Про розвинення методу рядів Неймана узагальненого обертання на спектрі оператора в просторах Банаха та Фреше
Узагальнено метод рядiв Неймана на випадок операторiв, що не обов’язково є стискуючими. Знято умову замкненостi множини значень оператора, що розглядається. Обобщен метод рядов Неймана на случай нерастягивающих операторов. Снято условие замкнутости множества значений рассматриваемого оператора. A g...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85355 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про розвинення методу рядів Неймана узагальненого обертання на спектрі оператора в просторах Банаха та Фреше / О.О. Покутний // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 1. — С. 19-23. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859920289941422080 |
|---|---|
| author | Покутний, О.О. |
| author_facet | Покутний, О.О. |
| citation_txt | Про розвинення методу рядів Неймана узагальненого обертання на спектрі оператора в просторах Банаха та Фреше / О.О. Покутний // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 1. — С. 19-23. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Узагальнено метод рядiв Неймана на випадок операторiв, що не обов’язково є стискуючими. Знято умову замкненостi множини значень оператора, що розглядається.
Обобщен метод рядов Неймана на случай нерастягивающих операторов. Снято условие
замкнутости множества значений рассматриваемого оператора.
A generalization of the Neimann’s series method to the case of non-contractive operators is presented. The condition of closedness for the set of values of the operator under consideration is removed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:06:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
О.О. Покутний
Про розвинення методу рядiв Неймана узагальненого
обертання на спектрi оператора в просторах Банаха
та Фреше
(Представлено членом-кореспондентом НАН України О.А. Бойчуком)
Узагальнено метод рядiв Неймана на випадок операторiв, що не обов’язково є стискую-
чими. Знято умову замкненостi множини значень оператора, що розглядається.
Розглянемо рiвняння
(I −A)x = y, (1)
де A : B → B — лiнiйний обмежений оператор, B — простiр Банаха з нормою ‖·‖ (або Фреше
зi злiченним набором напiвнорм ‖ · ‖n, n ∈ N) такий, що iснує стала c > 0: ‖An‖ 6 c, n ∈ N
(для будь-якої напiвнорми ‖·‖m iснує напiвнорма ‖·‖k така, що ‖Anx‖m 6 c‖x‖k), 0 ∈ B. Для
спрощення викладення розглядатимемо випадок, коли B — рефлексивний банахiв простiр.
Про можливе узагальнення на випадок бiльш загальних топологiчних векторних просторiв
та послаблення умови рiвномiрної обмеженостi степенiв оператора A буде викладено в п. 2
роботи. Основною метою даної роботи є встановлення того факту, що рiвняння (1) можна
зробити завжди розв’язним у певному сенсi (але не обов’язково однозначно розв’язним).
У тому випадку, коли рiвняння (1) має розв’язки в класичному та сильному узагальненому
сенсах їх можна подати у виглядi рiвномiрно збiжних рядiв або збiжних до них послi-
довностей. Завдяки процесовi поповнення [1] вдається вiдмовитися вiд умови замкненостi
пiдпростору R(I−A), де через R(I−A) позначено множину значень оператора I−A. Через
N(I − A) позначатимемо ядро оператора I − A.
1. Основний результат. Перейдемо до вивчення рiвняння (1) в рефлексивному банахо-
вому просторi. Найцiкавiшим випадком для рiвняння (1) є так званий критичний випадок,
коли µ = 1 — точка спектра оператора A (оператор µI −A не має оберненого). Виявляєть-
ся, що в цьому випадку вихiдне рiвняння буде розв’язним не при всiх правих частинах,
а його розв’язок може бути не єдиним (можлива навiть нескiнченна кiлькiсть розв’язкiв
у такого рiвняння).
З умови рiвномiрної обмеженостi степенiв оператора A випливає [2], що виконується
такий розклад простору B у пряму суму:
B = N(I −A)⊕R(I −A). (2)
У працi [3] введено поняття вiдносного спектра оператора й серед iншого для випад-
ку матриць й операторiв [3] доведено низку тверджень стосовно узагальненого обертання
оператора I − A. Переформулюємо деякi з отриманих результатiв у виглядi теореми, яку
© О.О. Покутний, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №1 19
потiм буде зручно використовувати для дослiдження розв’язностi рiвняння (1). Для цього
введемо позначення для усередненого оператора й нагадаємо його властивостi
A0 = lim
n→∞
n−1∑
k=0
Ak
n
, A0A = AA0 = A2
0 = A0, N(A0) = R(I −A).
Теорема 1. Нехай R(I − A) = R(I −A) й степенi оператора A є рiвномiрно обмеже-
ними. Тодi:
a) µ = 1 ∈ ρNS(A) (вiдносно регулярна точка);
b) оператор I − A + A0 є оборотним, а оператор I − A є узагальнено-оборотним й
(I − A)− = (I − A + A0)
−1 − A0;
c) рiвняння (1) розв’язне для тих й тiльки тих y, якi задовольняють умову
A0y = 0; (3)
d) якщо умова (3) виконана, то множина розв’язкiв рiвняння (1) матиме вигляд
x = A0c+G[y], ∀ c ∈ B, (4)
де
G[y] =
∞∑
k=0
(µ− 1)k
{
∞∑
l=0
µ−l−1(A−A0)
l
}k+1
y −A0y — (5)
узагальнений оператор Грiна, для будь-якого 0 < µ − 1 < 1/‖Rµ(A)‖.
Дослiдимо теперь операторне рiвняння (1) в загальному випадку (без умови замкненос-
тi). Покажемо, що його завжди можна зробити розв’язним в певному сенсi.
1. Класичнi розв’язки. Припустимо, що множина значень оператора I−A замкнена, тоб-
то R(I−A) = R(I −A). Тодi справджується теорема 1 й умова y ∈ R(I−A) рiвносильна (3)
A0y = 0. При виконаннi цiєї умови множина розв’язкiв рiвняння (1) матиме вигляд (4).
2. Сильнi узагальненi розв’язки. Розглянемо випадок, коли R(I −A) 6= R(I −A). Нехай
y ∈ R(I −A). Ця умова в даному випадку також рiвносильна умовi A0y = 0 [2]. Оскiльки
ядро N(I − A) оператора I − A є доповнювальним пiдпростором у B (це випливає з роз-
кладу в пряму суму (2)), то можна розглянути фактор-простiр по ядру оператора I − A.
Профакторизуємо простiр B по ядру N(I − A) й позначимо вiдповiдний фактор-простiр
через E = B/N(I −A). Нехай P
R(I−A), PN(I−A) — проектори на пiдпростори R(I −A) ⊂ B
та N(I − A) вiдповiдно. Тодi профакторизований оператор
I − A = P
R(I−A)(I −A)j−1 : E → R(I −A) ⊂ R(I −A)
буде лiнiйним, неперервним та iн’єктивним. Тут j : B → E — канонiчна проекцiя [4]. Трiйка
(B,E, j) є локально тривiальним розшаруванням з типовим шаром B1 = PN(I−A)B. Це дає
можливiсть ввести поняття сильного узагальненого розв’язку [1, c. 26, 29] для рiвняння
(I − A)x = y, x ∈ E. (6)
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №1
Використаємо тепер процес поповнення за нормою ‖x‖E = ‖(I − A)x‖F , де F = R(I −A) [1].
Тодi отриманий розширений оператор (I − A) : E → R(I −A) буде здiйснювати гомеомор-
фiзм мiж просторами E й R(I −A). З урахуванням конструкцiї сильного узагальненого
розв’язку [1] рiвняння
(I − A)x = y
матиме єдиний узагальнений розв’язок (I − A)
−1
y, який позначатимемо через c̃ ∈ E, й
простiр E буде щiльно вкладеним в E. Внаслiдок щiльностi вкладення iснує послiдовнiсть
c̃n ∈ E класiв еквiвалентностi, яка буде збiгатися до c̃ за нормою E. Обираючи по представ-
нику з кожного класу cn ∈ c̃n, отримаємо, що вона збiгається до узагальненого розв’язку c̃.
Така послiдовнiсть буде сильним майже розв’язком [1]. Усi сильнi майже розв’язки опера-
торного рiвняння (1) можна записати у виглядi {cn + PN(I−A)c}n∈N, для будь-якого c ∈ B
або, що те саме, {cn + A0c}n∈N. Якщо y ∈ R(I −A), то iснує послiдовнiсть yn ∈ R(I − A),
що до неї збiгається. Тодi G[yn] буде збiгатися до G[y] i як cn можна обрати G[yn]. Таким
чином, i узагальнений оператор Грiна G[y] можна розширити до G[y]. Вiдзначимо, що якщо
y ∈ R(I − A), то сильнi узагальненi розв’язки будуть класичними.
3. Сильнi псевдорозв’язки. Розглянемо елемент y /∈ R(I −A). Ця умова рiвносильна то-
му, що A0y 6= 0. У цьому випадку рiвняння (1) не має анi класичних, анi сильних узагальне-
них розв’язкiв, але iснують елементи з B = N(I−A)⊕X , що мiнiмiзують норму вiдповiдної
нев’язки ‖(I −A)c− g‖B (простiр X iзометрично iзоморфний простору E, а оператор I −A
є вiдповiдним розширенням оператора I − A). А саме [5]:
c = (I − A)−1y +A0c, ∀ c ∈ B.
Цi елементи й будемо називати псевдорозв’язками.
Таким чином, ми довели таку теорему.
Теорема 2. Нехай в рiвняннi (1) лiйнiйний обмежений оператор A, що дiє в рефлек-
сивному просторi Банаха або Фреше, такий, що його степенi рiвномiрно обмеженi. Тодi:
(а) рiвняння (1) має класичнi або сильнi узагальненi розв’язки тодi й тiльки тодi, коли
виконується умова (3) — A0y = 0; якщо y ∈ R(I − A), то розв’язки рiвняння (1) будуть
класичними;
(б) якщо умова (3) виконується, то множину розв’язкiв рiвняння (1) можна зобрази-
ти у виглядi операторного ряду
x = A0c+G[y],
де G[y] — вiдповiдне розширення (5);
(в) якщо умова (3) не виконується, то рiвняння (1) має множину псевдорозв’язкiв,
яку можна подати у виглядi
x = A0c+G[y],
де G[y] = (I − A)−1y.
Зауваження. Якщо ‖A‖ < 1, то оператор A0 = 0, у формулi (5) можна зробити гранич-
ний перехiд, коли µ → 1, й отримаємо ряд Неймана. У цьому випадку буде iснувати єдиний
класичний розв’язок. Таким чином, отриманi результати узгоджуються з iснуючими.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №1 21
2. Зауваження щодо посилення результатiв. Наведемо вiдому теорему [6], з якої
буде видно яким чином можна узагальнити отриманi в попередньому пунктi результати.
Теорема [6, с. 964]. Нехай E — вiддiльний локально опуклий простiр, u — його непе-
рервний ендоморфiзм i
An =
1 + u+ u2 + · · · + un
n
.
Припустимо, що
(а) множина {An(x) : n = 1, 2, . . .} вiдносно слабко компактна в E для кожного x ∈ E;
(а′) множина {An} рiвностепенево неперервна;
(b) lim
n
n−1un(x) = 0 в слабкiй топологiї для кожного x ∈ E.
Тодi:
1) E — топологiчна пряма сума пiдпросторiв N(1 − u) та R(1− u);
2) якщо π — проектування E на N(1 − u) паралельно R(1− u), то lim
n
An(x) = π(x)
в слабкiй топологiї для кожного x ∈ E.
Нарештi, якщо умова (b) виконана при замiнi слабкої топологiї вихiдною, то те саме
залишається вiрним й для твердження 2.
За цих умов пiсля факторизацiї за схемою, проведеною вище, та поповнення за топо-
логiєю iндукованою системою напiвнорм (детальнiше в [1, c. 47, 116]) можна вважати, що
оператор 1−u має замкнену множину значень. Тодi з розкладу (2) буде випливати, що опе-
ратор 1− u узагальнено-оборотний з узагальнено-оберненим оператором (1− u)−. У цьому
випадку множина розв’язкiв рiвняння (1 − u)x = y матиме вигляд x = π(c) + (1 − u)−y.
У випадку загальних локально опуклих просторiв зображення у виглядi збiжного оператор-
ного ряду може не бути. Для отримання такого зображення в [3] використовується теорема
Банаха про обернений оператор для (1 − u + π), яка виконується не завжди. В ультрабоч-
кових, бочкових та просторах Фреше ця теорема виконується i розклад, аналогiчний (4),
буде справедливим. Якщо простiр B буде бочковим, то з умови (а) теореми випливає умова
(а ′) [6, с. 965] й останню можна прибрати. Якщо простiр E є простором Фреше або нормо-
ваним, u — слабко компактний ендоморфiзм, степенi якого рiвностепенево неперервнi, то
зi слабкої компактностi випливає умова (а), й умова (b) виконується у вихiднiй топологiї.
Саме такi простори найчастiше й виникають у рiвняннях математичної фiзики. Якщо E —
простiр Банаха (або Фреше) й умову (b) замiнити умовою n−1‖un‖ → 0 або бiльш слаб-
кою умовою ‖un‖ 6 c (у просторi Фреше вiдповiдна збiжнiсть буде iндукована злiченною
системою напiвнорм, що породжують топологiю простору), то умова (а ′) буде автоматично
виконана. Нарештi в рефлексивних просторах умову (а) можна прибрати. Вiдзначимо та-
кож, що в роботi [7] метод рядiв Неймана поширено на випадок правильних операторiв за
бiльш сильних умов. Зауважимо також, що якщо оператор у правiй частинi (1) замiнити
на довiльний обмежений оператор B, що дiє з гiльбертового простору H1 в H2, то можна
повнiстю дослiдити розв’язнiсть рiвняння (1). А саме, можна довести, що довiльний обмеже-
ний оператор пiсля процесу поповнення, аналогiчного описаному вище, має узагальнений
псевдообернений.
1. Ляшко С.И., Номировский Д.А., Петунин Ю.И., Семенов В. В. Обобщенные решения операторных
уравнений. – Москва: Диалектика, 2009. – 185 с.
2. Иосида К. Функциональный анализ. – Москва: Мир, 1967. – 624 с.
3. Biletskyi B.A., Boichuk A.A., Pokutnyi A.A. Periodic problems of difference equations and ergodic
theory // Abstract Appl. Anal. – 2011. – Article ID 928587, 12 p.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №1
4. Атья М. Лекции по К-теории. – Москва: Мир, 1967. – 261 с.
5. Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary value problems. –
Utrecht; Boston: VSP, 2004. – 317 p.
6. Эдвардс Р. Э. Функциональный анализ. – Москва: Мир, 1969. – 1071 с.
7. Lyashko S. I., Semenov V.V. On a theorem of M.A. Krasnoselski // Cybern. and System Anal. – 2010. –
46, No 6. – P. 1021–1025.
Надiйшло до редакцiї 26.06.2012Iнститут математики НАН України, Київ
А.А. Покутный
Про развитие метода рядов Неймана обобщенного обращения
на спектре оператора в пространствах Банаха и Фреше
Обобщен метод рядов Неймана на случай нерастягивающих операторов. Снято условие
замкнутости множества значений рассматриваемого оператора.
O.O. Pokutnyi
Development of the Neimann’s series method of generalized invertibility
on the spectrum of an operator in Banach and Fréchet spaces
A generalization of the Neimann’s series method to the case of non-contractive operators is presen-
ted. The condition of closedness for the set of values of the operator under consideration is removed.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №1 23
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85355 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:06:59Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Покутний, О.О. 2015-07-28T14:08:37Z 2015-07-28T14:08:37Z 2013 Про розвинення методу рядів Неймана узагальненого обертання на спектрі оператора в просторах Банаха та Фреше / О.О. Покутний // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 1. — С. 19-23. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85355 517.9 Узагальнено метод рядiв Неймана на випадок операторiв, що не обов’язково є стискуючими. Знято умову замкненостi множини значень оператора, що розглядається. Обобщен метод рядов Неймана на случай нерастягивающих операторов. Снято условие замкнутости множества значений рассматриваемого оператора. A generalization of the Neimann’s series method to the case of non-contractive operators is presented. The condition of closedness for the set of values of the operator under consideration is removed. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Про розвинення методу рядів Неймана узагальненого обертання на спектрі оператора в просторах Банаха та Фреше Про развитие метода рядов Неймана обобщенного обращения на спектре оператора в пространствах Банаха и Фреше Development of the Neimann’s series method of generalized invertibility on the spectrum of an operator in Banach and Fr´echet spaces Article published earlier |
| spellingShingle | Про розвинення методу рядів Неймана узагальненого обертання на спектрі оператора в просторах Банаха та Фреше Покутний, О.О. Математика |
| title | Про розвинення методу рядів Неймана узагальненого обертання на спектрі оператора в просторах Банаха та Фреше |
| title_alt | Про развитие метода рядов Неймана обобщенного обращения на спектре оператора в пространствах Банаха и Фреше Development of the Neimann’s series method of generalized invertibility on the spectrum of an operator in Banach and Fr´echet spaces |
| title_full | Про розвинення методу рядів Неймана узагальненого обертання на спектрі оператора в просторах Банаха та Фреше |
| title_fullStr | Про розвинення методу рядів Неймана узагальненого обертання на спектрі оператора в просторах Банаха та Фреше |
| title_full_unstemmed | Про розвинення методу рядів Неймана узагальненого обертання на спектрі оператора в просторах Банаха та Фреше |
| title_short | Про розвинення методу рядів Неймана узагальненого обертання на спектрі оператора в просторах Банаха та Фреше |
| title_sort | про розвинення методу рядів неймана узагальненого обертання на спектрі оператора в просторах банаха та фреше |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85355 |
| work_keys_str_mv | AT pokutniioo prorozvinennâmetodurâdívneimanauzagalʹnenogoobertannânaspektríoperatoravprostorahbanahatafreše AT pokutniioo prorazvitiemetodarâdovneimanaobobŝennogoobraŝeniânaspektreoperatoravprostranstvahbanahaifreše AT pokutniioo developmentoftheneimannsseriesmethodofgeneralizedinvertibilityonthespectrumofanoperatorinbanachandfrechetspaces |