Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера

Робота присвячена побудові функцій Ляпунова-Вольтера в задачах математичної епідеміології. Розглядаються моделі SIR, SIAR та модель співіснування двох штамів вірусу. Работа посвящена построению функций Ляпунова-Вольтера в задачах математической эпидемиологии. Рассматриваются модели SIR, SIAR и мод...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Искусственный интеллект
Дата:	2014
Автор:	Кучвара, О.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2014
Теми:	Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85294
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера / О.М. Кучвара // Искусственный интеллект. — 2014. — № 1. — С. 57–63. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859472455484047360
author	Кучвара, О.М.
author_facet	Кучвара, О.М.
citation_txt	Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера / О.М. Кучвара // Искусственный интеллект. — 2014. — № 1. — С. 57–63. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Искусственный интеллект
description	Робота присвячена побудові функцій Ляпунова-Вольтера в задачах математичної епідеміології. Розглядаються моделі SIR, SIAR та модель співіснування двох штамів вірусу. Работа посвящена построению функций Ляпунова-Вольтера в задачах математической эпидемиологии. Рассматриваются модели SIR, SIAR и модель сосуществования двух штаммов вируса. The work is devoted to the construction of Lyapunov-Volterra functions in problems of mathematical epidemiology. The models SIR, SIAR and model of coexistence of two strains of the virus are considered.
first_indexed	2025-11-24T10:52:38Z
format	Article
fulltext	ISSN 1561-5359 «Штучний інтелект» 2014 № 1 57 2К УДК 519.876.2:611.018.4 О.М. Кучвара ДВНЗ «Тернопільський державний медичний університет імені І.Я. Горбачевського» Україна, 46001, м. Тернопіль, майдан Волі, 1, koleksandra@i.ua Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера A.M. Kuchvara I.Ya. Horbachevsky Ternopil State Medical University Ukraine, 46001, Ternopil, Str. m Voli, 1, koleksandra@i.ua On Stability in Models of Mathematical Epidemiology Based on Lyapunov-Volterra Function А.М. Кучвара Тернопольский государственный медицинский университет им. И.Я. Горбачeвского Украина, 46001, г. Тернополь, площадь Воли, 1, koleksandra@i.ua Об устойчивости в моделях математической эпидемиологии на основе функций Ляпунова-Вольтера Робота присвячена побудові функцій Ляпунова-Вольтера в задачах математичної епідеміології. Розглядаються моделі SIR, SIAR та модель співіснування двох штамів вірусу. Ключові слова:математична епідеміологія, SIR-модель, функція Ляпунова-Вольтера. The work is devoted to the construction of Lyapunov-Volterra functions in problems of mathematical epidemiology. The models SIR, SIAR and model of coexistence of two strains of the virus are considered. Key words: mathematical epidemiology, SIR-model, Lyapunov-Volterra function. Работа посвящена построению функций Ляпунова-Вольтера в задачах математической эпидемиологии. Рассматриваются модели SIR, SIAR и модель сосуществования двух штаммов вируса. Ключевые слова: математическая эпидемиология, SIR-модель, функция Ляпунова-Вольтера. Другий метод Ляпунова є одним із найконструктивніших підходів до дослідження стійкості динамічних систем. Перевагою методу є те, що в певних випадках систем (наприклад, лінійних) вдається отримати не лише достатні, але й необхідні умови стійкості. У той же час проблемою залишається конструктивна побудова функцій Ляпу- нова та отримання умов стійкості для конкретних динамічних систем. Одним із важливих застосувань є задачі математичної епідеміології на основі SIR-моделювання. Слід зазначити, що проблеми стійкості таких систем вивчаються в роботі [1]. При цьому традиційно використовується підхід дослідження стійкості за першим наближенням. Отримані умови стійкості при цьому виражаються в термінах показника відтворюваності. Кучвара О.М. «Искусственный интеллект» 2014 № 1 58 2К Метою даної роботи є розробка підходу отримання достатніх умов стійкості на основі функції Ляпунова-Вольтера. Перевагою такого підходу є врахування нелі- нійного характеру моделі. Найдавнішу історію в моделях популяційної динаміки має функція Ляпунова «типу Вольтера»:  .ln 1 ii n i i xxxaV   Дана функція застосовується в моделях Лотки-Вольтера [2-5] і вперше була запропонована самим Вольтером, хоч і він не вживав термін «функція Ляпунова». Функція Ляпунова-Вольтера почала активно впроваджуватися в епідеміо- логічних моделях, починаючи з 1980-х років. Завдяки роботі [6] функції Ляпунова-Вольтера почали використовуватися для вивчення стійкості у багатовимірних системах, що ґрунтуються на законі дії мас. Складністю залишається вибір коефіцієнтів, що гарантують від’ємновираженість похідної [7]. В даній роботі розвивається загальний метод вибору коефіцієнтів функції Ляпунова-Вольтера, що ґрунтується на нерівності між середнім арифме- тичним і геометричним. Функція Ляпунова в SIR-моделі. Розглянемо SIR-модель, представлену діаграмою рис. 1. Рисунок 1 – Функція Ляпунова в SIR-моделі Модель задається такою системою звичайних диференціальних рівнянь:     . , , RIR IISI ISSNS       (1) Із загальної теорії відомо, що існує єдиний ендемічний стан рівноваги, що за- довольняє ендемічні співвідношення:   . , ,       RI ISI SISN    (2) Розглянемо функцію, що претендує бути функцією Ляпунова:    ,lnln IIIdSSSVEE   де 0d – поки що невідома стала. Її похідна на траєкторіях (1) має вигляд:       .           ISIIISd ISS S SNISSNVEE   Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій… «Штучний інтелект» 2014 № 1 59 2К Використовуючи ендемічні співвідношення (2), маємо:              .11 21 * * * ** * * ** * *** * **                         dSIISd S Sd S SdSI S S S SSSISIIdISd ISS S SSIS S SSSISVEE З другої рівності в (2) бачимо, що  . S Отже, поклавши d=1 і використавши нерівність між середніми арифметичними і геометричними бачимо, що EEV  є від’ємною, тобто .0EEV Розглянемо SIAR-модель, представлену діаграмою рис. 2. Рисунок 2 – SIAR-модель На її основі розглядається система диференціальних рівнянь:         . , , , RAIR AASA IISI SAISNS         (3) Ендемічний стан рівноваги визначається ендемічними співвідношеннями:       . , , , * * * ** RAI ASA ISI SAISN         (4) Розглянемо функцію-претендент та функцію Ляпунова:      ,lnlnln * AAAdIIISSSVEE  де d >0 – невідома система. Кучвара О.М. «Искусственный интеллект» 2014 № 1 60 2К Її похідна та траєкторія (3) має вигляд:                .** * ASAAASdISIIIS SAIS S SNSAISNVEE           Використовуючи ендемічні співвідношення (4) маємо:                        . 112 2 * * * ** * * ** * * *** * * ** * * **** * *****                                   dSA AdS S Sd S SdSA S S S SSI S S S SSSA S SSAAASd SI S SSIIIS SAIS S SSAIS SAI S SSSAISVEE З другої рівності в (4) бачимо, що  S , а з третьої рівності в (4)  S . Отже, поклавши d = 1 і використавши нерівність між середніми арифметичними і геометричними бачимо, що EEV  є від’ємно визначеною, тобто .0EEV Функція Ляпунова в моделі співіснування двох штамів вірусу.     ,2211 SIISNS     ,iiiii ISII     ,ijjjiii RIIR     ,iiijiii YIRY   тут .,2,1, jiji  Із загальної теорії ми знаємо, що існує єдиний ендемічний стан рівноваги, який задовольняє рівняння:                       , , , ,2211 iiijii ijjjii iiii YIR RII IIS SIISN     (5) тут .,2,1, jiji  Розглянемо функцію Ляпунова:        .lnlnlnln * 2 1 2 1 * 2 1 iii i i i iii i iiiEE YYYdRRRIIISSSV    Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій… «Штучний інтелект» 2014 № 1 61 2К Її похідна вздовж траєкторій має вигляд:              SISISN S SSIISN EEV 22112211         2 1i iiiiiiii ISIISI                2 ,1 jii ijjj i iii ijjjii RI R IRRII                 iiijii i i iiijii i i YIR Y Y YIRd  2 1 . Використовуючи ендемічні співвідношення (5) маємо:         SIISSIISEEV 22112211        SISISSIIS S S 22112211                 2 1i iiii i i iiii I S SSI I IISI                                        2 ,1 jii ij j j jj i i i i ii i i ij j j jji i i ii RI I I I I R RI R RRI I I R I II      . 2 1                    ii i i j j ijii i i i i ii i i j j ijii i i Y I I R R IR Y Y Y YY I I R R IRd  де   * iiii ISI   ,   ** * * * iijj i i i i ii RI I I R RI   ,   ** * * ijii i i ii IR Y YY   ,   *** ijiiii IRY   . Тобто:                       1111 2 1 S S S SSI S S S SS i i iEEV                  j j i i j j j j j i i j j j j j i i ijj jii j I I R R Y Y d I I R R I I I I R RRI  2 ,1            i i i i i i iiii i i I I R RISI 2 1 2 1      . 2 1             i ii i i iii Y Y YYd  Кучвара О.М. «Искусственный интеллект» 2014 № 1 62 2К Враховуючи третє і четверте ендемічні співвідношення (5) маємо:                       S S S SSI S S S SS i i iEEV 22 2 1                            j j j j i i i i jjjj j i i j j j j j i i j j j j j i ijj jii j d Y Y d I I R R II I R R Y Y d I I R Rd I I I I R RRI 10 2 ,1    . 2 1      SI i i i Отже, в роботі вивчаються питання застосування другого методу Ляпунова до вивчення стійкості епідеміологічних моделей. Апробовано метод обґрунтування від’ємної визначеності похідної функції Ляпунова-Вольтера з використанням нерівності між середнім арифметичним і середнім геометричним. Список літератури 1. Марценюк В.П. Об условиях асимптотической устойчивости в SIR моделях математической епидемиологии / В.П. Марценюк, А.М. Кучвара, И.Е. Андрущак // Проблемы управления и информатики. – 2011. – № 6. – С. 125-133. 2. Beretta E. Global stability of lotka-volterra diffusion models with continuous time delay / E. Beretta and Y. Takeuchi // SIAM. – 1988, J. Appl., Math. – № 48. – P. 627-651. 3. Goh B.S. Global stability in many-species systems/ B.S. Goh // Amer. Naturalist. – 1977. – P. 135-143. 4. Harrison G.W. Global stability of predator-prey interactions / G.W. Harrison // J. Math. Biol. – 1979. – № 8. – P. 159-171. 5. Takeuchi Y. The existence of globally stable eduilibria of ecosystems of the generalized volterra type / Y. Takeuchi and N. Adachi // J. Math. Biol. – 1980. – P. 401-415. 6. Korobeinikov A. A Lyapunov function and global properties for SIR and SEIR epidemiological models with nonlinear incidence / A. Korobeinikov and P.K. Maini // Mathematical Biosciences and Engineering. – 2004. – № 1 (1). – P. 57-60. 7. Fall A. Epidemiological Models and Lyapunov Functions / A. Fall // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. – 2007. – Vol. 2, № 1. – P. 55-73. 8. Longini I.M. Containing pandemic influenza with antiviral agents / [I.M. Longini, M.E. Halloran, A. Nizam & Y. Yang] // Am. J. Epidem. – 2004. – № 159. – P. 623-633. References 1. Martsenyuk V.P. On conditions of asymptotic stability in SIR-models of mathematical epidemiology / V.P. Martsenyuk, I.Ye. Andrushchak, O.M. Kuchvara // Journal of Automation and Information Sciences. – 2011. – № 6. – P. 125-133. 2. Beretta E. Global stability of lotka-volterra diffusion models with continuous time delay / E. Beretta and Y. Takeuchi // SIAM. – 1988, J. Appl., Math. – № 48. – P. 627-651. 3. Goh B.S. Global stability in many-species systems/ B.S. Goh // Amer. Naturalist. – 1977. – P. 135-143. 4. Harrison G.W. Global stability of predator-prey interactions / G.W. Harrison // J. Math. Biol. – 1979. – № 8. – P. 159-171. 5. Takeuchi Y. The existence of globally stable eduilibria of ecosystems of the generalized volterra type / Y. Takeuchi and N. Adachi // J. Math. Biol. – 1980. – P. 401-415. 6. Korobeinikov A. A Lyapunov function and global properties for SIR and SEIR epidemiological models with nonlinear incidence / A. Korobeinikov and P.K. Maini // Mathematical Biosciences and Engineering. – 2004. – № 1 (1). – P. 57-60. 7. Fall A. Epidemiological Models and Lyapunov Functions / A. Fall // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. – 2007. – Vol. 2, № 1. – P. 55-73. 8. Longini I.M. Containing pandemic influenza with antiviral agents / [I.M. Longini, M.E. Halloran, A. Nizam & Y. Yang] // Am. J. Epidem. – 2004. – № 159. – P. 623-633. Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій… «Штучний інтелект» 2014 № 1 63 2К RESUME A.M. Kuchvara On Stability in Models of Mathematical Epidemiology Based on Lyapunov-Volterra Function In given article deals with the second method of Lyapunov. It is one of the most constructive approaches to study the stability of dynamical systems. The advantage of this method is that in some cases of systems we can get not only sufficient but also necessary conditions of stability. The investigative approach of stability of the first approximation is used. These stability conditions thus expressed in terms of the rate of reproducibility. One important application is the problem of mathematical epidemiology based on SIR- modeling. It should be noted that the problem of stability of such systems are studied in this research by a constructive method of study of negative definiteness of the derivative of the Lyapunov-Volterra function, using the inequality between the arithmetic mean and the geometric mean. The paper is devoted to the construction of Lyapunov-Volterra functions in problems of mathematical epidemiology. The models SIR, SIAR and model of coexistence of two strains of the virus are examined. The aim of this research is to develop an approach of obtaining sufficient conditions for stability based on Lyapunov-Volterra function. The advantage of this approach is the incorporation of non-linear models. We study the question of application of the second Lyapunov method to study the stability of epidemiological models. Aprobuyetsya The method of study of negative definiteness of the derivative of the Lyapunov-Volterra function using the inequality between the arithmetic mean and the geometric mean is tested. Cтаття надійшла до редакції 23.12.2013.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85294
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1561-5359
language	Ukrainian
last_indexed	2025-11-24T10:52:38Z
publishDate	2014
publisher	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
record_format	dspace
spelling	Кучвара, О.М. 2015-07-24T14:48:04Z 2015-07-24T14:48:04Z 2014 Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера / О.М. Кучвара // Искусственный интеллект. — 2014. — № 1. — С. 57–63. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85294 519.876.2:611.018.4 Робота присвячена побудові функцій Ляпунова-Вольтера в задачах математичної епідеміології. Розглядаються моделі SIR, SIAR та модель співіснування двох штамів вірусу. Работа посвящена построению функций Ляпунова-Вольтера в задачах математической эпидемиологии. Рассматриваются модели SIR, SIAR и модель сосуществования двух штаммов вируса. The work is devoted to the construction of Lyapunov-Volterra functions in problems of mathematical epidemiology. The models SIR, SIAR and model of coexistence of two strains of the virus are considered. uk Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Искусственный интеллект Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера Об устойчивости в моделях математической эпидемиологии на основе функций Ляпунова-Вольтера On stability in models of mathematical epidemiology based on Lyapunov-Volterra function Article published earlier
spellingShingle	Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера Кучвара, О.М. Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем
title	Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера
title_alt	Об устойчивости в моделях математической эпидемиологии на основе функций Ляпунова-Вольтера On stability in models of mathematical epidemiology based on Lyapunov-Volterra function
title_full	Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера
title_fullStr	Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера
title_full_unstemmed	Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера
title_short	Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера
title_sort	про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій ляпунова-вольтера
topic	Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем
topic_facet	Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85294
work_keys_str_mv	AT kučvaraom prostíikístʹumodelâhmatematičnoíepídemíologíínaosnovífunkcíilâpunovavolʹtera AT kučvaraom obustoičivostivmodelâhmatematičeskoiépidemiologiinaosnovefunkciilâpunovavolʹtera AT kučvaraom onstabilityinmodelsofmathematicalepidemiologybasedonlyapunovvolterrafunction

Про стійкість у моделях математичної епідеміології на основі функцій Ляпунова-Вольтера

Репозитарії

Схожі ресурси