Довгострокові прогнози функцій стану автономних включень типу реакції-дифузії в RN
Розглянуто рівняння реакції-дифузії з багатозначною функцією взаємодії в необмеженій області. Умови на параметри задачі не гарантують єдиності розв’язку відповідної задачі Коші. Вивчається проблема довгострокового прогнозування функцій стану поставленої задачі з точки зору теорії глобальних та траєк...
Saved in:
| Published in: | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85463 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Довгострокові прогнози функцій стану автономних включень типу реакції-дифузії в RN / Н.В. Горбань // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2014. — № 1. — С. 92-101. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859613175960305664 |
|---|---|
| author | Горбань, Н.В. |
| author_facet | Горбань, Н.В. |
| citation_txt | Довгострокові прогнози функцій стану автономних включень типу реакції-дифузії в RN / Н.В. Горбань // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2014. — № 1. — С. 92-101. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Системні дослідження та інформаційні технології |
| description | Розглянуто рівняння реакції-дифузії з багатозначною функцією взаємодії в необмеженій області. Умови на параметри задачі не гарантують єдиності розв’язку відповідної задачі Коші. Вивчається проблема довгострокового прогнозування функцій стану поставленої задачі з точки зору теорії глобальних та траєкторних атракторів для багатозначних напівпотоків. Вивчаються питання існування та властивостей слабких розв’язків автономного включення типу реакції-дифузії в необмеженій області. Знайдено умови існування глобального та траєкторного атракторів задачі в фазовому та, відповідно, розширеному фазовому просторах, встановлено їх регулярність. Отримані результати застосовано до конкретних задач, що моделюють реальні фізичні процеси різної природи, зокрема розглядаються моделі горіння в пористому середовищі, модель провідності електричних імпульсів у нервові закінчення, кліматологічні моделі.
Рассмотрено уравнение реакции-диффузии с многозначной функцией взаимодействия в неограниченной области. Условия на параметры задачи не гарантируют единственности решения соответствующей задачи Коши. Изучается проблема долгосрочного прогнозирования функций состояния поставленной задачи с точки зрения теории глобальных и траекторных аттраторов для многозначных полупотоков. Изучаются вопросы существования и свойств слабых решений автономного включения типа реакции-диффузии в неограниченной области. Найдены условия существования глобального и траекторного аттракторов задачи в фазовом и, соответственно, расширенном фазовом пространствах, установлена их регулярность. Полученные результаты применены к конкретным задачам, моделирующим реальные процессы различной природы, в частности рассматриваются модели горения в пористой среде, модель проводимости электрических импульсов в нервные окончания, климатологические модели.
The reaction-diffusion equation with multivalued interaction function in an unbounded domain is considered. Conditions on the parameters of the problem do not guarantee the uniqueness of solution for the corresponding Cauchy problem. The problem of the long-term forecasting for the state functions of the investigated problem in sense of the theory of global and trajectory attractors for multivalued semiflows is studied. The problems of existence and properties of weak solutions of autonomous reaction-diffusion inclusion in an unbounded domain are studied. The conditions of existence of global and trajectory attractors in the phase and, therefore, the extended phase space are found, their regularity is set. The obtained results are applied to specific problems that modelling the real processes of different nature. In particular, the models of combustion in a porous medium, model of conduction of electrical impulses in the nerves, climatological models are considered.
|
| first_indexed | 2025-11-28T15:32:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Н.В. Горбань, 2014
92 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 1
УДК 517.9
ДОВГОСТРОКОВІ ПРОГНОЗИ ФУНКЦІЙ СТАНУ
АВТОНОМНИХ ВКЛЮЧЕНЬ ТИПУ РЕАКЦІЇ-ДИФУЗІЇ В NR
Н.В. ГОРБАНЬ
Розглянуто рівняння реакції-дифузії з багатозначною функцією взаємодії
в необмеженій області. Умови на параметри задачі не гарантують єдиності
розв’язку відповідної задачі Коші. Вивчається проблема довгострокового
прогнозування функцій стану поставленої задачі з точки зору теорії
глобальних та траєкторних атракторів для багатозначних напівпотоків.
Вивчаються питання існування та властивостей слабких розв’язків автономного
включення типу реакції-дифузії в необмеженій області. Знайдено умови
існування глобального та траєкторного атракторів задачі в фазовому та,
відповідно, розширеному фазовому просторах, встановлено їх регулярність.
Отримані результати застосовано до конкретних задач, що моделюють реальні
фізичні процеси різної природи, зокрема розглядаються моделі горіння
в пористому середовищі, модель провідності електричних імпульсів у нервові
закінчення, кліматологічні моделі.
ВСТУП
Інтерес до вивчення проблеми довгострокового прогнозування функцій
стану поставленої в роботі задачі мотивується широкою сферою
застосувань. Задачі типу рівняння реакції-дифузії виникають у багатьох
математичних моделях, що описують реальні процеси різної природи,
зокрема, моделі горіння в пористому середовищі, модель провідності
електричних імпульсів в нервові закінчення, кліматологічні моделі.
Динаміка розв’язків задач типу реакції-дифузії активно вивчається протягом
останніх десятиліть. Результати відносно існування та властивостей
розв’язків рівняння реакції-дифузії у випадку гладкого за фазовою змінною
нелінійного доданку, як і результати відносно існування за цих же умов
глобального атрактора є класичними і містяться в [1], [2]; для неавтономних
рівнянь з майже періодичною залежністю від часової змінної — в [3]; для
включень в обмеженій області — в [4, глава 2], [5]; для рівнянь в необмеженій
області — в [6], [7]. Автономні включення в необмеженій області було
розглянуто в [8].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Нехай 1,≥N .}{\2: 1 ∅→+ RRNf Розглянемо задачу:
),<<<(],,[,)),,(,(),(),( ∞+∞−∈∈∈Δ− TTtxtxuxftxutxu N
t ττR (1)
з початковою умовою
),()(,),(=),( 2 NN Luxxuxu RR ∈⋅∈ τττ (2)
де ),( ⋅⋅u — невідома функція, .)/,(=),( tuut ∂⋅⋅∂⋅⋅
Довгострокові прогнози функцій стану автономних включень типу реакції-дифузії в NR
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 1 93
Введемо позначення .,[0,1]},|)(1{=],[ R∈∈−+ bababa ααα Поставимо
умови на параметри задачі:
)1α Існують такі вимірні: напівнеперервна знизу та напівнеперервна
зверху функції ,:, 1 RR →+Nff що для майже всіх Nx R∈ та всіх R∈y
),(),( yxfyxf ≤ та )].,(),,([=),( yxfyxfyxf
)2α Існують функція )(1
1
NLC R∈ та стала 0>α такі, що для майже
всіх Nx R∈ та для всіх R∈y виконуються нерівності:
0.),(||),(0,),(||),( 1
2
1
2 ≤−≥≥−≥ yxCyyyxfyxCyyyxf αα
)3α Існують невід’ємна функція )(1
2
NLC R∈ та сталі 0>0,> γβ
такі, що для майже всіх Nx R∈ та для всіх R∈y виконуються
співвідношення:
.||)(|),(|,||)(|),(| 2
2
22
2
2 yxCyxfyxCyxf γβ +≤+≤
Розглянемо дійсні простори )(=: 2 NLH R , )(=: 1 NHV R та =:*V
.)(=: 1 NH R− Тут )(1 NH R — гільбертів простір Соболєва; *V — дуальний
простір до .V Має місце ланцюжок неперервних та щільних вкладень
.*VHV ⊂⊂ Відзначимо, що, на відміну від випадку обмеженої області
з регулярною границею, жодне з вкладень не є компактним.
Означення 1. Нехай .< Tτ Функція );,()( 2 VTL τϕ ∈⋅ називається
слабким розв’язком включення (1) на ],[ Tτ , якщо існує така вимірна
функція ,),(: RR →× Td N τ що )),(,(),( txxftxd ϕ∈ для майже всіх ∈),( tx
,),( TN τ×∈R для всіх ]),[(0 TCv N τ×∈ ∞ R виконується:
+Δ⋅−⋅− ∫∫∫∫ dxdttxvtxdxdttxvtx
N
T
t
N
T
),(),(),(),( ϕϕ
ττ RR
0.=),(),( dxdttxvtxd
N
T
⋅+ ∫∫
Rτ
(3)
Припущення 1α – 3α на параметри задачі (1) не гарантують єдиності
розв’язку відповідної задачі Коші [9, c. 68]. Тому для вивчення асимптотичної
поведінки при +∞→t всіх слабких розв’язків включення (1) застосовува-
тимемо методи абстрактної теорії глобальних та траєкторних атракторів для
багатозначних напівпотоків в нескінченномірних просторах [9, c. 14].
АПРІОРНІ ОЦІНКИ. ІСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКІВ. ЇХ РЕГУЛЯРНІСТЬ
Позначимо через TX ,τ та TY ,τ простори );],,([);,(=: 2
, HTCVTLX T τττ ∩
).;,(=: *2
, VTLY T ττ Зауважимо, що TX ,τ — банахів простір відносно норми
Н.В. Горбань
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 1 94
2
)],,([
2
);,(
||)(||||)(||||)(|| 2, HTCVTLX xxx
T τττ
⋅+⋅=⋅ [10, c. 22]; TY ,τ — гільбертів
простір зі скалярним добутком ( ) ( ) dssvsuvu V
T
TY ∗∫⋅⋅ )(),(=)(),(
,
τ
τ
∈⋅⋅∀ )(),( vu
TY ,τ∈ [10, c.22]. Введемо позначення: ,<)(:= 11 +∞∫ dxxCC
NR
де функція
)()( 1
1
NLC R∈⋅ з припущення .2α
Встановимо деякі апріорні оцінки розв’язків.
Лема 2. Нехай ,< Tτ нехай виконуються припущення 1α – 3α . Тоді
для довільного слабкого розв’язку )(⋅u задачі (1) на ],[ Tτ виконуються
нерівності:
))(2||)((||
2
3||)(|| 1
22
,
ττ
τ
−+≤⋅ TCuu
HT XX (4)
+−+≤⋅ ))(2||)((||
2
3||)(|| 1
22
,
ττ
τ
TCuu
HT XYt
.))(2||)((||
2
31)( 1
2
11 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −++−+ τττ TCuTKc H (5)
Доведення випливає з [8].
Tеорема 3 [8, Теорема 3.1, c. 241]. Нехай виконуються припущення
1α – 3α . Тоді для довільних ,< Tτ ,Hu ∈τ задача Коші (1), (2) має
принаймні один слабкий розв’язок на ],[ Tτ .
У наступній теоремі розглянемо звуження ∗→VTv ],[: τ на відрізок
],[ Ts , де ,),( Ts τ∈ .< Tτ Для спрощення запису використовуватимемо
аналогічне позначення .v
Tеорема 4. Нехай виконуються припущення 1α — 3α . Нехай, крім
того, );,()( 2 VTLu τ∈⋅ — довільний слабкий розв’язок задачі (1), (2) на
],[ Tτ . Тоді для будь-якого :)(0, τε −∈ T
).;,()(,))(;,()];,([)( 222 HTLuVHTLVTCu t
N ετετετ +∈⋅∩+∩+∈⋅ R
Доведення випливає із [11].
Оскільки в теоремі 3 T<τ — довільні, а «склейка» (конкатенація)
слабких розв’язків є слабким розв’язком [8, c. 244], то внаслідок
автономності задачі (1) кожен її слабкий розв’язок, визначений на ][0,T ,
,0>T можна продовжити до глобального слабкого розв’язку, визначеного
на .)[0, ∞+
Для кожного Hu ∈⋅)(0 позначимо через )( 0uD сукупність всіх
глобальних слабких розв’язків задачі (1) на )[0,+∞ , що відповідають
початковій умові
.м.в.для)()0,( 0
Nxxuxu R∈= (6)
Довгострокові прогнози функцій стану автономних включень типу реакції-дифузії в NR
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 1 95
Тоді .)),([0,);(0,)( 2
loc0 HCVLu ∞+∩∞+⊂D Більш того, ⊂)( 0uΔ
);(0, HLc ∞+⊂ ∞ Hu ∈∀ 0 (див. [8, c. 244] та посилання там).
ІСНУВАННЯ ГЛОБАЛЬНОГО ТА ТРАЄКТОРНОГО АТРАКТОРІВ
Наведемо деякі основні означення та теореми абстрактної теорії глобальних
атракторів для багатозначних напівпотоків, що знадобляться в ході
дослідження.
Означення 5 [4, означення 1.1, с. 5]. Відображення aHG ×+R:
}{\2 ∅Ha називається багатозначним напівпотоком на ,H якщо:
HIG =)(0,⋅ — тотожне відображення ;H для всіх +∈Rst, та для всіх
Hx∈ )).,(,(),( xsGtGxstG ⊂+ Багатозначний напівпотік називається
строгим, якщо для всіх +∈Rst, та для всіх Hx∈ )).,(,(=),( xsGtGxstG +
Означення 6 [4, означення 1.6, с. 9]. Множину H⊂Θ називають
глобальним атрактором для багатозначного напівпотоку ,G якщо:
• Θ — притягуюча множина для багатозначного напівпотоку ,G
тобто для довільної непорожньої обмеженої множини HB∈
,0)),,((dist →ΘBtGH ,∞+→t де H
ByAx
H yxBA ||||infsup:),(dist −=
∈∈
— напів-
метрика Хаусдорфа;
• для довільної множини ,HY ⊂ притягуючої для багатозначного
напівпотоку ,G справедливе включення ,cl YH⊂Θ тобто Θ є мінімальною
множиною серед всіх притягуючих множин з ;H
• для всіх 0≥t .),( Θ⊂Θ tG
Глобальний атрактор називається інваріантним, якщо для всіх 0≥t
).,(= ΘΘ tG
Означення 7 [4, означення 1.4, с. 5]. Багатозначний напівпотік G
називається асимптотично компактним, якщо довільна послідовність
1}{ ≥nnξ така, що ),( BtG nn ∈ξ , ,∞+→nt передкомпактна в .H
Tеорема 8 [12, c. 1980]. Нехай для багатозначного напівпотоку
}{\2: ∅×+
XXG aR виконуються умови:
• G — асимптотично компактний;
• існує таке 0>0R , що для всіх 0>R існує ,0≥T що залежить від ,R
таке, що для всіх Tt ≥ };,0)(|{}),0)(|{,( 0RxXxRxXxtG ≤∈⊂≤∈ ρρ
• для кожного 0≥t відображення ),( xtGxX a∋ має замкнений графік.
Тоді множина )(=
)(
B
XB
ω
β
U
∈
Θ є компактним глобальним атрактором.
Більш того, якщо багатозначний напівпотік G — строгий, то Θ —
інваріант, тобто, 0.),(= ≥∀ΘΘ ttG
Позначимо через +K сім’ю всіх слабких розв’язків задачі (1),
визначених на ,)[0, ∞+ тобто )(= 0
0
u
Hu
DK U
∈
+ [4, c. 18]. Для довільних
+∈⋅ K)(u , ,0≥h 0≥s покладемо )(=:)( shusuh + . Зауважимо, що +∈⋅ Κ)(hu
Н.В. Горбань
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 1 96
для кожного елемента +∈⋅ K)(u , для довільного 0≥h (трансляційна
інваріантність).
Визначимо (в загальному випадку багатозначне) відображення
:}{\2: ∅→×+
HHG R
}.=(0):)(|)({=:),( 00 uuuHtuutG +∈⋅∈ Κ (7)
Лема 9. Відображення ,}{\2: ∅×+
HHG aR визначене фомулою (7),
є строгим багатозначним асимптотично компактним напівпотоком
у просторі .H
Доведення. Доведення випливає з [8, c. 244].
Tеорема 10 [8, теорема 3.2, c. 244]. За виконання припущень 1α – 3α ,
задача (1), (2) визначає строгий багатозначний напівпотік у фазовому
просторі ,H для якого існує інваріантний глобальний атрактор.
У класі +K задамо напівгрупу трансляцій 0)}({ ≥hhT : 0,≥∀h
+∈⋅∀ K)(u ).(=)()( ⋅⋅ huuhT Зауважимо, що внаслідок трансляційної
інваріантності простору траєкторій +K для довільного 0≥h ++ ⊂KK)(hT .
Побудуємо атрактор трансляційної напівгрупи ,)}({ 0≥hhT що діє на +Κ . На
+Κ розглядатимемо топологію, індуковану з простору Фреше .);(loc HC +R
Зауважимо, що
),];([0,в)()(0>);(в)()( loc HMCffMHCff MnMn ⋅Π→⋅Π∀⇔⋅→⋅ +R (8)
де MΠ — оператор звуження на відрізок ][0, M [13, с. 18]. Позначимо
через +Π оператор звуження на .)[0, ∞+
Означення 11 [14, означення 1.2, ст. 197]. Множина +⊂KU
називається траєкторним атрактором для задачі (1) в просторі траєкторій
+K відносно топології ,);(loc HC +R якщо:
• U — компактна в );(loc HC +R та обмежена в ;);( HL +∞ R
• U — строго інваріантна відносно 0)}({ ≥hhT , тобто UU =)(hT
;0≥∀h
• U є притягуючою множиною для простору траєкторій +K
у топології ,);(loc HC +R тобто для довільної обмеженої в );( HL +∞ R
множини +⊂KB та довільного числа 0≥M виконується співвідношення
,0),)((dist )];([0, →ΠΠ UB MMHMC tT .+∞→t
Розглянемо задачу (1) на всій числовій прямій. Аналогічно простору
);(loc HC +R простір );(loc HC R наділений топологією локальної
рівномірної збіжності на кожному відрізку R⊂− ],[ MM [14, с. 198].
Функція );();(loc HLHCu RR ∞∩∈ називається повною траєкторією задачі
(1), якщо ++ ∈⋅Π∈∀ K)(huh R [14, с. 198]. Нехай K — сукупність усіх
Довгострокові прогнози функцій стану автономних включень типу реакції-дифузії в NR
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 1 97
повних траєкторій задачі (1). Зауважимо, що для K справедлива властивість
трансляційної інваріантності, тобто KR ∈⋅∀∈∀ )(, uh .)( K∈⋅hu
Tеорема 12. Нехай для задачі (1) виконуються припущення 1α – ;3α
A — глобальний атрактор для багатозначного напівпотоку →×+ HG R:
,}{\2 ∅→ H визначеного формулою (7), з теореми 10. Тоді для задачі (1)
існує траєкторний атрактор +⊂KU у просторі траєкторій +K відносно
топології );(loc HC +R , причому AKKU ∈∈⋅Π ++ )(|)({== tuu }.+∈∀ Rt
Доведення. Нехай A — глобальний атрактор для багатозначного
напівпотоку, визначеного формулою (7). Твердження теореми випливає
з [4, теорема 1.12, c. 24], якщо для довільної послідовності +⊂⋅ K)}({ nϕ
такої, що 0)0( ϕϕ →n в ,H існує таке ,)( +∈⋅ Kϕ що 0=(0) ϕϕ , та, з точністю
до деякої підпослідовності, )()( ttn ϕϕ → у просторі H 0.≥∀t
Нехай +⊂⋅ K)}({ nϕ — така довільна послідовність, що An ∈→ 0)0( ϕϕ
у .H З апріорних оцінок, встановлених у лемі 2, теореми Банаха-Алаоглу та
кроку 3 доведення теореми 3.2 із [8] випливає, що існує таке ,)( +∈⋅ Kϕ що
0=(0) ϕϕ , та, з точністю до деякої підпослідовності, )()( ttn ϕϕ → слабко
в H 0.≥∀t Повторюючи міркування з [6, с. 128], одержимо шукане
твердження. Теорему доведено.
Дослідимо питання регулярності глобального та траєкторного
атракторів включення (1).
Tеорема 13. Нехай для задачі (1) виконуються припущення 1α – 3α ;
A — глобальний атрактор для багатозначного напівпотоку →×+ HG R:
}{\2 ∅→ H , визначеного формулою (7), з теореми 10; U — траєкторний
атрактор для задачі (1) в просторі траєкторій +K відносно топології
);(loc HC +R , з теореми 12. Тоді A — обмежена підмножина в просторі ;V
U — обмежена підмножина в просторі ;);(loc VC +R K — обмежена
підмножина в просторі .);(loc VC R
Доведення. З теорем 4, 10, 12 випливає, що V⊂A , ,);(loc VC +⊂ RU
.);(loc VC R⊂K Відмітимо при цьому, що внаслідок теореми 4
.))(;();( 2loc
2
loc VHLVC N ∩∩⊂ RRRK Існує така стала ,0>C що не
залежить від )(⋅u та ,t що Cdxu
dt
d
N
≤∇∫ 2||
R
для майже всіх R∈t . Отже,
K — обмежена підмножина в ,);(loc VC R A — обмежена підмножина в ;V
U — обмежена підмножина в .);(loc VC +R
Теорему доведено.
Н.В. Горбань
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 1 98
ЗАСТОСУВАННЯ
Задачі типу (1) виникають у багатьох важливих у сенсі застосувань
математичних моделях. Зупинимося на застосуванні отриманих результатів
до параболічних рівнянь із розривною нелінійністю.
Нехай ;)()( 2 RLh ∈⋅ RR 2:, 21 →ff — максимально монотонні
багатозначні відображення, область визначення яких R=)(=)( 21 fDfD .
Розглянемо диференціальне включення
),(0,),(),,()),(()),((),(),(
21 +∞×∈∋−+Δ−
∂
∂ Rtxtxhtxuftxuftxu
t
txu (9)
з початковою умовою
).(),(=,0)( 2
00 RLuxuxu ∈ (10)
Нехай існують такі сталі 1K , 2K , 0≥M та 0>ε , що для всіх
)(11 sfy ∈ , )(22 sfy ∈ справедливі оцінки:
|,|||sup 21
)(2
sKKy
sfy
+≤
∈
(11)
,)()( 2
121 Mssyy −+−≥− ελ (12)
де 1λ — перше власне значення оператора — Δ в .)(1
0 ΩH
У [15] було показано, що у випадку обмеженої області включення (9)
є частинним випадком абстрактного диференціального включення,
спричиненого різницею субдиференціальних відображень відповідних
напівнеперервних знизу функціоналів [16]. Отже, для довільного
)(2
0 RLu ∈ існує глобальний сильний розв’язок задачі Коші (9), (10) [17].
Покажемо, що при цьому умови (11), (12) на параметри задачі не
гарантують єдиності розв’язку поставленої задачі Коші (9), (10). Дійсно,
розглянемо включення:
),(0,),()),,((),(),(
0 ∞+×∈∈Δ−
∂
∂ RtxtxuHtxu
t
txu (13)
де [ ]
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
−
0.>при1,
0,=при,1,1
0,<при1,
:=)(0
u
u
u
uH — функція Хевісайда
з початковою умовою 0.=,0)(xu Очевидно, що задача (13) задoвольняє
умови (11), (12); 0),( ≡txu — сильний розв’язок задачі Коші (13)
з початковою умовою .0=,0)(xu Однак, з [18] випливає, що включення (13)
має нескінченну (однак зліченну) кількість стаціонарних точок, і для кожної
з цих точок існує принаймні один розв’язок з початковою умовою
,0=,0)(xu що збігається до неї при ∞+→t . Отже, існує нескінченна
кількість розв’язків задачі Коші (13) з початковою умовою .0=,0)(xu
Розглянемо деякі фізичні моделі.
Довгострокові прогнози функцій стану автономних включень типу реакції-дифузії в NR
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 1 99
Моделі горіння в пористому середовищі. Розглянемо задачу Коші
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
×∈−∈−
∂
∂
−
∂
∂
,=|
),(0,),(1),),(()),((),(),(
00=
2
2
uu
TtxtxuHtxuf
x
txu
t
txu
t
Rλ
де функція RR→:f — неперервна і неспадна, ,0>λ =:)(zH
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
0.>при1,
0,=при,]0,1[
0,<при0,
z
z
z
Припустимо, що існують такі сталі ,01 ≥K
[0,1)2 ∈K , що .|||)(| 21 sKKsf +≤ Ця задача моделює процеси горіння
в пористому середовищі [19]. Параметри задачі задовольняють припущення
1α – 3α , а, отже, для неї виконуються твердження теорем 4, 10, 12, 13.
Модель провідності електричних імпульсів у нервові закінчення.
Розглянемо задачу Коші, що моделює процес провідності електричних
імпульсів у нервові закінчення [20, 21]:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
×∈−∈+
∂
∂
−
∂
∂
),(=|),(
),(0,),(),),((),(),(),(
00=
2
2
xutxu
TtxatxuHtxu
x
txu
t
txu
t
Rλ
де ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛∈
2
10,a . У цьому випадку ,=)(1 ssf а .)(=)(2 asHsf − Для
розглянутої задачі очевидним чином виконуються припущення 1α – 3α .
А, отже, для неї виконуються твердження теорем 4, 10, 12, 13.
Модель з кліматології. Розглянемо кліматичну модель енергетичного
балансу, запропоновану у [22]. Відмітимо, що ця модель досліджувалась
також у роботах [23–25]. Сформулюємо задачу:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∈
×∈+∈+
∂
∂
−
∂
∂
+
,),(=|),(
,),(),()),(()(),(),(),(
00=
2
2
R
RR
xxutxu
txxhtxuxQStxBu
x
txu
t
txu
t
β
(14)
де ,B Q — додатні константи, ,S ,)(R∞∈ Lh ,)(2
0 RLu ∈ a β —
максимально монотонний граф у ,2R причому існують такі сталі ,m
R∈M , що для всіх R∈s , для всіх )(sz β∈ : .Mzm ≤≤ Припустимо, що
для майже всіх R∈x .)(<0 10 SxSS ≤≤
Невідома функція ),( txu репрезентує середню температуру земної
поверхні, Q — так звана сонячна константа, середнє значення (середнє за
рік і, відповідно, середнє по земній поверхні) отриманого сонячного
радіаційного потоку, а функція )(xS — функція інсоляції, задана
розподілом сонячного випромінювання, яке падає на верхні шари
атмосфери. Якщо середнє значення часу близько одного року (або більше),
то функція )(xS задовольняє поставленим умовам, у випадку коротких
періодів необхідне додаткове припущення .0=0S β — так звана функція
Н.В. Горбань
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 1 100
ко-альбедо, може бути розривною, яка представляє співвідношення між
поглинаючою та випромінюваною сонячною енергією в точці x земної
поверхні. Очевидно, що )),(( txuβ залежить від природи земної поверхні.
Наприклад, відомо, що на льодовиках значення )),(( txuβ значно менше, ніж
на поверхні океану, адже білий колір льоду відбиває більшу кількість
випромінюваної сонячної енергії, тоді як океан, завдяки своєму темному
кольору та високій теплоємності, поглинає більшу кількість випромінюваної
сонячної енергії.
Відмітимо, що ця модель дуже близька до (9). Дійсно, вибравши
функцію 2f , що залежить від x , зведемо нашу задачу до частинного
випадку задачі (9). Таким чином, в кліматичній моделі, що описується
рівнянням (14) не можна гарантувати єдиності розв’язку.
ВИСНОВКИ
У ході роботи було вивчено динаміку розв’язків рівняння реакції-дифузії
з багатозначною функцією взаємодії в необмеженій області за умов, що не
гарантують єдиності розв’язку відповідної задачі Коші. Встановлено існу-
вання принаймні одного слабкого розв’язку поставленої задачі та доведено
регулярність кожного слабкого розв’язку. Доведено існування глобального
та траєкторного атракторів задачі в фазовому та, відповідно, розширеному
фазовому просторах, встановлено їх регулярність. Отримані результати за-
стосовано до конкретних задач, що моделюють реальні фізичні процеси різ-
ної природи, зокрема розглянуто моделі горіння в пористому середовищі,
модель провідності електричних імпульсів у нервові закінчення, кліматоло-
гічні моделі.
Автор висловлює щиру подяку доктору фізико-математичних наук
П.О. Касьянову та доктору фізико-математичних наук О.В. Капустяну за
постановку задачі та участь в обговоренні шляхів її розв’язання.
Це дослідження частково підтримано грантами Президента України
GP/f44/076, GP/F49/070 та грантом НАН України 2273/13.
ЛІТЕРАТУРА
1. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. — М.:
Наука,1989. — 392 с.
2. Temam R. Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. —
NY: Springer-Verlag, 1988. — 500 р.
3. Chepyzhov V.V., Vishik M.I. Evolution equations and their trajectory attractors // J. Math.
Pur. Appl. — 1997. — doi:10.1016/S0021-7824(97)89978-3.
4. Zgurovsky M.Z., Kasyanov P.O., Kapustyan O.V., Valero J., Zadoianchuk N.V.
Evolution Inclusions and Variation Inequalities for Earth Data Processing III. —
Berlin: Springer, 2012. — doi:10.1007/978-3-642-28512-7.
5. Kasyanov P.O., Toscano L., Zadoianchuk N.V. Regularity of Weak Solutions and
Their Attractors for a Parabolic Feedback Control Problem // Set-Valued and
Variational Analysis. — 2013. — DOI: 10.1007/s11228-013-0233-8.
6. Morillas F., Valero J. Attractors for reaction-diffusion equation in NR with
continuous nonlinearity // Asymptotic Analysis. — 2005. — 44, Iss. 1–2. —
Р. 111–130.
Довгострокові прогнози функцій стану автономних включень типу реакції-дифузії в NR
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 1 101
7. Wang B. Attractors for reaction-diffusion equations in unbounded domains // Physica
D.: Nonlinear Phenomena. — 1999. — 128, Iss. 1.— Р. 41–52.
8. Gorban N.V., Stanzhitsky A.N. On the dynamics of solutions for autonomous
reaction-diffusion equation in NR with multivalued nonlinearity // Ukr. Math.
Bull. — 2009. — 6, Iss. 2. — Р. 235–251.
9. Global attractors for multivalued dynamical systems / [Kapustyan O.V., Mel’nik
V.S., Valero J., Yasinsky V.V.]. — К.: Naukova dumka, 2008. — 208 p.
10. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения
и операторные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1978. — 337 с.
11. Gorban N.V., Kasyanov P.O. On Regularity of All Weak Solutions and Their
Attractors for Reaction-Diffusion Inclusion in Unbounded Domain // Continues
and Distributed Systems Theory and Applications. — 2014. — P. 205–220.
12. Kapustyan A.V., Melnik V.S., Valero J. Attractors of multivalued dynamical
processes generated by phase-field equations // International Journal Of
Bifurcation and Chaos. — 2003. — № 13. — P. 1969–1983.
13. Chepyzhov V.V., Vishik M.I. Trajectory and global attractors of three-dimensional
Navier–Stokes systems // Mathematical Notes. — 2002. — doi: 10.1023/A:
1014190629738.
14. Капустян О.В., Жерардо І. Глобальний атрактор для неавтономного хвильового
рівняння без єдиності розв’язку // Системні дослідження та інформаційні
технології. — 2006. — №2. — С. 107–120.
15. Valero J. Attractors of Parabolic Equations Without Uniqueness // Journal of
Dynamics and Differential Equations. — 2001. —13, №. 4. — P. 711–744.
16. Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo, Section 1A, Mathematics. —
1977. — 24, № 3. — P. 575 – 605.
17. Archive for Rational Mechanics and Analysis January 2008. — 187, Iss. 1. —
P. 91–135.
18. Arrieta J.M., Rodri’guez-Bernal A., Valero J. Dynamics of a reaction-diffusion
equation with a discontinuous nonlinearity // International Journal of Bifurcation
and Chaos. — 2006. — DOI:1142/S0218127406016586.
19. Feireisl E., Norbury J. Some existence and nonuniqueness theorems for solutions of
parabolic equations with discontinuous nonlinearities // Proceedings of the Royal
Society of Edinburgh: Section A Mathematics. — 1991. — 119, Iss. 1–2. —
Р. 1–17.
20. Terman D. A free boundary problem arising from a bistable reaction–diffusion
equation // SIAM Journal on Mathematical Analysis. — 1983. — 14. —
Р. 1107–1129.
21. Terman D. A free boundary arising from a model for nerve conduction // Journal of
differential equations. — 1985. — 58, Iss. 3. — Р. 345–363.
22. Budyko M.I. The effects of solar radiation variations on the climate of the Earth //
Tellus. — 1969. — 21. — Р. 611–619.
23. Díaz H., Díaz J. On a stochastic parabolic PDE arising in climatology // Real Aca-
demia de Ciencias Exactas. — 2002. — 96. — Р. 123–128.
24. Díaz J., Hernández J., Tello L. On the multiplicity of equilibrium solutions to
a nonlinear diffusion equation on a manifold arising in climatology // Journal of
Mathematical Analysis and Applications. — 1997. — 216. — Р. 593–613.
25. Díaz J., Hernández J., Tello L. Some results about multiplicity and bifurcation of
stationary solutions of a reaction diffusion climatological model // Real Acade-
mia de Ciencias Exactas. — 2002. — 96, Iss. 3. — Р. 357–366.
Надійшла 08.11.2013
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85463 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1681–6048 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-28T15:32:32Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Горбань, Н.В. 2015-08-06T15:51:37Z 2015-08-06T15:51:37Z 2014 Довгострокові прогнози функцій стану автономних включень типу реакції-дифузії в RN / Н.В. Горбань // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2014. — № 1. — С. 92-101. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85463 517.9 Розглянуто рівняння реакції-дифузії з багатозначною функцією взаємодії в необмеженій області. Умови на параметри задачі не гарантують єдиності розв’язку відповідної задачі Коші. Вивчається проблема довгострокового прогнозування функцій стану поставленої задачі з точки зору теорії глобальних та траєкторних атракторів для багатозначних напівпотоків. Вивчаються питання існування та властивостей слабких розв’язків автономного включення типу реакції-дифузії в необмеженій області. Знайдено умови існування глобального та траєкторного атракторів задачі в фазовому та, відповідно, розширеному фазовому просторах, встановлено їх регулярність. Отримані результати застосовано до конкретних задач, що моделюють реальні фізичні процеси різної природи, зокрема розглядаються моделі горіння в пористому середовищі, модель провідності електричних імпульсів у нервові закінчення, кліматологічні моделі. Рассмотрено уравнение реакции-диффузии с многозначной функцией взаимодействия в неограниченной области. Условия на параметры задачи не гарантируют единственности решения соответствующей задачи Коши. Изучается проблема долгосрочного прогнозирования функций состояния поставленной задачи с точки зрения теории глобальных и траекторных аттраторов для многозначных полупотоков. Изучаются вопросы существования и свойств слабых решений автономного включения типа реакции-диффузии в неограниченной области. Найдены условия существования глобального и траекторного аттракторов задачи в фазовом и, соответственно, расширенном фазовом пространствах, установлена их регулярность. Полученные результаты применены к конкретным задачам, моделирующим реальные процессы различной природы, в частности рассматриваются модели горения в пористой среде, модель проводимости электрических импульсов в нервные окончания, климатологические модели. The reaction-diffusion equation with multivalued interaction function in an unbounded domain is considered. Conditions on the parameters of the problem do not guarantee the uniqueness of solution for the corresponding Cauchy problem. The problem of the long-term forecasting for the state functions of the investigated problem in sense of the theory of global and trajectory attractors for multivalued semiflows is studied. The problems of existence and properties of weak solutions of autonomous reaction-diffusion inclusion in an unbounded domain are studied. The conditions of existence of global and trajectory attractors in the phase and, therefore, the extended phase space are found, their regularity is set. The obtained results are applied to specific problems that modelling the real processes of different nature. In particular, the models of combustion in a porous medium, model of conduction of electrical impulses in the nerves, climatological models are considered. Це дослідження частково підтримано грантами Президента України GP/f44/076, GP/F49/070 та грантом НАН України 2273/13. uk Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Довгострокові прогнози функцій стану автономних включень типу реакції-дифузії в RN Долгосрочные прогнозы функций состояния автономных включений типа реакции-диффузии в RN Long-term forecasts for state functions of autonomous inclusions of reaction-diffusion type in RN Article published earlier |
| spellingShingle | Довгострокові прогнози функцій стану автономних включень типу реакції-дифузії в RN Горбань, Н.В. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| title | Довгострокові прогнози функцій стану автономних включень типу реакції-дифузії в RN |
| title_alt | Долгосрочные прогнозы функций состояния автономных включений типа реакции-диффузии в RN Long-term forecasts for state functions of autonomous inclusions of reaction-diffusion type in RN |
| title_full | Довгострокові прогнози функцій стану автономних включень типу реакції-дифузії в RN |
| title_fullStr | Довгострокові прогнози функцій стану автономних включень типу реакції-дифузії в RN |
| title_full_unstemmed | Довгострокові прогнози функцій стану автономних включень типу реакції-дифузії в RN |
| title_short | Довгострокові прогнози функцій стану автономних включень типу реакції-дифузії в RN |
| title_sort | довгострокові прогнози функцій стану автономних включень типу реакції-дифузії в rn |
| topic | Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| topic_facet | Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85463 |
| work_keys_str_mv | AT gorbanʹnv dovgostrokovíprognozifunkcíistanuavtonomnihvklûčenʹtipureakcíídifuzíívrn AT gorbanʹnv dolgosročnyeprognozyfunkciisostoâniâavtonomnyhvklûčeniitipareakciidiffuziivrn AT gorbanʹnv longtermforecastsforstatefunctionsofautonomousinclusionsofreactiondiffusiontypeinrn |