Принцип отражения в плоских граничных задачах для уравнения Гельмгольца
В данной работе рассмотрены возможности использования принципа отражения при построении решений внутренних и внешних граничных задач для уравнения Гельмгольца в плоских областях, границы которых содержат прямолинейные отрезки. Основная идея подхода заключается в том, чтобы пользуясь формулой отражен...
Збережено в:
| Дата: | 1998 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
1998
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/855 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Принцип отражения в плоских граничных задачах для уравнения Гельмгольца / А. М. Гомилко, В. Т. Гринченко, Е. В. Лобова // Акустичний вісник. — 1998. — Т. 1, N 2. — С. 48-56 — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860042195756646400 |
|---|---|
| author | Гомилко, А.М. Гринченко, В.Т. Лобова, Е.В. |
| author_facet | Гомилко, А.М. Гринченко, В.Т. Лобова, Е.В. |
| citation_txt | Принцип отражения в плоских граничных задачах для уравнения Гельмгольца / А. М. Гомилко, В. Т. Гринченко, Е. В. Лобова // Акустичний вісник. — 1998. — Т. 1, N 2. — С. 48-56 — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | В данной работе рассмотрены возможности использования принципа отражения при построении решений внутренних и внешних граничных задач для уравнения Гельмгольца в плоских областях, границы которых содержат прямолинейные отрезки. Основная идея подхода заключается в том, чтобы пользуясь формулой отражения для решения уравнения Гельмгольца через прямолинейные отрезки границы (при однородных граничных условиях), продолжить искомое решение в такую каноническую область как круг. В этом случае решение граничной задачи выражается через ряды по частным решениям уравнения Гельмгольца в полярных координатах и для определения неизвестных коэффициентов этих рядов возможно получить бесконечную систему линейных алгебраических уравнений. При этом замыкающие уравнения на участках окружности, не являющихся физическими границами исходной области, формулируются исходя из способа отражения искомого решения. Рассмотрены различные примеры граничных задач для уравнения Гельмгольца для прямолинейно-круговой луночки (внутренняя и внешняя задачи). Показано каким образом возможно учесть локальные особенности волнового поля, связанные с угловыми точками рассматриваемой области и смешанным характером граничных условий. Для одной из задач проведены численные расчеты, свидетельствующие об эффективности предложенного подхода.
У даній роботі розглянуті можливості використання принципу відображення при побудові розв'язків внутрішніх і зовнішніх граничних задач для рівняння Гельмгольца у плоских областях, межі яких містять прямолінійні відрізки. Основна ідея підходу полягає у тому, щоб користаючись формулою відображення для розв'язку рівняння Гельмгольца через прямолінійні відрізки межі (при однорідних граничних умовах), продовжити шуканий розв'язок у таку канонічну область як коло. У цьому випадку розв'язок граничної задачі виражається через ряди відносно часткових розв'язків рівняння Гельмгольца у полярних координатах і для визначення невідомих коефіцієнтів цих рядів можливо одержати нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь. При цьому замикаючі рівняння на ділянках кола, які не є фізичними границями вихідної області, формулюються виходячи зі способу відображення шуканого розв'язку. Розглянуто різні приклади граничних задач для рівняння Гельмгольца для прямолінійно-круговий луночки (внутрішня і зовнішня задачі). Показано яким образом можливо врахувати локальні особливості хвильового поля, зв'язані з кутовими точками розглянутої області та змішаним характером граничних умов. Для однієї з задач проведені чисельні розрахунки, які свідчать про ефективність запропонованого підходу.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:56:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
��� 534������� ��������� � ������� ���������������� ��� ��������� ������������. �. �������, �. �. ���������, �. �. �������áâ¨âãâ £¨¤à®¬¥å ¨ª¨ ��� �ªà ¨ë, �¨¥¢�®«ã祮 25.05.98� ¤ ®© à ¡®â¥ à áᬮâà¥ë ¢®§¬®¦®á⨠¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ¯à¨æ¨¯ ®âà ¦¥¨ï ¯à¨ ¯®áâ஥¨¨ à¥è¥¨© ¢ã-âà¥¨å ¨ ¢¥è¨å £à ¨çëå § ¤ ç ¤«ï ãà ¢¥¨ï �¥«ì¬£®«ìæ ¢ ¯«®áª¨å ®¡« áâïå, £à ¨æë ª®â®àëå ᮤ¥à¦ â¯àאַ«¨¥©ë¥ ®â१ª¨. �ᮢ ï ¨¤¥ï ¯®¤å®¤ § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ®¡ë ¯®«ì§ãïáì ä®à¬ã«®© ®âà ¦¥¨ï ¤«ïà¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï �¥«ì¬£®«ìæ ç¥à¥§ ¯àאַ«¨¥©ë¥ ®â१ª¨ £à ¨æë (¯à¨ ®¤®à®¤ëå £à ¨çëå ãá«®¢¨ïå),¯à®¤®«¦¨âì ¨áª®¬®¥ à¥è¥¨¥ ¢ â ªãî ª ®¨ç¥áªãî ®¡« áâì ª ª ªàã£. � í⮬ á«ãç ¥ à¥è¥¨¥ £à ¨ç®© § ¤ 稢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ àï¤ë ¯® ç áâë¬ à¥è¥¨ï¬ ãà ¢¥¨ï �¥«ì¬£®«ìæ ¢ ¯®«ïàëå ª®®à¤¨ â å ¨ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥-¨ï ¥¨§¢¥áâëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ íâ¨å à冷¢ ¢®§¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¡¥áª®¥çãî á¨á⥬㠫¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨åãà ¢¥¨©. �ਠí⮬ § ¬ëª î騥 ãà ¢¥¨ï ãç áâª å ®ªà㦮áâ¨, ¥ ïîé¨åáï 䨧¨ç¥áª¨¬¨ £à ¨æ ¬¨ ¨á-室®© ®¡« áâ¨, ä®à¬ã«¨àãîâáï ¨áå®¤ï ¨§ ᯮᮡ ®âà ¦¥¨ï ¨áª®¬®£® à¥è¥¨ï. � áᬮâà¥ë à §«¨çë¥ ¯à¨¬¥àë£à ¨çëå § ¤ ç ¤«ï ãà ¢¥¨ï �¥«ì¬£®«ìæ ¤«ï ¯àאַ«¨¥©®-ªà㣮¢®© «ã®çª¨ (¢ãâà¥ïï ¨ ¢¥èïï § ¤ ç¨).�®ª § ® ª ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢®§¬®¦® ãç¥áâì «®ª «ìë¥ ®á®¡¥®á⨠¢®«®¢®£® ¯®«ï, á¢ï§ ë¥ á 㣫®¢ë¬¨ â®çª ¬¨à áᬠâਢ ¥¬®© ®¡« á⨠¨ ᬥè ë¬ å à ªâ¥à®¬ £à ¨çëå ãá«®¢¨©. �«ï ®¤®© ¨§ § ¤ ç ¯à®¢¥¤¥ë ç¨á«¥ë¥à áç¥âë, ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ãî騥 ®¡ íä䥪⨢®á⨠¯à¥¤«®¦¥®£® ¯®¤å®¤ .��������� «¨§ ¬®£¨å ªãáâ¨ç¥áª¨å á¨âã 権 ¢®§¬®¦-® ®áãé¥á⢨âì ¢ à ¬ª å ¬®¤¥«¨, ¯à¨¢®¤ï饩 ªà¥è¥¨î £à ¨çëå § ¤ ç ¤«ï ãà ¢¥¨ï �¥«ì¬-£®«ìæ . �ਠ¨§ã票¨ à §«¨çëå ¯à®¡«¥¬, á¢ï-§ ëå á ¨§«ã票¥¬ ¨ ¤¨äà ªæ¨¥© ªãáâ¨ç¥áª¨å¢®«, è¨à®ª®¥ ¨ íä䥪⨢®¥ ¯à¨¬¥¥¨¥ 室¨â¬¥â®¤ ç áâ¨çëå ®¡« á⥩ [1, 2]. �á®¢ë¥ à¥-§ã«ìâ âë, ¤®á⨣ãâë¥ á ¯®¬®éìî í⮣® ¬¥â®¤ ,®â®áïâáï ª á«ãç ï¬, ª®£¤ ¢ ª ¦¤®© ¨§ ç áâ¨ç-ëå ®¡« á⥩ 㤠¥âáï ¯®áâநâì ®¡é¥¥, ¢ ®¯à¥¤¥-«¥®¬ á¬ëá«¥, à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï �¥«ì¬£®«ìæ .�¬¥® ¢ à ¬ª å ¬¥â®¤ ç áâ¨çëå ®¡« á⥩ ¨-¡®«¥¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯® áà ¢¥¨î á ¤à㣨¬¨¬¥â®¤ ¬¨ (¬¥â®¤ ¬¨ ª®¥çëå í«¥¬¥â®¢, £à ¨ç-ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¨ ¤à.), ¯à®¢®¤¨âáï¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ ᥬ¥©á⢠ç áâëå à¥è¥¨© ¢®«®-¢ëå ãà ¢¥¨© ¢ ª ®¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ âëå á¨á-⥬ å ¤«ï ¯®áâ஥¨ï «¨â¨ç¥áª¨å à¥è¥¨© ¢¥ª ®¨ç¥áª¨å ®¡« áâïå.�¥á¬®âàï ¡®£ âãî ¨áâ®à¨î à §¢¨â¨ï ¬¥â®-¤ ç áâ¨çëå ®¡« á⥩, ¢ ¯®á«¥¤¥¥ ¢à¥¬ï ®âªàë-¢ îâáï ¢á¥ ®¢ë¥ ¢®§¬®¦®á⨠¯® à áè¨à¥¨î®¡« á⨠¥£® ¯à¨¬¥¨¬®áâ¨, á¢ï§ ë¥ á ãá«®¦¥-¨¥¬ à áᬠâਢ ¥¬®© £¥®¬¥âਨ (á¬., ¯à¨¬¥à,[3 { 5]). �¥«ìî ¤ ®© à ¡®âë ï¥âáï ¨§«®¦¥-¨¥ ®¢®£® ¯®¤å®¤ , ¯®§¢®«ïî饣® íä䥪⨢® ¨á-¯®«ì§®¢ âì ®¡é¨¥ ¨¤¥¨ ¬¥â®¤ ç áâ¨çëå ®¡« -á⥩ ¢ ª®¬¡¨ 樨 á ¯à¨æ¨¯®¬ ®âà ¦¥¨ï ç¥à¥§¯àאַ«¨¥©ë¥ ®â१ª¨ ¤«ï à¥è¥¨© £à ¨çëå§ ¤ ç ¤«ï ãà ¢¥¨ï �¥«ì¬£®«ìæ .�«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢®¯à®áë ¯à®¤®«¦¥¨ïà¥è¥¨© í««¨¯â¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¨, ¢ ç áâ®á-
â¨, ¢®«®¢ëå ¯®«¥©, 室ïâ è¨à®ª®¥ ¯à¨¬¥¥-¨¥ ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ à §«¨çëå § ¤ ç ¬ ⥬ -â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. �¤¥áì ¬®¦® ®â¬¥â¨âì ª« á-á¨ç¥áª¨¥ १ã«ìâ âë �. �¢ àæ , �. �ã ª à¥,�. �«¥© , ®â®áï騥áï ª ¨áá«¥¤®¢ ¨ï¬ à §«®-¦¥¨© äãªæ¨¨ �ਠ£à ¨çëå § ¤ ç ¯® äã-¤ ¬¥â «ìë¬ à¥è¥¨ï¬. �¥â®¤ à §¢¥â¢«¥ëåà¥è¥¨© �. �®¬¬¥àä¥«ì¤ è¥« ¯à¨¬¥¥¨¥ ¢ à¥-襨¨ ¯à¨æ¨¯¨ «ì®© ¤«ï ⥮ਨ ¤¨äà ªæ¨¨ § -¤ ç¨ ® à áá¥ï¨¨ §¢ãª ª«¨¥ (á¬. [6], £« -¢ 20, [7], £« ¢ 4, x1). �®à®è® ¨§¢¥áâ® ¨á¯®«ì-§®¢ ¨¥ ¯à¨æ¨¯ ®âà ¦¥¨ï ¢ § ¤ ç å í«¥ªâà®-áâ ⨪¨, ¢ ç áâ®á⨠¢ § ¤ ç¥ ®¡ í«¥ªâà®áâ â¨-ç¥áª®¬ à ¢®¢¥á¨¨ ¤¢ãå § à殮ëå áä¥à å([6], £« ¢ 15). �¡®¡é¥¨î ª« áá¨ç¥áª¨å १ã«ì-â ⮢ ¡®«¥¥ ®¡é¨¥ £à ¨çë¥ § ¤ ç¨ ¨ ¨áá«¥-¤®¢ ¨î á室¨¬®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å «ìâ¥à¨-àãîé¨å ¯à®æ¥áᮢ ¯®á¢ïé¥ ¬®®£à ä¨ï [8]. �¥-⮤ ®âà ¦¥¨ï 室¨â ᢮¥ ¯à¨¬¥¥¨¥ â ª¦¥ ¢¨áá«¥¤®¢ ¨ïå ®¡à âëå § ¤ ç ⥮ਨ à áá¥ï¨ï ªãáâ¨ç¥áª¨å ¢®« [9, 10].�¡§®à ᮢ६¥®£® á®áâ®ï¨ï § ¤ ç¨ ¯à®-¤®«¦¥¨ï ¢®«®¢ëå ¯®«¥©, ¢ª«îç ï ¯à¨ª« ¤ë¥ ᯥªâë, ®â®áï騥áï ª ¢¥è¨¬ § ¤ ç ¬ ¤¨äà ª-樨, ¤ ¢ áâ âì¥ [10] (á¬. â ª¦¥ [11]).� áâ®ï饩 áâ âì¥ ¯à¨¢®¤ïâáï ¥ª®â®àë¥ ¯à¨-¬¥àë ¢®§¬®¦®£® ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ¯à¨æ¨¯ ®âà -¦¥¨ï ¤«ï à¥è¥¨© ãà ¢¥¨ï �¥«ì¬£®«ìæ ¯à¨¯®áâ஥¨¨ à¥è¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 £à ¨ç®©§ ¤ ç¨ ªãá⨪¨, ¢¯«®âì ¤® ãç¥â «®ª «ìëå ®á®-¡¥®á⥩ ¢®«®¢®£® ¯®«ï. �ਠí⮬ à¥çì ¨¤¥â® ä®à¬¨à®¢ ¨¨ íä䥪⨢®£® «£®à¨â¬ ¤«ï à¥-襨ï â ª¨å £à ¨çëå § ¤ ç, ç¨á«¥®¥ à¥è¥-¨¥ ª®â®àëå ¥ 㤠¥âáï ¯®«ãç¨âì ¨áå®¤ï ¨§ ¥¯®-48 c
�. �. �®¬¨«ª®, �. �. �à¨ç¥ª®, �. �. �®¡®¢ , 1998
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1998. �®¬ 1, N 2. �. 48 { 56á।á⢥®£® ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ¬¥â®¤ ç áâ¨çë审« á⥩, ¥á¬®âàï â®, çâ® £à ¨æ ®¡« áâ¨á®á⮨⠨§ ®¡ê¥¤¨¥¨ï ª ®¨ç¥áª¨å ª®®à¤¨ â-ëå «¨¨©.�ᯮ«ì§®¢ ¨¥ ¯à¨æ¨¯ ®âà ¦¥¨ï ¯à¨¢®¤¨âª ⮬ã, çâ® ¨á室 ï £à ¨ç ï § ¤ ç ᢮¤¨â-áï ª à áᬮâà¥¨î £à ¨ç®© § ¤ ç¨ ¤«ï ãà ¢-¥¨ï �¥«ì¬£®«ìæ ¢ ªà㣥. �¤¥áì ¢®§¨ª ¥â ¢®-¯à®á ® £à ¨çëå ãá«®¢¨ïå ç áâïå ¯®«ãç î-饩áï ®ªà㦮áâ¨, ¥ ïîé¨åáï 䨧¨ç¥áª¨¬¨£à ¨æ ¬¨ ¨á室®© ®¡« áâ¨. � ¨¤¥©®¬ ¯« ¥®á®¢ë¬ ¬®¬¥â®¬ ¯à¥¤« £ ¥¬®£® ¯®¤å®¤ ï-¥âáï ä®à¬ã«¨à®¢ª ¥¤®áâ îé¨å £à ¨çëå ãá«®-¢¨©, ¨áå®¤ï ¨§ ᯮᮡ ®âà ¦¥¨ï ¨á室®£® à¥-襨ï, â. ¥. £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ä®à¬ã«¨àãîâáï ¢â¥à¬¨ å § 票© ¥¨§¢¥á⮩ äãªæ¨¨ ¤ã-£ å, «¥¦ é¨å ¢ãâਠ¨á室®© ®¡« áâ¨. �¬¥á⥠á¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥¬ ¨áª®¬®£® à¥è¥¨ï ¢ ¢¨¤¥ à冷¢ ¯®ç áâë¬ à¥è¥¨ï¬ ãà ¢¥¨ï �¥«ì¬£®«ìæ ¢ ªàã-£¥ íâ® ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì ¡¥áª®¥çãî á¨á⥬㫨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¤«ï ®¯à¥¤¥-«¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ íâ¨å à冷¢.� ¯à¨¬¥à¥ ª®ªà¥â®© ¢ãâ॥© £à ¨ç®©§ ¤ ç¨ ¤«ï ¯àאַ«¨¥©®-ªà㣮¢®© «ã®çª¨ ¯à®-¢¥¤¥ë ç¨á«¥ë¥ à áç¥âë ¯® á奬¥ ¯à¥¤«®¦¥®-£® «£®à¨â¬ ¨ ¯®ª § ¥£® íä䥪⨢®áâì.1. ���������� ��������� ����-�� ��� ������������-����������������ãáâì (x; y) { ¯àאַ㣮«ì ï, (r; �) { ¯®«ïà- ï á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¯«®áª®áâ¨: x= r cos �,y = r sin �, ¯à¨ í⮬ ¤ «¥¥ ¤«ï 㤮¡á⢠¢ à §«¨ç-ëå á¨âã æ¨ïå ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, ç⮠㣮« � ¨§¬¥ï-¥âáï ¢ ¯à¥¤¥« å [0; 2�) «¨¡® j�j��. �«ï § ¤ ëåç¨á¥« a > 0 ¨ b2 (0; a) ®¯à¥¤¥«¨¬ ®¡« áâì
1, ª®â®-à ï ï¥âáï ¯¥à¥á¥ç¥¨¥¬ ªà㣠r<a ¨ ¯®«ã¯«®á-ª®á⨠x>b ¨ ®¡« áâì
2, ïîéãîáï ¯¥à¥á¥ç¥¨-¥¬ ªà㣠r<a á ¯®«ã¯«®áª®áâìî x<b (à¨á. 1). �¡®-§ 稬 ç¥à¥§
0 ®â१®ª x=a, jyj<d=pa2 � b2 ¨¯ãáâì ¤ã£¨
1 : r = a; j�j < �0;
2 : r = a; j�j 2 (�0; �);cos �0 = b=a:� áᬮâਬ ¢
j (¯à¨ 䨪á¨à®¢ ®¬ j = 1 ¨«¨j = 2) ᨬ¬¥âà¨çãî ®â®á¨â¥«ì® ¯¥à¥¬¥®© y£à ¨çãî § ¤ çã�u(x; y) + k2u(x; y) = 0; (x; y) 2
j; (1)u(b; y) = 0; jyj <pa2 � b2; (2)
�¨á. 1. �奬 ¯àאַ«¨¥©®-ªà㣮¢®© «ã®çª¨�uj
j �(�) = f(�): (3)�¤¥áì ¢ á«ãç ¥ ®¡« áâ¨
1 äãªæ¨ï f(�) § ¤ ¨â¥à¢ «¥ j�j < �0, f(�) = f(��), ¯à¨ j = 2áç¨â ¥¬, çâ® f(�) { § ¤ ï, ¤®áâ â®ç® £« ¤ª ïäãªæ¨ï �2 [�0; 2�� �0], ¯à¨ç¥¬ f(���)=f(�++�), �2 (0; ���0).�®ª ¦¥¬, çâ® ¯®áâ஥¨¥ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ (1) {(3) ¤«ï à §ëå ®¡« á⥩
1 ¨
2 ®â«¨ç ¥âáï ¯à¨-樯¨ «ìë¬ ®¡à §®¬.�ãáâì ¨¤¥ªá j=1, â® ¥áâì ª®£¤ ®¡« áâì
=
1 室¨âáï ¢ ¯®«ãªà㣥 r < a, j�j � �=2. � í⮬á«ãç ¥ ¯®áâ஥¨¥ à¥è¥¨ï £à ¨ç®© § ¤ ç¨ (1) {(3) å®à®è® ¨§¢¥áâ®. � ¨¬¥®, ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï⥬, çâ® ¢ ¯®«ïàëå ª®®à¤¨ â å ãà ¢¥¨¥ �¥«ì-¬£®«ìæ ¨¬¥¥â ç áâë¥ à¥è¥¨ï ¢¨¤ U (r; �) = fAJ�(kr) + BN�(kr)g cos(��) (4)¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®¬ ¯ à ¬¥âॠ� � 0 ¨ ¯à®¨§¢®«ì-ëå ¯®áâ®ïëå A, B. �¤¥áì J�, N� { äãª-樨 �¥áá¥«ï ¯¥à¢®£® த ¨ �¥©¬ ᮮ⢥â-á⢥®. � ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯à¥¤¥«ïï § ç¥¨ï ¯ -à ¬¥âà �, ¬®¦® ¯à¨á¯®á®¡¨âì ç áâë¥ à¥è¥-¨ï (4) ª ¯®áâ஥¨î à¥è¥¨ï £à ¨çëå § ¤ 礫ï ãà ¢¥¨ï �¥«ì¬£®«ìæ ¢ à §«¨çëå ®¡« áâïå,¢ ç áâ®áâ¨, ¤«ï ªà¨¢®«¨¥©®£® ¯àאַ㣮«ì¨ª r1<r<r2, �2 (�1; �2).�।áâ ¢¨¬ ®¡« áâì
1 ª ª ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ᥪâ®à S0 : 0<r<a; j�j<�0 ¨ ¯®«ã¯®«®áë P : x>b; jyj<<d. �â® ¢®§¬®¦® ᤥ« âì ¢ ᨫã ⮣®, çâ®
1 -室¨âáï ¢ãâਠ¯®«ãªà㣠. �ਠ¯®áâ஥¨¨ à¥è¥-¨ï £à ¨ç®© § ¤ ç¨ ¤«ï ãà ¢¥¨ï �¥«ì¬£®«ìæ 49
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1998. �®¬ 1, N 2. �. 48 { 56¢ P ¯®¤å®¤ï騬¨ ç áâ묨 à¥è¥¨ï¬¨ ïîâáïäãªæ¨¨ U (x; y) = Ce�p�2�k2x cos(�y) (5)á ¯ à ¬¥â஬ �>0 ¨ ¯®áâ®ï®© C.� ª¨¬ ®¡à §®¬, à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (1) { (3) ¢ á«ãç ¥®¡« áâ¨
1 ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥u = u1 + u2; (6)£¤¥ u1 = 1Xn=1AnJ�n(kr) cos(�n�);u2 = 1Xk=1Bke�p�2k�k2x cos(�ky):�ਠí⮬ ¬®¦® ¢§ïâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨�k = ��0 (k�1=2); �k = �d (k�1=2); k = 1; 2; : : : ;â ª çâ® á¨á⥬ äãªæ¨© fcos(�k�)g ®¡à §ã¥â ®à-⮣® «ìë© ¡ §¨á ¢ ¯à®áâà á⢥ L2[0; �0], á¨á-⥬ fcos(�ky)g ï¥âáï ®à⮣® «ìë¬ ¡ §¨á®¬¢ L2[0; d].�®£¤ ¢ë¯®«¥¨¥ £à ¨çëå ãá«®¢¨© (2), (3)¯à¨¢®¤¨â ª á®®â®è¥¨ï¬1Xn=1AnJ�n(ka) cos(�n�)++ 1Xk=1Bke�p�2k�k2a cos � cos(�ka sin �) = f(�);� 2 (0; �0); (7)1Xn=1AnJ�n(kpa2 + y2) cos(�n arctan(y=b))++ 1Xk=1Bke�p�2k�k2b cos(�ky) = 0;y 2 (0; y0): (8)�ᯮ«ì§ãï ¢ ãà ¢¥¨ïå (7), (8) ®à⮣® «ì®áâìá¨á⥬ äãªæ¨© fcos(�k�)g ¨ fcos(�ky)g ᮮ⢥â-á⢥®, ¥âà㤮 ¯®«ãç¨âì ¡¥áª®¥çãî á¨á⥬ã
«¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©An�0J�n(ka) + 2 1Xk=1Bk �0Z0 e�p�2k�k2a cos ��� cos(�ka sin �) cos(�n�)d� = 2 �0Z0 f(�) cos(�n�)d�;n = 1; 2; : : : ;Bkde�p�2k�k2b + 2 1Xn=1An dZ0 J�n(kpa2 + y2)�� cos(�n arctan(y=b)) cos(�ky)dy = 0;k = 1; 2; : : :�ਠç¨á«¥®¬ à¥è¥¨¨ ¯®«ã祮© á¨áâ¥¬ë «-£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© á«¥¤ã¥â ¯à®¢¥á⨠¤«¥-¦ éãî ®à¬¨à®¢ªã ¥¨§¢¥áâëå ¨, ¯® ¢®§¬®¦®á-â¨, ãáâ ®¢¨âì ¨ ¨á¯®«ì§®¢ âì ®á®¢ ¨¨ ¬¥-⮤ ã«ãç襮© ।ãªæ¨¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ ᢮©-á⢠¥¨§¢¥áâëå ¯à¨ n; k!1 (á¬. ¯®¤à®¡®á⨢ [2]).� á«ãç ¥ j = 2 ®¡« áâì
2 ᮤ¥à¦¨â § ¬ëª -¨¥ ¯®«ãªà㣠r < a, � 2 (�=2; 3�=2), ç⮠ï¥â-áï ¯à¥¯ïâá⢨¥¬ ¤«ï ¥¯®á।á⢥®£® ¨á¯®«ì§®-¢ ¨ï ¬¥â®¤ ç áâ¨çëå ®¡« á⥩, ª ª íâ® ¡ë«®®áãé¥á⢫¥® ¤«ï ®¡« áâ¨
1. �¥«® ¢ ⮬, çâ®á¥ªâ®à S0 㦥 ¥ ®å¢ âë¢ ¥â ®¡« áâì
2, ¯®«ã-¯®«®á jyj<d, x<b ¯¥à¥á¥ª ¥â íâã ®¡« áâì. �®íâ®-¬ã ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢®§¬®¦ë¬ ¢®á¯®«ì§®¢ âì-áï à¥è¥¨ï¬¨ ⨯ u1, u2 ¨§ (6). �஬¥ ⮣®,¯®áª®«ìªã £à ¨ç®¬ ¯àאַ«¨¥©®¬ ®â१ª¥§ ¤ ® ®¤®à®¤®¥ £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ ¤«ï ¯®â¥-æ¨ « , â® ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¯à¨æ¨¯®¬ ®âà ¦¥¨ï¨áª®¬®¥ à¥è¥¨¥ ®âà ¦ ¥âáï â¨á¨¬¬¥âà¨ç묮¡à §®¬ ¢ ®¡« áâì
�2 = f(x; y) : (x� 2b; y) 2
2g (9)ᮣ« á® ¯à ¢¨«ãu(x; y) = �u(x� 2b; y); (x; y) 2
�2: (10)�ਠí⮬ § ¬ëª ¨¥ ®¡ê¥¤¨¥¨© ®¡« á⥩
2 ¨
�2 ᮤ¥à¦¨â ªà㣠r�a ¨ ¯®í⮬ã à¥è¥¨¥ £à ¨ç-®© § ¤ ç¨ (1) { (3), ¢ ç áâ®áâ¨, ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¤®à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (1) ¢ í⮬ ªà㣥.� ª¨¬ ®¡à §®¬, äãªæ¨î u ¬®¦® ¨áª âì ¢ ¢¨¤¥àï¤ u = 1Xn=0 An Jn(kr)Jn(ka) cos(n�);r < a; � 2 [0; 2�); (11)50
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1998. �®¬ 1, N 2. �. 48 { 56£¤¥ Jn(kr) { äãªæ¨¨ �¥áᥫï, An { ¥¨§¢¥áâ-ë¥ ª®íää¨æ¨¥âë (¯à¨ í⮬, ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï,çâ® Jn(ka) 6= 0, n = 0; 1; : : :). �«ï 宦¤¥¨ï ª®-íää¨æ¨¥â®¢ An ¨§ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï (11) ¬ë ¨¬¥¥¬£à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ (3) ¤ã£¥ � 2 (�0; 2�� �0) ¨âॡã¥âáï § âì ¥ª®â®à®¥ ãá«®¢¨¥ ®á⠢襩áï¤ã£¥ j�j<�0. �¤¥ï á®á⮨⠢ ⮬, çâ® íâ® ãá«®¢¨¥¬®¦® ¢§ïâì ¨§ á®®â®è¥¨ï (10) ¨ áä®à¬ã«¨à®-¢ âì ¥£® ¢ â¥à¬¨ å â¥å ¦¥ ¥¨§¢¥áâëå ª®íää¨-樥⮢ An. �¥©áâ¢ãï â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¨ ¨á¯®«ì-§ãï ®à⮣® «ì®áâì âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨å äãª-権 ¢ (11), ¯®«ã稬 ¡¥áª®¥çãî á¨á⥬㠫¨¥©-ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ®â®á¨â¥«ì® ª®-íää¨æ¨¥â®¢ An. �¨¦¥ à áᬮâਬ ॠ«¨§ æ¨îí⮩ ¨¤¥¨.�᫨ â®çª (r; �)2
�2, â® ¥¥ ¯à®®¡à §®¬ ¯à¨ ®â-à ¦¥¨¨ (9) ¡ã¤¥â â®çª á ¯®«ïà묨 ª®®à¤¨ -â ¬¨ (br; b�) â ª¨¬¨, çâ®br sin b� = r sin �;br cos b� = r cos � + 2b:� §à¥è ï í⨠ãà ¢¥¨ï, ¯®«ãç ¥¬,br(r; �) = pr2 � 4rb cos � + 4b2;b�(r; �) = arcsin� r sin �br(r; �)� : (12)� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï £à ¨çëå ¤ ëå äãªæ¨¨ u ¤ã£¥ r = a, �2 (0; �0), ᮣ« á® (10), (11), ¨¬¥¥¬¢ëà ¦¥¨¥u(a cos �; a sin �)=� 1Xn=0An Jn(kr�)Jn(ka) cos(n��);� 2 (0; �0); (13)£¤¥r�(�) = br(a; �) = ap1 + 4 cos2 �0 � 4 cos �0 cos �;��(�) = b�(a; �) = arcsin�a sin �r�(�) � :�®£¤ ¤«ï 宦¤¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå ª®íää¨æ¨¥-⮢ An ¯®«ãç ¥¬ äãªæ¨® «ìë¥ ãà ¢¥¨ï1Xn=0An cos(n�)=f(�); � 2 (�0; �);1Xn=0An cos(n�)=� 1Xn=0An Jn(kr�)Jn(ka) cos(n��);� 2 (0; �0): (14)
�âáî¤ , ¨á¯®«ì§ãï á®®â®è¥¨ï ®à⮣® «ì®áâ¨2� �Z0 cos(n�) cos(m�)d� = �mn[1 + �m0];m; n = 0; 1; : : : ;£¤¥ �mn { ᨬ¢®« �஥ª¥à , ¨¬¥¥¬ á¨á⥬ã ãà ¢-¥¨©(1 + �m0)�Am = 2 �Z�0 f(�) cos(m�)d���2 1Xn=0An �0Z0 Jn(kr�(�))Jn(ka) cos(n��(�))�� cos(m�)d� m = 0; 1; : : : (15)�â ª, ¯®áâ஥¨¥ à¥è¥¨ï £à ¨ç®© § ¤ ç¨(1) { (3) ¢ á«ãç ¥ ®¡« áâ¨
2 ᢮¤¨âáï ª à¥è¥-¨î ¡¥áª®¥ç®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥-᪨å ãà ¢¥¨© ®â®á¨â¥«ì® ¥¨§¢¥áâëå An:Am + 1Xn=0CmnAn = fm; m = 0; 1; : : : ; (16)¢ ª®â®à®© ª®íää¨æ¨¥âë ¨ ¯à ¢ë¥ ç á⨠¨¬¥î⢨¤Cmn = 2(1 + �m0)� �0Z0 Jn(kr�)Jn(ka) cos(n��) cos(m�)d�;m = 0; 1; 2; : : : ;fm = 2(1 + �m0)� �Z�0 f(�) cos(m�)d�;m = 0; 1; : : :�ਠç¨á«¥®© ॠ«¨§ 樨 ¤«ï 宦¤¥¨ï®£à ¨ç¥®£® à¥è¥¨ï ¡¥áª®¥ç®© á¨áâ¥¬ë «¨-¥©ëå ãà ¢¥¨© (16) ¬®¦® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¬¥-⮤®¬ ।ãªæ¨¨. �®«¥¥ íä䥪⨢®¥ à¥è¥¨¥ í⮩á¨áâ¥¬ë ®á®¢ë¢ ¥âáï ¬¥â®¤¥ ã«ãç襮© à¥-¤ãªæ¨¨, ª®£¤ ¢ à áᬮâ२¥ ¢®¢«¥ª ¥âáï ¯à¨-®à®¥ § ¨¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠¥¨§¢¥áâ-®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠An ¯à¨ n!1. � ®¡é¥¬á«ãç ¥ í⨠ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠®¯à¥¤¥«ïîâ-áï â ª¨¬¨ ä ªâ®à ¬¨ ª ª «¨ç¨¥ 㣫®¢ëå â®ç¥ªã à áᬠâਢ ¥¬®© ®¡« áâ¨, ᬥè ë¬ å à ªâ¥-஬ £à ¨çëå ãá«®¢¨© (¥á«¨ â ª®¢ë¥ ¨¬¥îâáï), â ª¦¥ ᢮©á⢠¬¨ £« ¤ª®á⨠£à ¨çëå ¤ ëå.2. ��������������������������-��������� An�ëïᨬ å à ªâ¥à ¯®¢¥¤¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå ª®-íää¨æ¨¥â®¢ An ! 1 á¨á⥬ë (16), ª®â®àë© ¢51
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1998. �®¬ 1, N 2. �. 48 { 56à áᬠâਢ ¥¬®© á¨âã 樨 ®¡ãá«®¢«¥ «¨ç¨¥¬ã£«®¢®© â®çª¨ r = a, � = �0 ¨ ¢®§¬®¦ë¬ à §-à뢮¬ ¢ £à ¨çëå ¤ ëå ¢ í⮩ â®çª¥. �â®â¢®¯à®á ¬®¦® ¨§ãç¨âì ®á®¢ ¨¨ «¨§ à¥-襨© ãà ¢¥¨ï � ¯« á .�०¤¥ ¢á¥£® ®â¬¥â¨¬, çâ® ¬®¤¥«ì ï § ¤ ç ¤«ï ãà ¢¥¨ï � ¯« á ¢ 㣫ã �2 (0; �) (à¨á. 2):�v = 0; � 2 (0; �); r > 0;v(0; r) = 0; v(�; r) = 1 (17)á ãá«®¢¨¥¬ �Z0 �Z0 jv(r; �j2rd�dr <1¤«ï ¥ª®â®à®£® ª®¥ç®£® � >0 (ãá«®¢¨ï ¡¥áª®-¥ç®á⨠¥ ª« ¤ë¢ îâáï) ¤®¯ã᪠¥â ¡¥áª®¥ç-®¥ ç¨á«® à¥è¥¨© [2]:v(r; �) = �� + 1Xk=1 ck��k=� sin(�k�=�) (18)á ¯à®¨§¢®«ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ck (âॡã¥âá﫨èì á室¨¬®áâì àï¤ (18)). �áâ ¢«ïï ¢ í⮬ à¥-襨¨ ¯¥à¢ë¥ ¤¢ á« £ ¥¬ë¥, ¨¬¥¥¬v(r; �) = �� + c1��=� sin(��=�): (19)� ¯®¬®éìî äãªæ¨¨ v ¨§ (19) ¬®¦® ¢ë¤¥«¨â죫 ¢ë¥ ®á®¡¥®á⨠à¥è¥¨ï u £à ¨ç®© § ¤ ç¨(1) { (3) ¨ â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢ëïá¨âì å à ªâ¥à ¯®¢¥-¤¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå An ¨§ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï à¥è¥¨ïu ¢ ¢¨¤¥ (11).�£®« � ¯¥à¥á¥ç¥¨ï ®ªà㦮á⨠r=a ¨ ¯àאַ©x = b, ®¡à §ãîé¨å £à ¨æã à áᬠâਢ ¥¬®© ®¡-« áâ¨
2, ¡ã¤¥â (á¬. à¨á. 1)� = � � �0: (20)
�¨á. 2. �ªà¥áâ®áâì 㣫®¢®© â®çª¨
�ਠí⮬ ¯àï¬ë¥ x= b ¨ �= �0 ¯¥à¥á¥ª îâáï ¯®¤ã£«®¬ �0 = �2 � �0:� ç¨â ¤«ï ¨áª®¬®£® à¥è¥¨ï, ᮣ« á® (19) ¨ ä®à-¬ã«¥ ®âà ¦¥¨ï (10), ¢ á«ãç ¥ f(�0) 6=0 (â. ¥. ª®£¤ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï u ¢ (2), (3) â¥à¯ïâ à §àë¢)¨¬¥¥¬c0 � lim� ! �0� < �0 u(a; �) = � �0� � �0 f(�0): (21)� ª¨¬ ®¡à §®¬, á ãç¥â®¬ (21) ¨ £à ¨ç®£® ãá«®-¢¨ï (3) ¯®«ãç ¥¬, çâ® äãªæ¨ï u ¤®¯ã᪠¥â ¯à¥¤-áâ ¢«¥¨¥ u = v + u0;£¤¥ v, u0 { à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (1) ¢ ªà㣥 r < a;¯à¨ç¥¬ u0 { ¥¯à¥àë¢ ï ¢ § ¬ªã⮬ ªà㣥 r�aäãªæ¨ï, ¤«ï v ¢ë¯®«ïîâáï £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ïvjr=a = c0; � 2 (0; �0); vjr=a = f(�0); � 2 (�0; �):� ª ï £à ¨ç ï § ¤ ç ¤«ï v ¤®¯ã᪠¥â ¥ à¥-襨¥:v(r; �)= 1Xn=0Bn Jn(kr)Jn(ka) cos(n�); r < a; � 2 [0; 2�);�B0 = c0�0 + f(�0)(� � �0);�Bn = 2(c0 � f(�0)) sin(n�0)n : (22)�â ª, ª®íää¨æ¨¥âë An ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨-¤¥ An = Bn +A0n; n = 0; 1; : : : (23)¯à¨ç¥¬, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á® ¢â®àë¬ á« £ ¥¬ë¬ ¢(19) ¨ á®®â®è¥¨¥¬ (20), ¯®¢¥¤¥¨¥ ª®íää¨æ¨¥-⮢ A0n ¡¥áª®¥ç®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãá«®¢¨¥¬1Xn=0A0n cos(n�) � �c1(�0 � �)� ; � ! �0;� = �=(� � �0): (24)�âáî¤ ¨ ¨§ [13] ¯®«ãç ¥¬ ¯à¨ n!1�A0n � �c1 �0Z0 (�0 � �)� cos(n�)d� �� � c1(2�0)� �0Z0 (�20 � �2)� cos n�d� == � c1(2�0)� p�2 �(� + 1)�2�0n ��+1=2J�+1=2(n�0);52
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1998. �®¬ 1, N 2. �. 48 { 56â® ¥áâì�A0n � c 1n�+1=2J�+1=2(n�0); n!1;� = �=(� � �0) = 1 + �0=(� � �0): (25)�ਠí⮬ ª®áâ â c (ª ª ¨ c1 ¢ (24)) ï¥âáï ¥-®¯à¥¤¥«¥®© ¨ ¤®«¦ 室¨âìáï ç¨á«¥® ¢ ¯à®-æ¥áᥠ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ¬¥â®¤ ã«ãç襮© ।ãªæ¨¨¯à¨ à¥è¥¨¨ á¨áâ¥¬ë «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©(16).�஢¥¤¥ë¥ à áᬮâà¥¨ï ¯à¨¬¥¨¬ë ¨ ¢ á«ã-ç ¥, ª®£¤ ¯àאַ«¨¥©®¬ ãç á⪥ £à ¨æ뮡« áâ¨
2 § ¤ ® ¥®¤®à®¤®¥ £à ¨ç®¥ ãá«®-¢¨¥ u(b; y) = g(y); jyj <pa2 � b2;â ª ª ª á ¯®¬®éìî ç á⮣® à¥è¥¨ï ¢á¥£¤ ¬®¦-® ᢥá⨠¥£® ª ®¤®à®¤®¬ã ãá«®¢¨î (3), á ¨§¬¥-¥¨¥¬ £à ¨ç®© äãªæ¨¨ ¤ã£¥
2 (¤«ï í⮣®¬®¦® ¨á¯®«ì§®¢ âì, ¯à¨¬¥à, àï¤ ¨§ ç áâëåà¥è¥¨© ¢¨¤ (5) á § ¬¥®© ¯®ª § ⥫ï íªá¯®¥-âë p�2�k2x �p�2�k2x).�¥â®¤ ®âà ¦¥¨© ¬®¦® ¯à¨¬¥ïâì ¨ ¢ á«ãç ¥,ª®£¤ ¢¬¥áâ® ãá«®¢¨ï (3) à áᬠâਢ ¥âáï ãá«®¢¨¥�¥©¬ @u(x; y)@x ��x=b= g(y); jyj <pa2 � b2: (26)� ¤ ®© á¨âã 樨 á«¥¤ã¥â ᢥá⨠íâ® ãá«®¢¨¥ ª®¤®à®¤®¬ã (¥á«¨ g(y) 6� 0), § ⥬ ¢®á¯®«ì§®-¢ âìáï ¯à¨æ¨¯®¬ ®âà ¦¥¨ï ¢ ä®à¬¥u(x; y) = u(x� 2b; y); (x; y) 2
�2: (27)�⬥⨬, çâ® £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¢ § ¤ ç¥ (1),(2), (26) ®áïâ ᬥè ë© å à ªâ¥à. �®á«¥ ¨á-¯®«ì§®¢ ¨ï ®âà ¦¥¨ï (27) ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ¯à¨-室¨¬ ª § ¤ ç¥ á ¥á¬¥è 묨 £à ¨ç묨 ãá«®-¢¨ï¬¨ ®ªà㦮á⨠r = a. �à㣮© ¯à¨¬¥à ¨á-¯®«ì§®¢ ¨ï ¯à¨æ¨¯ ®âà ¦¥¨ï ç¥à¥§ ®â१®ª¢ á¬¥è ®© £à ¨ç®© § ¤ ç¥ ¤«ï ¯àאַ«¨¥©®-ªà㣮¢®© «ã®çª¨ à áᬠâਢ ¥âáï ¢ á«¥¤ãîé¥¬à §¤¥«¥.3. ��������� ��������� ��������� ������������-�������� ��-������ ®¡« áâ¨
2 à áᬠâਢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥�¥«ì¬£®«ìæ (1) c® ᬥè 묨 £à ¨ç묨 ãá«®-¢¨ï¬¨ u(b; y) = 0; jyj <pa2 � b2; (28)@u@r ��r=a= g(�); � 2 (�0; �): (29)
�ਠí⮬ áç¨â ¥¬, çâ® § ¤ ç ᨬ¬¥âà¨ç ¯®¯¥à¥¬¥®© y. �᫨ ¥¯®á।á⢥® ¨á¯®«ì§®-¢ âì ®âà ¦¥¨¥ (10) ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 £à ¨ç-®¥ ãá«®¢¨¥ (13), â® ¯®«ãç¥ ï ®á®¢ ¨¨ íâ®-£® £à ¨ç ï § ¤ ç ¢ ªà㣥 r < a ®áâ ¥âáï ᬥ-è ®©. �® ¨§¡¥¦ ¨¥ í⮣® ¢¬¥áâ® § ¬ëª îé¥-£® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï (13) á«¥¤ã¥â à áᬮâà¥âìᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ãá«®¢¨¥ ¤«ï ®à¬ «ì®© ¯à®¨§-¢®¤®© ¤ã£¥ j�j< �0. � ¨¬¥®, ¨á¯®«ì§ãï à -¢¥á⢮ @@rfJn(kbr) cos(nb�)g == kJ 0n(kbr) cos(nb�) (r � 2b cos �)br ��Jn(kbr) sin(nb�)2b sin �)br2 ;¯®«ãç ¥¬ ¤«ï à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ (1), (28), (29) ¯à¥¤-áâ ¢«¥¨¥u = 1Xn=0Bn Jn(kr)kJ 0n(ka) cos(n�); r < a; j�j � �;¤«ï ª®â®à®£® á¯à ¢¥¤«¨¢ë á«¥¤ãî騥 äãªæ¨®- «ìë¥ á®®â®è¥¨ï (áà. á (14)) ¯à¨ �2 (�0; �):1Xn=0Bn cos(n�) = g(�);¨ ¯à¨ �2 (0; �0):1Xn=0Bn cos(n�) = 1Xn=0��kr�J 0n(kr�) cos(n��)��(a� 2b cos �) � Jn(kr�) sin(n��)��2b sin ���=�kr�2Jn(ka)�:� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤ «¥¥ ¬®¦¥¬ ¤¥©á⢮¢ âì ª ª ¨ ¢á«ãç ¥ á®®â®è¥¨© (14) ¨ ¯®«ãç¨âì ᮮ⢥âáâ¢ã-îéãî ¡¥áª®¥çãî á¨á⥬㠫£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢-¥¨© ®â®á¨â¥«ì® ª®íää¨æ¨¥â®¢ Bk.4. ������� ��������� ������ ���������������-�������� �������� áᬠâਢ ¥âáï ¢¥èïï £à ¨ç ï § ¤ ç ¤«ïãà ¢¥¨ï �¥«ì¬£®«ìæ �U + k2U = 0; (x; y) 2
ej; (30)£¤¥
ej =R2n
j { ¢¥è®áâì ®¡« áâ¨
j ¨§ à §¤¥-« 1, ¨¤¥ªá j=1; 2. �ਠí⮬ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï53
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1998. �®¬ 1, N 2. �. 48 { 56¨¬¥îâ ¢¨¤ (2), (3) ¨ ¤®¯®«ïîâáï ᮮ⢥âáâ¢ãî-騬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ ¨§«ãç¥¨ï ¡¥áª®¥ç®áâ¨. �¯à¥¤¯®«®¦¥¨¨, çâ® ¢à¥¬¥ ï £ ମ¨ç¥áª ï § -¢¨á¨¬®áâì §¢ãª®¢®£® ¯®«ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¬®¦¨â¥-«¥¬ e�i!t, í⨠ãá«®¢¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤ [6]:r1=2f@U=@r � ikUg = o(1); r!1:� á«ãç ¥ ¢¥è¥© § ¤ ç¨ ®¡« áâ¨
1 ¨
2; ¢á¬ëá«¥ ¯®áâ஥¨ï à¥è¥¨© £à ¨çëå § ¤ ç, ¬¥-ïîâáï ¬¥áâ ¬¨. � ¨¬¥®, ®¡« áâì
e2 ¬®¦®¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ®¡ê¥¤¨¥¨ï ªà㣠r>a ¨ ®¡« -áâ¨
1. �ਠí⮬ ¢¥ ªà㣠¨áª®¬ãî äãªæ¨î U¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ¢ ¢¨¤¥ àï¤ U � ue = 1Xm=0�mH(1)m (kr) cos(m�); r > a; (31) ¢ ®¡« áâ¨
1 ¬®¦® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨¥ U � u ¢ ¢¨¤¥ (6)(á¬. à §¤¥« 1). �ਠí⮬, àï¤ã á £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ (2), (3) ¤«ï ¯®«ã-ç¥¨ï ¡¥áª®¥ç®© á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©®â®á¨â¥«ì® ª®íää¨æ¨¥â®¢ An, Bk, Cm âॡã-¥âáï ᮡ«î¤¥¨¥ ãá«®¢¨© ᮯà殮¨ï ¤ã£¥
2:u = ue; @u@r = @ue@r ; r = a; j�j < �0:� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨¬¥¥¬ äãªæ¨® «ìë¥ ãà ¢¥¨ïu(b; y) = 0; jyj <pa2 � b2; (32)ue = � u(�); j�j < �0;f(�); j�j 2 (�0; �) � ; (33)@u@r = @ue@r ; r = a; j�j < �0: (34)�ਠí⮬, ¤«ï «£¥¡à ¨§ 樨 í⮩ á¨á⥬ë ãà ¢-¥¨© ¨á¯®«ì§ã¥âáï ®à⮣® «ì®áâì ᮮ⢥â-áâ¢ãî饩 âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª®© á¨á⥬ë äãªæ¨©,¢å®¤ï饩 ¢ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ «¥¢ëå ç á⥩ ãà ¢¥¨©¨§ (32) { (34).� áᬮâਬ á«ãç © ®¡« áâ¨
e1 = R2 n
1: �¥®ªà㦮á⨠r=a äãªæ¨î u ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ¢ ¢¨¤¥(31). �®£¤ ¤«ï äãªæ¨¨ u0, ®¯à¥¤¥«¥®© ¨ á®-¢¯ ¤ î饩 á U ¢ ®¡« áâ¨
2, ¨¬¥¥¬ £à ¨çãî§ ¤ çã �u0 + k2u0=0; (
2);u0j
0=0; @u0@r = @ue@r ; r=a; j�j2 (�0; �): (35)� ¬ëª î騥 ãà ¢¥¨ï ä®à¬ã«¨àãîâáï á«¥¤ãî-騬 ®¡à §®¬:uejr=a = � f(�); j�j < �0;u0(�); j�j 2 (�0; �) � : (36)
�áå®¤ï ¨§ (35) ¨ (36), ¬®¦¥¬ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï áå¥-¬®© à áá㦤¥¨© ¨§ à §¤¥« 2 ¨ ¯®«ãç¨âì «£¥-¡à ¨ç¥áªãî á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© ®â®á¨â¥«ì® ¥-¨§¢¥áâëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ïå (6),(31).5. ��������� ����������� áç¥âë ¯à®¢®¤¨«¨áì ¤«ï £à ¨ç®© § ¤ ç¨(1) { (3) ¢ ®¡« áâ¨
2. � ª ç¥á⢥ £à ¨ç®© äãª-樨 ¨§ ãá«®¢¨ï (3) ¡à « áì ¥¤¨¨ç ï äãªæ¨ï:f(�) � 1, � 2 (�0; 2���). � ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à ¢ë¥ç á⨠¨§ á¨á⥬ë (16) ¨¬¥îâ ¢¨¤f0 = (� � �0)=�; fm = sin(m�0)�m ; m � 1:�ਠç¨á«¥ëå à áç¥â å ¤«ï ¥¨§¢¥áâëå ª®-íää¨æ¨¥â®¢ ¨á¯®«ì§®¢ «®áì ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ (á¬.(23)) An = Bn +A0n; n = 0; 1; : : : ; N;An = Bn; n = N + 1; N + 2; : : : ; bN;£¤¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì Bn ®¯à¥¤¥«¥ ᮣ« á®(22), ª®íää¨æ¨¥âë A0n, n = 0; 1; : : :N ïîâ-áï ¥¨§¢¥áâ묨 ¨ 室ïâáï ¨§ à¥è¥¨ï á¨á⥬ë(16).� ë¥ ® â®ç®á⨠¢ë¯®«¥¨ï £à ¨çëå ãá«®-¢¨© (2), (3) ¢ ®â¤¥«ìëå â®çª åu(b; y) = 0; jyj <pa2 � b2;(ujr=a)(�) = 1; � 2 (�0; 2�� �)¤«ï ¢®«®¢ëå ç¨á¥« k = 1 ¨ k = 2, ¯à¨ ª®«¨ç¥-á⢥ ¥¨§¢¥áâëå N = 10 ¨ ãç¥â¥ ᨬ¯â®â¨-ª¨ á bN = 30 ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ â ¡«. 1 ¨ 2. �¨¤®,çâ® § ¨áª«î票¥¬ ®ªà¥áâ®á⨠㣫®¢®© â®çª¨x=0:7, y=0:741 (¢ ¯®«ïàëå ª®®à¤¨ â å íâ® â®ç-ª r = 1, �0=0:7454) £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¢ë¯®«ï-îâáï á â®ç®áâìî ¤® ®¤®£® ¯à®æ¥â (¯® áà ¢-¥¨î á ¥¤¨¨ç®© äãªæ¨¥©, § ¤ ®© ¤ã£¥�2 (�0; 2���0)), ¯à¨ç¥¬ ¯àאַ«¨¥©®¬ ãç á⪥¯®«ãç ¥¬ ä ªâ¨ç¥áª¨ ⮦¤¥á⢥®¥ ᮢ¯ ¤¥¨¥ ᧠¤ ë¬ ®¤®à®¤ë¬ ãá«®¢¨¥¬, ¥á¬®âàï â®,çâ® ¥£® ¢ë¯®«¥¨¥ ¡ë«® § «®¦¥® ¢ á¨á⥬ã ãà ¢-¥¨© ¥ ¯àאַ, ®á®¢¥ ¯à¨æ¨¯ ®âà ¦¥¨ï.�⬥⨬, çâ® ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ ¤«ï ¯®-áâ®ï®© c0 ¨§ (21) ¨¬¥¥¬ § 票¥c0 � �0:34:�ਠí⮬, ¯®áª®«ìªã ¯à¨ ¯®áâ஥¨¨ à¥è¥¨ï u¬ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ àï¤ �ãàì¥ ¯® 㣫®¢®© ¯¥à¥¬¥-®©, £à ¨çë¥ ¤ ë¥ ®ªà㦮á⨠¢ á®-®â®è¥¨ïå (14), ᮣ« á® «¨§ã, ¯à¨¢¥¤¥®-¬ã ¢ à §¤¥«¥ 2, â¥à¯ïâ à §àë¢ (¢ â®çª¥ � = �0),54
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1998. �®¬ 1, N 2. �. 48 { 56� ¡«. 1. k=1, b=a=0:7, N=10, bN = 30.u¯àï¬ { § 票ï u ¯àאַ㣮«ì®¬ ãç á⪥,uªà㣫 { § 票ï u ªà㣫®¬ ãç á⪥x y u¯àï¬ � uªà㣫0:7 0.0000 0.00004 0.7954 0.32530:7 0.0446 0.00004 1.0300 0.96410:7 0.0670 0.00003 1.4523 0.99730:7 0.1238 0.00001 1.6870 1.01430:7 0.1353 -0.00001 2.0154 0.98490:7 0.2183 -0.00002 2.2500 0.99180:7 0.3072 0.00005 2.3908 0.99360:7 0.4054 0.00026 2.8131 0.99080:7 0.5002 0.00042 2.9707 1.00720:7 0.7141 0.32533 3.1416 1.0114� ¡«. 2. k=2, b=a=0:7, N=10, bN=30.u¯àï¬ { § 票ï u ¯àאַ㣮«ì®¬ ãç á⪥,uªà㣫 { § 票ï u ªà㣫®¬ ãç á⪥x y u¯àï¬ � uªà㣫0:7 0.0000 0.00029 0.7954 0.30330:7 0.0446 0.00025 1.0300 0.97150:7 0.0670 0.00020 1.4523 1.99980:7 0.1238 -0.00003 1.6870 1.01430:7 0.1353 -0.00001 2.0154 0.98540:7 0.2183 -0.00013 2.2500 0.99220:7 0.3072 0.00036 2.3908 0.99290:7 0.4054 0.00176 2.8131 0.99120:7 0.5002 0.00261 2.9707 1.00730:7 0.6088 -0.00224 3.0008 0.99540:7 0.7141 0.30333 3.1416 1.0111â®, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ®¡é¥© ⥮ਥ© à冷¢ �ã-àì¥ ¤«ï äãªæ¨¨ u, ¢ëç¨á«¥®© ¥¯®á।á⢥®¢ 㣫®¢®© â®çª¥, á«¥¤ã¥â ®¦¨¤ âì ¢¥«¨ç¨ã, à ¢-ãî (1 + c0)=2 � 0:33. �⮠ᮣ« áã¥âáï á ¤ 묨⠡«¨æ, £¤¥ ¤«ï í⮩ ¢¥«¨ç¨ë ¯®«ã祮 § 票¥,à ¢®¥ 0:303.�«ãç襨¥ ª ç¥á⢠¢ë¯®«¥¨ï £à ¨çëåãá«®¢¨© ¢ ®ªà¥áâ®á⨠㣫®¢®© â®çª¨ § áç¥â 㢥-«¨ç¥¨ï § 票ï bN á 10 ¤® 60 ¨««îáâà¨àã¥âáï¤ ë¬¨ ¨§ â ¡«. 3. �«ï ¤ «ì¥©è¥£® ãáâà ¥-¨ï ¯®£à¥è®á⨠¢ ¢ë¯®«¥¨¨ £à ¨çëå ãá«®-¢¨© ¢ ®ªà¥áâ®á⨠㣫®¢®© â®çª¨ á«¥¤ã¥â 㢥«¨-ç¨âì ç¨á«® ¢®¢«¥ª ¥¬ëå ¢ à¥è¥¨¥ ¥¨§¢¥áâëåA0n, â ª¦¥ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¨ ç¨á«¥®¬ à¥è¥-¨¨ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (16) ¬¥â®¤®¬ ã«ãç襮©à¥¤ãªæ¨¨ ®á®¢ ¨¨ ᨬ¯â®â¨ª¨ (25) (á ¥¨§-¢¥áâë¬ ª®íää¨æ¨¥â®¬ c).�«ï ª®âà®«ï ª¢ ¤à â¨ç®£® ®âª«®¥¨ï ¯à¨-
� ¡«. 3. k=2, b=a=0:7, N=10, bN=60.u¯àï¬ { § 票ï u ¯àאַ㣮«ì®¬ ãç á⪥,uªà㣫 { § 票ï u ªà㣫®¬ ãç á⪥x y u¯àï¬ � uªà㣫0:7 0.0000 0.00029 0.7954 0.30320:7 0.0446 0.00025 0.8892 0.95830:7 0.0670 0.00020 1.0300 1.00450:7 0.1238 -0.00003 1.4523 1.00460:7 0.1353 -0.00003 1.6870 1.01020:7 0.2183 -0.00013 2.0154 1.00390:7 0.3072 0.00036 2.2500 0.99370:7 0.4054 0.00176 2.3908 1.00090:7 0.5002 0.00264 2.8131 1.00420:7 0.6088 -0.00226 2.9070 1.00000:7 0.6595 0.04104 3.0008 0.99600:7 0.7141 0.30315 3.1416 1.0060¡«¨¦¥®£® à¥è¥¨ï ®â â®ç®£® ¨á¯®«ì§®¢ « áì¨â¥£à «ì ï ®æ¥ª � = �1�0 ;£¤¥�21=2a �Z�0 j1�u(a; �)j2d� + 2b �0Z0 ��u� bcos � ; ����2 d�cos2 � ;�20 = 2a(� � �0)(§¤¥áì ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï, çâ® äãªæ¨ï u § ¯¨á ¢ ¯®«ïàëå ª®®à¤¨ â å). � á«ãç ¥ ®â®è¥¨ïb=a = 0:7 ¤«ï k 2 [1; 3] ¡ë«® ¯®«ã祮, çâ® ¯à¨N = 10; bN = 30 ¢¥«¨ç¨ � á®áâ ¢«ï¥â ¯®àï¤-ª 0.03{ 0.04. � «ì¥©è¥¥ 㢥«¨ç¥¨¥ ç¨á« ¥-¨§¢¥áâëå N , â ª¦¥ ç¨á« bN ¥ ¯à¨¢®¤¨â ª § -ç¨â¥«ì®¬ã 㬥ì襨î �. �â® á¢ï§ ® á ®â¬¥-祮© ¥®¡å®¤¨¬®áâìî ¢®¢«¥ç¥¨ï ¢ à áᬮâà¥-¨¥ ᨬ¯â®â¨ª¨ (25).�®«ãç¥ë¥ ç¨á«¥ë¥ ¤ ë¥ ¨««îáâà¨àãî⤮áâ â®çãî íä䥪⨢®áâì ¯à¥¤«®¦¥®£® ¯®¤-室 ª à¥è¥¨î £à ¨ç®© § ¤ ç¨ ¤«ï ãà ¢¥¨ï�¥«ì¬£®«ìæ ¢ ¯àאַ«¨¥©®-ªà㣮¢®© «ã®çª¥.�����������।«®¦¥ ®¢ë© ¯®¤å®¤ ª ¯®áâ஥¨î à¥è¥-¨© £à ¨çëå § ¤ ç ¤«ï ãà ¢¥¨ï �¥«ì¬£®«ìæ ¢ ®¡« áâïå, £à ¨æë ª®â®àëå á®áâ®ïâ ¨§ ¯àאַ-«¨¥©ëå ®â१ª®¢ ¨ ¤ã£ ®ªà㦮á⥩. �ਠí⮬®¢¨§ ¯®¤å®¤ § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ® ® ¥-¯®á।á⢥® ®à¨¥â¨à®¢ ⥠£à ¨çë¥ § -¤ ç¨, ¤«ï ª®â®àëå ¥ 㤠¥âáï ¨á¯®«ì§®¢ âì ¬¥â®¤55
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1998. �®¬ 1, N 2. �. 48 { 56ç áâ¨çëå ®¡« á⥩ ¢ ᢮¥¬ ª« áá¨ç¥áª®¬ ¢ ਠ-â¥. �஬¥ ⮣®, ª ª ¯®ª § ® ¢ áâ âì¥, í⨠¬¥â®-¤ë ¥áâ¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¤®¯®«ïîâ ¤à㣠¤à㣠, ¢§ ¢¨á¨¬®á⨠®â £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å á®®â®è¥¨© à á-ᬠâਢ ¥¬®© ®¡« áâ¨.�।«®¦¥ë© ¬¥â®¤ ®á®¢ ¨á¯®«ì§®¢ -¨¨ ª« áá¨ç¥áª®£® ¯à¨æ¨¯ ®âà ¦¥¨ï à¥è¥¨©ãà ¢¥¨ï �¥«ì¬£®«ìæ ç¥à¥§ ®â१ª¨ â ª¨¬ ®¡à -§®¬, çâ®¡ë ¯à®¤®«¦¨âì ¨áª®¬ë© ¯®â¥æ¨ « ¤® à¥-襨ï ãà ¢¥¨ï �¥«ì¬£®«ìæ ¢ ¥ª®â®à®¬ ªà㣥(®¡« áâì ¯à®¤®«¦¥¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ¨ è¨à¥, 祬ªàã£). �ᮢ ï ¨¤¥ï ¯à ªâ¨ç¥áª®£® ¨á¯®«ì§®¢ -¨ï ¯à¨æ¨¯ ®âà ¦¥¨ï § ª«îç ¥âáï ¢ ä®à¬ã-«¨à®¢ª¥ § ¬ëª î饣® £à ¨ç®£® ãá«®¢¨ï ¥-䨧¨ç¥áª®© ç á⨠£à ¨æë ¯®«ãç î饣®áï ªà㣠, ¨¬¥®, íâ® ãá«®¢¨¥ ä®à¬ã«¨àã¥âáï ¢ â¥à¬¨ å§ ç¥¨© ¨áª®¬®© äãªæ¨¨ ¤ã£¥, «¥¦ 饩 ¢ã-âਠ¨á室®© ®¡« áâ¨. �â® ¯®§¢®«ï¥â áä®à¬¨à®-¢ âì ¡¥áª®¥çãî á¨á⥬㠫¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥á-ª¨å ãà ¢¥¨© ®â®á¨â¥«ì® ¥¨§¢¥áâëå ª®íää¨-樥⮢ à §«®¦¥¨ï à¥è¥¨ï ¢ àï¤ ¯® ç áâë¬ à¥-è¥¨ï¬ ¢ ªà㣥.� áᬮâà¥ë¥ ¢ áâ âì¥ ¯à¨¬¥àë ¢ãâà¥¨å¨ ¢¥è¨å £à ¨çëå § ¤ ç ¤«ï ¯àאַ«¨¥©®-ªà㣮¢®© «ã®çª¨ ¯®ª §ë¢ îâ ¯à¨æ¨¯¨ «ìã§¬®¦®áâì ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ¯à¨æ¨¯ ®âà ¦¥¨ï¤«ï íä䥪⨢®£® ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï £à ¨çëå§ ¤ ç ªãá⨪¨ ¢ ¯«®áª¨å ®¡« áâïå.1. �¨ââà �., �¨ �. � «¨â¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë ⥮ਨ¢®«®¢®¤®¢.{ �.: �¨à, 1974.{ 332 á.
2. �à¨ç¥ª® �. �., �®¢ª �. �. �®«®¢ë¥ § ¤ ç¨à áá¥ï¨ï §¢ãª ã¯àã£¨å ®¡®«®çª å.{ �.: � -ãª. ¤ã¬ª , 1986.{ 286 á.3. �à¨ç¥ª® �. �. � §¢¨â¨¥ ¬¥â®¤ à¥è¥¨ï § -¤ ç ¨§«ãç¥¨ï ¨ à áá¥ï¨ï §¢ãª ¢ ¥ª ®¨ç¥-áª¨å ®¡« áâïå // �̈ ¤à®¬¥å ¨ª .{ 1996.{ �ë¯. 70.{�. 27{40.4. �®¢ª �. �., �à¨ç¥ª® �. �. � à áè¨à¥¨¨ ¢®§-¬®¦®á⥩ ¬¥â®¤ ç áâ¨çëå ®¡« á⥩ ¯à¨¬¥¨-â¥«ì® ª § ¤ ç ¬ ¨§«ãç¥¨ï ¨ à áá¥ï¨ï §¢ãª //�ªãáâ. ¦.{ 1989.{ 35, N 1.{ �. 29{26.5. �®¢ª �. �., �®¬¨«ª® �. �., �®à®¤¥æª ï �. �. �¡®á®¡¥®áâïå ¯à¨¬¥¥¨ï ¬¥â®¤ ç áâ¨çëå ®¡« -á⥩ ¢ ¢®«®¢ëå § ¤ ç å // �ªãáâ. ¦.{ 1995.{ 41,N 3.{ �. 399{404.6. �à ª �., �¨§¥á �. �¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ¨ ¨â¥-£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨.{ �.{�.: ����, 1937.{ 1000 á.7. �¥« �., � ãí �., �¥áâ¯ä «ì �. �¥®à¨ï¤¨äà ªæ¨¨.{ �.: �¨à, 1964.{ 428 á.8. �¥á⮯ « �. �. � §«®¦¥¨¥ ¯® ä㤠¬¥â «ìë¬à¥è¥¨ï¬ í««¨¯â¨ç¥áª¨å ®¯¥à â®à®¢.{ �.: �-⬠⥬ ⨪¨ �� ����, 1968.{ 208 á.9. Colton D. L. A re
ection principle for solutions to theHelmholtz equation and an application to the inversescattering problem // Glasgow Math. J.{ 1977.{ 18.{P. 125{130.10. �îàªç �. �., �â¥à¨ �. �., � â «®¢ �. �.�ᮡ¥®á⨠¯à®¤®«¦¥¨ï ¢®«®¢ëå ¯®«¥© //�á¯¥å¨ ä¨§¨ç¥áª¨å ãª.{ 1996.{ 166, N 12.{�. 1285{1308.11. � ¢¨ �. �., �â¥à¨ �. �., � â «®¢ �. �.� ä®à¬ã«¥ ®âà ¦¥¨ï ¤«ï ãà ¢¥¨ï �¥«ì¬£®«ì-æ // � ¤¨®â¥å¨ª ¨ í«¥ªâநª .{ 1993.{ 38,N 2.{ �. 229{240.12. �à㤨ª®¢ �. �., �àë窮¢ �. �., � à¨ç¥¢ �. �.�â¥£à «ë ¨ àï¤ë. �. 1.{ �.: � 㪠, 1981.{ 800 á.13. �¥©â¬¥ �., �थ©¨ �. �ëá訥 âà á楤¥âë¥äãªæ¨¨. �. 2.{ �.: � 㪠, 1966.{ 295 á.
56
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-855 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:56:16Z |
| publishDate | 1998 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гомилко, А.М. Гринченко, В.Т. Лобова, Е.В. 2008-07-03T10:15:34Z 2008-07-03T10:15:34Z 1998 Принцип отражения в плоских граничных задачах для уравнения Гельмгольца / А. М. Гомилко, В. Т. Гринченко, Е. В. Лобова // Акустичний вісник. — 1998. — Т. 1, N 2. — С. 48-56 — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/855 534 В данной работе рассмотрены возможности использования принципа отражения при построении решений внутренних и внешних граничных задач для уравнения Гельмгольца в плоских областях, границы которых содержат прямолинейные отрезки. Основная идея подхода заключается в том, чтобы пользуясь формулой отражения для решения уравнения Гельмгольца через прямолинейные отрезки границы (при однородных граничных условиях), продолжить искомое решение в такую каноническую область как круг. В этом случае решение граничной задачи выражается через ряды по частным решениям уравнения Гельмгольца в полярных координатах и для определения неизвестных коэффициентов этих рядов возможно получить бесконечную систему линейных алгебраических уравнений. При этом замыкающие уравнения на участках окружности, не являющихся физическими границами исходной области, формулируются исходя из способа отражения искомого решения. Рассмотрены различные примеры граничных задач для уравнения Гельмгольца для прямолинейно-круговой луночки (внутренняя и внешняя задачи). Показано каким образом возможно учесть локальные особенности волнового поля, связанные с угловыми точками рассматриваемой области и смешанным характером граничных условий. Для одной из задач проведены численные расчеты, свидетельствующие об эффективности предложенного подхода. У даній роботі розглянуті можливості використання принципу відображення при побудові розв'язків внутрішніх і зовнішніх граничних задач для рівняння Гельмгольца у плоских областях, межі яких містять прямолінійні відрізки. Основна ідея підходу полягає у тому, щоб користаючись формулою відображення для розв'язку рівняння Гельмгольца через прямолінійні відрізки межі (при однорідних граничних умовах), продовжити шуканий розв'язок у таку канонічну область як коло. У цьому випадку розв'язок граничної задачі виражається через ряди відносно часткових розв'язків рівняння Гельмгольца у полярних координатах і для визначення невідомих коефіцієнтів цих рядів можливо одержати нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь. При цьому замикаючі рівняння на ділянках кола, які не є фізичними границями вихідної області, формулюються виходячи зі способу відображення шуканого розв'язку. Розглянуто різні приклади граничних задач для рівняння Гельмгольца для прямолінійно-круговий луночки (внутрішня і зовнішня задачі). Показано яким образом можливо врахувати локальні особливості хвильового поля, зв'язані з кутовими точками розглянутої області та змішаним характером граничних умов. Для однієї з задач проведені чисельні розрахунки, які свідчать про ефективність запропонованого підходу. ru Інститут гідромеханіки НАН України Принцип отражения в плоских граничных задачах для уравнения Гельмгольца A reflection principle in plane boundary problems for the Helmholtz equation Article published earlier |
| spellingShingle | Принцип отражения в плоских граничных задачах для уравнения Гельмгольца Гомилко, А.М. Гринченко, В.Т. Лобова, Е.В. |
| title | Принцип отражения в плоских граничных задачах для уравнения Гельмгольца |
| title_alt | A reflection principle in plane boundary problems for the Helmholtz equation |
| title_full | Принцип отражения в плоских граничных задачах для уравнения Гельмгольца |
| title_fullStr | Принцип отражения в плоских граничных задачах для уравнения Гельмгольца |
| title_full_unstemmed | Принцип отражения в плоских граничных задачах для уравнения Гельмгольца |
| title_short | Принцип отражения в плоских граничных задачах для уравнения Гельмгольца |
| title_sort | принцип отражения в плоских граничных задачах для уравнения гельмгольца |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/855 |
| work_keys_str_mv | AT gomilkoam principotraženiâvploskihgraničnyhzadačahdlâuravneniâgelʹmgolʹca AT grinčenkovt principotraženiâvploskihgraničnyhzadačahdlâuravneniâgelʹmgolʹca AT lobovaev principotraženiâvploskihgraničnyhzadačahdlâuravneniâgelʹmgolʹca AT gomilkoam areflectionprincipleinplaneboundaryproblemsforthehelmholtzequation AT grinčenkovt areflectionprincipleinplaneboundaryproblemsforthehelmholtzequation AT lobovaev areflectionprincipleinplaneboundaryproblemsforthehelmholtzequation |