Задача Коші для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь
Встановлюється розв’язнiсть задачi Кошi для еволюцiйного рiвняння з псевдобесселевим оператором зi змiнним символом у класi обмежених неперервних парних на R функцiй. Устанавливается разрешимость задачи Коши для эволюционного уравнения с псевдобесселевым оператором с переменным символом в классе огр...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85353 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Задача Коші для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь / В.В. Городецький, О.В. Мартинюк, Р.I. Петришин // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 1. — С. 7-13. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85353 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Городецький, В.В. Мартинюк, О.В. Петришин, Р.І. 2015-07-28T14:08:00Z 2015-07-28T14:08:00Z 2013 Задача Коші для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь / В.В. Городецький, О.В. Мартинюк, Р.I. Петришин // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 1. — С. 7-13. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85353 517.956 Встановлюється розв’язнiсть задачi Кошi для еволюцiйного рiвняння з псевдобесселевим оператором зi змiнним символом у класi обмежених неперервних парних на R функцiй. Устанавливается разрешимость задачи Коши для эволюционного уравнения с псевдобесселевым оператором с переменным символом в классе ограниченных непрерывных четных на R функций. We proved the solvability of the Cauchy problem for evolution equations with variable operator with pseudo-Bessel symbol in the class of bounded continuous functions even on R. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Задача Коші для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь Задача Коши для одного класса сингулярных эволюционных уравнений The Cauchy problem for a class of singular evolution equations Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Задача Коші для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь |
| spellingShingle |
Задача Коші для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь Городецький, В.В. Мартинюк, О.В. Петришин, Р.І. Математика |
| title_short |
Задача Коші для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь |
| title_full |
Задача Коші для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь |
| title_fullStr |
Задача Коші для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Задача Коші для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь |
| title_sort |
задача коші для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь |
| author |
Городецький, В.В. Мартинюк, О.В. Петришин, Р.І. |
| author_facet |
Городецький, В.В. Мартинюк, О.В. Петришин, Р.І. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2013 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Задача Коши для одного класса сингулярных эволюционных уравнений The Cauchy problem for a class of singular evolution equations |
| description |
Встановлюється розв’язнiсть задачi Кошi для еволюцiйного рiвняння з псевдобесселевим оператором зi змiнним символом у класi обмежених неперервних парних на R функцiй.
Устанавливается разрешимость задачи Коши для эволюционного уравнения с псевдобесселевым оператором с переменным символом в классе ограниченных непрерывных четных на R функций.
We proved the solvability of the Cauchy problem for evolution equations with variable operator with
pseudo-Bessel symbol in the class of bounded continuous functions even on R.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85353 |
| citation_txt |
Задача Коші для одного класу сингулярних еволюційних рівнянь / В.В. Городецький, О.В. Мартинюк, Р.I. Петришин // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 1. — С. 7-13. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT gorodecʹkiivv zadačakošídlâodnogoklasusingulârnihevolûcíinihrívnânʹ AT martinûkov zadačakošídlâodnogoklasusingulârnihevolûcíinihrívnânʹ AT petrišinrí zadačakošídlâodnogoklasusingulârnihevolûcíinihrívnânʹ AT gorodecʹkiivv zadačakošidlâodnogoklassasingulârnyhévolûcionnyhuravnenii AT martinûkov zadačakošidlâodnogoklassasingulârnyhévolûcionnyhuravnenii AT petrišinrí zadačakošidlâodnogoklassasingulârnyhévolûcionnyhuravnenii AT gorodecʹkiivv thecauchyproblemforaclassofsingularevolutionequations AT martinûkov thecauchyproblemforaclassofsingularevolutionequations AT petrišinrí thecauchyproblemforaclassofsingularevolutionequations |
| first_indexed |
2025-11-26T20:11:35Z |
| last_indexed |
2025-11-26T20:11:35Z |
| _version_ |
1850772747297226752 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2013
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956
В.В. Городецький, О. В. Мартинюк, Р. I. Петришин
Задача Кошi для одного класу сингулярних
еволюцiйних рiвнянь
(Представлено академiком НАН України М.О. Перестюком)
Встановлюється розв’язнiсть задачi Кошi для еволюцiйного рiвняння з псевдобесселе-
вим оператором зi змiнним символом у класi обмежених неперервних парних на R
функцiй.
Диференцiальнi рiвняння, якi мiстять коефiцiєнти, необмеженi в деякiй областi з R
n, нале-
жать, як вiдомо, до сингулярних диференцiальних рiвнянь. До сингулярних рiвнянь нале-
жать й еволюцiйнi рiвняння параболiчного типу з оператором Бесселя Bν = d2/dx2 + (2ν +
+ 1)x−1d/dx, ν > −1/2 (B-параболiчнi рiвняння) через наявнiсть у його структурi виразу
1/x. Такi рiвняння вироджуються на межi областi, i за внутрiшнiми властивостями во-
ни близькi до рiвномiрно параболiчних рiвнянь. Побудовi класичної теорiї задачi Кошi для
сингулярних параболiчних рiвнянь присвячено ряд робiт (див. [1] та наведену там бiблiогра-
фiю). У класах розподiлiв та ультрарозподiлiв задача Кошi для таких рiвнянь вивчалася
в [2, 3] та iнших працях.
Як вiдомо, оператор Бесселя можна визначити за допомогою спiввiдношення Bνϕ =
= −F−1
B [σ2FB [ϕ]], де FB — перетворення Бесселя, ϕ — елемент простору, в якому вказане
перетворення визначене, тому еволюцiйнi рiвняння з оператором Бесселя природно вiдне-
сти до псевдодиференцiальних рiвнянь. До такого ж класу рiвнянь слiд вiднести й еволю-
цiйнi рiвняння з оператором A = F−1
Bσ→x
[a(t, x;σ)FBx→σ
], де a(t, x;σ) — функцiя (символ)
оператора A, яка задовольняє певнi умови (зокрема, є однорiдною функцiєю аргументу σ,
недиференцiйовною в точцi σ = 0). Оператор A надалi називатимемо псевдобесселевим.
Еволюцiйнi рiвняння з псевдобесселевими операторами розпочали дослiджувати О.М. Ле-
нюк, Д. I. Спiжавка та В.В. Городецький.
Для подальшого розвитку теорiї еволюцiйних псевдодиференцiальних рiвнянь важли-
вим є питання побудови нових класiв символiв, якi мiстять вiдомий клас символiв, що
задовольняють умову “параболiчностi” та розвиток теорiї задачi Кошi для еволюцiйних
© В. В. Городецький, О.В. Мартинюк, Р. I. Петришин, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №1 7
рiвнянь з операторами, побудованими за такими функцiями, з початковими даними з рiз-
них функцiональних просторiв. У данiй роботi будуються такi класи функцiй-символiв,
встановлюється розв’язнiсть задачi Кошi для еволюцiйного рiвняння з псевдобесселевим
оператором зi змiнним символом у класi обмежених неперервних парних на R функцiй.
1. Простори θM,ρ, Φ
ν
β,γ. Нехай M , ρ: R → [0,+∞) — неперервнi, парнi на R функцiї,
диференцiйовнi, монотонно зростаючi на (0,∞), M(0) = ρ(0) = 0, lim
x→+∞
M(x) = lim
x→+∞
ρ(x) =
= +∞, причому ρ(x) =
x∫
0
ω(ξ) dξ для x > 0, де ω — зростаюча й неперервна на [0,∞)
функцiя, ω(0) = 0, lim
x→+∞
ω(x) = +∞. Функцiя ρ опукла на [0,+∞), тобто:
а) ∀ {x1, x2} ⊂ [0,+∞): ρ(x1) + ρ(x2) 6 ρ(x1 + x2);
б) ∀α > 1 ∀x ∈ [0,∞): ρ(αx) > αρ(x);
в) ∀α ∈ (0, 1) ∀x ∈ [0,∞): ρ(αx) 6 αρ(x).
Оскiльки похiдна ω функцiї ρ при x→ +∞ необмежено зростає, то функцiя ρ при x→
→ +∞ зростає швидше за довiльну лiнiйну функцiю. Припускаємо також, що виконуються
такi умови:
∀ ε > 0 ∃x0 = x0(ε) > 0 ∀x > x0 : ρ(εx) >M(x),
ρ(x) ∼
x→0+0
xγ , γ ∈ (1,+∞), M(x) ∼
x→0+0
xβ, β ∈ (0, 1],
де γ, β — фiксованi параметри.
Символом θM,ρ позначимо сукупнiсть усiх неперервних, парних на R функцiй ϕ: R → R,
нескiнченно диференцiйовних на R \ {0}, для яких
∃ a > 0 ∀ k ∈ Z+ ∃ ck > 0 ∀x ∈ R \ {0} :
Mk(x)|Dk
xϕ(x)| 6 ck
k∑
l=1
ρl(x)e−ρ(ax)
(1)
(якщо k = 0, то сума вiдсутня, якщо k = 1, то l = 1 i т. д.; якщо k = 0, то (1) справджується
для всiх x ∈ R, сталi ck, a > 0 залежать вiд ϕ).
Наведемо приклад функцiї з простору θM,ρ, побудованого за конкретними функцiями M
та ρ. Для цього розглянемо функцiю α: R → [0,∞), яка використовується при побудовi псев-
додиференцiальних операторiв: α — неперервна, парна на R функцiя, однорiдна порядку
γ > 1, нескiнченно диференцiйовна на R \ {0}, похiднi цiєї функцiї задовольняють умову
∀ k ∈ N ∃ bk > 0 ∀x ∈ R \ {0} : |Dk
xα(x)| 6 bk|x|
γ−k, α(x) > 0, x ∈ (0,∞).
Цю умову можна подати у виглядi Mk(x)|Dk
xα(x)| 6 bkρ(x), x ∈ R \ {0}, k ∈ N, де
M(x) = |x|, ρ(x) = |x|γ . Скориставшись формулою Фаа де Бруно диференцiювання складної
функцiї, безпосередньо переконуємося в тому, що exp{−α(x)} є елементом простору θM,ρ
iз вказаними вище функцiями M та ρ (див. також [4]) (така функцiя є важливою при
дослiдженнi задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь iз псевдодиференцiальними операторами,
для яких α(x) є негладким у точцi 0 однорiдним символом).
Вiдзначимо основнi властивостi функцiй з простору θM,ρ, встановленi в [4]: у функцiї
Dk
xϕ, ϕ ∈ θM,ρ, x 6= 0, k ∈ N, iснують скiнченнi одностороннi границi lim
x→±0
Dk
xϕ(x), функцiя
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №1
D2k
x ϕ, x 6= 0, k ∈ N, у точцi x = 0 має усувний розрив, кожна функцiя ϕ ∈ θM,ρ у точцi 0
задовольняє умову Дiнi, на функцiях з простору θM,ρ визначене перетворення Бесселя FBν
:
FBν
[ϕ](ξ) =
∞∫
0
ϕ(x)jν(xξ)x
2ν+1dx, ϕ ∈ θM,ρ,
де jν — нормована функцiя Бесселя, ν — фiксований параметр з множини {3/2; 5/2; 7/2; . . .}.
У просторi θM,ρ можна також ввести структуру злiченно-нормованого простору (детальнiше
про це див. в [4]).
Нехай FBν
[θM,ρ] := Φν
β,γ. Елементами простору Φν
β,γ є нескiнченно диференцiйовнi на R
функцiї, якi задовольняють нерiвностi [4]
|Dm
ξ FBν
[ϕ](ξ)| 6 αm(1 + |ξ|)−(ω0+m), m ∈ Z+, ξ ∈ R, ϕ ∈ θM,ρ,
ω0 = p̃0 + [β−1[γ]], p̃0 = 1 + p0, p0 = 2ν + 1, [·] — цiла частина числа.
Φν
β,γ перетворюється в злiченно-нормований простiр, якщо систему норм у ньому ввести
за допомогою формул
‖ϕ‖p := sup
ξ∈[0,∞)
{
p∑
k=0
Λ(ξ)ω̃0+2k|D2k
ξ ϕ(ξ)|
}
, ϕ ∈ Φν
β,γ, p ∈ Z+,
де Λ(ξ) := 1 + ξ, ξ ∈ [0,∞), ω̃0 = ω0 − ε, 0 < ε < 1 — фiксований параметр. Перетворення
Бесселя неперервно вiдображає θM,ρ на Φν
β,γ [4]; на функцiях з простору Φν
β,γ визначене
обернене перетворення Бесселя F−1
Bν
:
F−1
Bν
[ψ](x) = cν
∞∫
0
ψ(σ)jν(σx)σ
2ν+1dσ, ψ ∈ Φν
β,γ , cν = (22νΓ2(ν + 1))−1.
У просторi Φν
β,γ визначений i є неперервним оператор узагальненого зсуву аргументу
T ξ
x , що вiдповiдає оператору Бесселя [5]:
T ξ
xϕ(x) = bν
π∫
0
ϕ
(√
x2 + ξ2 − 2xξ cosω
)
sin2ν ωdω, ϕ ∈ Φν
β,γ,
де bν = Γ(ν + 1)/(Γ(1/2)Γ(ν + 1/2)). Операцiя узагальненого зсуву аргументу ϕ → T ξ
xϕ
диференцiйовна (навiть нескiнченно диференцiйовна) у просторi Φν
β,γ у тому розумiннi, що
граничнi спiввiдношення (∆ξ)−1(T ξ+∆ξ
x ϕ(x) − T ξ
xϕ(x)) → ∂T ξ
xϕ/∂ξ, ∆ξ → 0, виконуються
в просторi Φν
β,γ .
2. Побудова фундаментального розв’язку. Задача Кошi. Розглянемо функцiю
a(t, x;σ), задану на [0, T ] × R× R, парну за змiнними x, σ, яка задовольняє умови:
1) функцiя a(t, x;σ) є однорiдною порядку γ за аргументом σ рiвномiрно вiдносно t, x,
тобто
a(t, x;λσ) = λγa(t, x;σ), λ > 0; ∀ (t, x) ∈ [0, T ] × R ≡ ΠT ;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №1 9
2) a(t, x;σ) — неперервна функцiя аргументу t на вiдрiзку [0, T ] (при фiксованих x, σ)
i a(t, x;σ) — неперервна обмежена на R функцiя аргументу x (при фiксованих t, σ);
3) iснують сталi c0, b0 > 0 такi, що справджуються нерiвностi
b0ρ(σ) 6 a(t, x;σ) 6
c0(1 + ρ(σ))
(1 + |x|)ω0
, ω0 = 2ν + 2 + [β−1[γ]], (t, x) ∈ ΠT ;
4) при фiксованих t, x функцiя a(t, x;σ), як функцiя σ, нескiнченно диференцiйовна
за σ при σ 6= 0; при цьому
∀ k ∈ N ∃ ck > 0: Mk(σ)|Dk
σa(t, x;σ)| 6 ck
ρ(σ)
(1 + |x|)ω0
, (t, x) ∈ ΠT , σ ∈ R \ {0}.
Iз властивостей функцiї a випливає, що a(t, x;σ), як функцiя σ (при фiксованих (t, x) ∈
∈ ΠT ), є мультиплiкатором у просторi θM,ρ.
Розглянемо оператор At, заданий на Φν
β,γ , залежний вiд параметра t ∈ [0, T ], який ви-
значається спiввiдношенням
(Atϕ)(x) : = F−1
Bσ→x
[a(t, x;σ)FBx→σ
[ϕ](σ)](x), ϕ ∈ Φν
β,γ .
Надалi будемо використовувати позначення At = A. Iз властивостей функцiї a(t, x;σ) ви-
пливає, що Aϕ ∈ K при кожному t ∈ [0, T ], де K — нормований простiр, який складається
з неперервних парних на R функцiй ψ, що задовольняють нерiвнiсть |ψ(x)| 6 c(1 + |x|)−ω0 ,
c = c(ψ) > 0, з нормою
‖ψ‖ = sup
R
{Λω0(x)|ψ(x)|}, Λ(x) := 1 + |x|, x ∈ R.
Оскiльки перетворення Бесселя (пряме та обернене) є неперервним оператором, то A:
Φν
β,γ → K — лiнiйний неперервний оператор. Оператор A надалi називатимемо псевдобес-
селевим оператором, побудованим за змiнним символом a(t, x;σ).
У смузi Π′
T = {(t, x) : 0 6 τ < t 6 T, x ∈ R} розглянемо задачу про вiдшукання
розв’язку еволюцiйного рiвняння
∂u(t, x)
∂t
+Au(t, x) = 0, (t, x) ∈ Π′
T , (2)
який задовольняє початкову умову
u(t, x)|t=τ = ϕ(x), 0 6 τ < t 6 T, (3)
де ϕ ∈ Φν
β,γ . Введемо позначення: L ≡ L(t, x;A,Dt) := ∂/∂t + A.
Пiд фундаментальним розв’язком задачi Кошi (2), (3) розумiтимемо функцiю Z(t, x; τ, ξ),
(t, x) ∈ Π′
T , 0 6 τ < t 6 T , ξ ∈ R, яка має такi властивостi:
1) LZ(t, x; τ, ξ) = 0, тобто Z як функцiя t, x (при фiксованих τ , ξ) є розв’язком рiв-
няння (2);
2)
lim
t→τ+0
∞∫
0
Z(t, x; τ, ξ)ϕ(ξ)ξ2ν+1dξ = ϕ(x)
у кожнiй точцi x ∈ R для довiльної функцiї ϕ ∈ Φν
β,γ .
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №1
Для побудови функцiї Z використаємо метод Левi (метод параметриксу), який полягає
в тому, що функцiю Z шукаємо у виглядi суми двох доданкiв: головного та деякого допо-
мiжного. За головний доданок вибирається фундаментальний розв’язок рiвняння (2), яке
мiстить оператор, побудований за символом a(t, x;σ) з фiксованою точкою t = β, x = z.
Другий доданок шукаємо у виглядi iнтегрального оператора з ядром, щiльнiсть якого ви-
значається з деякого iнтегрального рiвняння.
Отже, зафiксуємо символ a(t, x;σ) у точцi t = β, x = z i розглянемо задачу про вiдшу-
кання розв’язку рiвняння зi сталим символом
L(β, z;A,Dt)u(t, x) = 0 (4)
з початковою умовою (3). Розв’язок задачi (4), (3) шукаємо за допомогою перетворення
Бесселя, в результатi чого дiстанемо
u(t, x) =
∞∫
0
T ξ
xG(t− τ, x;β, z)ϕ(ξ)ξ2ν+1dξ = G(t− τ, x;β, z) ∗ ϕ(x),
де G(t − τ, x;β, z) = FB [exp{−a(β, z, σ)(t − τ)}]. Основнi властивостi функцiї G описують
такi твердження.
Лема 1. При фiксованих t, τ , t > τ , β, z функцiя G(t − τ, x;β, z), як функцiя аргумен-
ту x, є елементом простору Φν
β,γ. Для G та її похiдних правильними є оцiнки
|Dm
x G(t− τ, x;β, z)| 6 αm(t− τ)[β
−1[γ]]/γ((t− τ)1/γ + |x|)−(ω0+m), m ∈ Z+,
де αm = βm(1 + |z|)−ω0 , стала βm > 0 не залежить вiд t, τ , β, z.
Лема 2. Для довiльної функцiї ϕ ∈ Φν
β,γ
∞∫
0
T ξ
xG(t− τ, x; τ, ξ)ϕ(ξ)ξ2ν+1dξ −→ ϕ(x), t→ τ + 0, (5)
у кожнiй точцi x ∈ R.
Зазначимо, що спiввiдношення (5) справджується i для довiльної обмеженої неперервної
парної на R функцiї.
Нехай
J(t, τ, x) :=
t∫
τ
dµ
∞∫
0
T ξ
xG(t− µ, x;µ, ξ)ϕ(µ, ξ)ξ2ν+1dξ, (6)
де ϕ(t, x) — функцiя, задана на [0, T ] × R, неперервна за t, неперервна парна i обмежена
на R функцiя змiнної x. У нижченаведеному твердженнi дається формула застосування
оператора L до iнтеграла (6).
Лема 3. При вказаних обмеженнях на функцiю ϕ правильною є формула
LJ(t, τ, x) =
t∫
τ
dµ
∞∫
0
LT ξ
xG(t− µ, x;µ, ξ)ϕ(µ, ξ)ξ2ν+1dξ + ϕ(t, x).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №1 11
Вiдзначимо також, що для функцiї LT ξ
x справджується оцiнка
|LT ξ
xG(t− τ, x; τ, ξ)| 6 d̃0(t− τ)([β
−1[γ]]−γ)/γ((t− τ)1/γ + |x− ξ|)−(ω0−λ), (7)
де λ ∈ (0, 1) — фiксований параметр.
Фундаментальний розв’язок рiвняння (2) шукаємо у виглядi суми
Z(t, x; τ, ξ) = T ξ
xG(t− τ, x; τ, ξ) + Γ(t, x; τ, ξ),
де
Γ(t, x; τ, ξ) =
t∫
τ
dµ
∞∫
0
T ξ
xG(t− µ, x;µ, η)Φ(µ, η; τ, ξ)η2ν+1dη.
Тут G — визначена ранiше функцiя, Φ(t, x; τ, ξ) пiдберемо так, щоб Z як функцiя t, x
задовольняла рiвняння (2). Це буде тодi й лише тодi, коли
Φ(t, x; τ, ξ) = K(t− τ, x; τ, ξ) +
t∫
τ
dµ
∞∫
0
K(t− µ, x;µ, η)Φ(µ, η; τ, ξ)η2ν+1dη, (8)
де K(t− τ, x; τ, ξ) = −LT ξ
xG(t − τ, x; τ, ξ). Розв’язком iнтегрального рiвняння (8) є ряд
Φ(t, x; τ, ξ) =
∞∑
m=1
Km(t− τ, x; τ, ξ), K1 = K,
Km(t− τ, x; τ, ξ) =
t∫
τ
dy
∞∫
0
K(t− y, x; y, η)Km−1(y − τ, η; τ, ξ)η2ν+1dη,
який збiгається абсолютно i рiвномiрно при 0 < δ0 6 t − τ 6 T , його сума — функцiя
Φ(t, x; τ, ξ) при t > τ є неперервною функцiєю аргументiв x, ξ i для неї справджується
нерiвнiсть вигляду (7), яка використовується при оцiнцi повторних ядер Km, m > 2. На
пiдставi оцiнок функцiй |T ξ
xG| та |Φ| здiйснюється оцiнка |Γ|:
|Γ(t, x; τ, ξ)| 6 d0(t− τ)(λ+[β−1[γ]])/γ((t− τ)1/γ + |x− ξ|)−(ω0−λ),
t− τ > 0, {x, ξ} ⊂ R,
де λ ∈ (0, 1) — фiксований параметр, з якої випливає, що
∣∣∣∣∣
∞∫
0
Γ(t, x; 0, ξ)ϕ(ξ)ξ2ν+1dξ
∣∣∣∣∣ 6 d̃t2λ/γ → 0, t→ +0,
для довiльної обмеженої неперервної парної на R функцiї ϕ (стала d̃ > 0 не залежить вiд x).
Звiдси з урахуванням граничного спiввiдношення (5) дiстаємо, що побудована функцiя Γ
є фундаментальним розв’язком задачi Кошi для рiвняння.
Основний результат сформулюємо у виглядi твердження.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №1
Теорема. Задача Кошi для рiвняння (2) розв’язна в класi обмежених неперервних пар-
них на R функцiй. Розв’язок задачi Кошi (2), (3) (τ = 0) дається формулою
u(t, x) =
∞∫
0
Γ(t, x; 0, ξ)ϕ(ξ)ξ2ν+1dξ, (t, x) ∈ (0, T ]× R,
при цьому lim
t→+0
u(t, x) = ϕ(x) у кожнiй точцi x ∈ R.
1. Матiйчук М. I. Параболiчнi сингулярнi крайовi задачi. – Київ: Iн-т математики НАН України, 1999. –
176 с.
2. Житомирский Я.И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с диф-
ференциальным оператором Бесселя // Мат. сб. – 1955. – 36, № 2. – С. 299–310.
3. Городецький В.В. Граничнi властивостi гладких у шарi розв’язкiв рiвнянь параболiчного типу. –
Чернiвцi: Рута, 1998. – 225 с.
4. Мартинюк О.В. Задача Кошi для сингулярних еволюцiйних рiвнянь у злiченно-нормованих прос-
торах нескiнченно диференцiйовних функцiй. I // Математичне та комп’ютерне моделювання. Сер.
Фiз.-мат. науки: Зб. наук. праць. – 2011. – Вип. 5. – С. 179–192.
5. Левитан Б.И. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи мат. наук. –
1951. – 6, вып. 2. – С. 102–143.
Надiйшло до редакцiї 05.06.2012Чернiвецький нацiональний унiверситет
iм. Юрiя Федьковича
В.В. Городецкий, О.В. Мартынюк, Р.И. Петришин
Задача Коши для одного класса сингулярных эволюционных
уравнений
Устанавливается разрешимость задачи Коши для эволюционного уравнения с псевдобесселе-
вым оператором с переменным символом в классе ограниченных непрерывных четных на R
функций.
V.V. Gorodets’ky, O.V. Martynyuk, R. I. Petryshyn
The Cauchy problem for a class of singular evolution equations
We proved the solvability of the Cauchy problem for evolution equations with variable operator with
pseudo-Bessel symbol in the class of bounded continuous functions even on R.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №1 13
|