Инфинитезимальная ограниченность метрических пространств и сильная односторонняя пористость
Введен класс вполне сильно пористых множеств, являющийся собственным подклассом локально сильно пористых подмножеств R. Найдены характеристические свойства вполне сильно пористых множеств, что позволило дать необходимые и достаточные условия равномерной ограниченности всех пространств, предкасатель...
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Series: | Доповіді НАН України |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85386 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Инфинитезимальная ограниченность метрических пространств и сильная односторонняя пористость / В.В. Билет, А.А. Довгошей // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 2. — С. 13–18. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85386 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-853862025-02-23T18:08:54Z Инфинитезимальная ограниченность метрических пространств и сильная односторонняя пористость Iнфiнiтезимальна обмеженiсть метричних просторiв та сильна однобiчна пористiсть Infinitesimal boundedness of metric spaces and strong one-side porosity Билет, В.В. Довгошей, А.А. Математика Введен класс вполне сильно пористых множеств, являющийся собственным подклассом локально сильно пористых подмножеств R. Найдены характеристические свойства вполне сильно пористых множеств, что позволило дать необходимые и достаточные условия равномерной ограниченности всех пространств, предкасательных к заданному метрическому пространству в фиксированной точке и имеющих правильную нормировку Введено клас сповна сильно пористих множин, що є власним пiдкласом локально сильно пористих пiдмножин R. Знайдено характеристичнi властивостi сповна сильно пористих множин, що дозволило надати необхiднi та достатнi умови рiвномiрної обмеженостi усiх просторiв, переддотичних до заданого метричного простору у фiксованiй точцi i якi мають правильне нормування. We define the class of completely strongly porous sets which is a proper subclass of local strongly porous subsets of R. Some characteristic properties of completely strongly porous sets are found. These properties allow us to give the necessary and sufficient conditions of uniform boundedness of the property normalized pretangent spaces to a given metric space at a marked point. 2013 Article Инфинитезимальная ограниченность метрических пространств и сильная односторонняя пористость / В.В. Билет, А.А. Довгошей // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 2. — С. 13–18. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85386 517.518.2+515.124 ru Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Билет, В.В. Довгошей, А.А. Инфинитезимальная ограниченность метрических пространств и сильная односторонняя пористость Доповіді НАН України |
| description |
Введен класс вполне сильно пористых множеств, являющийся собственным подклассом локально сильно пористых подмножеств R. Найдены характеристические свойства вполне сильно пористых множеств, что позволило дать необходимые и достаточные
условия равномерной ограниченности всех пространств, предкасательных к заданному
метрическому пространству в фиксированной точке и имеющих правильную нормировку |
| format |
Article |
| author |
Билет, В.В. Довгошей, А.А. |
| author_facet |
Билет, В.В. Довгошей, А.А. |
| author_sort |
Билет, В.В. |
| title |
Инфинитезимальная ограниченность метрических пространств и сильная односторонняя пористость |
| title_short |
Инфинитезимальная ограниченность метрических пространств и сильная односторонняя пористость |
| title_full |
Инфинитезимальная ограниченность метрических пространств и сильная односторонняя пористость |
| title_fullStr |
Инфинитезимальная ограниченность метрических пространств и сильная односторонняя пористость |
| title_full_unstemmed |
Инфинитезимальная ограниченность метрических пространств и сильная односторонняя пористость |
| title_sort |
инфинитезимальная ограниченность метрических пространств и сильная односторонняя пористость |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85386 |
| citation_txt |
Инфинитезимальная ограниченность метрических пространств и сильная односторонняя пористость / В.В. Билет, А.А. Довгошей // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 2. — С. 13–18. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT biletvv infinitezimalʹnaâograničennostʹmetričeskihprostranstvisilʹnaâodnostoronnââporistostʹ AT dovgošejaa infinitezimalʹnaâograničennostʹmetričeskihprostranstvisilʹnaâodnostoronnââporistostʹ AT biletvv infinitezimalʹnaobmeženistʹmetričnihprostorivtasilʹnaodnobičnaporististʹ AT dovgošejaa infinitezimalʹnaobmeženistʹmetričnihprostorivtasilʹnaodnobičnaporististʹ AT biletvv infinitesimalboundednessofmetricspacesandstrongonesideporosity AT dovgošejaa infinitesimalboundednessofmetricspacesandstrongonesideporosity |
| first_indexed |
2025-11-24T08:30:49Z |
| last_indexed |
2025-11-24T08:30:49Z |
| _version_ |
1849659804340977664 |
| fulltext |
УДК 517.518.2+515.124
В.В. Билет, А.А. Довгошей
Инфинитезимальная ограниченность метрических
пространств и сильная односторонняя пористость
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.Я. Гутлянским)
Введен класс вполне сильно пористых множеств, являющийся собственным подклас-
сом локально сильно пористых подмножеств R. Найдены характеристические свойства
вполне сильно пористых множеств, что позволило дать необходимые и достаточные
условия равномерной ограниченности всех пространств, предкасательных к заданному
метрическому пространству в фиксированной точке и имеющих правильную норми-
ровку.
Понятия предкасательного и касательного пространств для общего метрического прост-
ранства были введены в [1] (см. также [2]) с целью определения обобщенного дифферен-
цирования на метрических пространствах без линейной структуры. Ряд результатов, опи-
сывающих взаимосвязь свойств предкасательных и касательных пространств со свойст-
вами исходного метрического пространства получены в работах [3–6]. В частности, в [3]
было доказано, что ограниченные сепарабельные касательные пространства к метрическо-
му пространству (X, d) в точке p ∈ X существуют тогда и только тогда, когда множество
расстояний
Sp(X) := {d(x, p) : x ∈ X} (1)
является сильно пористым в 0. Отметим также, что условие звездности пространств, пред-
касательных к подмножествам на плоскости, естественным образом связано с некоторым
0−1 законом для пористости (подробно см. в [7]). В 2010 г. профессор О. Мартио предполо-
жил, что при “правильном” масштабировании совокупная ограниченность всех пространств,
предкасательных к метрическому пространству (X, d) в точке p ∈ X, должна быть экви-
валентна какому-то виду сильной пористости множества Sp(X) в нуле. Это предположение
и послужило начальной точкой настоящей работы. Теорема 4, приведенная ниже, подтверж-
дает справедливость предположения О. Мартио.
Напомним необходимые определения.
Пусть (X, d) — метрическое пространство и пусть p — точка из X. Зафиксируем неко-
торую последовательность r̃ положительных вещественных чисел rn, стремящихся к нулю.
Назовем r̃ нормирующей последовательностью. Будем обозначать через X̃ множество всех
последовательностей точек из X.
Определение 1. Две последовательности x̃, ỹ ∈ X̃, x̃ = {xn}n∈N и ỹ = {yn}n∈N, взаимно
стабильны относительно нормирующей последовательности r̃ = {rn}n∈N, если существует
конечный предел
lim
n→∞
d(xn, yn)
rn
:= d̃r̃(x̃, ỹ). (2)
© В. В. Билет, А.А. Довгошей, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №2 13
Cемейство F̃ ⊆ X̃ самостабильное, если любые две последовательности x̃, ỹ ∈ F̃ взаим-
но стабильны, F̃ ⊆ X̃ — максимальное самостабильное, если F̃ самостабильное и для
произвольной z̃ ∈ X̃ \ F̃ существует x̃ ∈ F̃ такая, что x̃ и z̃ не взаимно стабильны.
В силу леммы Цорна, для каждой нормирующей последовательности r̃ = {rn}n∈N су-
ществует максимальное самостабильное семейство X̃p,r̃ такое, что постоянная последова-
тельность p̃ = {p, p, . . .} ∈ X̃p,r̃.
Рассмотрим функцию d̃r̃ : X̃p,r̃×X̃p,r̃ → R. Очевидно, d̃r̃ симметрична и неотрицательна.
Кроме того, из неравенства треугольника для d имеем d̃r̃(x̃, ỹ) 6 d̃r̃(x̃, z̃) + d̃r̃(z̃, ỹ) для всех
x̃, ỹ, z̃ из X̃p,r̃. Следовательно, (X̃p,r̃, d̃r̃) — псевдометрическое пространство.
Определим отношение эквивалентности ∼ на X̃p,r̃ как x̃ ∼ ỹ тогда и только тогда, ко-
гда d̃r̃(x̃, ỹ) = 0. Обозначим через ΩX
p,r̃ множество всех классов эквивалентности на X̃p,r̃,
порожденных отношением ∼. Для α, β ∈ ΩX
p,r̃ положим ρ(α, β) = d̃r̃(x̃, ỹ), где x̃ ∈ α и ỹ ∈ β,
тогда ρ — метрика на ΩX
p,r̃. Переход от псевдометрического пространства (X̃p,r̃, d̃r̃) к метри-
ческому пространству (ΩX
p,r̃, ρ) будем называть метрической идентификацией (X̃p,r̃, d̃r̃).
Определение 2. Пространство (ΩX
p,r̃, ρ) называется предкасательным к X в точке p
относительно нормирующей последовательности r̃.
Пусть E ⊆ R
+ = [0,∞). Напомним определение правосторонней пористости множе-
ства E в точке 0 (см., например, [8, c. 184]).
Определение 3. Правосторонней пористостью множества E в точке 0 называется ве-
личина
p+(E, 0): = lim sup
h→0+
λ(E, 0, h)
h
,
где λ(E, 0, h) — длина наибольшего открытого подинтервала (0, h), не содержащего точек
из E. Множество E называется сильно пористым справа в точке 0, если p+(E, 0) = 1.
Сравнение различных видов пористости и краткий обзор результатов можно, например,
найти в [9].
Пусть τ̃ = {τn}n∈N — последовательность вещественных чисел. Будем говорить, что
τ̃ — почти убывающая последовательность, если τn+1 6 τn для всякого достаточно большо-
го n. Обозначим через Ẽd
0 множество почти убывающих последовательностей τ̃ таких, что
lim
n→∞
τn = 0 и τn ∈ E\{0} для всякого n ∈ N. Через ExtE и acE будем обозначать соответст-
венно внешность и совокупность всех предельных точек множества E ⊆ R
+ относительно
стандартной топологии на R
+.
Пусть ĨdE — множество последовательностей {(an, bn)}n∈N открытых интервалов
(an, bn) ⊆ R
+, обладающих следующими свойствами:
всякое an является строго положительным;
последовательность {an}n∈N является почти убывающей;
всякий интервал (an, bn) является связной компонентой ExtE, т. е. (an, bn)
⋂
E = ∅, но
для всякого (a, b) ⊇ (an, bn) справедлива следующая импликация
((a, b) 6= (an, bn)) ⇒ ((a, b)
⋂
E 6= ∅);
выполняются предельные соотношения lim
n→∞
an = 0 и lim
n→∞
bn − an
bn
= 1.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №2
На множестве последовательностей строго положительных чисел определим отношение
эквивалентности ≍. Пусть ã = {an}n∈N и γ̃ = {γn}n∈N, тогда ã ≍ γ̃, если существует
константа c > 1 такая, что
1
c
an 6 γn 6 can (3)
для достаточно больших n ∈ N.
Определение 4. Пусть E ⊆ R
+ и γ̃ ∈ Ẽd
0 . Множество E назовем γ̃-сильно пористым,
если существует последовательность {(an, bn)}n∈N ∈ ĨdE такая, что γ̃ ≍ ã, где ã = {an}n∈N.
Множество E назовем вполне сильно пористым (в точке 0), если E является γ̃-сильно по-
ристым для всякого γ̃ ∈ Ẽd
0 .
Совокупность всех вполне сильно пористых (в нуле) подмножеств R
+ будем в дальней-
шем обозначать через ВСП.
Вполне сильно пористые множества.
Определение 5. Множество E ⊆ R
+ назовем равномерно сильно пористым (в точке 0),
если существуют константа c > 1 такая, что для всякой последовательности γ̃ ∈ Ẽd
0 сущест-
вует {(an, bn)}n∈N ∈ ĨdE и n(γ̃) ∈ N такие, что двойное неравенство (3) выполняется при
всех n > n(γ̃).
Если E является равномерно сильно пористым, то E — ВСП-множество. Как будет
видно из теоремы 1, приведенной ниже, обратное утверждение также верно.
Определим отношение предпорядка � на множестве ĨdE .
Определение 6. Пусть Ã := {(an, bn)}n∈N ∈ ĨdE и L̃ := {(ln,mn)}n∈N ∈ ĨdE. Тогда
à � L̃, если существуют натуральное число N1 = N1(Ã, L̃) и функция f : NN1
→ N, где
NN1
:= {N1, N1+1, . . .} такие, что an = lf(n) для всякого n ∈ NN1
. Элемент L̃ ∈ ĨdE является
универсальным, если Ã � L̃ для всякого Ã ∈ ĨdE .
Замечание 1. Универсальность элемента L̃ ∈ ĨdE может быть выражена иначе. Обозна-
чим через Com множество связных компонент ExtE. Элемент L̃ ∈ ĨdE является универсаль-
ным тогда и только тогда, когда для всякого Ã ∈ ĨdE существуют N1 ∈ N и f : NN1
→ N
такие, что диаграмма
коммутативна. Здесь in — естественное включение NN1
в N, in(k) = k.
Используя известные рассуждения из теории упорядоченных множеств, получаем, что
� порождает отношение эквивалентности ≡ на ĨdE , если положить
(Ã ≡ T̃ ) ⇔ (Ã � T̃ и T̃ � Ã).
Переходя к фактормножеству, индуцированному отношением ≡, получаем частично
упорядоченное (ч. у.) множество. Множество (ĨdE ,�) имеет универсальный элемент тогда
и только тогда, когда полученное ч. у. множество имеет наибольший элемент.
Пусть L̃ = {(ln,mn)}n∈N ∈ ĨdE — универсальный элемент. Определим величину
M(L̃) : = lim sup
n→∞
ln
mn+1
. (4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №2 15
Теорема 1. Пусть E ⊆ R
+ — сильно пористое справа в нуле множество и пусть
0 ∈ acE. Следующие утверждения эквивалентны.
(i) E является ВСП-множеством.
(ii) Множество (ĨdE,�) содержит универсальный элемент L̃ такой, что M(L̃) < ∞.
(iii) E является равномерно сильно пористым множеством.
Следующая теорема описывает структуру множеств E ⊆ R
+, для которых существует
универсальный элемент L̃ ∈ ĨdE.
Теорема 2. Пусть E ⊆ R
+ — сильно пористое справа в нуле множество и пусть
0 ∈ acE. Множество (ĨdE ,�) содержит универсальный элемент тогда и только тогда,
когда существует константа c > 1 такая, что для всякого K > 1 существует t > 0,
для которого из неравенств t > a и b/a > c следует неравенство b/a > K для всякого
(a, b) ∈ Com.
Пусть A и B — некоторые подмножества R
+. Будем писать A ⊑ B, если существует
t = t(A,B) > 0 такое, что A
⋂
(0, t) ⊆ B
⋂
(0, t). Следующая теорема дает конструктивное
описание ВСП-множеств.
Теорема 3. Пусть E ⊆ R
+. Тогда E является ВСП-множеством тогда и только
тогда, когда существуют q > 1 и строго убывающая последовательность {xn}n∈N, xn > 0,
n ∈ N, такие, что lim
n→∞
xn+1
xn
= 0 и E ⊑ W (q), где W (q) :=
⋃
n∈N
(q−1xn, qxn).
Равномерная ограниченность предкасательных пространств. Пусть F =
= {(Xi, di, pi) : i ∈ I} — семейство метрических пространств с отмеченными точками pi.
Положим
R∗(F) := sup
i∈I
sup
x∈Xi
di(x, pi), R∗(F) := inf
i∈I
inf
x∈Xi\{pi}
di(x, pi),
где inf
x∈Xi\{pi}
di(x, pi) = ∞, если Xi \ {pi} = ∅.
Будем говорить, что семейство F является равномерно ограниченным, если R∗(F) < ∞.
Очевидно, что при R∗(F) > 0 точка pi есть изолированная точка пространства (Xi, di) и
{x ∈ Xi : di(x, pi) < r} = {pi} (5)
для любого i ∈ I при r 6 R∗(F), причем при r > R∗(F) равенство (5) не верно для некоторого
i ∈ I.
По аналогии с равномерной ограниченностью введем следующее:
Определение 7. Будем говорить, что семейство F метрических пространств Xi с отме-
ченными точками pi равномерно дискретно в отмеченных точках, если R∗(F) > 0.
Выделим теперь последовательности, дающие “правильное” масштабирование, из мно-
жества всех нормирующих последовательностей.
Определение 8. Пусть (X, d, p) — метрическое пространство с отмеченной точкой
p ∈ X
⋂
acX. Нормирующая последовательность r̃ = {rn}n∈N называется правильной, если
существует x̃ = {xn}n∈N ∈ X̃ такая, что последовательность {d(xn, p)}n∈N почти убываю-
щая и
lim
n→∞
d(xn, p)
rn
= 1.
Пусть Ω
X
p (n) — множество предкасательных пространств ΩX
p,r̃ с правильными норми-
рующими последовательностями r̃. Отметим, что каждое предкасательное пространство
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №2
ΩX
p,r̃ имеет естественную отмеченную точку, а именно ту, в которую переходит постоян-
ная последовательность (p, p, . . . , p, . . .) ∈ X̃p,r̃ при отображении метрической идентифи-
кации. Следующая теорема дает, в частности, критерий совокупной ограниченности всех
пространств, принадлежащих Ω
X
p (n).
Теорема 4. Пусть (X, d) — метрическое пространство с отмеченной точкой p ∈
∈ X
⋂
acX. Следующие три утверждения эквивалентны.
(i) Семейство Ω
X
p (n) является равномерно ограниченным.
(ii) Множество E := Sp(X) является ВСП-множеством.
(iii) Семейство Ω
X
p (n) равномерно дискретно в отмеченных точках.
Кроме того, если Ω
X
p (n) является равномерно ограниченным, то R∗(ΩX
p (n)) = M(L̃)
и R∗(Ω
X
p (n)) = 1/M(L̃), где величина M(L̃) определена равенством (4).
Заметим, что если вместо Ω
X
p (n) рассмотреть семейство всех пространств, предкаса-
тельных к X в точке p, то равномерная ограниченность такого семейства равносильна
изолированности точки p в X.
1. Dovgoshey O., Martio O. Tangent spaces to metric spaces // Reports in Math. – Helsinki Univ., 2008. –
Vol. 480. – 20 p.
2. Dovgoshey O., Martio O. Tangent spaces to general metric spaces // Rev. Roum. Math. Pures Appl. –
2011. – 56, No 2. – P. 137–155.
3. Abdullayev F., Dovgoshey O., Küçükaslan M. Compactness and boundedness of tangent spaces to metric
spaces // Beitr. Algebra Geom. – 2010. – 51, No 2. – P. 547–576.
4. Abdullayev F., Dovgoshey O., Küçükaslan M. Metric spaces with unique pretangent spaces. Conditions of
the uniqueness // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. – 2011. – 36, No 2. – P. 353–392.
5. Bilet V., Dovgoshey O. Metric betweenness, Ptolemaic spaces and isometric embeddings of pretangent
spaces in R // J. Math. Sci., New York. – 2012. – 182, No 1. – P. 22–36.
6. Dordovskyi D. Metric tangent spaces to Euclidean spaces // Ibid. – 2012. – 179, No 2. – P. 229–244.
7. Abdullayev F., Dovgoshey O., Küçükaslan M. Tangent metric spaces to starlike sets on the plane // J. Nonli-
near Convex Anal. (принято в печать).
8. Thomson B. S. Real Functions, Lecture Notes in Mathematics. – Berlin; Heidelberg; New York; Tokyo:
Springer, 1985. – 229 p.
9. Zajiček L. Porosity and σ-porosity // Real Anal. Exch. – 1988. – 13. – P. 314–350.
Поступило в редакцию 03.07.2012Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
В.В. Бiлет, О.А. Довгоший
Iнфiнiтезимальна обмеженiсть метричних просторiв та сильна
однобiчна пористiсть
Введено клас сповна сильно пористих множин, що є власним пiдкласом локально сильно
пористих пiдмножин R. Знайдено характеристичнi властивостi сповна сильно пористих
множин, що дозволило надати необхiднi та достатнi умови рiвномiрної обмеженостi усiх
просторiв, переддотичних до заданого метричного простору у фiксованiй точцi i якi мають
правильне нормування.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №2 17
V.V. Bilet, O.A. Dovgoshey
Infinitesimal boundedness of metric spaces and strong one-side porosity
We define the class of completely strongly porous sets which is a proper subclass of local strongly
porous subsets of R. Some characteristic properties of completely strongly porous sets are found.
These properties allow us to give the necessary and sufficient conditions of uniform boundedness
of the property normalized pretangent spaces to a given metric space at a marked point.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №2
|