Плоска деформація тіла зі стрічковою пеленою теплових джерел або диполів
Визначення стацiонарного температурного поля iз стрiчковою пеленою теплових джерел або диполiв зведено до розв’язання iнтегральних рiвнянь першого роду i запропоновано метод знаходження множини його розв’язкiв. За вiдомим температурним полем i рiвняннями термопружностi у перемiщеннях знайдено вирази...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85361 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Плоска деформація тіла зі стрічковою пеленою теплових джерел або диполів / Г.С. Кiт, О.В. Галазюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 1. — С. 53-58. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85361 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кіт, Г.С. Галазюк, О.В. 2015-07-28T14:10:54Z 2015-07-28T14:10:54Z 2013 Плоска деформація тіла зі стрічковою пеленою теплових джерел або диполів / Г.С. Кiт, О.В. Галазюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 1. — С. 53-58. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85361 539.3 Визначення стацiонарного температурного поля iз стрiчковою пеленою теплових джерел або диполiв зведено до розв’язання iнтегральних рiвнянь першого роду i запропоновано метод знаходження множини його розв’язкiв. За вiдомим температурним полем i рiвняннями термопружностi у перемiщеннях знайдено вирази компонент вектора пружного перемiщення та компонент тензора температурних напружень через iнтеграли Фур’є. Определение стационарного температурного поля с ленточной пеленой тепловых источников или диполей сведено к решению интегральных уравнений первого рода и предложен метод нахождения множества его решений. По известному температурному полю и уравнению термоупругости в перемещениях найдены выражения компонент вектора упругого перемещения и компонент тензора температурных напряжений через интегралы Фурье. The determination of the stationary temperature field in a body with a band sheet of thermal sources or dipoles is reduced to the solution of an integral equation of the first type. The method of determination of a set of solutions of this equation is proposed. The components of the elastic displacement vector and the temperature stress tensor are found in terms of Fourier integrals with regard for the known temperature field and the thermoplasticity equation. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Плоска деформація тіла зі стрічковою пеленою теплових джерел або диполів Плоская деформация тела с ленточной пеленой тепловых источников или диполей Plane deformation of a body with a band sheet of thermal sources or dipoles Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Плоска деформація тіла зі стрічковою пеленою теплових джерел або диполів |
| spellingShingle |
Плоска деформація тіла зі стрічковою пеленою теплових джерел або диполів Кіт, Г.С. Галазюк, О.В. Механіка |
| title_short |
Плоска деформація тіла зі стрічковою пеленою теплових джерел або диполів |
| title_full |
Плоска деформація тіла зі стрічковою пеленою теплових джерел або диполів |
| title_fullStr |
Плоска деформація тіла зі стрічковою пеленою теплових джерел або диполів |
| title_full_unstemmed |
Плоска деформація тіла зі стрічковою пеленою теплових джерел або диполів |
| title_sort |
плоска деформація тіла зі стрічковою пеленою теплових джерел або диполів |
| author |
Кіт, Г.С. Галазюк, О.В. |
| author_facet |
Кіт, Г.С. Галазюк, О.В. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2013 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Плоская деформация тела с ленточной пеленой тепловых источников или диполей Plane deformation of a body with a band sheet of thermal sources or dipoles |
| description |
Визначення стацiонарного температурного поля iз стрiчковою пеленою теплових джерел або диполiв зведено до розв’язання iнтегральних рiвнянь першого роду i запропоновано метод знаходження множини його розв’язкiв. За вiдомим температурним полем i рiвняннями термопружностi у перемiщеннях знайдено вирази компонент вектора
пружного перемiщення та компонент тензора температурних напружень через iнтеграли Фур’є.
Определение стационарного температурного поля с ленточной пеленой тепловых источников или диполей сведено к решению интегральных уравнений первого рода и предложен метод нахождения множества его решений. По известному температурному полю и уравнению термоупругости в перемещениях найдены выражения компонент вектора упругого
перемещения и компонент тензора температурных напряжений через интегралы Фурье.
The determination of the stationary temperature field in a body with a band sheet of thermal sources
or dipoles is reduced to the solution of an integral equation of the first type. The method of determination of a set of solutions of this equation is proposed. The components of the elastic displacement vector and the temperature stress tensor are found in terms of Fourier integrals with regard for the known temperature field and the thermoplasticity equation.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85361 |
| citation_txt |
Плоска деформація тіла зі стрічковою пеленою теплових джерел або диполів / Г.С. Кiт, О.В. Галазюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 1. — С. 53-58. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT kítgs ploskadeformacíâtílazístríčkovoûpelenoûteplovihdžerelabodipolív AT galazûkov ploskadeformacíâtílazístríčkovoûpelenoûteplovihdžerelabodipolív AT kítgs ploskaâdeformaciâtelaslentočnoipelenoiteplovyhistočnikovilidipolei AT galazûkov ploskaâdeformaciâtelaslentočnoipelenoiteplovyhistočnikovilidipolei AT kítgs planedeformationofabodywithabandsheetofthermalsourcesordipoles AT galazûkov planedeformationofabodywithabandsheetofthermalsourcesordipoles |
| first_indexed |
2025-11-27T00:27:34Z |
| last_indexed |
2025-11-27T00:27:34Z |
| _version_ |
1850788544638877696 |
| fulltext |
УДК 539.3
Член-кореспондент НАН України Г. С. Кiт, О. В. Галазюк
Плоска деформацiя тiла зi стрiчковою пеленою
теплових джерел або диполiв
Визначення стацiонарного температурного поля iз стрiчковою пеленою теплових дже-
рел або диполiв зведено до розв’язання iнтегральних рiвнянь першого роду i запропо-
новано метод знаходження множини його розв’язкiв. За вiдомим температурним по-
лем i рiвняннями термопружностi у перемiщеннях знайдено вирази компонент вектора
пружного перемiщення та компонент тензора температурних напружень через iнте-
грали Фур’є.
При визначеннi двовимiрного стацiонарного температурного поля i зумовленої ним плоскої
деформацiї тiла при тепловидiленнi у стрiчковiй областi шириною 2L використовують iнте-
гральнi подання комплексних потенцiалiв температури, що дає можливiсть зводити задачi
термопружностi до сингулярних iнтегральних рiвнянь з ядром Кошi [1, 2]. У роботi [3] пока-
зано, що дiйсна i уявна частини iнтеграла типу Кошi є, вiдповiдно, логарифмiчнi потенцiали
подвiйного та простого шарiв. При цьому для зникання логарифмiчного потенцiалу просто-
го шару на нескiнченностi слiд вимагати рiвностi нулю iнтеграла по вiдрiзку 2L вiд його
густини. При постановцi таких задач постулюється вiдсутнiсть джерел тепла поза межами
областi тепловидiлення, що призводить до коренево-сингулярного розподiлу потокiв тепла
на її краю.
Нижче запропоновано нову постановку i метод розв’язання плоских задач стацiонарної
теплопровiдностi та термопружностi для тiла з тонким стрiчковим тепловидiльним або теп-
лоiзольованим включенням. Стрiчковi неоднорiдностi в межах цiєї постановки змодельованi
стрiчковою пеленою джерел тепла або теплових диполiв, а зумовлене ними температурне
поле визначене розв’язками iнтегральних рiвнянь першого роду. При додаткових некласич-
них умовах серед множини розв’язкiв цих рiвнянь завжди iснує розв’язок, який виконує
фiзично зумовлену вимогу неперервностi теплових потокiв на краю неоднорiдностi.
Розв’язок рiвнянь термопружностi зi стрiчковою пеленою джерел тепла. В
однорiдному пружному просторi введемо декартову систему координат Lα, Lβ, Lγ з почат-
ком у площинi γ = 0 i вважатимемо, що у тiлi пiд дiєю двовимiрного температурного поля
реалiзується стан плоскої деформацiї. У цьому випадку векторне рiвняння квазiстатичної
термопружностi
(λ+ 2µ) grad θ − µ rot rotu = αT (3λ+ 2µ) grad T
у декартовiй системi координат зведемо до двох рiвнянь в частинних похiдних
k2∂αθ + 2∂γωβ = αT (3k
2 − 4)∂αT, k2∂γθ − 2∂αωβ = αT (3k
2 − 4)∂γT (1)
стосовно iнварiантних величин
θ(α, γ) = divu = ∂αuα + ∂γuγ , 2ωβ(α, γ) = (rot u)β = ∂γuα − ∂αuγ . (2)
© Г.С. Кiт, О.В. Галазюк, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №1 53
Тут k2 = (λ+2µ)/µ = 2(1−ν)/(1−2ν), де λ i µ — сталi Ламе; ν — коефiцiєнт Пуассона; αT —
коефiцiєнт лiнiйного теплового розширення; Luα i Luγ — компоненти вектора пружного
перемiщення u у напрямку осей α i γ вiдповiдно; ∂α i ∂γ — оператори диференцiювання
за змiнними α i γ.
Систему рiвнянь (1) розщеплюємо на два незалежнi рiвняння
∆θT = βT∆T, ∆ωT
β = 0 (3)
вiдносно ключових функцiй θT (α, γ) i ωT
β (α, γ), де ∆ — оператор Лапласа в декартовiй
системi координат; βT = αTk
−2(3k2 − 4). Частковi розв’язки рiвнянь (3) такi:
θT (α, γ) = βTT (α, γ), ωT
β (α, γ) = 0. (4)
Увiвши формулами
uTα(α, γ) = ∂αP
T (α, γ), uTγ (α, γ) = ∂γP
T (α, γ) (5)
термопружний потенцiал перемiщень P T (α, γ), на основi спiввiдношень (2) i (4) одержимо
рiвняння Пуассона
∆P T = βTT (α, γ). (6)
Нехай у площинi γ = 0 розподiленi джерела тепла за законом
W (α, p) = 2T0
∞
∫
0
η[G(η, p) sin ηα+H(η, p) cos ηα] dη, (7)
де твiрнi функцiї G(η, p) i H(η, p) з параметром p визначають антисиметричну та симе-
тричну за змiнною α складовi функцiї W (α, p), T0 = W0L/λT — множник iз розмiрнiстю
температури; λT — коефiцiєнт теплопровiдностi. Розв’язок рiвняння стацiонарної теплопро-
вiдностi з розподiленими у площинi γ = 0 джерелами тепла
∆T = −δ(γ)W (α, p),
де δ(γ) — дельта-функцiя Дiрака, є таким:
T (α, γ) = T0
∞
∫
0
e−η|γ|K(η, p, α) dη. (8)
Тут
K(η, p, α) = G(η, p) sin ηα+H(η, p) cos ηα. (9)
Вiдзначимо, що, вiдповiдно до подання (8), похiдна
∂γT = −T0 sign γ
∞
∫
0
ηe−η|γ|K(η, p, α) dη
має стрибок при переходi площини γ = 0 по нормалi до неї.
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №1
Розв’язок рiвняння (6) з правою частиною (8)
P T (α, γ) = −0,5βTT0
∫ ∞
0
η−2(1 + η|γ|)e−η|γ|K(η, p, α) dη.
За формулами (5) знаходимо температурнi перемiщення
uTα(α, γ) = −0,5βTT0
∞
∫
0
η−2(1 + η|γ|)e−η|γ|∂αK(η, p, α) dη,
uTγ (α, γ) = 0,5βT γT (α, γ).
(10)
За вiдомими компонентами (10) вектора перемiщення i спiввiдношеннями Дюамеля–Ней-
мана визначаємо компоненти тензора напружень. Зокрема,
σT
γγ(α, γ) = −µβT
[
T (α, γ) + T0|γ|
∞
∫
0
ηe−η|γ|K(η, p, α) dη
]
,
σT
αγ(α, γ) = µβTT0γ
∞
∫
0
e−η|γ|∂α[K(η, p, α)] dη,
σT
αα(α, γ) + σT
ββ(α, γ) + σT
γγ(α, γ) = −4µβTT (α, γ).
(11)
Отже, за довiльним законом (7) розподiлу джерел тепла, у площинi γ = 0 вiдсутнi нор-
мальнi перемiщення i дотичнi напруження, тому формули (10) i (11) дають розв’язки зада-
чi термопружностi для пiвпростору з гладко закрiпленою межею. Нормальнi напруження
σT
αα(α,±0), σT
ββ(α,±0) i σT
γγ(α,±0) у цiй площинi пропорцiйнi температурi i є стискальними.
Розв’язок рiвнянь термопружностi зi стрiчковою пеленою теплових диполiв.
Якщо у площинi γ = 0 розподiленi тепловi диполi за законом
D(α, p) = 2T0
∞
∫
0
[G(η, p) sin ηα+H(η, p) cos ηα] dη,
то температурне поле визначається розв’язком рiвняння Пуассона
∆T = −δ′(γ)D(α, β),
де δ′(γ) — похiдна вiд дельта-функцiї Дiрака, i є таким:
T (α, γ) = T0 sign γ
∞
∫
0
e−η|γ|K(η, p, α) dη. (12)
Таким чином, при розподiлi у площинi γ = 0 стрiчкової пелени теплових диполiв темпе-
ратурне поле (12) має стрибок при переходi цiєї площини по нормалi до неї. Тому в цьому
випадку площина γ = 0 є поверхнею розриву параметрiв поля нульового порядку — тепло-
вим вихором [5], який обмежений поверхнями γ = ±0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №1 55
Розв’язок рiвняння (6) з урахуванням виразу (12) запишемо так:
P T (α, γ) = −0,5βTT0γ
∞
∫
0
η−1e−η|γ|K(η, p, α) dη.
Тому за формулами (5) знаходимо компоненти вектора перемiщення
uTα(α, γ) = −0,5βTT0γ
∞
∫
0
η−1e−η|γ|∂αK(η, p, α) dη,
uTγ (α, γ) = −0,5βT
{
T0
∞
∫
0
η−1e−η|γ|K(η, p, α) dη − γT (α, γ)
}
,
(13)
а за спiввiдношеннями Дюамеля–Неймана знаходимо компоненти тензора напружень
σT
γγ(α, γ) = −βTµT0γ
∞
∫
0
ηe−η|γ|K(η, p, α) dη,
σT
αγ(α, γ) = −µβTT0
∞
∫
0
η−1(1− η|γ|)e−η|γ|∂αK(η, p, α) dη,
σT
αα(α, γ) + σT
ββ(α, γ) + σT
γγ(α, γ) = −4µβTT (α, γ).
(14)
З формул (13) i (14) випливає, що радiальнi перемiщення i нормальнi напруження у пло-
щинi γ = 0 вiдсутнi, тому цими формулами описується напружено-деформований стан пiв-
простору, межа якого закрiплена гнучкою нерозтяжною плiвкою.
Приклад температурного поля у тiлi зi стрiчковою пеленою теплових дипо-
лiв. Нехай у стрiчковiй областi 0 6 |α| 6 1 задана нормальна складова q∗γ(α,±0) = C−f(α2)
безрозмiрного вектора ~q ∗ = L~q/λTT0 теплового потоку, де C — стала величина. Тодi, згiд-
но з рiвняннями балансу div ~q ∗ = 0 за температурним полем (12), його складова q∗γ(α, γ)
у напрямку осi γ визначається так:
q∗γ(α, γ) =
∞
∫
0
ηH(η, p)e−η|γ| cos ηαdη.
Тому для визначення твiрної функцiї H(η, p) одержимо iнтегральне рiвняння першого
роду
∞
∫
0
ηH(η, p) cos ηαdη = C − f(α2), 0 6 |α| 6 1, (15)
яке пiсля диференцiювання за змiнною α набуде вигляду
∞
∫
0
η2H(η, p) sin ηαdη = 2αf ′(α2). (16)
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №1
Якщо функцiю H(η, p) подати узагальненим рядом Неймана
η2H(η, p) =
∞
∑
n=0
an
J2n−p+2,5(η)
ηp−0,5
, p > 0,5, (17)
то рiвняння (16) пiсля обчислення розривного iнтеграла Фур’є [6] стає рядом
∞
∑
n=0
an
√
πΓ(n+ 1)Γ(n− p+ 2,5)
2pΓ(n+ 3)Γ(n + 0,5)
P (−0,5;2−p)
n (1− 2α2) = f ′(α2), 0 6 |α| 6 1,
за полiномами Якобi [7]. Тому коефiцiєнти an обчислюють за формулою ортогональностi
i за ними сталу C в рiвняннi (15) знаходимо за формулою
C = f(0) +
∞
∑
n=0
an
√
πΓ(p)Γ(n− p+ 1,5)
2p+1Γ(n+ 2)Γ(n + 1,5)Γ(−n+ p− 1)
.
При цьому розподiл диполiв, якi обумовлюють заданий тепловий потiк, визначається роз-
ривним iнтегралом Фур’є
D(α, p) = 2T0
∞
∑
n=0
an
∞
∫
0
J2n−p+2,5(η)
ηp+1,5
cos ηαdη. (18)
Цей закон розподiлу є неперервним у точцi |α| = 1 i зникає на нескiнченностi, якщо
0 6 p 6 0,5. (19)
При виконаннi цiєї нерiвностi стрибок температури при γ = ±0, що утворює тепловий
вихор, неперервно поширюється у вiдповiдностi iз теоремою Гельмгольца про збереження
вихорiв [8] в область 1 6 |α| < ∞. Отже, параметр p можна трактувати як певну тепло-
фiзичну характеристику теплового шару, який утворений тепловим вихором i обмежений
поверхнями γ = ±0.
Якщо тепловий вихор не поширюється в область 1 < |α| < ∞, то параметр p = −0,5
i тепловi потоки
q∗α(α,±0) = ±
∞
∑
n=0
an
∞
∫
0
J2n+3(η) sin ηαdη,
q∗γ(α,±0) =
∞
∑
n=0
an
∞
∫
0
J2n+3(η) cos ηαdη (20)
мають в точках |α| = ±1 сингулярний розподiл iз класичною кореневою особливiстю. Дiйс-
но, обчисливши розривнi iнтеграли Фур’є [6] у поданнях (20), знаходимо, що в областi
0 6 |α| < 1
q∗α(α,±0) = ± α√
1− α2
∞
∑
n=0
an
Γ(n+ 2,5)Γ(−n− 1;n + 2; 1,5;α2)
Γ(n+ 1,5)Γ(n + 0,5)
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №1 57
q∗γ(α,±0) =
∞
∑
n=0
anΓ(n+ 2,−n− 1; 0,5;α2) = C − f(α2),
а в областi 1 < |α| < ∞ q∗α(α,±0) = 0,
q∗γ(α,±0) = ±
√
π signα√
α2 − 1
∞
∑
n=0
an
Γ(n+ 2)Γ(n + 2;n + 1,5; 2n + 4;α−2)
Γ(2n + 4)Γ(−n− 1,5)|α|2n+3
.
При цьому D(α;−0,5) = 0 в областi 1 6 |α| < ∞.
1. Кит Г.С., Кривцун М. Г. Плоские задачи термоупругости для тел с трещинами. – Киев: Наук. думка,
1983. – 280 с.
2. Сулим Г.Т. Основи математичної теорiї термопружної рiвноваги деформiвних твердих тiл з тонкими
включеннями. – Львiв: Дослiдно-видавн. центр НТШ. – 2007. – 716 с.
3. Гахов Ф.Д. Краевые задачи – Москва: Наука, 1977. – 638 с.
4. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. – Москва: Мир, 1975. –
592 с.
5. Кiт Г.С., Галазюк В.А. Осесиметричний напружено-деформований стан тiла з плоскою пеленою
теплових джерел // Доп. НАН України. – 2011. – № 10. – С. 54–60.
6. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – Москва: Наука,
1963. – 1100 с.
7. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям – Москва: Наука, 1979. – 832 с.
8. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа – Москва: Наука, 1973. – 847 с.
Надiйшло до редакцiї 10.04.2012Iнститут прикладних проблем механiки
i математики iм. Я.С. Пiдстригача
НАН України, Львiв
Фiзико-механiчний iнститут iм. Г.В. Карпенка
НАН України, Львiв
Член-корреспондент НАН Украины Г. С. Кит, О.В. Галазюк
Плоская деформация тела с ленточной пеленой тепловых
источников или диполей
Определение стационарного температурного поля с ленточной пеленой тепловых источни-
ков или диполей сведено к решению интегральных уравнений первого рода и предложен ме-
тод нахождения множества его решений. По известному температурному полю и урав-
нению термоупругости в перемещениях найдены выражения компонент вектора упругого
перемещения и компонент тензора температурных напряжений через интегралы Фурье.
Corresponding Member of the NAS of Ukraine H. S. Kit, O. V. Halazyuk
Plane deformation of a body with a band sheet of thermal sources or
dipoles
The determination of the stationary temperature field in a body with a band sheet of thermal sources
or dipoles is reduced to the solution of an integral equation of the first type. The method of determi-
nation of a set of solutions of this equation is proposed. The components of the elastic displacement
vector and the temperature stress tensor are found in terms of Fourier integrals with regard for the
known temperature field and the thermoplasticity equation.
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №1
|