Моделирование динамики и расчет робастных параметров системы управления электропривода на основе корневых портретов
В статье рассматривается задача моделирования динамики управления потокосцеплением ротора в системе векторного управления асинхронного электродвигателя с использованием математической модели в форме расширенного корневого годографа. Выполнен расчет параметров системы при ее функционировании в усло...
Saved in:
| Published in: | Искусственный интеллект |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85263 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделирование динамики и расчет робастных параметров системы управления электропривода на основе корневых портретов / А.А. Несенчук, О.Ф. Опейко, Д.С. Однолько // Искусственный интеллект. — 2014. — № 3. — С. 90–103. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85263 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Несенчук, А.А. Опейко, О.Ф. Однолько, Д.С. 2015-07-23T13:00:18Z 2015-07-23T13:00:18Z 2014 Моделирование динамики и расчет робастных параметров системы управления электропривода на основе корневых портретов / А.А. Несенчук, О.Ф. Опейко, Д.С. Однолько // Искусственный интеллект. — 2014. — № 3. — С. 90–103. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85263 681.511.2; 621:658.011.56 В статье рассматривается задача моделирования динамики управления потокосцеплением ротора в системе векторного управления асинхронного электродвигателя с использованием математической модели в форме расширенного корневого годографа. Выполнен расчет параметров системы при ее функционировании в условиях существенной параметрической неопределенности объекта. Результаты моделирования переходных процессов подтверждают малую чувствительность системы к параметрическим возмущениям. У статті розглядається задача моделювання динаміки управління потокозчеплення ротора в системі векторного керування асинхронного електродвигуна з використанням математичної моделі у формі розширеного кореневого годографа. Виконано розрахунок параметрів системи при її функціонуванні в умовах суттєвої параметричної невизначеності об’єкта. Результати моделювання перехідних процесів підтверджують малу чутливість системи до параметричних збурень. The paper considers the task of simulation of the rotor flux control system dynamics in the rotor flux oriented vector control system of the induction motor with application of the mathematical model in the form of the extended root locus. Control system parameters calculation has been carried out in consideration of the system functioning in conditions of substantial parametric uncertainty. The results of time response simulation confirm small sensitivity of the system to parameter variations. ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Искусственный интеллект Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Моделирование динамики и расчет робастных параметров системы управления электропривода на основе корневых портретов Моделювання динаміки і розрахунок робастних параметрів системи управління електроприводана основі кореневих портретів Dynamics simulation and calculation of robust parameters for the electric drive control system on the basis of the root locus portraits Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Моделирование динамики и расчет робастных параметров системы управления электропривода на основе корневых портретов |
| spellingShingle |
Моделирование динамики и расчет робастных параметров системы управления электропривода на основе корневых портретов Несенчук, А.А. Опейко, О.Ф. Однолько, Д.С. Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| title_short |
Моделирование динамики и расчет робастных параметров системы управления электропривода на основе корневых портретов |
| title_full |
Моделирование динамики и расчет робастных параметров системы управления электропривода на основе корневых портретов |
| title_fullStr |
Моделирование динамики и расчет робастных параметров системы управления электропривода на основе корневых портретов |
| title_full_unstemmed |
Моделирование динамики и расчет робастных параметров системы управления электропривода на основе корневых портретов |
| title_sort |
моделирование динамики и расчет робастных параметров системы управления электропривода на основе корневых портретов |
| author |
Несенчук, А.А. Опейко, О.Ф. Однолько, Д.С. |
| author_facet |
Несенчук, А.А. Опейко, О.Ф. Однолько, Д.С. |
| topic |
Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| topic_facet |
Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Искусственный интеллект |
| publisher |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Моделювання динаміки і розрахунок робастних параметрів системи управління електроприводана основі кореневих портретів Dynamics simulation and calculation of robust parameters for the electric drive control system on the basis of the root locus portraits |
| description |
В статье рассматривается задача моделирования динамики управления потокосцеплением ротора в
системе векторного управления асинхронного электродвигателя с использованием математической модели в
форме расширенного корневого годографа. Выполнен расчет параметров системы при ее функционировании в условиях существенной параметрической неопределенности объекта. Результаты моделирования
переходных процессов подтверждают малую чувствительность системы к параметрическим возмущениям.
У статті розглядається задача моделювання динаміки управління потокозчеплення ротора в системі
векторного керування асинхронного електродвигуна з використанням математичної моделі у формі
розширеного кореневого годографа. Виконано розрахунок параметрів системи при її функціонуванні
в умовах суттєвої параметричної невизначеності об’єкта. Результати моделювання перехідних процесів
підтверджують малу чутливість системи до параметричних збурень.
The paper considers the task of simulation of the rotor flux control system dynamics in the rotor flux oriented
vector control system of the induction motor with application of the mathematical model in the form of the
extended root locus. Control system parameters calculation has been carried out in consideration of the
system functioning in conditions of substantial parametric uncertainty. The results of time response
simulation confirm small sensitivity of the system to parameter variations.
|
| issn |
1561-5359 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85263 |
| citation_txt |
Моделирование динамики и расчет робастных параметров системы управления электропривода на основе корневых портретов / А.А. Несенчук, О.Ф. Опейко, Д.С. Однолько // Искусственный интеллект. — 2014. — № 3. — С. 90–103. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT nesenčukaa modelirovaniedinamikiirasčetrobastnyhparametrovsistemyupravleniâélektroprivodanaosnovekornevyhportretov AT opeikoof modelirovaniedinamikiirasčetrobastnyhparametrovsistemyupravleniâélektroprivodanaosnovekornevyhportretov AT odnolʹkods modelirovaniedinamikiirasčetrobastnyhparametrovsistemyupravleniâélektroprivodanaosnovekornevyhportretov AT nesenčukaa modelûvannâdinamíkiírozrahunokrobastnihparametrívsistemiupravlínnâelektroprivodanaosnovíkorenevihportretív AT opeikoof modelûvannâdinamíkiírozrahunokrobastnihparametrívsistemiupravlínnâelektroprivodanaosnovíkorenevihportretív AT odnolʹkods modelûvannâdinamíkiírozrahunokrobastnihparametrívsistemiupravlínnâelektroprivodanaosnovíkorenevihportretív AT nesenčukaa dynamicssimulationandcalculationofrobustparametersfortheelectricdrivecontrolsystemonthebasisoftherootlocusportraits AT opeikoof dynamicssimulationandcalculationofrobustparametersfortheelectricdrivecontrolsystemonthebasisoftherootlocusportraits AT odnolʹkods dynamicssimulationandcalculationofrobustparametersfortheelectricdrivecontrolsystemonthebasisoftherootlocusportraits |
| first_indexed |
2025-11-25T20:34:28Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:34:28Z |
| _version_ |
1850523281988255744 |
| fulltext |
ISSN 1561-5359 «Искусственный интеллект» 2014 № 3 90
4Н
УДК 681.511.2; 621:658.011.56
А.А. Несенчук1, О.Ф. Опейко2, Д.С. Однолько2
1Объединенный институт проблем информатики
Национальной академии наук Беларуси (ОИПИ НАН Беларуси), Беларусь
Беларусь, 220012, г. Минск, ул. Сурганова, 6
2Белорусский национальный технический университет (БНТУ), Беларусь
Беларусь, 220013, пр-т Независимости, 65
Моделирование динамики и расчет робастных
параметров системы управления электропривода
на основе корневых портретов
A.A. Nesenchuk1, O.F. Opeiko2, D.S. Odnolko2
1United Institute of Informatics Problems of the National Academy of Sciences of Belarus
(UIIP NAS Belarus), Belarus
Belarus, 220012, Minsk, Surganov str., 6.
2Belarusian National Technical University (BNTU), Belarus
Belarus, 220013, Nezavisimosti ave., 65
Dynamics Simulation and Calculation of Robust Parameters for the Electric
Drive Control System on the Basis of the Root Locus Portraits
А.А.. Несенчук1, О.Ф. Опейко2, Д.С. Однолько2
1Об’єднаний інститут проблем інформатики Нацiональної академiї наук Білоруси, Білорусь
Бiлорусь, 220012, м. Мiнськ, вул. Сурганова, 6,
2Білоруський національний технічний університет (БНТУ), Білорусь
Білорусь, 220013, м. Мiнськ, пр. Незалежності, 65
Моделювання динаміки і розрахунок робастних параметрів системи
управління електроприводана основі кореневих портретів
В статье рассматривается задача моделирования динамики управления потокосцеплением ротора в
системе векторного управления асинхронного электродвигателя с использованием математической модели в
форме расширенного корневого годографа. Выполнен расчет параметров системы при ее функциони-
ровании в условиях существенной параметрической неопределенности объекта. Результаты моделирования
переходных процессов подтверждают малую чувствительность системы к параметрическим возмущениям.
Ключевые слова: динамическая система, корневой годограф, моделирование,
робастная устойчивость.
The paper considers the task of simulation of the rotor flux control system dynamics in the rotor flux oriented
vector control system of the induction motor with application of the mathematical model in the form of the
extended root locus. Control system parameters calculation has been carried out in consideration of the
system functioning in conditions of substantial parametric uncertainty. The results of time response
simulation confirm small sensitivity of the system to parameter variations.
Key words: dynamic system, root locus, modeling, robust stability.
У статті розглядається задача моделювання динаміки управління потокозчеплення ротора в системі
векторного керування асинхронного електродвигуна з використанням математичної моделі у формі
розширеного кореневого годографа. Виконано розрахунок параметрів системи при її функціонуванні
в умовах суттєвої параметричної невизначеності об’єкта. Результати моделювання перехідних процесів
підтверджують малу чутливість системи до параметричних збурень.
Ключові слова: динамічна система, кореневої годограф, моделювання, робастності стійкість.
Моделирование динамики и расчет робастных параметров системы управления...
«Штучний інтелект» 2014 № 3 91
4Н
Введение
В области исследования и синтеза динамических систем с неопределенностью
существует значительное количество известных подходов и методов. Среди совре-
менных методов синтеза, наряду с частотными [1], можно отметить метод модального
управления [2], позволяющий задавать желаемое расположение корней, корневого
годографа [1], [3-7], а также методы последовательной оптимизации контуров [8] и
пространства состояний [1], используемые для структурного синтеза, и ряд других.
Представляют большой интерес задачи об устойчивости, решаемые в современных
постановках в робастном варианте [5-7], [9]. Преимущество корневого подхода к
проблеме [3-7] состоит в том, что само его использование уже предполагает пара-
метрические вариации, он идеально подходит для синтеза систем и отличается большой
наглядностью, позволяя не только рассчитать требуемые значения параметров системы,
но также в деталях наблюдать характер изменения динамических свойств, реакцию
системы в ответ на параметрические вариации, что является важным при исследовании
неопределенных систем.
В системах векторного управления электроприводом от качества управления
потокосцеплением в значительной степени зависит качество управления электро-
магнитным моментом и скоростью, энергетическая эффективность привода. Вопросы
управления потокосцеплением в условиях параметрической неопределенности актуальны,
и изучаются многими исследователями [10-12].
Существенное значение имеет задача выбора вида полинома синтезируемой
системы по критерию принадлежности корней заданной области на комплексной
плоскости при изменениях параметров объекта.
1 Динамические характеристики канала управления
потокосцеплением
На рис. 1 представлена структурная схема системы управления потокосцеплением
электропривода, в которой объектом является асинхронный электродвигатель.
Рисунок 1 – Структурная схема системы управления электропривода
Запишем уравнение динамики системы управления:
,)1(
1
/1
)))(((
12
2
2
2*
L
sTi
sT
R
T
kKiK x
e
e
ртxрп
(1)
где ψ – потокосцепление, Вб;
Kрп, Kрт – передаточные функции регулятора потокосцепления и тока соответственно;
c0, c1, β0, β1 – коэффициенты регуляторов потокосцепления и тока (c0 = const);
Несенчук А.А., Опейко О.Ф., Однолько Д.С.
«Искусственный интеллект» 2014 № 3 92
4Н
Re – сопротивление эквивалентное, Ом;
Te – постоянная времени эквивалентная, с;
L12 – взаимоиндуктивность статора и ротора, Гн (L12 = const);
T2 – постоянная времени ротора, с;
k2 = const;
ix – сила тока, А.
Характеристический полином системы имеет следующий вид:
,)1)(1()1)(()()( 2
12
2
2
2
2
2011010 s
L
RsTsTs
T
kssTsccssN e
e (2)
где ;1
0
eT
;
21
T
RT ee ;
4 12
2
LT
T
рп
;1
2
0 T
c c1 = βрп;
Tµ – малая постоянная времени.
Характеристический полином является полиномом четвертой степени.
Параметры регулятора: β0, β1, с0, с1; параметры объекта: Re, L12, Te, T2, k2.
Преобразовав полином (2), получим выражения для определения коэффициентов
характеристического полинома.
;
12
20 L
RTTa e
e (3)
;21
12
2
12
1 T
L
RT
L
RTa ee
e (4)
;
123
2
1201112 L
R
T
kTca e (5)
;101011103 ccca .10104 cca (6)
.10104 cca (7)
2 Моделирование динамики электропривода в условиях
неопределенности на основе математической модели
в форме корневого портрета
2.1 Описание динамики системы управления
с учетом параметрической неопределенности
При функционировании электропривода параметры объекта, электродвигателя,
под воздействием различных факторов могут изменяться в широких пределах, т.е.
имеет место параметрическая неопределенность. Поэтому, систему управления электро-
двигателем будем рассматривать как систему с интервальной неопределенностью.
Запишем характеристический полином системы управления приводом на ос-
новании (2) в общем виде следующим образом:
s4 + a1s3 + a2s + a3 = p(s), (8)
где коэффициенты aj действительны и изменяются в следующих пределах:
;0,4,0, 0 ajaaa jjj (9)
ja и ja – соответственно минимальное и максимальное значения замкнутого
интервала изменения коэффициента aj.
Моделирование динамики и расчет робастных параметров системы управления...
«Штучний інтелект» 2014 № 3 93
4Н
Для обеспечения заданного качества работы привода требуется разместить се-
мейство корней интервального полинома (8) в области Q, ограниченной двумя линиями
β1 и β2 (рис. 2) равной степени устойчивости, описываемыми соответственно уравне-
ниями
σmax = – 4,5, σmin = – 105. (10)
Для решения поставленной задачи будем использовать расширение [6] полино-
ма (8) и, соответственно, его расширенный корневой годограф [6].
Запишем расширенный полином от (8) в виде
)4.11(.0
)3.11(,0
)2.11(,0
)1.11(,0
))((
43
2
2
3
1
4
2
2
1
3
21
2
1
4
asasasas
sasas
asas
as
spE . (11)
На основании заданных границ (10) области качества Q и, используя расширенный
полином (11), определим интервалы значений параметров (коэффициентов) (8), в преде-
лах которых сохраняется робастная устойчивость и робастное качество системы.
2.2 Определение интервальных параметров,
обеспечивающих робастные свойства системы управления приводом
В соответствии с разработанной методикой [6] для вычисления значений границ
интервалов параметров а2, а3 и а4 используем соответственно уравнения (11.2), (11.3)
и (11.4) расширенного полинома (11). Чтобы применить данную методику к интер-
вальному характеристическому полиному с целью обеспечения заданных требований
качества переходного процесса, разобьем интервал (10) линиями равной степени
устойчивости b1 и b2 (рис. 2), которые соответственно будут ограничивать области
размещения корней (области качества) полинома (11.2) и полинома (11.3).
Рисунок 2 – Расположение границ β1 и β2 области качества Q системы
Несенчук А.А., Опейко О.Ф., Однолько Д.С.
«Искусственный интеллект» 2014 № 3 94
4Н
Таким образом, область качества Q, расположенная между заданными границами β1
и β2 локализации корней системы, оказалась разделенной на три подобласти – Q1, Q2
и Q3, две первые из которых будут ограничивать размещение корней полиномов
(11.2) и (11.3) расширения соответственно. Значения координат ω для границ b1 и b2
подобластей Q1, Q2 будем определять ниже, при рассмотрении соответствующих
уравнений расширения (11).
2.2.1 Определение интервала изменения параметра а2
С целью синтеза требуемого характеристического полинома рассмотрим вначале
полином (11.2) расширения (11) второй степени. Подставив в (11.2) значение ком-
плексного переменного s = σ + iω, запишем
(σ + iω)2 + a1(σ + iω) + a2 =0.
После преобразования получим
σ2 + i(2σω + a1ω) – ω2 + a1σ + a2 =0.
На основании последнего выражения запишем уравнение коневого годографа (УКГ)
и уравнение параметра (УП) годографа:
УКГ: 2σω + a1ω = 0, (12)
УП: σ2 – ω2 + a1σ + a2 = 0. (13)
Уравнение (12) распадается на два уравнения, первое из которых представляет
собой уравнение Бендрикова – Теодорчика, т.е. уравнение корневого годографа в
комплексной плоскости
УКГ: σ = – a1/2, (14)
а второе является уравнением корневого годографа на действительной оси
ω = 0. (15)
Из (13) получим выражение для определения параметра a2:
a2 = – σ 2 + ω2 – a1 σ = σ 2 + ω2. (16)
Зададим значение параметра a1 т.о., чтобы корневой годограф (14) располагался
внутри области качества Q ближе к левой границе β1 этой области. Примем значение
a1 = 155 = const, поскольку, исходя из установленных особенностей конфигурации,
динамических, асимптотических свойств семейств годографов систем второго по-
рядка [5], при любых значениях a1, изменяющихся в пределах 9 < a1 < 155, семейство
годографов полинома второй степени будет располагаться в пределах области Q,
ограниченной параллельными линиями β1 и β2. Тогда уравнение корневого
годографа примет вид
σ = – 77,5. (17)
Соответствующий корневой годограф уравнения второй степени представлен на рис. 3.
Направление миграции корней вдоль ветвей годографа показано стрелками. Очевидно,
что комплексные ветви корневого годографа совпадают с границей b1, для которой
координата σb1 пересечения с осью σ устанавливается равной
σb1 = – a1/2= – 77,5.
Моделирование динамики и расчет робастных параметров системы управления...
«Штучний інтелект» 2014 № 3 95
4Н
Определим интервал изменения параметра a2 расположенным между точками
t1(–77,5;0) и t2(–77,5;40) (рис. 2 и 3), т.е. примем
],[ 22 aa = [a2(t1), a2(t2)], (18)
и, используя выражение (16), вычислим значения а2 в отмеченных точках.
Рисунок 3 – Корневой годограф Теодорчика – Эванса полинома (11.2)
расширения при значении a1 = 155
а2(t1) = 2a = (– 77,5)2 + 0 = 6006,25;
а2(t2) = 2a = (– 77,5)2 + 402 = 7606,25.
Следовательно, полученный на основании (11.2) интервал изменения параметра а2
годографа равен
],[ 22 aa = [6006,25, 7606,25]. (19)
2.2.2 Определение интервала изменения параметра а3
Для определения а3 рассмотрим полином (11.3) третьей степени расширения
(11). Подставив в (11.3) значение комплексного переменного s = σ + iω и выполнив
соответствующие преобразования аналогично выполненным в предыдущем разделе,
запишем соответственно уравнение корневого годографа и уравнение параметра
годографа полинома (11.3):
УКГ: 3σ2 ω – ω3 + 2а1σω +а2ω = v(σ,ω) = 0, (20)
УП: σ3 – 3σω2 + a1σ2 – a1ω2 + а2σ = u(σ,ω) = – a3. (21)
Уравнение (20) распадается на два уравнения, первое из которых представляет
собой уравнение Бендрикова – Теодорчика, т.е. уравнение корневого годографа в
комплексной плоскости
УКГ: 3σ2 – ω2 + 2а1σ +а2 = 0, (22)
а второе является уравнением корневого годографа на действительной оси
ω = 0. (23)
Несенчук А.А., Опейко О.Ф., Однолько Д.С.
«Искусственный интеллект» 2014 № 3 96
4Н
Из (21) получим выражение для определения параметра a3 (формулу параметра):
a3= – σ3 + 3σω2 – a1σ2 + a1ω2 – а2σ. (24)
Определим границу области качества Q2 (линию b2) для семейства полиномов
третьей степени уравнением
σb2 = – 25. (25)
Очевидно, что искомые граничные значения интервала вариации параметра а3 будут
определяться характером пересечения границы (25) семейством годографов (11.3) и
значениями этого параметра в точках пересечения b2 ветвями этого семейства.
Поэтому получим выражения для определения а3 и исследуем характер пересечения
b2 ветвями семейства.
Значения а3 определяются по формуле (24). Предварительно в нее следует под-
ставить значение σ согласно выражению (25) и соответствующие значения координат ω
точек пересечения ветвями годографов границы b2, которые определяются по формуле
,23 21
2 aa (26)
полученной на основании (22).
Ввиду того, что функция параметра а3(ω) (24) является непрерывной диф-
ференцируемой функцией и, следовательно, на границе b2 в общем случае будет
иметь место чередование участков возрастания и убывания этой функции, для опре-
деления границ интервала а3 определим вначале минимальное и максимальное
значения координат ω в области пересечения семейством годографов (11.3) границы
b2, а именно координаты ωmin и ωmax, исходя из выражения (26). Запишем соответст-
вующие формулы:
,23 21
2
min aa (27)
.23 21
2
max aa (28)
,014,925,6006)25(1552)25(3 2
min
.6,4125,7606)25(1552)25(3 2
max
Полученные значения ωmin и ωmax соответствуют точкам t3 и t4 на рис. 4,
которые ограничивают область пересечений (отрезок t3t4) границы b2 семейством
ветвей корневого портрета полинома (11.3).
На основании значений ωmin и ωmax вычислим значения а3min и a3max параметра
а3 соответственно в точках t3 и t4 по следующим формулам:
,3 2
2
min1
2
1
2
min
3
min3 aaaa (29)
.3 2
2
max1
2
1
2
max
3
max3 aaaa (30)
а3min = – (–25)3 +3 (–25) (9,014)2 –155 (–25)2 +155 (9,014)2 – 6006,25 (–25) = 75406,1;
a3max = – (–25)3 +3 (–25) (41,6)2 –155 (–25)2 +155 (41,6)2 – 7606,25 (–25) = 247351,1.
Соответствующий корневой портрет, иллюстрирующий полученные результа-
ты, показан на рис. 4. Портрет представлен полем корневых траекторий, которое
иллюстрируется тремя линиями уровня. Ограничивающие поле линии пересекают
границу b2 в точках t3 и t4. Область пересечений корневого портрета с границей b2
представляет собой отрезок t3t4 на этой границе (показан утолщенной линией на рис. 4.
Моделирование динамики и расчет робастных параметров системы управления...
«Штучний інтелект» 2014 № 3 97
4Н
Рисунок 4 – Поле корневых траекторий полинома (11.3) расширения
В соответствии с отмеченным выше, значения параметра а3 в области пере-
сечений непрерывно возрастают от точки t3 к точке t4. Поэтому в качестве верхней
границы изменения а3 примем минимальное значение а3 в области пересечений (в
точке t3), т.е.
.1,75406min33 aa (31)
Очевидно, что значения параметра а3 в точках пересечения действительными
положительными ветвями годографов поля границы β2 имеют тенденцию изменения
аналогичную изменению параметра на границе b2, т.е. монотонно возрастают с во-
зрастанием а2. Проверка значения а3 =
'
3a в точке пересечения границы β2 действи-
тельной положительной (устремленной в левую полуплоскость) ветвью годографа
поля, построенного при значении а2 = 2a , показала, что это значение превышает а3min,
т.е. а3min <
'
3a . Поэтому выражение (31) является справедливым.
Определим теперь нижнюю границу 3a интервала изменения параметра а3. Для
этого на основании (22) получим выражение для определения координат точек
пересечения годографами портрета действительной оси σ:
.
3
1
9
1
3
1
2
2
11 aaar (32)
Значения параметра в этих точках будем вычислять по формуле
a3r= – σr
3 – a1σr
2 – а2σr. (33)
На основании формул (32) и (33) подсчитаем значение а3 в точках σr1' и σr1''
пересечения оси σ годографом, ограничивающим поле корневых траекторий снизу и
проходящим через точку t3 (рис. 4).
,81,2525,6006
3
1155
9
1155
3
1' 2
1 r
;5,7725,6006
3
1155
9
1155
3
1'' 2
1 r
Несенчук А.А., Опейко О.Ф., Однолько Д.С.
«Искусственный интеллект» 2014 № 3 98
4Н
a3r' = (– σr1')3 – a1(– σr1')2 – а2 σr1' = (25,81)3 – 155 (25,81)2 + 6006,25 (25,81) =
= 17193,5 – 103254,2 + 155021,3 = – 86060,7 + 155021,3 = 68960,6,
a3r'' = (– σr1'')3 – a1(– σr1'')2 – а2 σr1'' = (77,5)3 – 155 (77,5)2 + 6006,25 (77,5) =
= 465484,375 – 930968,75 + 465484,375 = 0.
На основании приведенного выше определим минимальную границу интервала
изменения параметра а3 в точке с координатой σr1' равной
,6,68960'33 raa (34)
поскольку, как показала проверка, значение а3 =
'
3a в точке пересечения границы β2
действительной положительной ветвью годографа, устремленной в левую полуплоскость,
превышает значение а3 в точке σr1', т.е. a3r' <
'
3a . Следовательно
].1,75406,6,68960[],[ 333 aaa (35)
2.2.3 Определение интервала изменения параметра а4
Для определения а4 рассмотрим полином (11.4) четвертой степени расширения (11).
Подставив в (11.4) значение комплексного переменного s = σ + iω и сделав соответ-
ствующие преобразования аналогично выполненным в предыдущих разделах, запишем
соответственно уравнение корневого годографа и уравнение параметра годографа
полинома (11.4):
УКГ: 0),(2344 32
3
1
2
1
33 vaaaa , (36)
УП: 43
2
2
2
2
2
1
3
1
4224 ),(36 auaaaaa . (37)
Уравнение (36) распадается на два уравнения, первое из которых представляет
собой уравнение Бендрикова – Теодорчика, т.е. уравнение корневого годографа в
комплексной плоскости
УКГ: ,02344 32
2
1
2
1
23 aaaa (38)
а второе является уравнением корневого годографа на действительной оси
ω = 0. (39)
Из (37) получим выражение для определения параметра a3 (формулу параметра):
.36 3
2
2
2
2
2
1
3
1
4224
4 aaaaaa (40)
Граница области качества Q (линия β1 на рис. 2) для семейства полиномов
четвертой степени определена выражением (10).
Очевидно, что искомые граничные значения интервала вариации параметра а4
будут определяться характером пересечения границы β1 семейством годографов (11.4) и
значениями этого параметра в точках пересечения β1 ветвями этого семейства. Поэтому
получим выражения для определения а4 и исследуем характер пересечения β1 ветвями
семейства.
Значения а4 определяются по формуле (40). Предварительно в нее следует
подставить значение σ согласно выражению (10) и соответствующие значения ко-
ординат ω точек пересечения ветвями годографов границы β1, которые определяются по
формуле
,
4
234
1
32
2
1
3
a
aaa
(41)
полученной на основании (38).
Моделирование динамики и расчет робастных параметров системы управления...
«Штучний інтелект» 2014 № 3 99
4Н
Используем также уравнение корневого годографа в форме
0234 32
2
1
3 aaa (42)
и уравнение параметра в форме
43
2
2
3
1
4 aaaa (43)
для установления характера пересечения ветвями корневого годографа действительной оси .
Ввиду того, что функция параметра а4(σ,ω) (40) является непрерывной диф-
ференцируемой функцией и, следовательно, на границе β1 в общем случае будет
иметь место чередование участков возрастания и убывания этой функции, для
определения границ интервала а4 определим вначале минимальное и максимальное
значения координат ω в области пересечения семейством годографов (11.4) границы
β1 а именно координаты ωmin и ωmax, исходя из выражения (41). Запишем соответ-
ствующие формулы:
,
4
234
1
32
2
1
3
min a
aaa
(44)
.
4
234
1
32
2
1
3
max a
aaa
(45)
155)5,4(4
6,68960)5,4(25,76062)5,4(1553)5,4(4 23
min
;35,8
137
1,9556
155)5,4(4
1,75406)5,4(25,60062)5,4(1553)5,4(4 23
max
.9,14
137
6,30401
Полученные значения ωmin и ωmax соответствуют точкам t5 и t6 на рис. 5,
которые ограничивают область пересечений (отрезок t5t6) границы β1 семейством
ветвей корневого портрета полинома (11.4).
На основании полученных выше значений ωmin и ωmax вычислим значения а4' и
a4'' параметра а4 соответственно в точках t5 и t6 по следующим формулам:
;36' 3
2
min2
2
2
2
min1
3
1
4
min
2
min
24
4 aaaaaa (46)
.36'' 3
2
max2
2
2
2
max1
3
1
4
max
2
max
24
4 aaaaaa (47)
Тогда
а4' (t5) = – (–4,5)4 +6 (–4,5)2 (8,35)2 – (8,35)4 – 155 (–4,5)3 + 3·155·(–4,5) (8,35)2 –
–7606,25 (–4,5)2 + 7606,25 (8,35)2 – 68960,6·(–4,5) = 558052,975;
a4'' (t6) = – (–4,5)4 +6 (–4,5)2 (14,9)2 – (14,9)4 – 155 (–4,5)3 + 3·155·(–4,5) ·
· (14,9)2 – 6006,25 (–4,5)2 + 6006,25 (14,9)2 – 75406,1·(–4,5) = 1077992,615.
Соответствующий корневой портрет, иллюстрирующий полученные результа-
ты, показан на рис. 5. Портрет представлен полем корневых траекторий, которое
иллюстрируется линиями уровня двух годографов. Ограничивающие поле линии
пересекают границу β1 в точках t5 и t6. На рис. 5 положительные ветви и асимптоты
годографов отмечены знаком «+», отрицательные – знаком «–». Ветви первого
Несенчук А.А., Опейко О.Ф., Однолько Д.С.
«Искусственный интеллект» 2014 № 3 100
4Н
годографа, одна из ветвей которого пересекает границу β1 в точке t5, обозначены
цифрой «1»; ветви второго годографа, одна из ветвей которого пересекает границу β1
в точке t6, обозначены цифрой «2», Область пересечений корневого портрета с
границей β1 представляет собой отрезок t5t6 на этой границе (показан утолщенной
линией на рис. 5).
На основании математического представления функции параметра (43) как
непрерывной дифференцируемой функции a4 = f(ω) можно заключить, что на границе β1
имеется три точки экстремума этой функции: в начале координат и две комплексно-
сопряженные на границе β1, т.е. функция от нулевого значения вначале возрастает до
точек экстремума и затем начинает монотонно убывать в направлении – ∞.
Поэтому для определения искомых допустимых границ интервалов изменения
параметра а4 в данном случае следует вычислить значения параметра в граничных
точках t5 и t6 области t5t6 пересечения ветвями корневого портрета полинома (11.4)
линии равной степени устойчивости β1, поскольку область пересечений может включать
экстремум функции параметра. Затем из двух полученных значений следует выбрать
меньшее [5]. Следует также учесть, что граница β1 может пересекаться ветвями
годографа только в двух комплексно-сопряженных точках (кроме начала координат,
где располагается один полюс системы). Для вычисления параметра вначале опреде-
ляются координаты ω точек пересечения t5 и t6. Эти координаты, ωmin и ωmax, точек
пересечения t5 и t6 вычислены выше соответственно по формулам (44) и (45). Значения
параметра а4, '4a и ''4a , соответственно в точках t5 и t6 вычислены выше соответ-
ственно по формулам (46) и (47).
Основываясь на установленных в [5] закономерностях динамики функции пара-
метра и конфигурации интервального семейства годографов на границе устойчи-
вости, можно отметить, что в данном случае область пересечений, отрезок t5t6,
располагается в зоне возрастания функции параметра вдоль оси iω в направлении от
начала координат, т.е. не содержит внутри себя экстремумов этой функции, что упрощает
задачу анализа (рис. 4).
Ввиду того, что семейство начальных точек портрета (11.4) полностью рас-
полагается в пределах области качества Q, т.к. семейство годографов порождающего
портрета [6] размещено в этой области, а также на основании отмеченных выше и в
[5] особенностей конфигурации корневого портрета системы четвертого порядка,
очевидно, что ветвями корневого портрета системы, устремленными в левую полу-
плоскость к положительным асимптотам, пересекается также граница β2 области
качества, а именно каждый годограф семейства пересекает β2 в трех точках: одной
действительной положительной ветвью и двумя комплексно-сопряженными ветвями.
Однако, как показали соответствующие вычисления, значения параметра в искомых
точках пересечения значительно превышают определенные выше значения: '4a и
''4a и, поэтому, в дальнейшем не рассматриваются.
Основываясь на результатах [5], можно заключить, что верхняя граница 4a
интервала изменения параметра определяется следующим выражением:
.975,558052)'','(min 444 aaa (48)
На основании установленных в [5] и отмеченных выше свойств и закономер-
ностей функций корневого годографа и параметра, нижнюю границу 4a интервала
изменения параметра а4 будем определять путем анализа значений параметра в точке
t7 (рис. 5) пересечения границы β1 действительными ветвями рассматриваемых двух
Моделирование динамики и расчет робастных параметров системы управления...
«Штучний інтелект» 2014 № 3 101
4Н
годографов, ограничивающих область пересечений t5t6. Значение параметра а4 в
точке пересечения t7 границы β1 (рис. 5) действительными ветвями рассмотренных
выше граничных годографов поля вычислим с использованием формулы (43).
a4r'(t7) = – σ4– a1σ3 – 2a σ2 – 3a σ = – (– 4,5)4– 155 (– 4,5)3– 7606,25 (– 4,5)2 –
–68960,6 · (– 4,5) = – 410,06 + 14124,375 – 154026,56 + 310322,7 = 324447,075 –
– 154436,62 = 170010,46;
a4r''(t7) = – σ4 – a1σ3 – 2a σ2 – 3a σ = – (– 4,5)4 – 155 (– 4,5)3 – 6006,25 (– 4,5)2 –
– 75406,1· (– 4,5) = – 410,06 + 14124,375 – 121626,56 + 339327,45 = 353451,825 –
– 122036,62 = 231415,205.
Рисунок 5 – Поле корневых траекторий полинома (11.4) расширения,
представленное двумя граничными линиями уровня
Очевидно, что нижняя граница 4a интервала изменения параметра а4 опреде-
ляется следующим образом:
.205,231415)'','(max 444 rr aaa (49)
На основании полученных границ определим интервал вариации параметра а4:
].975,558052,205,231416[],[ 444 aaa (50)
Ниже приведем полученные интервалы неопределенности всех коэффициентов
характеристического уравнения системы:
a1 = 115,0; (51)
];25,7606,25,6006[],[ 222 aaa (52)
];1,75406,6,68960[],[ 333 aaa (53)
].975,558052,205,231416[],[ 444 aaa (54)
Несенчук А.А., Опейко О.Ф., Однолько Д.С.
«Искусственный интеллект» 2014 № 3 102
4Н
Выполненное выше исследование демонстрирует характер изменения динамики
системы в ответ на параметрические вариации. Из проведенного анализа видно, что
наибольшее влияние на динамику системы оказывает коэффициент при неизвестном
характеристического уравнения наивысшей степени, в данном случае при s4. Это под-
тверждается рисунками. Так, при увеличении a1 ветви годографа при n=2 сдвинутся
влево по причине перемещения соответствующей асимптоты и «повлекут» за собой
все остальные годографы портрета, увеличивая тем самым запас устойчивости системы.
Очевидно, что изменение любого другого коэффициента к подобному эффекту при-
вести не может.
Список литературы
1. Дорф Р. Современные системы управления / Р. Дорф, Р. Бишоп. – М.: Лаборатория базовых знаний,
2004. – 632 с.
2. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства / Н.Т. Кузовков. – М.: Машино-
строение, 1976. – 125 с.
3. Ewans W.R. Graphical analysis of control systems / W.R. Ewans // Trans. AIEE. – 1948. – Vol. 67. –
P. 547-551.
4. Римский Г.В. Автоматизация исследований динамических систем / Г.В. Римский, В.В. Таборовец. – Мн.:
Наука и техника, 1978. – 336 с.
5. Несенчук А.А. Анализ и синтез робастных динамических систем на основе корневого подхода /
А.А. Несенчук. – Мн. : ОИПИ НАН Беларуси, 2005. – 234 с.
6. Несенчук А.А. Корневой метод синтеза устойчивых полиномов путем настройки всех
коэффициентов / А.А. Несенчук // Автоматика и телемеханика. – 2010. – № 8. – С. 13–24.
7. Barmish B.R. The robust root locus / B.R. Barmish, R. Tempo // Automatica. – 1993. – Vol. 26. – P. 183-192.
8. Анхимюк В.Л. Теория автоматического управления / В.Л. Анхимюк, О.Ф. Опейко, Н.Н. Михеев. –
Мн : ДизаинПРО, 2002. – 350 с.
9. Поляк Б.Т. Робастная устойчивость и управление / Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков. – М.: Наука, 2002. – 303 с.
10. Опейко, О.Ф. Синтез регулятора тока системы векторного управления электродвигателем /
О.Ф. Опейко // Вісник КДУ імені Михайла Остроградського. – 2014. – Вип. 1. – С. 9-14.
11. Кузнецов А.П. Анализ настроек канала регулирования потокосцепления ротора в системе векторного управ-
ления / А.П. Кузнецов, А.В. Марков, А.С. Шмарлевский // Доклады БГУИР. – 2008. – № 4 (34). – С. 84-91.
12. Стрижнев А.Г. Настройка цифровых регуляторов в канале регулирования потокосцепления ротора
в системе векторного управления / А.Г. Стрижнев, А.В. Марков, Г.В. Ледник // Доклады БГУИР. – 2011. –
№ 1 (55). – С. 5-11.
References
1. Dorf, R. Modern Control Systems / R. Dorf, R. Bishop. – M.: Laboratoriya Bazovykh Znanij, 2004. – 632 p.
2. Kuzovkov, N.T. Modal Control and Observation Devices / N.Т. Kuzovkov. – M.: Mashinostrojenije,
1976. – 125 p.
3. Ewans W.R. Graphical analysis of control systems / W.R. Ewans // Trans. AIEE. – 1948 . – Vol. 67. –
P. 547–551.
4. Rimsky, G.V. Computer-Aided Investigation of Control Systems / G.V. Rimsky, V.V. Taborovets. –
Minsk: Nauka i Tekhnika, 1978. – 336 p.
5. Nesenchuk, A.A. Analysis and Synthesis of Robust Dynamic Systems on the Basis of the Root Locus
Approach / A.A. Nesenchuk. – Minsk: UIIP NAN of Belarus, 2005. – 234 p.
6. Nesenchuk, A.A. Root Locus Method for Synthesis of Stable Polynomials by Setting-Up All Coefficients
/ A.A. Nesenchuk // Avtomatika i Telemekhanika. – 2010. – № 8. – P. 13-24.
7. Barmish, B.R. The robust root locus / B.R. Barmish, R. Tempo // Automatica. – 1993. – Vol. 26. –
P. 183-192.
8. Ankhimiuk, V.L. Control Systems Theory / V.L. Ankhimiuk, O.F. Opeiko, N.N. Mikheev. – Minsk:
DesignPRO, 2002. – 350 p.
9. Polyak, B.T. Robust Stability and Control / B.T. Polyak, P.S. Scherbakov. – M.: Nauka, 2002. – 303 p.
Моделирование динамики и расчет робастных параметров системы управления...
«Штучний інтелект» 2014 № 3 103
4Н
10. Opeiko, O.F. Synthesis of Current Controller for the System of Motor Vector Control / O.F. Opeiko //
Visnik KDU imeni Mikhaila Ostrograds'kogo. – 2014. – Vip. 1. – P. 9–14.
11. Kuznetsov, A.P. Analysis of Tuning the Rotor Flux Control Channel in the Rotor Flux Oriented Vector
Control System / A.P. Kuznetsov, А.V. Мarkov, А.S. Shmarlevskij // Doklady BGUIR. – 2008. – № 4
(34). – P. 84–91.
12. Strizhnev, A.G. Tuning Digital Controllers in the Rotor Flux Control Channel of the Vector Control
System / A.G. Strizhnev, А.V. Markov, G.V. Lednik // Doklady BGUIR. – 2011. – № 1 (55). – P. 5–11.
RESUME
A.A. Nesenchuk, O.F. Opeiko, D.S. Odnolko
Dynamics Simulation and Calculation of Robust Parameters
for the Electric Drive Control System on the Basis
of the Root Locus Portraits
The technique for calculation of parameters of the electric drive control system,
operating in conditions of uncertainty, on the basis of the mathematical model in the form
of the extended root locus has been considered. Simulation of the rotor flux control system
dynamics in the rotor flux oriented vector control system of the induction motor has been
carried out with application of the model in the form of the extended root locus. Control
system parameters have been calculated in consideration of the system functioning in
conditions of substantial parametric uncertainty. The results of time response simulation
confirm low sensitivity of the system to parameter variations.
The methods and instruments considered can be implemented for various purpose
engineering plants control systems design, electric drives in industry and transportation
etc., for setting-up and upgrading control systems, that makes it possible to reduce the time
period of systems development and increase operational quality.
Статья поступила в редакцию 15.04.2014.
|