. Mironenko L.P. The proof of an equivalence of D’alembert’s and Cauchy’s tests in the theory of
numerical series / L.P. Mironenko // Artificial intelligence. – 2013. – № 3. P. 507-511.
2. Fikhtengolts G.M. Differential and integral calculus / Fikhtengolts G.M. - Moscow: Nauka Publishing
House of the FML, 1972. – Vol. 1. – 795 p.
RESUME
S.V. Kaida, I.V. Petrenko, L.P. Mironenko
Mironenko’s Limit Test For Numerical And Power Series
Background: Mironenko’s limit comparison test for series with positive terms is the union
of d'Alembert's ratio test and Cauchy's radical test.
Materials and methods: Methods of differential calculus, L'Hospital’s rule, arguments
similar to d'Alembert's ratio test and Cauchy's radical test were used in the paper.
Results: One more limit comparison test for series with positive terms is obtained.
Conclusion: Mironenko’s limit comparison test for series with positive terms has the same
opportunities as d'Alembert's ratio test and Cauchy's radical test, but it has also some advantages
in comparison with them.
The article entered release 03.04.2014.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85259 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | English |
| last_indexed | 2025-11-27T15:27:36Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Kaida, S.V. Petrenko, I.V. Mironenko, L.P. 2015-07-23T12:54:25Z 2015-07-23T12:54:25Z 2014 Mironenko’s limit test for numerical and power series / S.V. Kaida, I.V. Petrenko, L.P. Mironenko // Искусственный интеллект. — 2014. — № 2. — С. 96–99. — Бібліогр.: 2 назв. — англ. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85259 514.116 The report describes the derivation and application of Mironenko’s test for series with positive terms. Mironenko’s test has the same limitations that have d'Alembert's ratio test and Cauchy's radical test. But in practical sense Mironenko’s test has some advantages, moreover, it can be used for power series research. У статті описується походження і застосування ознаки Мироненко для рядів з позитивними членами. Ознака Мироненко має ті ж обмеження, які мають ознака Даламбера та радикальна ознака Коші. Але в практичному сенсі тест Мироненко має деякі переваги. Крім того, він може бути використаний для дослiдження степеневих рядiв. В статье описывается вывод и применение признака Мироненко для рядов с положительными членами. Признак Мироненко имеет те же ограничения, что и признак Даламбера и радикальный признак Коши. Однако в практическом смысле признак Мироненко имеет ряд преимуществ и, кроме того, он может быть использован при исследовании степенных рядов. en Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Искусственный интеллект Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Mironenko’s limit test for numerical and power series Гранична ознака Мироненко для числових та степеневих рядів Предельный признак Мироненко для числовых и степенных рядов Article published earlier |
| spellingShingle | Mironenko’s limit test for numerical and power series Kaida, S.V. Petrenko, I.V. Mironenko, L.P. Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| title | Mironenko’s limit test for numerical and power series |
| title_alt | Гранична ознака Мироненко для числових та степеневих рядів Предельный признак Мироненко для числовых и степенных рядов |
| title_full | Mironenko’s limit test for numerical and power series |
| title_fullStr | Mironenko’s limit test for numerical and power series |
| title_full_unstemmed | Mironenko’s limit test for numerical and power series |
| title_short | Mironenko’s limit test for numerical and power series |
| title_sort | mironenko’s limit test for numerical and power series |
| topic | Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| topic_facet | Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85259 |
| work_keys_str_mv | AT kaidasv mironenkoslimittestfornumericalandpowerseries AT petrenkoiv mironenkoslimittestfornumericalandpowerseries AT mironenkolp mironenkoslimittestfornumericalandpowerseries AT kaidasv graničnaoznakamironenkodlâčislovihtastepenevihrâdív AT petrenkoiv graničnaoznakamironenkodlâčislovihtastepenevihrâdív AT mironenkolp graničnaoznakamironenkodlâčislovihtastepenevihrâdív AT kaidasv predelʹnyipriznakmironenkodlâčislovyhistepennyhrâdov AT petrenkoiv predelʹnyipriznakmironenkodlâčislovyhistepennyhrâdov AT mironenkolp predelʹnyipriznakmironenkodlâčislovyhistepennyhrâdov |