О влиянии растяжения вдоль трещины в нелинейном упругом теле при наличии зоны предразрушения
Рассмотрено нелинейное упругое тело с центральной трещиной нормального отрыва.
 Принято, что к каждой из вершин трещины примыкает зона предразрушения, окруженная зоной нелинейности. В результате численного решения соответствующей краевой задачи установлено влияние растяжения вдоль трещины на...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85392 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О влиянии растяжения вдоль трещины в нелинейном упругом теле при наличии зоны предразрушения / А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 2. — С. 50–56. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860233393694834688 |
|---|---|
| author | Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. |
| author_facet | Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. |
| citation_txt | О влиянии растяжения вдоль трещины в нелинейном упругом теле при наличии зоны предразрушения / А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 2. — С. 50–56. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Рассмотрено нелинейное упругое тело с центральной трещиной нормального отрыва.
Принято, что к каждой из вершин трещины примыкает зона предразрушения, окруженная зоной нелинейности. В результате численного решения соответствующей краевой задачи установлено влияние растяжения вдоль трещины на ее раскрытие,
а также на параметры зоны нелинейности.
Розглянуто нелiнiйне пружне тiло iз центральною трiщиною нормального вiдриву. Прийнято, що до кожної з вершин трiщини примикає зона передруйнування, оточена зоною нелiнiйностi. В результатi чисельного розв’язання вiдповiдної крайової задачi встановлено
вплив розтягнення вздовж трiщини на її розкриття, а також на параметри зони нелiнiйностi.
A nonlinear elastic body with a central opening-mode crack is considered. It is suggested that both
crack tips are in contact with a prefracture zone enveloped by a domain of nonlinearity. By solving
the associated boundary-value problem numerically, the influence of the tension along the crack on
its opening displacement and on parameters of the domain of nonlinearity is estimated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:22:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
2 • 2013
МЕХАНIКА
УДК 539.3
А.А. Каминский, Е. Е. Курчаков
О влиянии растяжения вдоль трещины в нелинейном
упругом теле при наличии зоны предразрушения
(Представлено академиком НАН Украины В.Д. Кубенко)
Рассмотрено нелинейное упругое тело с центральной трещиной нормального отрыва.
Принято, что к каждой из вершин трещины примыкает зона предразрушения, окру-
женная зоной нелинейности. В результате численного решения соответствующей
краевой задачи установлено влияние растяжения вдоль трещины на ее раскрытие,
а также на параметры зоны нелинейности.
В работе [1] выявлено влияние зоны предразрушения на раскрытие трещины нормального
отрыва в нелинейном упругом теле. Настоящая работа посвящена изучению вопроса о том,
как именно растяжение вдоль трещины нормального отрыва в нелинейном упругом теле
сказывается на ее раскрытии в вершине, а также на размерах и форме зоны нелинейности
при наличии зоны предразрушения.
Постановка краевой задачи. Остановимся на случае обобщенного плоского напря-
женного состояния. В этой связи рассмотрим тело малой толщины. Как и в работе [1],
примем, что при растяжении тела в направлении, перпендикулярном трещине, у каждой
вершины трещины возникает зона предразрушения. Представим ее в виде разреза, к по-
верхностям которого приложены некоторые напряжения, подлежащие определению при
решении краевой задачи.
Ограничимся малыми деформациями. Постановку краевой задачи осуществим в пере-
мещениях.
Для постановки краевой задачи потребуются нелинейные определяющие уравнения, свя-
зывающие компоненты тензора напряжений S с компонентами тензора деформаций D.
Воспользуемся тензорно-линейными определяющими уравнениями в виде [1]
Sαβ =
1
σ
[
gαγgβδDγδ −
ρE
3ρ+ σ
gαβ − ϕ̃(Ω)
(
gαγgβδDγδ −
E
3
gαβ
)]
. (1)
© А.А. Каминский, Е. Е. Курчаков, 2013
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №2
Аргументом функции ϕ̃(Ω) является величина
Ω =
√
1
σ
(
Υ−
E2
3
)
. (2)
Инварианты E и Υ таковы:
E = gαβDαβ ; Υ = gαγgβδDαβDγδ. (3)
Константы ρ и σ могут быть выражены через константы Ламе.
Следуя работе [2], введем постоянную υ, большую нуля, и предположим, что
ϕ̃(Ω) |Ω6υ= 0; ϕ̃(Ω) |Ω>υ=
Ω− υ + p− 3
√√
q3 + r2 − r + 3
√√
q3 + r2 + r
Ω
, (4)
где
p =
b
3c
; q = p2 +
1
3c
; r = p3 −
1
2c
(Ω− υ + p). (5)
Постоянная υ, а также коэффициенты b и c подразумеваются известными.
Учитывая формулы (4), придем к заключению, что связь компонент тензора напря-
жений S с компонентами тензора деформаций D, описываемая уравнениями (1), будет
линейной, если Ω 6 υ, но нелинейной, если Ω > υ. Следовательно, приходим к критерию
нелинейности
Ω = υ. (6)
Привлечем прямоугольную декартову систему координат x1, x2, x3, характеризуемую
тем, что для нее компоненты метрического тензора g выразятся так:
gεζ =
{
1 (ε = ζ);
0 (ε 6= ζ).
(7)
Соотношения между компонентами тензора деформаций D и компонентами вектора
перемещений u имеют вид [3]
Dεζ =
∂uε
∂xζ
(ε, ζ). (8)
В соотношениях (8) предполагается симметрирование по индексам ε, ζ.
Подставив в уравнения (1) соотношения (8), получим
Sαβ=
1
σ
{
1
2
gαγgβδ
(
∂uγ
∂xδ
+
∂uδ
∂xγ
)
−
ρE
3ρ+σ
gαβ−ϕ̃(Ω)
[
1
2
gαγgβδ
(
∂uγ
∂xδ
+
∂uδ
∂xγ
)
−
E
3
gαβ
]}
. (9)
В соответствии с формулами (3), равенствами (7) и соотношениями (8)
E =
3∑
β=1
∂uβ
∂xβ
; Υ =
1
4
3∑
γ=1
3∑
δ=1
(
∂uγ
∂xδ
+
∂uδ
∂xγ
)(
∂uγ
∂xδ
+
∂uδ
∂xγ
)
. (10)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №2 51
В случае обобщенного плоского напряженного состояния имеем
Sαβ = Sαβ(x1, x2) (α = 1, 2, β = 1, 2); (11)
Sαβ = 0 (α = 1, 2, β = 3; α = 3, β = 1, 2; α = 3, β = 3). (12)
Принимая во внимание равенства (12) и (7), а также первую из формул (10), на осно-
вании уравнений (9) найдем
∂u3
∂x3
=
3ρ+ σ
2ρ+ σ
[
ρ
3ρ+ σ
(
∂u1
∂x1
+
∂u2
∂x2
)
+
1
3
ϕ̃(Ω)
(
2
∂u3
∂x3
−
∂u1
∂x1
−
∂u2
∂x2
)]
. (13)
Поскольку ϕ̃(Ω) 6= 1, то вследствие равенств (12) и (7) из уравнений (9) вытекает, что
∂uγ
∂xδ
+
∂uδ
∂xγ
= 0 (γ = 1, 2, δ = 3; γ = 3, δ = 1, 2). (14)
Опираясь на уравнения (9), согласно равенствам (7), а также первой из формул (10)
и выражению (13), установим
S11 =
1
σ(2ρ+ σ)
[
(ρ+ σ)
∂u1
∂x1
− ρ
∂u2
∂x2
]
− T 11; S12 =
1
2σ
(
∂u1
∂x2
+
∂u2
∂x1
)
− T 12;
S21 =
1
2σ
(
∂u2
∂x1
+
∂u1
∂x2
)
− T 21; S22 =
1
σ(2ρ+ σ)
[
(ρ+ σ)
∂u2
∂x2
− ρ
∂u1
∂x1
]
− T 22.
(15)
Здесь
T 11 =
1
3σ(2ρ+ σ)
ϕ̃(Ω)
[
(3ρ+ 2σ)
∂u1
∂x1
− (3ρ+ σ)
∂u2
∂x2
− σ
∂u3
∂x3
]
;
T 12 =
1
2σ
ϕ̃(Ω)
(
∂u1
∂x2
+
∂u2
∂x1
)
; T 21 =
1
2σ
ϕ̃(Ω)
(
∂u2
∂x1
+
∂u1
∂x2
)
;
T 22 =
1
3σ(2ρ+ σ)
ϕ̃(Ω)
[
(3ρ+ 2σ)
∂u2
∂x2
− (3ρ+ σ)
∂u1
∂x1
− σ
∂u3
∂x3
]
.
(16)
Уравнения равновесия в компонентах тензора напряжений S имеют вид [3]
∂Sαβ
∂xβ
= 0.
Эти уравнения в силу формул (11) и равенств (12) сводятся к следующим уравнениям:
∂S11
∂x1
+
∂S12
∂x2
= 0;
∂S21
∂x1
+
∂S22
∂x2
= 0. (17)
Допуская, что константы ρ и σ не зависят от координат x1, x2, на основании уравне-
ний (17), внеся в них уравнения (15), выведем
ρ+ σ
σ(2ρ+ σ)
∂2u1
∂x1∂x1
+
1
2(2ρ+ σ)
∂2u2
∂x1∂x2
+
1
2σ
∂2u1
∂x2∂x2
= Q1;
1
2σ
∂2u2
∂x1∂x1
+
1
2(2ρ+ σ)
∂2u1
∂x1∂x2
+
ρ+ σ
σ(2ρ + σ)
∂2u2
∂x2∂x2
= Q2.
(18)
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №2
Здесь
Q1 =
∂T 11
∂x1
+
∂T 12
∂x2
; Q2 =
∂T 21
∂x1
+
∂T 22
∂x2
. (19)
Предположим, что известны компоненты единичного вектора внешней нормали n к по-
верхностям тела, а также трещины и разрезов. На этих поверхностях зададим компоненты
вектора напряжений P .
Граничные условия для компонент тензора напряжений S имеют вид [3]
Sαβnβ = Pα.
Эти условия в силу равенств (12) сводятся к таким условиям:
S11n1 + S12n2 = P 1; S21n1 + S22n2 = P 2. (20)
Внеся в условия (20) уравнения (15), выведем
1
σ(2ρ+ σ)
[
(ρ+ σ)
∂u1
∂x1
− ρ
∂u2
∂x2
]
n1 +
1
2σ
(
∂u1
∂x2
+
∂u2
∂x1
)
n2 = P 1 +R1;
1
2σ
(
∂u2
∂x1
+
∂u1
∂x2
)
n1 +
1
σ(2ρ+ σ)
[
(ρ+ σ)
∂u2
∂x2
− ρ
∂u1
∂x1
]
n2 = P 2 +R2.
(21)
Здесь
R1 = T 11n1 + T 12n2; R2 = T 21n1 + T 22n2. (22)
Будем считать, что тело является прямоугольным, а трещина располагается по центру.
Пусть оси симметрии тела совпадают с осями x1,x2.
Положим, что компоненты Pα(α = 1, 2) равномерно распределены по поверхностям
тела, а также трещины и разрезов. Поэтому будет достаточно рассмотреть лишь четвертую
часть тела, например, располагающуюся в первом квадранте (рис. 1).
Отметим, что вершины трещины и разреза — это точка A с координатами x1 = 0, x2 = f
и точка B с координатами x1 = 0, x2 = g соответственно.
Из симметрии относительно оси x2 следует, что в вершине разреза
u1 = 0. (23)
Обособим вблизи вершины разреза точку (a1, a2). Записав координаты вершины разреза
в виде a1+ε1, a2+ε2, а затем составив кратный ряд Тейлора, расположенный по степеням ε1,
ε2, придем к уравнению
−u2 + u2(a
1, a2) +
∂u2
∂x1
∣∣∣∣
(a1,a2)
ε1 +
∂u2
∂x2
∣∣∣∣
(a1,a2)
ε2 +
+
1
2
(
∂2u2
∂x1∂x1
∣∣∣∣
(a1,a2)
ε1ε1 + 2
∂2u2
∂x1∂x2
∣∣∣∣
(a1,a2)
ε1ε2 +
∂2u2
∂x2∂x2
∣∣∣∣
(a1,a2)
ε2ε2
)
= 0. (24)
Подчеркнем, что уравнения (18) и (21), а также (23) и (24) являются разрешающими
для компонент u1, u2.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №2 53
Рис. 1
Числовой пример. Исследуем влияние растяжения вдоль трещины на ее раскрытие
в вершине, а также на размеры и форму зоны нелинейности.
Данные, использованные при решении краевой задачи, позаимствованы из работы [1].
Для констант ρ и σ имеем:
−ρ = 0,046 · 10−10 Па−1; σ = 0,222 · 10−10 Па−1.
Для постоянной υ, а также коэффициентов b и c имеем:
υ = 3,25 · 102 Па1/2; b = 0,1964347 · 10−2 Па−1/2; c = 0,5632820 · 10−4 Па−1.
Были заданы
d = 6,0 · 10−2 м; e = 3,0 · 10−2 м; f = 1,2 · 10−2 м; g = 1,4 · 10−2 м;
−ε1 = ε2 = 0,02 · 10−2 м.
Полагалось, что
Pα(d, x2) = Pα
(1), если x2 ∈ [0, e);
Pα(x1, e) = Pα
(2), если x1 ∈ [0, d);
Pα(0, x2) =
{
Pα
(3), если x2 ∈ [0, f);
Pα
(4), если x2 ∈ [f, g),
причем
P 2
(1) = P 1
(2) = P 1
(3) = P 2
(3) = P 2
(4) = 0.
Укажем, что P 1
(1) оставалось неизменным, равным 5,00 · 107 Па. Вместе с тем, P 2
(2) при-
давалось несколько значений. При этом P 1
(4) задавалось из условия, что компонента S11
должна принимать в вершине разреза такое же значение, как и на его верхней поверхности.
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №2
Рис. 2
Рис. 3 Рис. 4
Решение уравнений (18) и (21), а также (23) и (24) (с учетом формул (19) и (22), (16),
(4), (5), (2), (10), равенств (14), выражения (13)) найдено численно, для чего использован
метод последовательных приближений Ильюшина [4]. В результате установлено раскрытие
трещины в вершине, т. е. u1(0, f) ≡ uA1 .
Следует сказать, что растяжение вдоль трещины оказало слабое влияние как на напря-
жение, приложенное к верхней поверхностям разреза, так и на раскрытие трещины в вер-
шине. Интересно, что с увеличением P 2
(2) характер его воздействия, как это явствует из
табл. 1, менялся. Действительно, P 1
(4) и uA1 сначала несущественно уменьшались, а потом —
увеличивались.
Таблица 1
P
2
(2) · 10
−7, Па −P
1
(4) · 10
−7, Па u
A
1 · 10
6, м
0,00 14,14 6,907
1,00 14,21 6,824
2,00 14,25 6,784
3,00 14,24 6,777
4,00 14,21 6,797
5,00 14,16 6,838
6,00 14,08 6,896
7,00 13,99 6,971
8,00 13,89 7,062
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №2 55
Граница зоны нелинейности определена по критерию (6) с помощью формул (10) и ра-
венств (14). Она изображена на рис. 2–4.
Итак, растяжение вдоль трещины привело к значительному изменению протяженнос-
ти зоны нелинейности в направлениях осей x1, x2. Важно, что по мере увеличения P 2
(2)
(см. табл. 1) наблюдалась существенная трансформация зоны нелинейности. Так, из рис. 2
(кривые 1 и 2 получены при первом и четвертом значениях P 2
(2)) видно, что протяжен-
ность зоны нелинейности стала меньшей в обоих направлениях. Далее, из рис. 3 (кривые 1
и 2 получены при пятом и седьмом значениях P 2
(2)) видно, что протяженность зоны не-
линейности оказалась меньшей в направлении оси x1, но большей в направлении оси x2.
Наконец, из рис. 4 (кривые 1 и 2 получены при восьмом и девятом значениях P 2
(2)) видно,
что протяженность зоны нелинейности стала большей в обоих направлениях.
1. Каминский А.А., Курчаков Е. Е. Моделирование зоны предразрушения у вершины трещины в нели-
нейном упругом теле // Прикл. механика. — 2011. — 47, № 6. — С. 149–158.
2. Каминский А.А., Курчаков Е.Е., Гаврилов Г. В. О влиянии растягивающей вдоль трещины нагрузки
на формирование зоны пластичности в анизотропном теле // Там же. — 2010. — 46, № 6. — С. 27–42.
3. Сокольников И.С. Тензорный анализ. — Москва: Наука, 1971. — 376 с.
4. Ильюшин А.А. Некоторые вопросы теории пластических деформаций // Прикл. математика и ме-
ханика. — 1943. — 7, № 4. — С. 245–272.
Поступило в редакцию 20.07.2012Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
А.О. Камiнський, Є.Є. Курчаков
Про вплив розтягнення вздовж трiщини в нелiнiйному пружному
тiлi за наявностi зони передруйнування
Розглянуто нелiнiйне пружне тiло iз центральною трiщиною нормального вiдриву. Прийня-
то, що до кожної з вершин трiщини примикає зона передруйнування, оточена зоною не-
лiнiйностi. В результатi чисельного розв’язання вiдповiдної крайової задачi встановлено
вплив розтягнення вздовж трiщини на її розкриття, а також на параметри зони нелi-
нiйностi.
A.A. Kaminsky, E. E. Kurchakov
On the influence of tension along the crack in a nonlinear elastic body
in the presence of a prefracture zone
A nonlinear elastic body with a central opening-mode crack is considered. It is suggested that both
crack tips are in contact with a prefracture zone enveloped by a domain of nonlinearity. By solving
the associated boundary-value problem numerically, the influence of the tension along the crack on
its opening displacement and on parameters of the domain of nonlinearity is estimated.
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85392 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:22:51Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. 2015-08-01T15:26:07Z 2015-08-01T15:26:07Z 2013 О влиянии растяжения вдоль трещины в нелинейном упругом теле при наличии зоны предразрушения / А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 2. — С. 50–56. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85392 539.3 Рассмотрено нелинейное упругое тело с центральной трещиной нормального отрыва.
 Принято, что к каждой из вершин трещины примыкает зона предразрушения, окруженная зоной нелинейности. В результате численного решения соответствующей краевой задачи установлено влияние растяжения вдоль трещины на ее раскрытие,
 а также на параметры зоны нелинейности. Розглянуто нелiнiйне пружне тiло iз центральною трiщиною нормального вiдриву. Прийнято, що до кожної з вершин трiщини примикає зона передруйнування, оточена зоною нелiнiйностi. В результатi чисельного розв’язання вiдповiдної крайової задачi встановлено
 вплив розтягнення вздовж трiщини на її розкриття, а також на параметри зони нелiнiйностi. A nonlinear elastic body with a central opening-mode crack is considered. It is suggested that both
 crack tips are in contact with a prefracture zone enveloped by a domain of nonlinearity. By solving
 the associated boundary-value problem numerically, the influence of the tension along the crack on
 its opening displacement and on parameters of the domain of nonlinearity is estimated. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка О влиянии растяжения вдоль трещины в нелинейном упругом теле при наличии зоны предразрушения Про вплив розтягнення вздовж трiщини в нелiнiйному пружному тiлi за наявностi зони передруйнування On the influence of tension along the crack in a nonlinear elastic body in the presence of a prefracture zone Article published earlier |
| spellingShingle | О влиянии растяжения вдоль трещины в нелинейном упругом теле при наличии зоны предразрушения Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. Механіка |
| title | О влиянии растяжения вдоль трещины в нелинейном упругом теле при наличии зоны предразрушения |
| title_alt | Про вплив розтягнення вздовж трiщини в нелiнiйному пружному тiлi за наявностi зони передруйнування On the influence of tension along the crack in a nonlinear elastic body in the presence of a prefracture zone |
| title_full | О влиянии растяжения вдоль трещины в нелинейном упругом теле при наличии зоны предразрушения |
| title_fullStr | О влиянии растяжения вдоль трещины в нелинейном упругом теле при наличии зоны предразрушения |
| title_full_unstemmed | О влиянии растяжения вдоль трещины в нелинейном упругом теле при наличии зоны предразрушения |
| title_short | О влиянии растяжения вдоль трещины в нелинейном упругом теле при наличии зоны предразрушения |
| title_sort | о влиянии растяжения вдоль трещины в нелинейном упругом теле при наличии зоны предразрушения |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85392 |
| work_keys_str_mv | AT kaminskiiaa ovliâniirastâženiâvdolʹtreŝinyvnelineinomuprugomteleprinaličiizonypredrazrušeniâ AT kurčakovee ovliâniirastâženiâvdolʹtreŝinyvnelineinomuprugomteleprinaličiizonypredrazrušeniâ AT kaminskiiaa provplivroztâgnennâvzdovžtriŝinivneliniinomupružnomutilizanaâvnostizoniperedruinuvannâ AT kurčakovee provplivroztâgnennâvzdovžtriŝinivneliniinomupružnomutilizanaâvnostizoniperedruinuvannâ AT kaminskiiaa ontheinfluenceoftensionalongthecrackinanonlinearelasticbodyinthepresenceofaprefracturezone AT kurčakovee ontheinfluenceoftensionalongthecrackinanonlinearelasticbodyinthepresenceofaprefracturezone |