Наближення розривних функцій розривними сплайнами на прямокутнику з однією криволінійною стороною
Наводиться метод побудови розривних iнтерполяцiйних та апроксимацiйних сплайнiв для наближення розривних функцiй, область визначення яких розбивається на криволiнiйнi трапецiї. Причому побудованi розривнi сплайни включають в себе, як частинний випадок, класичнi неперервнi сплайни. Приведен метод по...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85389 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Наближення розривних функцій розривними сплайнами на прямокутнику з однією криволінійною стороною / О.М. Литвин, Ю.I. Першина // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 2. — С. 30–35. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85389 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Литвин, О.М. Першина, Ю.І. 2015-08-01T15:24:38Z 2015-08-01T15:24:38Z 2013 Наближення розривних функцій розривними сплайнами на прямокутнику з однією криволінійною стороною / О.М. Литвин, Ю.I. Першина // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 2. — С. 30–35. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85389 519.6 Наводиться метод побудови розривних iнтерполяцiйних та апроксимацiйних сплайнiв для наближення розривних функцiй, область визначення яких розбивається на криволiнiйнi трапецiї. Причому побудованi розривнi сплайни включають в себе, як частинний випадок, класичнi неперервнi сплайни. Приведен метод построения разрывных интерполяционных и аппроксимационных сплайнов для приближения разрывных функций, область определения которых разбивается на криволинейные трапеции. Причем построенные сплайны включают в себя, как частный случай, классические непрерывные сплайны. A method of construction of discontinuous interpolation and approximation splines for the approximation of the discontinuous functions whose domain of definition is divided into curvilinear trapezoids is presented. The constructed discontinuous splines include classical continuous splines as a special case. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Наближення розривних функцій розривними сплайнами на прямокутнику з однією криволінійною стороною Приближение разрывных функций разрывными сплайнами на прямоугольнике с одной криволенейной стороной Approximation of discontinuous functions by discontinuous splines on a rectangle with one curvilinear side Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Наближення розривних функцій розривними сплайнами на прямокутнику з однією криволінійною стороною |
| spellingShingle |
Наближення розривних функцій розривними сплайнами на прямокутнику з однією криволінійною стороною Литвин, О.М. Першина, Ю.І. Інформатика та кібернетика |
| title_short |
Наближення розривних функцій розривними сплайнами на прямокутнику з однією криволінійною стороною |
| title_full |
Наближення розривних функцій розривними сплайнами на прямокутнику з однією криволінійною стороною |
| title_fullStr |
Наближення розривних функцій розривними сплайнами на прямокутнику з однією криволінійною стороною |
| title_full_unstemmed |
Наближення розривних функцій розривними сплайнами на прямокутнику з однією криволінійною стороною |
| title_sort |
наближення розривних функцій розривними сплайнами на прямокутнику з однією криволінійною стороною |
| author |
Литвин, О.М. Першина, Ю.І. |
| author_facet |
Литвин, О.М. Першина, Ю.І. |
| topic |
Інформатика та кібернетика |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| publishDate |
2013 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Приближение разрывных функций разрывными сплайнами на прямоугольнике с одной криволенейной стороной Approximation of discontinuous functions by discontinuous splines on a rectangle with one curvilinear side |
| description |
Наводиться метод побудови розривних iнтерполяцiйних та апроксимацiйних сплайнiв
для наближення розривних функцiй, область визначення яких розбивається на криволiнiйнi трапецiї. Причому побудованi розривнi сплайни включають в себе, як частинний випадок, класичнi неперервнi сплайни.
Приведен метод построения разрывных интерполяционных и аппроксимационных сплайнов
для приближения разрывных функций, область определения которых разбивается на криволинейные трапеции. Причем построенные сплайны включают в себя, как частный случай,
классические непрерывные сплайны.
A method of construction of discontinuous interpolation and approximation splines for the approximation of the discontinuous functions whose domain of definition is divided into curvilinear trapezoids is presented. The constructed discontinuous splines include classical continuous splines as a special case.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85389 |
| citation_txt |
Наближення розривних функцій розривними сплайнами на прямокутнику з однією криволінійною стороною / О.М. Литвин, Ю.I. Першина // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 2. — С. 30–35. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT litvinom nabližennârozrivnihfunkcíirozrivnimisplainaminaprâmokutnikuzodníêûkrivolíníinoûstoronoû AT peršinaûí nabližennârozrivnihfunkcíirozrivnimisplainaminaprâmokutnikuzodníêûkrivolíníinoûstoronoû AT litvinom približenierazryvnyhfunkciirazryvnymisplainaminaprâmougolʹnikesodnoikrivoleneinoistoronoi AT peršinaûí približenierazryvnyhfunkciirazryvnymisplainaminaprâmougolʹnikesodnoikrivoleneinoistoronoi AT litvinom approximationofdiscontinuousfunctionsbydiscontinuoussplinesonarectanglewithonecurvilinearside AT peršinaûí approximationofdiscontinuousfunctionsbydiscontinuoussplinesonarectanglewithonecurvilinearside |
| first_indexed |
2025-11-27T00:27:39Z |
| last_indexed |
2025-11-27T00:27:39Z |
| _version_ |
1850788549789483008 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
2 • 2013
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 519.6
О.М. Литвин, Ю. I. Першина
Наближення розривних функцiй розривними сплайнами
на прямокутнику з однiєю криволiнiйною стороною
(Представлено академiком НАН України I. В. Сергiєнком)
Наводиться метод побудови розривних iнтерполяцiйних та апроксимацiйних сплайнiв
для наближення розривних функцiй, область визначення яких розбивається на криволi-
нiйнi трапецiї. Причому побудованi розривнi сплайни включають в себе, як частинний
випадок, класичнi неперервнi сплайни.
Задача наближення неперервних функцiй неперервними сплайнами вiд однiєї та декiлькох
змiнних досить повно описана в багатьох роботах вiтчизняних та зарубiжних дослiдникiв
(див., наприклад, [1]). На практицi використання кусково-аналiтичних наближень, заданих
рiзними формулами (полiномами вiдповiдного степеня) в точках кожного елемента розбит-
тя областi наближення, iнколи дає змогу знайти велику кiлькiсть невiдомих параметрiв. Це
привело до появи неконформних елементiв в методi скiнченних елементiв [2]. Аналогiчна
задача дослiджувалася в роботах Б.А. Попова [3] та iнших авторiв, де розглядалися на-
ближення неперервних та неперервно-диференцiйовних функцiй за допомогою розривних
сплайнiв у чебишовськiй нормi (рiвномiрне наближення). В роботi [4] була розглянута апро-
ксимацiя розривних розв’язкiв (функцiй однiєї змiнної) диференцiальних рiвнянь за допо-
могою розривного методу Гальоркiна, а в [5] — розривний метод Гальоркiна для елiптичної
крайової задачi з використанням двовимiрних неузгоджених сiток. Цей метод дозволяє вра-
ховувати неконформнiсть елементiв, причому вiн забезпечує неперервнiсть розв’язку, хоча
вiд базисних функцiй узгодженостi не вимагає.
Таким чином, у вказаних роботах дослiджувалося наближення неперервних функцiй за
допомогою неперервних та розривних сплайнiв або наближення розривних функцiй непе-
рервними. Але загальної теорiї таких наближень не iснує. В данiй роботi ми пропонуємо
таку загальну теорiю побудови розривних сплайнiв, множина яких, як частинний випадок,
включає множину неперервних сплайнiв, що можуть мати розриви першого роду в заданих
точках або на заданiй множинi лiнiй — границь елементiв.
© О.М. Литвин, Ю. I. Першина, 2013
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №2
Рис. 1. Зображення одного з можливих криволiнiйних трапецевидних елементiв з прямими кутами у вузлах
(xi, yj)
Задачi наближення розривних функцiй виникають частiше, нiж задачi наближення не-
перервних функцiй. Наприклад, в методах комп’ютерної томографiї на даний час не достат-
ньо вивчене питання щодо використання iнформацiї про внутрiшню структуру тiла люди-
ни (рiзнi органи мають свою форму та щiльнiсть тканин). Отже, актуальними є розроб-
ка та дослiдження теорiї наближення розривних функцiй за допомогою розривних функ-
цiй.
У роботi [6] запропоновано метод наближення розривних функцiй двох змiнних роз-
ривними iнтерполяцiйними бiлiнiйними сплайнами, а в [7] — iнтерлiнацiйними розривни-
ми сплайнами на ректангульованiй областi визначення. Були також побудованi розривнi
iнтерлiнацiйнi сплайни для наближення функцiй двох змiнних, область визначення яких
розбивається на прямокутнi трикутники [8].
Нижче вперше будуються та дослiджуються iнтерполяцiйнi та апроксимацiйнi розривнi
сплайни для наближення розривних функцiй з областю визначення, що розбивається на
криволiнiйнi трапецiї (прямокутники з однiєю криволiнiйною стороною).
Постановка задачi. Нехай задано розривну функцiю двох змiнних f(x, y) в областi
D = [0, 1]2. Вважатимемо, що область D розбита на криволiнiйнi трапецiї. Цi елементи не
вкладаються один в одний, i їх сторони не перетинаються. Функцiя f(x, y) має розриви
першого роду на границях мiж цими елементами. Метою роботи є побудова та дослiдження
операторiв розривної кусково-полiномiальної iнтерполяцiї та апроксимацiї, якi в кожно-
му елементi розбиття є операторами полiномiальної iнтерполяцiї або апроксимацiї функцiї
f(x, y).
Побудова розривного сплайн-iнтерполянта. Нехай задано криволiнiйну трапецiю
(рис. 1)
TPij = {xi < x < xi+1, yj < y < gj+1(x)}, gj+1(x) = ax2 + bx+ c.
Вважаємо, що на кожнiй iз сторiн заданої трапецiї функцiя f(x, y) може мати розриви
першого роду, причому у вузлах заданого елементу функцiя набуває таких значень:
C1
ij = f(xi + 0, yj + 0), C2
ij = f(xi+1 − 0, yj + 0),
C3
ij = f(xi + 0, gj+1(xi)− 0), C4
ij = f(xi+1 − 0, gj+1(xi+1)− 0).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №2 31
Визначення. Будемо називати розривним iнтерполяцiйним полiномiальним сплайном
в областi TPij ⊂ D таку функцiю:
S(x, y) = sij(x, y) = C1
ij
x− xi+1
xi − xi+1
y − gj+1(x)
yj − gj+1(x)
+ C2
ij
x− xi
xi+1 − xi
y − gj+1(x)
yj − gj+1(x)
+
+ C3
ij
x− xi+1
xi − xi+1
y − yj(x)
gj+1(x)− yj
+ C4
ij
x− xi
xi+1 − xi
y − yj(x)
gj+1(x)− yj
. (1)
Теорема 1. Якщо f(x, y) має розриви першого роду у деяких точках (xi, yj) та f(x, y) ∈
∈ C(r,r)(TPij), i = 1, n, j = 1,m, r = 1, 2, то залишок наближення функцiї f(x, y) сплайном
вигляду (1) на кожнiй криволiнiйнiй трапецiї матиме вигляд
RS(x, y) = R1R2f(x, y) +
x− xi+1
xi − xi+1
R1f(xi, y) +
x− xi
xi+1 − xi
R1f(xi+1, y) +
+
y − gj+1(x)
yj − gj+1(x)
R2f(x, yj) +
y − yj
gj+1(x)− yj
R2f(x, gj+1(x)),
R1f(x, y) =
gj+1(x)
∫
yj
f (0,r)(x, η)G1(x, y, η) dη, x ∈ [xi, xi+1],
R2f(x, y) =
xi+1
∫
xi
f (r,0)(ξ, y)G2(x, ξ) dξ, y ∈ [yj, gj+1(x)],
G1(x, y, η) =
y − gj+1(x)
yj − gj+1(x)
(yj − η)r−1
(r − 1)!
, yj 6 η 6 y 6 gj+1(x),
−
y − yj
gj+1(x)− yj
(gj+1(x)− η)r−1
(r − 1)!
, yj 6 y 6 η 6 gj+1(x),
G2(x, ξ) =
x− xi+1
xi − xi+1
(xi − ξ)r−1
(r − 1)!
, xi 6 ξ 6 x 6 xi+1,
−
x− xi
xi+1 − xi
(xi+1 − ξ)r−1
(r − 1)!
, xi 6 x 6 ξ 6 xi+1.
Теорема 2. Оцiнка похибки наближення функцiї f(x, y) побудованим розривним iн-
терполяцiйним сплайном S(x, y) = sij(x, y) на кожнiй криволiнiйнiй трапецiї має вигляд
|f(x, y)− S(x, y)| 6 Q,
Q =‖ f (2,2)(x, y) ‖L∞[xi,xi+1]×[yj,gj+1(x)]
(∆x)
2
64
max{(∆1y)
2, (∆2y)
2}+
+max
{
‖f (0,2)(xi, y)‖L∞[yj ,gj+1(x)]
(∆1y)
2
8
, ‖f (0,2)(xi+1, y)‖L∞[yj ,gj+1(x)]
(∆2y)
2
8
}
+
+max
{
‖f (2,0)(x, yj)‖L∞[xi,xi+1]
(∆x)
2
8
, ‖f (2,0)(x, gj+1(x))‖L∞ [xi,xi+1]
(∆x)
2
8
}
.
∆x = xi+1 − xi, ∆1y = gj+1(xi)− yj, ∆2y = gj+1(xi+1)− yj.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №2
Рис. 2. Графiчне зображення: а — областi визначення функцiї f(x, y); б — функцiї f(x, y)
Побудова розривного сплайн-апроксиманта.
Визначення. Будемо називати розривним апроксимацiйним полiномiальним сплайном
в областi TPij ⊂ D функцiю (1), в якiй коефiцiєнти Ck
ij , i = 1, n, j = 1,m, k = 1, 4, сплайна
S(x, y) знаходяться методом найменших квадратiв з умови
∫∫
TPij
(f(x, y)− S(x, y))2dxdy → min
C
. (2)
Теорема 3. Для оператора наближення розривної функцiї f(x, y) ∈ C(2,2)(TPij) роз-
ривним апроксимацiйним сплайном S(x, y) вигляду (1), побудованим за допомогою методу
найменших квадратiв, на кожному елементi розбиття TPij , i = 1, n, j = 1,m, справед-
лива така оцiнка:
‖S(x, y)‖∞ 6 max{|f(xi, yj |, |f(xi+1, yj)|, |f(xi, gj+1(xi))|, |f(xi+1, gj+1(xi+1))|}+Q,
де Q визначається в теоремi 2.
П р и к л ад . Нехай функцiя задана на одиничному квадратi [0, 1] × [0, 1]
f(x, y) =
x+ y, 0,5 < x < 1, 0,5 < y < (x− 1)2 + 0,7;
1,5− 4x2 − y2, 0 < x < 0,5, 0,5 < y < −(x− 0,5)2 + 0,95;
0,5, 0 < x < 0,5, (x− 0,5)2 + 0,05 < y < 0,5;
1− x+ y2, 0,5 < x < 0, −(x− 1)2 + 0,3 < y < 0,5.
Тобто на лiнiях фiгури, зображеної на рис. 2, а, функцiя f(x, y) має розриви першого роду.
Нехай задано лiнiї:
x1 = 0, x2 = 0,5, x3 = 1,
y1 = 0, y1
2
= (x− 0,5)2 + 0,05, y2
2
= −(x− 1)2 + 0,3,
y3 = 0,5, y1
3
= (x− 1)2 + 0,7, y2
3
= −(x− 0,5)2 + 0,95.
Вони розбивають область визначення функцiї f(x, y) на вiсiм трапецевидних елементiв з однiєю
криволiнiйною стороною в кожному елементiв.
Спочатку побудуємо розривний iнтерполяцiйний сплайн вигляду (1) (його графiк наведено на
рис. 3, а). Визначимо максимальне вiдхилення наближуваної функцiї f(x, y) вiд побудованого сплай-
ну S(x, y): max |f(x, y)− S(x, y)| ≈ 0,3.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №2 33
Рис. 3. Графiчний вигляд розривного iнтерполяцiйного (а) i апроксимацiйного (б ) сплайнiв (темне забарв-
лення) та заданої функцiї (свiтле забарвлення)
Тепер побудуємо розривний апроксимацiйний сплайн за формулами (1), коефiцiєнти яко-
го знаходяться з умови (2). Графiчне зображення цього сплайну подано на рис. 3, б. Визна-
чимо максимальне вiдхилення наближуваної функцiї f(x, y) вiд побудованого сплайну S(x, y):
max |f(x, y)− S(x, y)| ≈ 0,08.
Як бачимо, побудований розривний апроксимацiйний сплайн наближує розривну функ-
цiю краще, нiж iнтерполяцiйний. Побудованi розривнi сплайни точно наближують ту час-
тину функцiї, де вона є постiйною або лiнiйною, що i пiдтверджує викладену вище теорiю.
Таким чином, в роботi пропонується метод побудови розривного iнтерполяцiйного та
апроксимацiйного лiнiйного сплайнiв для наближення функцiї з розривами першого роду
та область визначення яких розбита на криволiнiйнi трапецiї. Причому побудованi розривнi
сплайни включають в себе, як частинний випадок, класичнi неперервнi сплайни першого
степеня на заданiй сiтцi вузлiв.
1. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. – Москва: Наука, 1984. – 352 с.
2. Сьярле Ф. Метод конечних элементов для эллиптических задач / Пер. с англ. Б. И. Квасова. – Москва:
Мир, 1980. – 512 с.
3. Попов Б.А. Равномерное приближение сплайнами. – Киев: Наук. думка, 1989. – 272 с.
4. Петровская Н.Б. Аппроксимация разрывных решений для одного класса схем высокого порядка. –
Математ. моделирование. – 2005. – 17, № 1. – С. 79–92.
5. Arnold D.N. et al. Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptic problems // SIAM J.
Numer. Anal. – 2002. – 39, No 5. – P. 1749–1779.
6. Литвин О.М., Першина Ю. I. Побудова кусково-бiлiнiйних сплайнiв для наближення функцiй з роз-
ривами першого роду у вузлах ректангуляцiї двовимiрної областi // Тавр. вiсн. iнформатики та ма-
тематики. – 2011. – № 1. – С. 63–72.
7. Литвин О.Н., Першина Ю.И. Приближение разрывной функции двух переменных с помощью раз-
рывных сплайнов двух переменных (прямоугольные элементы) // Компьютерная математика. –
2011. – № 1. – С. 96–105.
8. Литвин O. М., Першина Ю. I. Приближение разрывных функций двух переменных с разрывами
первого рода на линиях триангуляции двумерной области // Управляющие системы и машины. –
2011. – No 5. – С. 34–47.
Надiйшло до редакцiї 19.12.2011Українська iнженерно-педагогiчна
академiя, Харкiв
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №2
О.Н. Литвин, Ю.И. Першина
Приближение разрывных функций разрывными сплайнами
на прямоугольнике с одной криволенейной стороной
Приведен метод построения разрывных интерполяционных и аппроксимационных сплайнов
для приближения разрывных функций, область определения которых разбивается на криво-
линейные трапеции. Причем построенные сплайны включают в себя, как частный случай,
классические непрерывные сплайны.
O.M. Lytvyn, Y. I. Pershina
Approximation of discontinuous functions by discontinuous splines
on a rectangle with one curvilinear side
A method of construction of discontinuous interpolation and approximation splines for the approxi-
mation of the discontinuous functions whose domain of definition is divided into curvilinear trape-
zoids is presented. The constructed discontinuous splines include classical continuous splines as a
special case.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №2 35
|