Нормализованная Φ-функция сферических сегментов
Для аналитического описания отношений включения, пересечения и касания двух сферических сегментов строится нормализованная Φ-функция. Данная функция может быть использована для математического моделирования задач оптимального размещения трехмерных объектов, образованных с помощью произвольных сферич...
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Series: | Доповіді НАН України |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85319 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нормализованная Φ-функция сферических сегментов / В.В. Семкин, А.М. Чугай // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 12. — С. 41-48. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85319 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-853192025-02-09T09:56:27Z Нормализованная Φ-функция сферических сегментов Нормалiзована Φ-функцiя сферичних сегментiв The normalized Φ-function for spherical segments Семкин, В.В. Чугай, А.М. Інформатика та кібернетика Для аналитического описания отношений включения, пересечения и касания двух сферических сегментов строится нормализованная Φ-функция. Данная функция может быть использована для математического моделирования задач оптимального размещения трехмерных объектов, образованных с помощью произвольных сферических сегментов. Для аналiтичного опису вiдношень включення, перетинання та торкання двох сферичних сегментiв будується нормалiзована Φ-функцiя. Ця функцiя може бути використана для математичного моделювання задач оптимального розмiщення тривимiрних об’єктiв, утворених за допомогою довiльних сферичних сегментiв. For the analytical description of the relations of inclusion, intersection, and contact for spherical segments, the normalized Φ-function is constructed. The Φ-function can be used for the mathematical modeling of problems of optimal packing of three-dimensional objects, which are formed by arbitrary spherical segments. 2012 Article Нормализованная Φ-функция сферических сегментов / В.В. Семкин, А.М. Чугай // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 12. — С. 41-48. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85319 519.85 ru Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Семкин, В.В. Чугай, А.М. Нормализованная Φ-функция сферических сегментов Доповіді НАН України |
| description |
Для аналитического описания отношений включения, пересечения и касания двух сферических сегментов строится нормализованная Φ-функция. Данная функция может быть использована для математического моделирования задач оптимального размещения трехмерных объектов, образованных с помощью произвольных сферических сегментов. |
| format |
Article |
| author |
Семкин, В.В. Чугай, А.М. |
| author_facet |
Семкин, В.В. Чугай, А.М. |
| author_sort |
Семкин, В.В. |
| title |
Нормализованная Φ-функция сферических сегментов |
| title_short |
Нормализованная Φ-функция сферических сегментов |
| title_full |
Нормализованная Φ-функция сферических сегментов |
| title_fullStr |
Нормализованная Φ-функция сферических сегментов |
| title_full_unstemmed |
Нормализованная Φ-функция сферических сегментов |
| title_sort |
нормализованная φ-функция сферических сегментов |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85319 |
| citation_txt |
Нормализованная Φ-функция сферических сегментов / В.В. Семкин, А.М. Чугай // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2012. — № 12. — С. 41-48. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT semkinvv normalizovannaâphfunkciâsferičeskihsegmentov AT čugajam normalizovannaâphfunkciâsferičeskihsegmentov AT semkinvv normalizovanaphfunkciâsferičnihsegmentiv AT čugajam normalizovanaphfunkciâsferičnihsegmentiv AT semkinvv thenormalizedphfunctionforsphericalsegments AT čugajam thenormalizedphfunctionforsphericalsegments |
| first_indexed |
2025-11-25T15:23:00Z |
| last_indexed |
2025-11-25T15:23:00Z |
| _version_ |
1849776343614488576 |
| fulltext |
УДК 519.85
© 2012
В.В. Семкин, А. М. Чугай
Нормализованная Φ-функция сферических сегментов
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.Г. Стояном)
Для аналитического описания отношений включения, пересечения и касания двух сфе-
рических сегментов строится нормализованная Φ-функция. Данная функция может
быть использована для математического моделирования задач оптимального размеще-
ния трехмерных объектов, образованных с помощью произвольных сферических сегмен-
тов.
Теория Φ-функций [1, 2] позволила создать фундаментальные основы построения адекват-
ных математических моделей задач размещения геометрических объектов. Целью данной
работы является построение нормализованной Φ-функции сферических сегментов.
Рассмотрим следующие типы сегментов:
Ğ = {(x, y, z) ∈ R
3 : x2 + y2 + (z − τ)2 6 ρ2, z 6 0},
G = {(x, y, z) ∈ R
3 : x2 + y2 + (z + τ)2 6 ρ2,−z 6 0},
где τ = ρ−w, w — высота сегмента. Обозначим через Si шар, с помощью которого образован
сегмент Gi (или Ği). Радиус окружности в основании сегмента Gi (или Ği) обозначим через
ri = wi
√
2
wi
ρi − 1, а сечения Si и Gi плоскостью Y OZ — через S∗
i и G∗
i соответственно,
i = 1, 2. Сегменты допускают лишь аффинные преобразования трансляции. Сегмент Gi
(или Ği), транслированный на вектор ui = (xi, yi, zi), обозначим Gi(ui) (или Ği(ui)).
Построим нормализованную Φ-функцию для Ğ1 и G2. Координаты точки P на S∗
1 ,
в которой касательная к S∗
1 совпадает с касательной к S∗
2 в точке (y2 − r2, z2), равны(
ρ1
r2
ρ2
, ρ1
(
τ1
ρ1
− τ2
ρ2
))
. Введем функцию f(ν) =
τ1
ρ1
− τ2
ρ2
, где ν = (ν1, ν2), νi = (ρi, wi),
i = 1, 2, значение которой будет определять вид искомой Φ-функции. Рассмотрим следую-
щие случаи.
1. Если f(ν) > 0, то P /∈ Ğ∗
1 и сечение плоскостью Y OZ поверхности d-уровня Φ-функции
для Ğ1(0, 0, 0) и G2(0, y2, z2) будет иметь вид, представленный на рис. 1.
Введем следующие функции:
ω1(x, y, z) =
√(√
x2 + y2 −R12
)2
+ z2;
ω2(x, y, z) =
√(√
x2 + y2 − r1
)2
+ (z − τ2)2 − ρ2;
θ1(x, y, z) =
r2
w2
√
x2 + y2 + z − r2
w2
R12;
θ2(x, y, z) =
2
k
((
r1
ρ1
+
r2
ρ2
)√
x2 + y2 −
(
τ1
ρ1
+
τ2
ρ2
)
z −
(
r1
ρ1
+
r2
ρ2
)
R12
)
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №12 41
Рис. 1. Сечение поверхности d-уровня Φ-функции для Ğ1(0, 0, 0) и G2(0, y2, z2) при f(ν) > 0
где
k =
(
r1
ρ1
+
r2
ρ2
)2
+
(
τ1
ρ1
+
τ2
ρ2
)2
, R12 = r1 + r2.
Для определения коэффициентов функции θ1(x, y, z) осуществим следующие построе-
ния. Вначале построим нормальное уравнение прямой l1, проходящей через точки с коорди-
натами A(R12, d) и B
(
R12 + d
r2
ρ2
,−d
τ2
ρ2
)
(рис. 1). Поскольку L(R12, 0), то LE = LA+LB =
= d
(
r2
ρ2
,
w2
ρ2
)
, где LA = (0, d) и LB = d
(
r2
ρ2
,− τ2
ρ2
)
, и ‖LE‖ = d
√
2w2
ρ2
. Поэтому нормальное
уравнение прямой l1 будет иметь вид
r2√
2ρ2w2
y +
w2√
2ρ2w2
z + Ĉ = 0.
Далее, LẼ = d cos
µ1
2
, cosµ1 = − τ2
ρ2
, cos
µ1
2
=
√
1 + cosµ1
2
=
w2√
2ρ2w2
, где µ1 = ∠ALB,
µ1
2
= ∠ALE. Поэтому d =
LẼ
cos(µ1/2)
. Отсюда коэффициенты Ã, B̃, C̃ в уравнении ко-
нуса θ1(x, y, z) = Ã
√
x2 + y2 + B̃z − C̃ = 0 равны Ã =
r2√
2ρ2w2
√
2ρ2w2
w2
=
r2
w2
, B̃ =
=
w2√
2ρ2w2
√
2ρ2w2
w2
= 1. Коэффициент C̃ =
r2
w2
R12 + 1 · 0 =
r2
w2
R12 получается из необ-
ходимости прохождения прямой l1 на 0-уровне через точку (R12, 0).
Аналогичным образом определяются коэффициенты функции θ2(x, y, z). Для это-
го строится нормальное уравнение прямой l2, проходящей через точки с координатами
B
(
R12 + d
r2
ρ2
,−d
τ2
ρ2
)
и C
(
r1 + (ρ2 + d)
r1
ρ1
, τ2 − (ρ2 + d)
τ1
ρ1
)
(см. рис. 1). Так как M(r1, τ2)
и MH = MB+MC, то MH = (ρ2+d)
(
r1
ρ1
+
r2
ρ2
,−
(
τ1
ρ1
+
τ2
ρ2
))
, где MC = (ρ2+d)
(
r1
ρ1
,− τ1
ρ1
)
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №12
Рис. 2. Сечение поверхности d-уровня Φ-функции для Ğ1(0, 0, 0) и G2(0, y2, z2) при f(ν) < 0
и MB = (ρ2 + d)
(
r2
ρ2
,− τ2
ρ2
)
, ‖MH‖ = (ρ2 + d)
√(
r1
ρ1
+
r2
ρ2
)2
+
(
τ1
ρ1
+
τ2
ρ2
)2
= (ρ2 + d)c,
c =
√
k. Отсюда нормальное уравнение прямой l2 примет вид
1
c
((
r1
ρ1
+
r2
ρ2
)
y −
(
τ1
ρ1
+
τ2
ρ2
)
z + Ĉ
)
= 0.
Далее, MH̃ = (ρ2 + d) cos
µ2
2
, cosµ2 =
r1
ρ1
r2
ρ2
+
τ1
ρ1
τ2
ρ2
=
c2
2
− 1, cos
µ2
2
=
√
1 + cosµ2
2
=
c
2
,
где µ2 = ∠BMC,
µ2
2
= ∠BMH. Поэтому ρ2 + d =
MH ′
cos(µ2/2)
. Отсюда коэффициенты
в уравнении конуса равны Ã =
2
k
(
r1
ρ1
+
r2
ρ2
)
, B̃ = −2
k
(
τ1
ρ1
+
τ2
ρ2
)
. Коэффициент C̃ =
=
2
k
(
r1
ρ1
+
r2
ρ2
)
R12 получается из необходимости прохождения прямой l2 на 0-уровне через
точку (R12, 0).
Положим
ϕi(x, y, z) = min{θi(x, y, z), ωi(x, y, z)}, i = 1, 2;
ϕ3(x, y, z) =
√
x2 + y2 + (z − (τ1 + τ2))2 − (ρ1 + ρ2); ϕ4(x, y, z) = z.
Очевидно, если ϑ(x, y, z) = max
i=1,2,3,4
ϕi(x, y, z) > 0, то Ğ1
⋂
G2 = ∅. Тогда нормализован-
ная Φ-функция сегментов Ğ1(u1) и G2(u2) для случая f(ν) > 0 примет вид ΦĞG(u1, u2) =
= ϑ(u2 − u1).
2. Если f(ν) < 0, то P ∈ Ğ∗
1 и сечение плоскостью Y OZ поверхности d-уровня Φ-функции
для Ğ1(0, 0, 0) и G2(0, y2, z2) будет иметь вид, представленный на рис. 2.
Введем следующие функции:
ω′
1(x, y, z) =
√(√
x2 + y2 −R12
)2
+ z2;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №12 43
ω′
2(x, y, z) =
√(√
x2 + y2 − r2
)2
+ (z − τ1)2 − ρ1;
θ′1(x, y, z) =
r1
w1
√
x2 + y2 + z − r1
w1
R12;
θ′2(x, y, z) =
2
k
((
r1
ρ1
+
r2
ρ2
)√
x2 + y2 −
(
τ1
ρ1
+
τ2
ρ2
)
z −
(
r1
ρ1
+
r2
ρ2
)
R12
)
.
Коэффициенты в функциях θ′i(x, y, z), i = 1, 2, определяются по аналогии с первым
случаем. Пусть
ϕ′
i(x, y, z) = min{θ′i(x, y, z), ω′
i(x, y, z)}, i = 1, 2;
ϕ′
3(x, y, z) =
√
x2 + y2 + (z − (τ1 + τ2))2 − (ρ1 + ρ2); ϕ′
4(x, y, z) = z.
Очевидно, если ϑ′(x, y, z) = max
i=1,2,3,4
ϕ′
i(x, y, z) > 0, то Ğ1
⋂
G2 = ∅. Тогда нормали-
зованная Φ-функция сегментов Ğ1(u1) и G2(u2) для случая f(ν) < 0 будет иметь вид
ΦĞG(u1, u2) = ϑ′(u2 − u1).
3. Если f(ν) = 0, то P ∈ Ğ∗
1. В этом случае действует любая из Φ-функций, полученных
для предыдущих случаев. При этом функции ω2(x, y, z) и θ2(x, y, z) в данном случае будут
отсутствовать.
Таким образом, на основании описанных случаев Φ-функция для сегментов Ğ1(u1) и
G2(u2) может быть записана в виде
ΦĞG(u1, u2, ν) = max
i=1,2,3,4
ϕi(u2 − u1, ν),
где
ϕ1(u, ν) = min{θ1(u, ν), ω1(u, ν)}; ϕ2(u, ν) = min{θ2(u, ν), ω2(u, ν), ζ(ν)};
ϕ3(u, ν) =
√
x2 + y2 + (z − (τ1 + τ2))2 − (ρ1 + ρ2); ϕ4(u, ν) = z;
ω1(u, ν) =
√(√
x2 + y2 −R12
)2
+ z2;
ω2(u, ν) =
√(√
x2 + y2 − r3−t
)2
+ (z − τt)2 − ρt;
θ1(u, ν) =
rt
wt
√
x2 + y2 + z − rt
wt
R12;
θ2(u, ν) =
2
k
((
r1
ρ1
+
r2
ρ2
)√
x2 + y2 −
(
τ1
ρ1
+
τ2
ρ2
)
z −
(
r1
ρ1
+
r2
ρ2
)
R12
)
;
f =
τ1
ρ1
− τ2
ρ2
, t =
{
1, если f(ν) < 0,
2, если f(ν) > 0,
k =
(
r1
ρ1
+
r2
ρ2
)2
+
(
τ1
ρ1
+
τ2
ρ2
)2
,
R12 = r1 + r2, ζ(ν) =
{
−λ, если f(ν) = 0,
λ, если |f(ν)| > 0,
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №12
Рис. 3. Сечение поверхности d-уровня Φ-функции для G1 (0, 0, 0) и G2(0, y2, z2) при f(ν) > 0
Рис. 4. Сечение поверхности d-уровня Φ-функции для G1(0, 0, 0) и G2(0, y2, z2) при f(ν) < 0
λ — сколь угодно большое положительное число, не влияющее на значение Φ-функции,
u ∈ R3.
Построим нормализованную Φ-функцию для G1(u1) и G2(u2). При этом воспользуемся
рассуждениями, изложенными выше. Как и в случае с Φ-функцией для Ğ1(u1) и G2(u2), вид
Φ-функции для G1(u1) и G2(u2) будет зависеть от значения функции f(ν) = τ1/ρ1 + τ2/ρ2.
На рис. 3, 4 представлены сечения плоскостью Y OZ поверхности d-уровня Φ-функции сег-
ментов G1(0, 0, 0) и G2(0, y2, z2) для случаев f(ν) > 0 и f(ν) < 0.
Основываясь на рассуждениях, приведенных выше, введем следующие функции:
ωi(u, ν) =
√(√
x2 + y2 − r3−i
)2
+ (z + (−1)i−1τi)2 − ρi, i = 1, 2;
ω3(u, ν) =
√(√
x2 + y2 −R12
)2
+ z2, если f(ν) > 0,
√
x2 + y2 + (z − (τ2 − τ1))2 − (ρ1 + ρ2), если f(ν) < 0,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №12 45
θi(u, ν) =
wi
ri
√
x2 + y2 + (−1)i−1z +
wi
ri
R12, если f(ν) > 0,
r3−i
w3−i
√
x2+ y2+ (−1)i−1z+ 2ρ3−i− w3−i+ wi, если f(ν) < 0,
i = 1, 2,
θ3(u, ν) =
2
k
((
r1
ρ1
+
r2
ρ2
)√
x2 + y2 +
(
τ1
ρ1
− τ2
ρ2
)
z −
(
r1
ρ1
+
r2
ρ2
)
R12
)
,
где
k =
(
r1
ρ1
+
r2
ρ2
)2
+
(
τ1
ρ1
− τ2
ρ2
)2
, u ∈ R3.
Пусть
ϕi(u, ν) = min{θi(u, ν), ωi(u, ν)}, i = 1, 2,
ϕ3(u, ν) = min{θ3(u, ν), ω3(u, ν), ζ(ν)}; ϕ4(u, ν) = z − w1; ϕ5(u, ν) = −z − w2.
Тогда нормализованную Φ-функцию для сферических сегментов G1(u1) и G2(u2) можно
записать в следующем виде:
ΦGG(u1, u2, ν) = max
i=1,2,3,4,5
ϕi(u2 − u1, ν).
На основании построенных Φ-функций легко можно получить Φ-функции для трехмер-
ных объектов, сформированных с использованием различных сферических сегментов. В ка-
честве примера такой Φ-функции приведем вид Φ-функции для дисков L, образованных
объединением двух сегментов Ğ и G, высота которых не превышает радиус шара.
Пусть даны диски Lj , j = 1, 2, с параметрами: rj — радиус основания; ρj,j — радиус
верхнего шара; ρ3−j,j — радиус нижнего шара; wj,j — высота верхнего сегмента; w3−j,j —
высота нижнего сегмента, причем ρi,j =
r2j + w2
i,j
2w2
i,j
, i = 1, 2; νs,i = (ρs,i, ws,i), νs = (νs,1, νs,2),
i, s = 1, 2; ν = (ν1, ν2).
Введем две функции:
fs(νs) =
τs,1
ρs,1
− τs,2
ρs,2
, s = 1, 2,
а также зададим функции
ωs(u, ν) =
√(√
x2 + y2 − r3−ts
)2
+ (z + (−1)s−1τs,ts)
2 − ρs,ts , s = 1, 2,
ω3(u, ν) =
√(√
x2 + y2 −R12
)2
+ z2,
θs(u, ν) =
2
ks
((
r1
ρs,1
+
r2
ρs,2
)√
x2 + y2 + (−1)s−1
(
τs,1
ρs,1
+
τs,2
ρs,2
)
z −
(
r1
ρs,1
+
r2
ρs,2
)
R12
)
,
s = 1, 2,
θ3(u, ν) =
2
µ
((
r2
ρ1,2
+
r2
ρ2,2
)√
x2 + y2 +
(
τ1,2
ρ1,2
− τ2,2
ρ2,2
)
z −
(
r2
ρ1,2
+
r2
ρ2,2
)
R12
)
,
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №12
ωs,1(x, y, z) =
√
x2 + y2 + (z + (−1)s−1(τs,1 + τs,2 −H12))2 − (ρs,1 + ρs,2);
ωs,2(x, y, z) =
√(√
x2 + y2 − r3−ts
)2
+ (z + (−1)s−1(τs,ts −H12))2 − ρs,ts ;
ωs,3(x, y, z) =
√(√
x2 + y2 −R12
)2
+ z2;
θs,1(x, y, z) = (−1)s−1z −
(
ws,ts −
ρs,ts
ρs,3−ts
ws,3−ts +H12
)
;
θs,2(x, y, z) =
2
ks
((
r1
ρs,1
+
r2
ρs,2
)√
x2 + y2 + (−1)s−1
(
τs,1
ρs,1
+
τs,2
ρs,2
)
z −
−
(
r1
ρs,1
+
r2
ρs,2
)
R12 +
(
τs,1
ρs,1
+
τs,2
ρs,2
)
H12
)
;
θs,3(x, y, z) =
2
µ
((
r2
ρ1,2
+
r2
ρ2,2
)√
x2 + y2 +
(
τ1,2
ρ1,2
− τ2,2
ρ2,2
)
z −
(
r2
ρ1,2
+
r2
ρ2,2
)
R12
)
,
где
ks =
(
r1
ρs,1
+
r2
ρs,2
)2
+
(
τs,1
ρs,1
+
τs,2
ρs,2
)2
; µ =
(
r2
ρ2,2
+
r2
ρ1,2
)2
+
(
τ1,2
ρ1,2
− τ2,2
ρ2,2
)2
;
ts =
{
1, если fs(νs) < 0,
2, если fs(νs) > 0
u ∈ R3.
Пусть
ϕs,1(u, ν) = min{θs(u, ν), ωs(u, ν), ζ(νs)}, s = 1, 2,
ϕs,2(u, ν) =
√
x2 + y2 + (z + (−1)s−1(τs,1 + τs,2))2 − (ρs,1 + ρs,2), s = 1, 2,
ϕs(u, ν) = max{ϕs,1(u, ν), ϕs,2(u, ν)}, s = 1, 2,
ϕ3(u, ν) = min{θ3(u, ν), ω3(u, ν)}.
Тогда нормализованная Φ-функция для рассматриваемых объектов будет иметь вид
ΦLL(u1, u2, ν) = max
i=1,2,3
ϕi(u2 − u1, ν).
Представленные в работе Φ-функции позволяют строить математические модели опти-
мизационных задач размещения трехмерных объектов, образованных с помощью сферичес-
ких сегментов. Аппарат Φ-функций дает возможность применять для решения прикладных
оптимизационных задач упаковки трехмерных объектов современные методы локальной
и глобальной оптимизации [3].
1. Stoyan Yu.G. Φ-function and its basic properties // Доп. НАН України. – 2001. – No 8. – С. 112–117.
2. Стоян Ю.Г., Романова Т. Е., Шайтхауэр Г. Математическое моделирование взаимодействий
базовых геометрических 3D объектов // Кибернетика и системн. анализ. – 2005. – № 3. –
С. 19–31.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №12 47
3. Chernov N., Stoyan Y., Romanova T. Mathematical model and efficient algorithms for object packing
problem // Computational Geometry: Theory and Applications. – 2010. – 43, No 5. – P. 535–553.
Поступило в редакцию 03.05.2012Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
В.В. Сьомкiн, А. М. Чугай
Нормалiзована Φ-функцiя сферичних сегментiв
Для аналiтичного опису вiдношень включення, перетинання та торкання двох сферичних
сегментiв будується нормалiзована Φ-функцiя. Ця функцiя може бути використана для
математичного моделювання задач оптимального розмiщення тривимiрних об’єктiв, утво-
рених за допомогою довiльних сферичних сегментiв.
V.V. Semkin, A.M. Chugay
The normalized Φ-function for spherical segments
For the analytical description of the relations of inclusion, intersection, and contact for spherical
segments, the normalized Φ-function is constructed. The Φ-function can be used for the mathemati-
cal modeling of problems of optimal packing of three-dimensional objects, which are formed by
arbitrary spherical segments.
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №12
|