Ускорение сходимости итерационной схемы для нелинейной нетеровой краевой задачи
Для нахождения решений нетеровой краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в критическом случае на основе эффективного метода Ньютона–Канторовича построена новая итерационная схема. Для знаходження розв’язкiв нетерової слабконелiнiйної крайової задачi для системи звичайних д...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85356 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Ускорение сходимости итерационной схемы для нелинейной нетеровой краевой задачи / С.М. Чуйко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 1. — С. 24-29. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859607846434373632 |
|---|---|
| author | Чуйко, С.М. |
| author_facet | Чуйко, С.М. |
| citation_txt | Ускорение сходимости итерационной схемы для нелинейной нетеровой краевой задачи / С.М. Чуйко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 1. — С. 24-29. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Для нахождения решений нетеровой краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в критическом случае на основе эффективного метода Ньютона–Канторовича построена новая итерационная схема.
Для знаходження розв’язкiв нетерової слабконелiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь у критичному випадку з використанням методу Ньютона–Канторовича побудовано нову iтерацiйну схему.
The convergent iteration algorithm on the basis of Newton–Kantorovich’s method for the construction of the solutions of Noetherian weakly nonlinear boundary-value problem for a system of differential equations is proposed.
|
| first_indexed | 2025-11-28T07:09:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
С.М. Чуйко
Ускорение сходимости итерационной схемы
для нелинейной нетеровой краевой задачи
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Бойчуком)
Для нахождения решений нетеровой краевой задачи для системы обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений в критическом случае на основе эффективного метода Ньютона–
Канторовича построена новая итерационная схема.
Постановка задачи. Для построения решения z(t, ε) ∈ C1[a, b], C[0, ε0] краевой задачи
dz
dt
= A(t)z + f(t) + εZ(z, t, ε), ℓz(·, ε) = α+ εJ(z(·, ε), ε) (1)
традиционно используется метод простых итераций [1, 2]. Достоинство этого метода заклю-
чается в простоте и численной устойчивости, однако сходимость итерационной схемы, по-
лучаемой по методу простых итераций, является линейной, поэтому естественно возникает
задача о построении итерационного процесса, обладающего ускоренной сходимостью. Для
решения поставленной задачи используем эффективный метод Ньютона–Канторовича [3, 4].
Решение нетеровой (m 6= n) краевой задачи (1) ищем в малой окрестности решения порож-
дающей задачи
dz0
dt
= A(t)z0 + f(t), ℓz0(·) = α, α ∈ R
m. (2)
Здесь A(t) — (n × n)-мерная матрица и f(t) — n-мерный вектор-столбец, элементы кото-
рых — непрерывные на отрезке [a, b] действительные функции, ℓz(·) — линейный ограни-
ченный векторный функционал ℓz(·) : C[a, b] → R
1. Нелинейности Z(z, t, ε) и J(z(·, ε), ε)
задачи (1) дважды непрерывно дифференцируемы по неизвестной z в малой окрестности
порождающего решения и непрерывно дифференцируемы по малому параметру ε в малой
положительной окрестности нуля. Кроме того, считаем вектор-функцию Z(z, t, ε) непрерыв-
ной по независимой переменной t на отрезке [a, b]. Предположим, что для порождающей
задачи (2) имеет место критический случай PQ∗ 6= 0 и выполнено условие
PQ∗
d
{α− ℓK[f(s)](·)} = 0; (3)
при этом порождающая задача (2) имеет r-параметрическое семейство решений z0(t, cr) =
= Xr(t)cr +G[f(s);α](t). Здесь Q = ℓX(·) — (m× n)-матрица, PQ∗ — (m×m)-матрица-ор-
топроектор PQ∗ : Rm → N(Q∗), X(t) — нормальная фундаментальная матрица (X(a) = In)
однородной части системы (2), (d×m)-мерная матрица PQ∗
d
составлена из d линейно неза-
висимых строк матрицы-ортопроектора PQ∗ ; (n × r)-мерная матрица Xr(t) составлена из
r-линейно независимых столбцов матрицы X(t),
G[f(s);α](t) = X(t)Q+{α− ℓK[f(s)](·)}+K[f(s)](t) —
© С. М. Чуйко, 2013
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №1
обобщенный оператор Грина задачи (2), Q+ — псевдообратная матрица по Муру–Пенроузу,
K[f(s)](t) = X(t)
t
∫
a
X−1(s)f(s) ds —
оператор Грина задачи Коши для системы (2). Необходимое условие существования реше-
ния задачи (1) в критическом случае определяет следующая лемма [1].
Лемма 1. Пусть краевая задача (1) представляет критический случай PQ∗ 6= 0 и вы-
полнено условие (3) разрешимости порождающей задачи (2). Предположим также, что
задача (1) имеет решение, при ε = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) = z0(t, c
∗
r).
Тогда вектор c∗r ∈ R
r удовлетворяет уравнению
PQ∗
d
{J(z0(·, cr), 0) − ℓK[Z(z0(s, cr), s, 0)](·)} = 0. (4)
Предположим далее необходимое условие разрешимости задачи (1) выполненным. Фик-
сируя одно из решений c∗r ∈ R
r уравнения (4), ищем решение задачи (1)
z(t, ε) = z0(t, c
∗
r) + x(t, ε)
в окрестности порождающего решения
z0(t, c
∗
r) = Xr(t)c
∗
r +G[f(s);α](t).
Таким образом, приходим к задаче
dx(t, ε)
dt
= A(t)x(t, ε) + εZ(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), t, ε), (5)
ℓx(·, ε) = εJ(z0(·, c
∗
r) + x(·, ε), ε). (6)
Используя непрерывную дифференцируемость по первому аргументу функции Z(z, t, ε)
в окрестности порождающего решения и непрерывную дифференцируемость по третьему
аргументу, разлагаем эту функцию в окрестности точек x = 0 и ε = 0:
Z(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), t, ε) =
= Z(z0(t, c
∗
r), t, 0) +A1(t)x(t, ε) + εA2(t) +R1(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), t, ε),
где
A1(t) =
∂Z(z, t, ε)
∂z
∣
∣
∣
∣
∣z=z0(t,c∗r),
ε=0
, A2(t) =
∂Z(z, t, ε)
∂ε
∣
∣
∣
∣
∣z=z0(t,c∗r),
ε=0
.
Аналогично, используя непрерывную дифференцируемость (в смысле Фреше) по перво-
му аргументу векторного функционала J(z0(·, c
∗
r) + x(·, ε), ε) и непрерывность по второму
аргументу, выделяем линейные по x и по ε части ℓ1x(·, ε) и εℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) этого функционала
и член J(z0(·, c
∗
r), 0) = J(z(·, 0), 0) нулевого порядка по ε в окрестности точек x = 0 и ε = 0:
J(z0(·, c
∗
r)+ x(·, ε), ε) = J(z0(·, c
∗
r), 0)+ ℓ1x(·, ε)+ εℓ2(z0(·, c
∗
r), 0)+ J1(z0(·, c
∗
r)+ x(·, ε), ε).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №1 25
Обозначим (d × r)-матрицу
B0 = PQ∗
d
{ℓ1Xr(·)− ℓK[A1(s)Xr(s)](·)};
при условии PB∗
0
= 0 операторная система x(t, ε) = Φx(t, ε) эквивалентна задаче о построе-
нии решения операторного уравнения на множестве функций x(t, ε), обращающихся в нуль
при ε = 0; здесь
Φx(t, ε) = −Xr(t)B
+
0 PQ∗
d
{εℓ1G[Z(z0 + x, s, ε);J(z0 + x, ε)](·) + εℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) +
+ J1(z0 + x, ε)− ℓK[εA1(s)G[Z(z0 + x, τ, ε);J(z0 + x, ε)](s) + εA2(s) +
+R1(z0 + x, s, ε)](·)} + εG[Z(z0(s, c
∗
r) + x(s, ε), s, ε);J(z0(·, c
∗
r) + x(·, ε), ε)](t) +
+Xr(t)Pρcρ.
Оператор Φ(Z(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), s, ε);J(z0(·, c
∗
r) + x(·, ε), ε)) представляет собой суперпози-
цию билинейного по Z(z(s, ε), s, ε) и J(z(·, ε), ε) оператора, действующего на непрерывно
дифференцируемую по x функцию Z(z(t, ε), t, ε) и функционал J(z(·, ε), ε). Таким образом,
оператор Φx(t, ε) — непрерывный ограниченный оператор, действующий из пространства
непрерывных на отрезках [a, b] и [0, ε0] действительных вектор-функций x(t, ε) ∈ C1[a, b],
C[0, ε0] в себя. Производная последнего оператора имеет вид
∂Φ(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε))
∂x
=
= −Xr(t)B
+
0 PQ∗
r
{
εℓ1G
[
∂Z(z0 + x, s, ε)
∂x
;
∂J(z0 + x, ε)
∂x
]
(·) +
∂J1(z0 + x, ε)
∂x
−
− ℓK
[
εA1(s)G
[
∂Z(z0 + x, τ, ε)
∂x
;
∂J(z0 + x, ε)
∂x
]
(s) +
∂R1(z0 + x, s, ε)
∂x
]
(·)
}
+
+ εG
[
∂Z(z0(s, c
∗
r) + x(s, ε), s, ε)
∂x
;
∂J(z0(·, c
∗
r) + x(·, ε), ε)
∂x
]
(t).
Для применения общей схемы метода Ньютона–Канторовича в критическом случае первого
порядка введем в рассмотрение оператор
ϕ(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε)) = Φ(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε))− x(t, ε).
В достаточно малой окрестности порождающего решения
det
[
∂Φ(z0(t, c
∗
r) + xk(t, ε))
∂x
− In
]
6= 0,
поскольку при ε → 0
det
[
∂Φ(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε))
∂x
− In
]
> 1− det
[
∂Φ(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε))
∂x
]
→ 1.
Предположим выполненным при достаточно малом ε ∈ [0; ε∗] условие
2γ1(ε)γ2(ε)γ3(ε) < 1.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №1
Здесь величины γ1(ε), γ2(ε), γ3(ε) гарантируют выполнение неравенств
∥
∥
∥
∥
{
∂ϕ(z0, ε)
∂z
}
−1∥
∥
∥
∥
6 γ1(ε), ‖ϕ(z0, ε)‖ 6 γ2(ε),
∥
∥
∥
∥
∂2ϕ(z(ε), ε)
∂z2
∥
∥
∥
∥
6 γ3(ε).
При этом, согласно теореме Канторовича [3, c. 680], приходим к следующему утверждению.
Теорема 1. Пусть краевая задача (1) представляет критический случай PQ∗ 6= 0
и выполнено условие (3) разрешимости порождающей задачи (2). Тогда для каждого прос-
того (PB∗
0
= 0) корня c∗r ∈ R
r уравнения (4) для порождающих констант задача (5), (6)
имеет по меньшей мере одно решение x(t, ε) ∈ C1[a, b], C[0, ε0], при ε = 0 обращающееся
в нулевое x(t, 0) ≡ 0. Задача (1) имеет в этом случае по меньшей мере одно решение:
z(t, ε) ∈ C1[a, b], C[0, ε0],
при ε = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) ≡ z0(t, c
∗
r), которое может быть найдено
при помощи сходящегося для ε ∈ [0, ε∗] итерационного процесса
zk(t, ε) = z0(t, c
∗
r) + xk(t, ε),
xk+1(t, ε) = xk(t, ε)−
[
∂Φ(z0(t, c
∗
r) + xk(t, ε))
∂x
− In
]
−1
[Φ(z0(t, c
∗
r) + xk(t, ε)) − xk(t, ε)],
x0(t, ε) ≡ 0, k = 0, 1, 2, . . . .
Приведенная итерационная схема обеспечивает квадратичную сходимость [5] в отличие
от полученных нами ранее итерационных процессов [6, 7].
Пример. Покажем, что все требования теоремы выполнены для задачи
dz
dt
= (2t− 1)z + εz ln z,
ℓz(·) = z(0, ε) − z(1, ε) = 0.
(7)
Нормальная фундаментальная матрица однородной части дифференциального уравне-
ния (7) — функция X(t) = et
2
−t; поскольку Q = ℓX(·) = 0, постольку имеет место кри-
тический случай; при этом r = d = 1. Решение порождающей задачи имеет вид z0(t, c
∗
r) =
= et
2
−t+1/6. Задача о нахождении периодического решения уравнения (7) представляет кри-
тический случай, при этом B0 = B−1
0 = 1, следовательно, в данном случае выполнены все
условия доказанной теоремы. Для нахождения первого приближения используем оператор
Φ(z0(t, c
∗
r)) = εe1/6et
2
−t
(
t
6
+
t3
3
−
t2
2
)
.
Производная этого оператора имеет вид
∂Φ(z0(t, c
∗
r))
∂x
= εG[A1(s); 0](t) + εXr(t)B
−1
0 PQ∗
r
ℓK{A1(s)G[A1(τ); 0](s)}(·).
В отличие от оператора Φ(z0(t, c
∗
r)), значение его производной Φ′
x(z0(t, c
∗
r)) не выражается
через элементарные функции. Для вычисления второго слагаемого воспользуемся разложе-
нием интеграла G[A1(s); 0](t) в ряд Тейлора в окрестности точки t = 1/2. Таким образом,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №1 27
на первом шаге итерационной схемы находим первое приближение z0(t, c
∗
r) + x1(t, ε) к пе-
риодическому решению уравнения (7); полагая ε = 0, 1, здесь
x1(t, ε) = −
[
∂Φ(z0(t, c
∗
r))
∂x
− 1
]
−1
· Φ(z0(t, c
∗
r)) ≈
≈ −5,31111 · 10−12 + 0,018594 · t− 0,0712929 · t2 + 0,105586 · t3 − 0,108013 · t4 +
+ 0,0854975 · t5 − 0,0459865 · t6 + 0,0152232 · t7 + 0,00522619 · t8 − 0,0103855 · t9 +
+ 0,00729421 · t10 + 0,000907002 · t11 − 0,00980691 · t12 + 0,0174217 · t13 −
− 0,0216099 · t14 + 0,0213278 · t15 − 0,0169551 · t16 + 0,0106973 · t17 −
− 0,00516626 · t18 + 0,00180097 · t19 − 0,000404909 · t20 + 0,0000446962 · t21.
Для нахождения второго приближения воспользуемся неограниченной дифференцируемо-
стью нелинейности Z(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), t, ε) уравнения (7) по неизвестной z(t, ε) в малой
окрестности порождающего решения z0(t, c
∗
r) и независимостью этой нелинейности от ма-
лого параметра ε. Разлагая нелинейность, вычисляем второе приближение z0(t, c
∗
r)+x2(t, ε)
к периодическому решению уравнения (7); здесь
x2(t; 0,1) ≈ −0,0000294344 + 0,019653 · t− 0,0771809 · t2 + 0,122051 · t3 − 0,13815 · t4 +
+ 0,12724 · t5 − 0,0913763 · t6 + 0,0542647 · t7 − 0,0198152 · t8 − 0,00292169 · t9 +
+0,0173311 · t10−0,0258518 · t11+0,0329137 · t12−0,0393473 · t13+0,0431496 · t14−
− 0,041112 · t15 + 0,0325485 · t16 − 0,020602 · t17 + 0,00998658 · t18 −
− 0,00348343 · t19 + 0,000780806 · t20 − 0,0000852132 · t21.
Точность полученных приближений демонстрирует последовательное уменьшение от ите-
рации к итерации норм невязок; действительно, при ε = 0, 1 имеем
∥
∥
∥
∥
A(t)z0(t, c
∗
r) + εZ(z0(t, c
∗
r), t, 0) −
dz0(t, c
∗
r)
dt
∥
∥
∥
∥
L2[0;1]
≈ 0,0196893;
∥
∥
∥
∥
A(t)x1(t, ε) + εZ(z0(t, c
∗
r) + x1(t, ε), t, ε) −
dx1(t, ε)
dt
∥
∥
∥
∥
L2[0;1]
≈ 1,23248 · 10−3;
∥
∥
∥
∥
A(t)x2(t, ε) + εZ(z0(t, c
∗
r) + x2(t, ε), t, ε) −
dx2(t, ε)
dt
∥
∥
∥
∥
L2[0;1]
≈ 6,28002 · 10−5.
Проверим далее условие сходимости; для этого согласно теореме Канторовича [3, c. 680, 682]
проверим выполнение в достаточно малой окрестности порождающего решения условия
2γ1(ε)γ2(ε)γ3(ε) < 1. Здесь величины γ1(ε), γ2(ε), γ3(ε) гарантируют выполнение неравенств
∥
∥
∥
∥
{
∂ϕ(z0, ε)
∂z
}
−1∥
∥
∥
∥
6 γ1(ε), ‖ϕ(z0, ε)‖ 6 γ2(ε),
∥
∥
∥
∥
∂2ϕ(z(ε), ε)
∂z2
∥
∥
∥
∥
6 γ3(ε).
При ε = 0,1 имеем γ1(ε) > (1,0589)−1. Далее
‖ϕ(z0, ε)‖ = ‖Φ(z0, ε)‖ =
∥
∥
∥
∥
ε · e1/6 · et
2
−t ·
(
t
6
+
t3
3
−
t2
2
)
∥
∥
∥
∥
≈ 0,00161145,
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №1
следовательно, γ2(ε) > 0,00161145. Поскольку при ε = 0,1
γ1(ε) ≈ max
[0;1]
|ϕ′′(z0(t, c
∗
r) + x2(t, ε))| ≈ 1,25383,
постольку
2γ1(ε)γ2(ε)γ3(ε) ≈ 0,00381621 ≪ 1,
следовательно, при ε = 0,1 условие сходимости полученной итерационной схемы выполня-
ется.
Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда фундаментальных исследований Герма-
нии (DFG; номер регистрации GZ:436UKR 13/103/0–1) и Государственного Фонда фундаменталь-
ных исследований Украины (номер государственной регистрации 0109U000381).
1. Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. –
Utrecht; Boston: VSP, 2004. – 317 p.
2. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. – Москва: Наука,
1979. – 432 с.
3. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – Москва: Наука, 1977. – 744 с.
4. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др. Приближенное решение операторных
уравнений. – Москва: Наука, 1969. – 455 с.
5. Деннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных урав-
нений. – Москва: Мир, 1988. – 440 с.
6. Бойчук А.А., Чуйко С.М. Автономные слабонелинейные краевые задачи // Дифференц. уравнения. –
1992. – № 10. – С. 1668–1674.
7. Чуйко С.М. Ускорение сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи //
Нелiнiйнi коливання. – 2006. – 9, № 1. – С. 127–132.
Поступило в редакцию 14.06.2012Славянский государственный педагогический
университет
С.М. Чуйко
Прискорення збiжностi iтерацiйної схеми для нелiнiйної нетерової
крайової задачi
Для знаходження розв’язкiв нетерової слабконелiнiйної крайової задачi для системи звичай-
них диференцiальних рiвнянь у критичному випадку з використанням методу Ньютона–
Канторовича побудовано нову iтерацiйну схему.
S.M. Chuiko
Acceleration of the convergence of an iteration procedure for
a nonlinear Noetherian boundary-value problem
The convergent iteration algorithm on the basis of Newton–Kantorovich’s method for the construc-
tion of the solutions of Noetherian weakly nonlinear boundary-value problem for a system of dif-
ferential equations is proposed.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №1 29
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85356 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T07:09:45Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чуйко, С.М. 2015-07-28T14:09:04Z 2015-07-28T14:09:04Z 2013 Ускорение сходимости итерационной схемы для нелинейной нетеровой краевой задачи / С.М. Чуйко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 1. — С. 24-29. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85356 517.9 Для нахождения решений нетеровой краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в критическом случае на основе эффективного метода Ньютона–Канторовича построена новая итерационная схема. Для знаходження розв’язкiв нетерової слабконелiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь у критичному випадку з використанням методу Ньютона–Канторовича побудовано нову iтерацiйну схему. The convergent iteration algorithm on the basis of Newton–Kantorovich’s method for the construction of the solutions of Noetherian weakly nonlinear boundary-value problem for a system of differential equations is proposed. Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда фундаментальных исследований Германии (DFG; номер регистрации GZ:436UKR 13/103/0–1) и Государственного Фонда фундаментальных исследований Украины (номер государственной регистрации 0109U000381). ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Ускорение сходимости итерационной схемы для нелинейной нетеровой краевой задачи Прискорення збiжностi iтерацiйної схеми для нелiнiйної нетерової крайової задачi Acceleration of the convergence of an iteration procedure for a nonlinear Noetherian boundary-value problem Article published earlier |
| spellingShingle | Ускорение сходимости итерационной схемы для нелинейной нетеровой краевой задачи Чуйко, С.М. Математика |
| title | Ускорение сходимости итерационной схемы для нелинейной нетеровой краевой задачи |
| title_alt | Прискорення збiжностi iтерацiйної схеми для нелiнiйної нетерової крайової задачi Acceleration of the convergence of an iteration procedure for a nonlinear Noetherian boundary-value problem |
| title_full | Ускорение сходимости итерационной схемы для нелинейной нетеровой краевой задачи |
| title_fullStr | Ускорение сходимости итерационной схемы для нелинейной нетеровой краевой задачи |
| title_full_unstemmed | Ускорение сходимости итерационной схемы для нелинейной нетеровой краевой задачи |
| title_short | Ускорение сходимости итерационной схемы для нелинейной нетеровой краевой задачи |
| title_sort | ускорение сходимости итерационной схемы для нелинейной нетеровой краевой задачи |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85356 |
| work_keys_str_mv | AT čuikosm uskorenieshodimostiiteracionnoishemydlânelineinoineterovoikraevoizadači AT čuikosm priskorennâzbižnostiiteraciinoíshemidlâneliniinoíneterovoíkraiovoízadači AT čuikosm accelerationoftheconvergenceofaniterationprocedureforanonlinearnoetherianboundaryvalueproblem |