Топология слоений неотрицательной кривизны на пятимерных многообразиях
Доказано, что замкнутое многообразие, гомеоморфное пятимерной сфере, не допускает слоения коразмерности один неотрицательной кривизны.
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85314 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Топология слоений неотрицательной кривизны на пятимерных многообразиях / Д.В. Болотов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 12. — С. 7-12. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85314 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-853142025-02-09T20:20:07Z Топология слоений неотрицательной кривизны на пятимерных многообразиях Топологiя шарувань невiд’ємної кривини на п’ятивимiрних многовидах Topology of nonnegative curvature foliations on five-dimensional manifolds Болотов, Д.В. Математика Доказано, что замкнутое многообразие, гомеоморфное пятимерной сфере, не допускает слоения коразмерности один неотрицательной кривизны. Доведено, що замкнений многовид, гомеоморфний п’ятивимiрнiй сферi, не припускає шарування ковимiрностi один невiд’ємної кривини. We prove that a closed manifold homeomorphic to a five-dimensional sphere does not admit a codimension one foliation of nonnegative curvature. Автор выражает благодарность проф. А.А. Борисенко за внимание к работе и полезные замечания. 2012 Article Топология слоений неотрицательной кривизны на пятимерных многообразиях / Д.В. Болотов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 12. — С. 7-12. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85314 515.168.3 ru Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Болотов, Д.В. Топология слоений неотрицательной кривизны на пятимерных многообразиях Доповіді НАН України |
| description |
Доказано, что замкнутое многообразие, гомеоморфное пятимерной сфере, не допускает
слоения коразмерности один неотрицательной кривизны. |
| format |
Article |
| author |
Болотов, Д.В. |
| author_facet |
Болотов, Д.В. |
| author_sort |
Болотов, Д.В. |
| title |
Топология слоений неотрицательной кривизны на пятимерных многообразиях |
| title_short |
Топология слоений неотрицательной кривизны на пятимерных многообразиях |
| title_full |
Топология слоений неотрицательной кривизны на пятимерных многообразиях |
| title_fullStr |
Топология слоений неотрицательной кривизны на пятимерных многообразиях |
| title_full_unstemmed |
Топология слоений неотрицательной кривизны на пятимерных многообразиях |
| title_sort |
топология слоений неотрицательной кривизны на пятимерных многообразиях |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85314 |
| citation_txt |
Топология слоений неотрицательной кривизны на пятимерных многообразиях / Д.В. Болотов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 12. — С. 7-12. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT bolotovdv topologiâsloeniineotricatelʹnoikriviznynapâtimernyhmnogoobraziâh AT bolotovdv topologiâšaruvanʹnevidêmnoíkrivininapâtivimirnihmnogovidah AT bolotovdv topologyofnonnegativecurvaturefoliationsonfivedimensionalmanifolds |
| first_indexed |
2025-11-30T10:59:42Z |
| last_indexed |
2025-11-30T10:59:42Z |
| _version_ |
1850212755563347968 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
12 • 2012
МАТЕМАТИКА
УДК 515.168.3
© 2012
Д.В. Болотов
Топология слоений неотрицательной кривизны
на пятимерных многообразиях
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Борисенко)
Доказано, что замкнутое многообразие, гомеоморфное пятимерной сфере, не допускает
слоения коразмерности один неотрицательной кривизны.
1. Постановка задачи. Будем называть слоение F слоением неотрицательной кривизны
на римановом многообразии M , если все слои F в индуцируемой метрике имеют неотри-
цательную секционную кривизну.
Примером слоения неотрицательной кривизны является знаменитое слоение Риба на
стандартной трехмерной сфере постоянной кривизны. В [1] классифицированы все замкну-
тые трехмерные ориентированные многообразия, допускающие трансверсально ориентиру-
емые слоения неотрицательной кривизны.
В [2] доказано, что сферы S2n+1 положительной секционной кривизны при n > 1 не до-
пускают слоения коразмерности один неотрицательной кривизны (даже неотрицательной
кривизны Риччи). Однако до сих пор не установлено, могут ли произвольные римановы
многообразия, гомеоморфные S2n+1, n > 1, иметь слоение коразмерности один неотрица-
тельной секционной кривизны. Этот вопрос поставлен Г. Штаком в [3].
Цель данной работы — дать ответ на вопрос Г. Штака в случае n = 2.
Теорема A. Пусть M — замкнутое пятимерное риманово многообразие, гомеоморф-
ное пятимерной сфере. Тогда M не допускает C2-слоения коразмерности один неотрица-
тельной секционной кривизны.
2. Многообразия неотрицательной кривизны. Топология и геометрия полных мно-
гообразий неотрицательной кривизны хорошо известны благодаря работам Топоногова, Чи-
гера, Громола, Маренича, Перельмана, Вальшапа. Мы приведем здесь некоторые важные
результаты, используемые в данной работе.
Топологическая структура полных некомпактных многообразий неотрицательной сек-
ционной кривизны описывается следующей известной теоремой:
Теорема 1 [4]. Полное открытое многообразие M неотрицательной секционной кри-
визны диффеоморфно нормальному расслоению ν(S) компактного вполне выпуклого, вполне
геодезического подмногообразия S в M . Подмногообразие S называется душой многообра-
зия M .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №12 7
Замкнутые многообразия неотрицательной секционной кривизны обладают следующим
важным свойством:
Теорема 2 [4]. Пусть M — замкнутое многообразие неотрицательной секционной
кривизны. Существует последовательность изометрических накрытий
M̃
iso
≃ P × Ek π1→ M̂
π2→M,
где P компактно и односвязно, а M̂ диффеоморфно M1 × T k, где M1 — изометрически
накрывается многообразием P , а T k — плоский тор. В частности, π1(M) содержит под-
группу конечного индекса, изоморфную Zk, а если M является K(π, 1)-пространством, то
M — плоское.
3. Слоения неотрицательной кривизны. Ранее в [1] нам удалось классифицировать
замкнутые ориентируемые трехмерные многообразия, допускающие слоения неотрицатель-
ной кривизны. Ключевым этапом в доказательстве этой теоремы явилось установление
того факта, что слоение отрицательной кривизны является слоением почти без голономии.
Это означает, что нетривиальную группу голономии могут иметь только лишь компактные
слои. Оказывается, это верно и в многомерном случае. В [5] мы показали, что трансвер-
сально ориентируемое C2-слоение коразмерности один неотрицательной кривизны Риччи
на замкнутом ориентируемом многообразии является слоением почти без голономии. Это
позволило применить результат Иманиши [6] и представить многообразие в виде объеди-
нения блоков, где слоение выглядит достаточно просто. А именно, нами была доказана
следующая теорема.
Теорема 3. Пусть F — трансверсально ориентируемое слоение коразмерности один
неотрицательной кривизны Риччи на замкнутом ориентируемом римановом многообра-
зии M . Тогда F является слоением почти без голономии и выполнена одна из следующих
возможностей:
1) все слои всюду плотны и M является расслоением над S1;
2) F содержит компактный слой и M можно разбить конечным числом компактных
слоев на блоки1 одного из следующих типов:
А) исключительный блок: B гомеоморфен K × I, где K является компактным слоем
слоения и слой K × 0 является предельным для множества компактных слоев;
B) плотный блок: все внутренние слои диффеоморфны типичному слою L и плотны
в B;
С) собственный блок: все внутренние слои диффеоморфны типичному слою L и яв-
ляются вложенными подмногообразиями в B. В этом случае intB является расслоением
над S1 со слоем L.
Если B — неисключительный блок, то ĩntB ∼= L̃ × R, а его фундаментальная группа
описывается групповым расширением
1 → π1(L) → π1(B)
φ
→ Zk → 0, (1)
где L — типичный внутренний слой блока B. Более того, k > 1 и k = 1 тогда и только
тогда, когда блок собственный.
Если, более того, F — слоение неотрицательной секционной кривизны, то граница
каждого блока имеет максимум две компоненты связности.
1Блоком мы называем компактное слоеное многообразие с границей, состоящей из компактных слоев.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №12
В случае, когда ориентируемое замкнутое многообразие M имеет размерность пять
и F — трансверсально ориентируемое слоение неотрицательной секционной кривизны наM ,
нам удалось, существенно используя результаты [7, 8], а также [9], доказать следующее
утверждение.
Утверждение 1 [5]. Если N является объединением конечного числа блоков, граница
которых имеет две связные компоненты, то вложение i : K → N граничного слоя яв-
ляется гомотопической эквивалентностью.
4. Набросок доказательства теоремы A. Из теоремы 2 в случае n = 4 следует, что
мы можем определить четыре типа компактных слоев:
1. Компактный тип: K̃ компактно ⇐⇒ π1(K) конечна.
2. Тип S3 × E: K̃ изометрично прямому произведению трехмерной сферы с метрикой
неотрицательной секционной кривизны и евклидовой прямой.
3. Тип S2 × E2: K̃ изометрично риманову произведению двумерной сферы с метрикой
неотрицательной секционной кривизны и евклидовой плоскости.
4. Тип E4: K̃ изометрично четырехмерному евклидову пространству, т. е. K является
плоской четырехмерной пространственной формой.
Всегда можно считать при переходе к конечнолистному накрытию, что многообразие
и слоение ориентируемы. В частности, F трансверсально ориентируемо. Допустим M до-
пускает слоение неотрицательной секционной кривизны.
Случай 1. F не имеет компактных слоев.
По теореме 3 F является слоением без голономии, а значит, многообразие является рас-
слоением над окружностью (см. [10]). В частности, фундаментальная группа многообразия
должна содержать Z, что невозможно для пятимерной сферы.
Случай 2. F состоит из компактных слоев.
В этом случае по теореме стабильности Риба (см. [11]), учитывая трансверсальную
ориентируемость слоения, M должно быть расслоением над S1, что невозможно в случае
пятимерной сферы.
Случай 3. F содержит компактный слой с конечной фундаментальной группой.
В этом случае по теореме стабильности Риба F состоит из компактных слоев, что не-
возможно по предыдущему случаю.
В остальных случаях согласно теореме 3 и с учетом того, что каждый компактный слой
разбивает M , многообразие M можно представить в виде объединения M = A
⋃
B, где
A
⋂
B — объединение блоков, имеющих две компоненты связности границы, если такие
блоки существуют, и A
⋂
B — единственный компактный слой в противном случае. Тогда
C = M \ intB и D = M \ intA — блоки с одной компонентой связности границы. Тогда
из утверждения 1 получаем, что ∂C, ∂D и A
⋂
B гомотопически эквивалентны. Из точной
гомологической последовательности Майера–Вийеториса
· · · → H2(M) → H1(A
⋂
B)
(iA
∗
,iB
∗
)
→ H1(A)⊕H1(B) → H1(M) → · · · , (2)
учитывая, что средние гомологии M нулевые и так как β1(A) и β1(B) нетривиальны (это
следует, например, из эпиморфности φ в (1)), имеем (iA
∗
, iB
∗
) — изоморфизм. Следовательно,
Ker iA
∗
= Im iB
∗
6= 0 и Ker iB
∗
= Im iA
∗
6= 0. В частности, имеем
β1(A
⋂
B) = β1(A) + β1(B) > 2. (3)
Случай 4. F содержит компактный слой типа E4.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №12 9
В этом случае из предложения 1 следует, что все слои и блоки асферичны. Предположим
cdπ1(C) < 3. Тогда H3(C) ∼= H2(C, ∂C) = 0. Из точной последовательности пары следует,
что iC : H1(∂C) → H1(C) — мономорфизм. Следовательно, iA
∗
— мономорфизм. Отсюда
Im iB
∗
= 0, чего не может быть, как отмечалось выше. Из этого противоречия следует, что
cdπ1(C) > 3. Из аналогичных соображений cdπ1(D) > 3.
Напомним следующее свойство группы π1(M) = π1(A
⋃
B) (здесь M — произвольное
связное многообразие с линейно связным пересечением A
⋂
B):
Теорема 4 [12]. Если для некоторой группы G следующая диаграмма коммутативна:
то однозначно определен гомоморфизм σ : π1(M) → G такой, что ρi = σ ◦ ψi, i = 1, 2, 3,
где φ1, φ2, а также ψ1 : π1(A) → π1(M), ψ2 : π1(B) → π1(M), ψ3 : π1(A
⋂
B) → π1(M) —
гомоморфизмы, индуцированные включениями.
Отметим два важных следствия из данной теоремы:
Следствие 1. Если хотя бы один из гомоморфизмов φi не сюрьективен, то π1(M)
нетривиальна.
Следствие 2. Пусть N — группа, порожденная Kerφ1
⋃
Kerφ2. Если N 6= π1(A
⋂
B),
то π1(M) нетривиальна.
Утверждение 2. Пусть M — замкнутое пятимерное многообразие с C2-слоением
коразмерности один неотрицательной секционной кривизны. Если слоение содержит ком-
пактный асферический слой, то π1(M) 6= 0. В частности,M не может быть гомеоморфно
пятимерной сфере.
Доказательство. Заметим, что ∂C плоское (по теореме 2) и, по известной теореме
Бибербаха, содержит подгруппу конечного индекса, изоморфную Z4. Из предположения,
что π1(M) тривиальна, и следствия 1 следует, что φ1(Z
4) и φ2(Z
4) имеют конечный индекс
в π1(A) и π1(B) соответственно. Так как cdπ1(A) > 3 и cdπ1(B) > 3, то cdKer φ1
⋂
Z4 =
= cdKer φ1 6 1 и cdKer φ2
⋂
Z4 = cdKer φ2 6 1. Так как группа π1(∂C) ∼= π1(A
⋂
B) имеет
полиномиальный рост, она не содержит подгруппу Z ∗Z. А так как группы с cdπ 6 1 — это
свободные произведения группы Z, то ядро Kerφi либо тривиально, либо изоморфно Z. Если
одна из групп Kerφi тривиальна, то очевидно, что N 6= π1(A
⋂
B), и π1(M) нетривиальна по
следствию 2. Предположим Kerφ1 = Kerφ2 = Z. Обозначим соответствующие образующие
через a и b. Так как обе группы Kerφ1 и Kerφ2 нормальны, имеем следующие соотношения
в группе N :
aba−1 = bk, bab−1 = al.
Если k 6= 1 и l 6= 1, то группа N = I(N) := {n ∈ N : ∃ p : np ∈ N ′}. Предположим N =
= π1(A
⋂
B), тогда β1(A
⋂
B) = β1(∂C) = 0. Но из (3) следует, что это невозможно.
Отсюда мы заключаем, что k или l равно 1 и, учитывая, что N не имеет кручения,
N = Z2. Но тогда N 6= π1(A
⋂
B) по теореме 2, и по следствию 2 π1(M) 6= 0, что невоз-
можно. Следовательно, предположение, что π1(M) — тривиальна, неверно. Это завершает
доказательство предложения.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №12
Случай 5. F содержит компактный слой K типа S2 × E2.
Из леммы 1 следует, что ∂C, ∂D и A
⋂
B гомотопически эквивалентны. Из (3) получаем,
что Z
2 ⊂ H1(K). Кроме того, по теореме 2 π1(K) содержит конечную подгруппу Z
2.
Легко показать, что равенство χ(K) = 0 всегда имеет место для компактного слоя K лю-
бого трансверсально ориентируемого слоения коразмерности один замкнутого многообра-
зия Mn, при условии, что [K] = 0 в Hn−1(M
n) (см. [11]). В силу теоремы 10.12 работы [13],
учитывая ориентируемость слоев, единственно возможным вариантом является случай, ког-
да K гомотопически эквивалентно S2×S1-расслоению над S1. Поэтому π1(K) гомеоморфна
либо Z2, либо фундаментальной группе бутылки Клейна. Но так как Z2 ⊂ H1(K), мы за-
ключаем, что π1(K) ∼= Z2. Заметим, что касательное расслоение TK есть ограничение TF
на K. Поэтому полный класс Штифеля–Уитни w(TK) = 0. Согласно [13, Cor. 6.11.1] K
определяется с точностью до гомеоморфизма полным классом Штифеля — Уитни и фун-
даментальной группой, поэтому K гомеоморфно S2 × T 2. Из утверждения 1 и теоремы
об s-кобордизме [14], учитывая, что Wh(π1(K)) = Wh(Z2) = 0, получаем, что если F со-
держит блок B c двумя связными компонентами границы, то B ≃ S2 × T 2 × I. Теперь
многообразие M , как и выше, можно представить в виде объединения M = A
⋃
B, где
A
⋂
B ≃ S2 × T 2 × I, если множество блоков с двумя компонентами связности границы
непусто, и A
⋂
B ≃ S2 × T 2 в противном случае. Из последовательности (2) ввиду нетри-
виальности β1(A) и β1(B) немедленно следует, что
H1(C) ∼= H1(D) ∼= Z. (4)
В частности, отсюда и теоремы 3 следует, что блоки C и D собственные и их внутренности
являются расслоением над S1 с типичным слоем L. Комбинируя (4) со следствием 1 и тем,
что π1(S
2 × T 2) ∼= Z
2, получаем, что π1(C) и π1(D) абелевы, и единственно возможным
вариантом является случай, когда фундаментальная группа типичного слоя L как в C, так
и в D тривиальна. Более того, типичный слой L должен иметь один конец, так как в про-
тивном случае L
iso
≃ S3 ×E имеет кокомпактную группу изометрий и должен накрывать K
(см. [9]), что невозможно.
Без ограничения общности рассмотрим блок C. Из доказанного следует, что ∂C ≃ S2 ×
× T 2. Учитывая результат Нисимори [15], описывающий структуру слоения в окрестности
компактного слоя с абелевой голономией, нетрудно построить везде, кроме нижнего осно-
вания, трансверсальное гладкое вложение j : T 2 × I → C такое, что j0 := j|T 2
×0 совпа-
дает с ограничением вложения граничного слоя i : S2 × T 2 → C на s × T 2 для некоторой
точки s ∈ S2. Так как слоение внутри C является расслоением, единственно возможным
вариантом индуцированного на торе j1(T
2) := j(T 2 × 1) слоения G является расслоение
окружностями. Так как типичный слой внутри C имеет один конец, нетрудно показать,
что двойственная по Пуанкаре к слоям G окружность l ⊂ j1(T
2) является не только се-
чением расслоения G, но и сечением расслоения L → intC
p
→ S1. Таким образом, мы
имеем послойное вложение T 2 → intC. Рассмотрим отображение спектральных последо-
вательностей расслоений E
p
ql → E
′p
ql , индуцированное включением j1 : T
2 → intC. Так как
π1(L) = H1(L) = 0, имеем j1∗[T
2] ∼= j1∗E
2
11 ⊂ E′2
11
∼= H1(S
1;H1(L)) = 0. Следовательно,
j1∗[T
2] = j0∗[T
2] = i∗[T
2] = 0. Аналогичное утверждение верно и для блока D. Так как
A
⋂
B ≃ S2 × T 2 × I, то в точной последовательности Майера–Вийеториса
· · · → H3(M) → H2(A
⋂
B)
(iA
∗
,iB
∗
)
→ H2(A)⊕H2(B) → H2(M) → · · ·
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №12 11
0 6= [T 2] ⊂ Ker(iA
∗
, iB
∗
), и мы заключаем, что H3(M) 6= 0. Значит, многообразие M не может
быть гомеоморфно пятимерной сфере.
Случай 6. F содержит компактный слой K типа S3 × E.
По теореме 2 π1(K) содержит кокомпактную подгруппу, изоморфную Z. Следователь-
но, β1(K) 6 1. Но это противоречит неравенству (3), так как K и A
⋂
B гомотопически
эквивалентны. Поэтому этот случай также приводит к противоречию. Теорема доказана.
Автор выражает благодарность проф. А.А. Борисенко за внимание к работе и полезные за-
мечания.
1. Болотов Д.В. Слоения неотрицательной кривизны на замкнутых трехмерных многообразиях // Мат.
сб. – 2009. – 200. – С. 3–16.
2. Болотов Д.В. Гиперслоения неотрицательной кривизны Риччи // Успехи мат. наук. – 2000. – 55. –
С. 333–334.
3. Stuck G. Un analogoue feuillete du theoreme de Cartan-Hadamard // C. r. Acad. Sci. Paris. – 1991. –
313. – P. 519–522.
4. Cheeger J., Gromoll D. On structure of complete manifolds of nonnegative curvature // Ann. Math. –
1972. – 96. – P. 413–443.
5. Болотов Д.В. О структуре слоений коразмерности один неотрицательной кривизны // Тр. конф.
“Актуальные проблемы современной математики, механики и информатики”. – Харьков, 2011. –
С. 324–331.
6. Imanishi H. Structure of codimension one foliations which are almost without holonomy // J. Math. Kyoto
Univ. – 1976. – 313, No 1. – P. 93–99.
7. Walschap G. Nonnegative curved manifolds with souls of codimension 2 // J. Different. Geom. – 1988. –
27. – P. 525–537.
8. Guijarro L., Walschap G. The metric projection onto the soul // Trans. Amer. Math. Soc. – 1999. – 352. –
P. 55–69.
9. Adams S., Stuck G. Splitting of non-negatively curved leaves in minimal sets of foliations // Duke Math.
J. – 1993. – 71. – P. 71–92.
10. Новиков C.П. Топология слоений // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1965. – 14. – С. 249–278.
11. Тамура И. Топология слоений. – Москва: Мир, 1979. – 317 с.
12. Масси У., Столлингс Д. Алгебраическая топология. Введение. – Москва: Мир, 1977. – 344 с.
13. Hillman J. Four-manifolds, geometries and knots // Geometry & Topology. – 2002. – 5. – P. 1–396.
14. Freedman M., Teichner P. Teichner 4-manifold topology // Invent. Math. – 1995. – 122, No 3. – P. 509–529.
15. Nishimori T. Compact leaves with abelian holonomy // Tohoku Math. J. – 1975. – 27. – P. 259–272.
Поступило в редакцию 31.05.2012Физико-технический институт низких температур
НАН Украины им. Б.И. Веркина, Харьков
Д.В. Болотов
Топологiя шарувань невiд’ємної кривини на п’ятивимiрних
многовидах
Доведено, що замкнений многовид, гомеоморфний п’ятивимiрнiй сферi, не припускає шару-
вання ковимiрностi один невiд’ємної кривини.
D.V. Bolotov
Topology of nonnegative curvature foliations on five-dimensional
manifolds
We prove that a closed manifold homeomorphic to a five-dimensional sphere does not admit a
codimension one foliation of nonnegative curvature.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №12
|