Свободная интерполяция целыми функциями конечного порядка
Получены необходимые и достаточные критерии разрешимости задачи кратной интерполяции в классе целых функций конечного порядка и нормального типа, которые формулируются в терминах канонического произведения и меры, которая определяется узлами интерполяции. Отримано необхiднi i достатнi критерiї розв...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85316 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Свободная интерполяция целыми функциями конечного порядка / К.Г. Малютин, О.А. Боженко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 12. — С. 19-23. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859675969360494592 |
|---|---|
| author | Малютин, К.Г. Боженко, О.А. |
| author_facet | Малютин, К.Г. Боженко, О.А. |
| citation_txt | Свободная интерполяция целыми функциями конечного порядка / К.Г. Малютин, О.А. Боженко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 12. — С. 19-23. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Получены необходимые и достаточные критерии разрешимости задачи кратной интерполяции в классе целых функций конечного порядка и нормального типа, которые формулируются в терминах канонического произведения и меры, которая определяется
узлами интерполяции.
Отримано необхiднi i достатнi критерiї розв’язуваностi задачi кратної iнтерполяцiї в класi цiлих функцiй скiнченного порядку i нормального типу, якi формулюються в термiнах канонiчного добутку та мiри, яка визначається вузлами iнтерполяцiї.
Necessary and sufficient criteria of resolvability of a problem of multiple interpolation in a class of
entire functions of a finite order and the normal type, which are formulated in terms of a canonical
product and a measure defined by interpolation knots, are obtained.
|
| first_indexed | 2025-11-30T15:57:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.547.22
© 2012
К.Г. Малютин, О. А. Боженко
Свободная интерполяция целыми функциями конечного
порядка
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Борисенко)
Получены необходимые и достаточные критерии разрешимости задачи кратной ин-
терполяции в классе целых функций конечного порядка и нормального типа, которые
формулируются в терминах канонического произведения и меры, которая определяется
узлами интерполяции.
Классическая задача интерполяции в классах целых функций состоит в нахождении функ-
ции F , принадлежащей данному классу, принимающей в заданных точках {an}, n ∈ N, —
узлах интерполяции, заданные значения {bn}, n ∈ N. Если на последовательность {bn}
накладываются минимальные ограничения, обусловленные заданным классом целых функ-
ций, то задача называется задачей свободной интерполяции.
Существенный вклад в решение таких задач внесли А.Ф. Леонтьев [1], А.В. Братищев
и Ю.Ф. Коробейник [2], А.Ф. Гришин и А. Руссаковский [3], К. Г. Малютин [4]. Кроме того,
в разное время этими задачами занимались Б.Я. Левин, Б.В. Винницкий, Т.И. Абанина,
В.Б. Шаран, И.Б. Шепарович, Р.Э. Хейман и др.
Пусть ρ(r) — уточненный порядок в смысле Валирона, lim
r→∞
ρ(r) = ρ > 0. Обозначим
через [ρ(r),∞) класс целых функций типа не выше чем нормальный при ρ(r), т. е. таких,
что для функции f из этого класса существует константа Kf > 0 (зависящая от f) такая, что
ln |f(z)| 6 KfV (|z|), z ∈ C, (1)
где V (r) = rρ(r), r ∈ [0,∞), lim
r→+0
V (r)
def
= 1.
Мы будем рассматривать задачу кратной интерполяции в классе [ρ(r),∞).
Определение 1. Дивизор D = {an; qn}n∈N ( т. е. множество различных комплексных
чисел an вместе с их кратностями qn, qn > 1 — целое число) называется интерполяционным
в классе [ρ(r),∞), если для любой последовательности комплексных чисел {bn,j}, j ∈ 1, qn,
n ∈ N, удовлетворяющей условию
sup
n∈N
1
V (|an|)
ln+ max
1<j<qn
|bn,j|
(j − 1)!
< ∞, (2)
существует целая функция F (z) класса [ρ(r),∞) со свойством
F (j−1)(an) = bn,j, j ∈ 1, qn, n ∈ N. (I)
Ограничение (2) на значения интерполирующей функции F (z) является следствием (1)
и интегральной формулы Коши, поэтому рассматриваемая задача относится к классу задач
свободной интерполяции.
Задача кратной интерполяции в классе [ρ(r),∞) была решена в работе [2] в терминах
канонического произведения E(z) множества D. При ρ = 0 эта задача решена в работе [2]
при двух ограничениях на функцию роста V (r):
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №12 19
1) V (r) — медленно возрастающая функция (определение авторов работы [2]);
2) V (r) — логарифмически выпуклая на [0,∞) функция.
Других работ, в которых рассматривается случай ρ = 0, в наше поле зрения не попало.
В настоящей работе мы снимаем ограничение 1 и приводим два критерия разрешимос-
ти задачи (2): в терминах канонического произведения и в терминах меры, определяемой
узлами интерполяции.
Отметим одно естественное ограничение на функцию роста V (r), связанное с тем, что
класс [ρ(r),∞) отличен от множества всех полиномов:
lim
r→∞
ln r
V (r)
= 0.
Прежде чем сформулировать основной результат нашей работы, введем следующие обо-
значения и определения. Через C(z, r) мы будем обозначать открытый круг с центром в точ-
ке z радиуса r. Пусть D = {an; qn}n∈N — дивизор, G — множество в C. Обозначим через
nD(G) =
∑
an∈G
qn
меру, определяемую дивизором D, и рассмотрим семейство функций
ΦD,z(α) =
(nd(C(r, α|z|)) − qz)
+
V (|z|)
,
где qz — кратность ближайшей к точке z точки an (если таких точек несколько, то будем
брать наибольшую кратность). Предположим, что точки дивизора занумерованы в порядке
возрастания, т. е. r1 < r2 < · · · < rn < · · · . Если D = {an; qn}n∈N — дивизор, то |D| =
⋃
n
an.
Включение D ⊂ D′ = {sn; pn}n∈N означает, что |D| ⊂ |D′| и если an = sn, то qn 6 pn.
Если f(z) — целая функция, то через Df будем обозначать дивизор ее корней, через nf (G)
и Φf,z(α) — величины, построенные с помощью дивизора Df .
При нецелом ρ или ρ = 0 присоединенной функцией ED(z) дивизора D называется его
каноническое произведение рода [ρ] (через [·] как обычно обозначается целая часть числа).
При целом ρ > 0 присоединенная функция ED(z) — это каноническое произведение рода ρ,
построенное по точкам дивизора D′ такого, что D ⊂ D′, причем точки {sn}n∈N дивизо-
ра D′, отличные от точек D, простые, отделены от точек D и образуют слабо регулярное
R-множество, т. е. удовлетворяют неравенству
|sn+1| − |sn| > d|sn|
1−ρ(|sn|),
где d > 0 — фиксированное число.
Результат Братищева–Коробейника может быть сформулирован в виде следующей тео-
ремы.
Теорема (Братищев–Коробейник). Пусть ρ(r) — уточненный порядок, lim
r→∞
ρ(r) = ρ >
> 0. Причем если ρ = 0, то V (r) — медленно возрастающая и логарифмически выпуклая
на [0,∞) функция. Для того чтобы дивизор D был интерполяционным в классе [ρ(r),∞),
необходимо и достаточно, чтобы его присоединенная функция ED(z) удовлетворяла сле-
дующему условию:
sup
n∈N
1
V (|an|)
ln
qn!
|E
(qn)
D (an)|
< ∞. (3)
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №12
В работе мы получаем новый критерий разрешимости задачи (I). Этот критерий форму-
лируется в терминах функций ΦD,z(α) и является более удобным для проверки интерполя-
ционности различных множеств. Для ясности изложения мы сформулируем наш результат
в виде двух теорем для случая ρ > 0 и для случая ρ = 0.
Теорема 1. Пусть D = {an; qn}n∈N — дивизор, ρ(r) — уточненный порядок такой, что
lim
r→∞
ρ(r) = ρ > 0. Для того чтобы дивизор D был интерполяционным в классе [ρ(r),∞),
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:
sup
z∈C
1/2
∫
0
ΦD,z(α)
α
dα < ∞, (4)
sup
n∈N
qn ln |an|
V (|an|)
< ∞. (5)
Cлучай ρ = 0 является более сложным и требует дополнительных ограничений на функ-
цию роста V (r).
Теорема 2. Пусть D = {an; qn}n∈N — дивизор, ρ(r) — уточненный порядок такой, что
ρ(r) = 0. Причем выполняется одно из двух условий:
a) функция V (r) логарифмически выпуклая на полуоси [0,∞);
b) выполняется соотношение
sup
r>0
1
exp(V (r))
max
16t6r
(
r
t
)V (t)
< ∞. (6)
Тогда следующие три утверждения эквивалентны:
1) дивизор D является интерполяционным в классе [ρ(r),∞);
2) присоединенная функция ED(z) дивизора D удовлетворяет условию (3);
3) справедливы соотношения (4) и (5).
Доказательство теоремы 2 (как, впрочем, и теоремы 1) проводится по схеме (1) =⇒
⇒ (3) =⇒ (2) =⇒ (1). Доказательство импликаций (1) =⇒ (3) =⇒ (2) близко к рассуж-
дениям в работе [3]. Заметим, что дополнительные условия a или b используются только
в импликации (2) =⇒ (1), доказательство которой близко к рассуждениям работ [2, 5].
Приведем кратко доказательство теоремы. Рассмотрим импликацию (1) =⇒ (3). Дока-
жем сначала, что (1) ⇒ (5). Пусть F (z) — функция класса [ρ(r),∞), решающая интерпо-
ляционную задачу для последовательности bn,j, где bn,j = 0, j ∈ 1, qn − 1, bn,qn = (qn − 1)!.
Напишем формулу Иенсена для функции F (z) в точке an:
qn ln
1
2
|an|+
1/2|an|
∫
0
nF (C(an, t))− qn
t
dt =
=
1
2π
2π
∫
0
ln |F (an +
1
2
|an|e
iθ)|dθ + ln
(qn − 1)!
|F (qn−1)(an)|
. (7)
Поскольку функция F ∈ [ρ(r),∞), то при некотором K1 > 0 выполняется неравенство
ln |F (z)| 6 K1V (|z|). (8)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №12 21
Тогда из (7) и (8) следует неравенство (5).
Аналогично доказывается, что
sup
n∈N
1/2
∫
0
ΦD,an(α)
α
dα < ∞.
Для завершения доказательства (4) остаeтся заметить, что при α 6 1/2 имеет место
оценка
1/2
∫
0
ΦD,z(α)
α
dα 6 K2
1/2
∫
0
ΦD,an(α)
α
dα,
где an — ближайшая к точке z точка дивизора D.
Импликация (1) =⇒ (3) доказана.
Рассмотрим импликацию (3) =⇒ (2). Заметим, что если выполняется условие (3), то
при ρ > 0 присоединенная функция ED(z) дивизора D принадлежит классу [ρ(r),∞). Если
ρ = 0, то ее принадлежность классу [ρ(r),∞) следует из результатов работы Рубела [6].
Используя лемму 4 из работы [2], найдем постоянную K3, не зависящую от n, такую, что
неравенство
ln |E(z)| > −K3V (|z|) (9)
выполняется в кольце |an|/2 6 |z| 6 3|an|/2 для всех z, кроме, быть может, исключительного
множества кружков Un с общей суммой радиусов меньше |an|/4. Тогда найдется такое δn ∈
∈ (0, 1/2), что окружность |z−an| = δn|an| будет лежать вне множества Un. В силу формулы
Иенсена
ln
∣
∣
∣
∣
E(qn)(an)
qn!
∣
∣
∣
∣
=
1
2π
2π
∫
0
ln |E(an + δn|an|e
iθ)| dθ − V (|an|)
δn
∫
0
ΦD,an(α)
α
dα− qn ln δn|an| >
>
1
2π
2π
∫
0
ln |E(an + δn|an|e
iθ)|dθ − V (|an|)
1/2
∫
0
ΦD,an(α)
α
dα− qn ln |an|.
Тогда из (4), (5) и (9) следует (3).
Рассмотрим импликацию (2) =⇒ (1). Обозначим через
Pk,j =
1
(j − 1)!
(
d
dz
)j−1 (z − ak)
qk
E(z)
∣
∣
∣
∣
z=ak
,
где j = 1, 2, . . . , qk, k = 1, 2, . . ..
Положим далее
αk,m =
(−1)m−1
(m− 1)!
qk−m
∑
j=0
1
j!
Pk,qk+1−m−jbk,j+1, m = 1, . . . , qk, k = 1, 2, . . . ,
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №12
Pk(z) =
qk
∑
m=1
αk,m
[
1
z − ak
(
z
ak
)Sk
](m−1)
,
где {Sk}
∞
k=1 — последовательность натуральних чисел, которая выбирается таким образом,
что ряд
F (z) = E(z)
∞
∑
k=1
Pk(z) (10)
принадлежит классу [ρ(r),∞).
Непосредственно проверяется, что формальный ряд (10) решает интерполяционную за-
дачу (I).
Замечание. Можно показать, что при ρ > 0 функция роста V (r) является выпуклой
относительно ln r, а при ρ > 1/e удовлетворяет и условию (6). Таким образом, дополни-
тельные ограничения на V (r) при ρ = 0 являются, в некотором смысле, естественными.
Работа выполнена в рамках научно-исследовательской темы №0111U002152.
1. Леонтьев А.Ф. К вопросу об интерполяции в классе целых функций конечного порядка // Мат. сб. –
1957. – 41, № 83. – С. 81–96.
2. Братищев A.В., Коробейник Ю.Ф. Кратная интерполяционная задача в пространстве целых функ-
ций заданного уточненного порядка // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1976. – 40, № 5. – С. 1102–1127.
3. Гришин А.Ф., Руссаковский А.М. Свободная интерполяция целыми функциями // Теория функций,
функцион. анализ и их приложения. – 1985. – 44. – С. 32–42.
4. Малютин К. Г. Интерполяция голоморфными функциями: Дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Харьков,
1980. – 104 с.
5. Малютин К.Г., Герасименко В.А. Cвободная интерполяция целыми функциями конечного гамма-ти-
па // Мат. студïı. – 2007. – 28, № 1. – С. 45–50.
6. Rubel L.A. Entire and meromorphic functions. – New York; Berlin; Heidelberg: Springer, 1996. – 187 p.
Поступило в редакцию 29.05.2012Сумский государственный университет
К.Г. Малютiн, О.А. Боженко
Вiльна iнтерполяцiя цiлими функцiями скiнченного порядку
Отримано необхiднi i достатнi критерiї розв’язуваностi задачi кратної iнтерполяцiї в кла-
сi цiлих функцiй скiнченного порядку i нормального типу, якi формулюються в термiнах
канонiчного добутку та мiри, яка визначається вузлами iнтерполяцiї.
K.G. Malyutin, O.A. Bozhenko
Free interpolation by entire functions of finite order
Necessary and sufficient criteria of resolvability of a problem of multiple interpolation in a class of
entire functions of a finite order and the normal type, which are formulated in terms of a canonical
product and a measure defined by interpolation knots, are obtained.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №12 23
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85316 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T15:57:31Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Малютин, К.Г. Боженко, О.А. 2015-07-25T15:33:51Z 2015-07-25T15:33:51Z 2012 Свободная интерполяция целыми функциями конечного порядка / К.Г. Малютин, О.А. Боженко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 12. — С. 19-23. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85316 517.547.22 Получены необходимые и достаточные критерии разрешимости задачи кратной интерполяции в классе целых функций конечного порядка и нормального типа, которые формулируются в терминах канонического произведения и меры, которая определяется узлами интерполяции. Отримано необхiднi i достатнi критерiї розв’язуваностi задачi кратної iнтерполяцiї в класi цiлих функцiй скiнченного порядку i нормального типу, якi формулюються в термiнах канонiчного добутку та мiри, яка визначається вузлами iнтерполяцiї. Necessary and sufficient criteria of resolvability of a problem of multiple interpolation in a class of entire functions of a finite order and the normal type, which are formulated in terms of a canonical product and a measure defined by interpolation knots, are obtained. Работа выполнена в рамках научно-исследовательской темы №0111U002152. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Свободная интерполяция целыми функциями конечного порядка Вiльна iнтерполяцiя цiлими функцiями скiнченного порядку Free interpolation by entire functions of finite order Article published earlier |
| spellingShingle | Свободная интерполяция целыми функциями конечного порядка Малютин, К.Г. Боженко, О.А. Математика |
| title | Свободная интерполяция целыми функциями конечного порядка |
| title_alt | Вiльна iнтерполяцiя цiлими функцiями скiнченного порядку Free interpolation by entire functions of finite order |
| title_full | Свободная интерполяция целыми функциями конечного порядка |
| title_fullStr | Свободная интерполяция целыми функциями конечного порядка |
| title_full_unstemmed | Свободная интерполяция целыми функциями конечного порядка |
| title_short | Свободная интерполяция целыми функциями конечного порядка |
| title_sort | свободная интерполяция целыми функциями конечного порядка |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85316 |
| work_keys_str_mv | AT malûtinkg svobodnaâinterpolâciâcelymifunkciâmikonečnogoporâdka AT boženkooa svobodnaâinterpolâciâcelymifunkciâmikonečnogoporâdka AT malûtinkg vilʹnainterpolâciâcilimifunkciâmiskinčennogoporâdku AT boženkooa vilʹnainterpolâciâcilimifunkciâmiskinčennogoporâdku AT malûtinkg freeinterpolationbyentirefunctionsoffiniteorder AT boženkooa freeinterpolationbyentirefunctionsoffiniteorder |