Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким аргументом
Saved in:
| Published in: | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85505 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким аргументом / И.Я. Спекторский // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2014. — № 2. — С. 125-140. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860022075283996672 |
|---|---|
| author | Спекторский, И.Я. |
| author_facet | Спекторский, И.Я. |
| citation_txt | Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким аргументом / И.Я. Спекторский // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2014. — № 2. — С. 125-140. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Системні дослідження та інформаційні технології |
| first_indexed | 2025-12-07T16:47:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
И.Я. Спекторский, 2014
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 2 125
УДК 519.6
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ТЕЙЛОРА
С НЕЧЕТКИМ АРГУМЕНТОМ
И.Я. СПЕКТОРСКИЙ
Основным объектом рассмотрения являются функциональные последователь-
ности )(Afn с нечетким числом A в качестве аргумента; предполагается
сходимость )()(lim xfxf n
n
и )()(lim xfxf n
n
равномерно на каждом
интервале внутри Asupp . Также предполагается, что уравнение yxf )( от-
носительно x имеет конечное число решений для каждого y на каждом интер-
вале внутри Asupp . Предложены достаточные условия сходимости )(Afn
в смысле поточечной сходимости последовательности функций принадлежно-
сти :)()( yAf n
доказана сходимость )()(lim )()( yy AfAf
n n
в точках y ,
кроме таких )(xfy , что x — точка разрыва ,)(xA либо .0)( xf Как
частный случай последовательности ,)(Af n рассмотрено обобщение кон-
струкции ряда Тейлора
0
0!
)( )()( 0
)(
i
i
i
xf xxxf
i
для аналитической функции
)(xf на случай нечеткого аргумента Ax . Сходимость ряда рассматривается
в смысле поточечной сходимости последовательности функций принадлежно-
сти частичных сумм ,)()( yAS n
где
n
i
i
i
xf
n xxxS
i
0
0!
)( )()( 0
)(
.
ВВЕДЕНИЕ
Нечеткие числа как частный случай нечетких множеств представляют мощ-
ное средство математического моделирования в условиях неполной инфор-
мации об исходных объектах [1].
Принцип обобщения, сформулированный Л.А. Заде для произвольных
нечетких множеств [1–6], позволяет определить действие произвольной чи-
словой функции конечного числа аргументов на нечеткие числа. В частно-
сти, на случай нечетких чисел можно обобщить стандартные арифметиче-
ские операции «+», «·», «−» и « ⁄».
Особый интерес в настоящее время представляют выпуклые нечеткие
числа (см., напр., [3, 4]), которые во многих случаях наиболее точно соот-
ветствуют классическому действительному числу. С другой стороны, нечет-
кие числа легче анализировать благодаря простой структуре множеств
уровня. Наконец, класс выпуклых нечетких чисел замкнут относительно не-
прерывных функций конечного числа аргументов, в частности — относи-
тельно арифметических операций «+», «−» и «·».
Для нечетких чисел сохраняются законы коммутативности и ассоциа-
тивности операций «+» и «·», однако, в общем случае, не выполняется дист-
рибутивность «·» относительно «+» (подробнее об алгебраических свой-
ствах нечетких числе [3, 4]).
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 2 126
Наличие ассоциативности «+» и «·» позволяет рассматривать степен-
ные ряды с нечетким аргументом, трактуя сходимость конечных сумм ряда
как сходимость последовательности функций принадлежности. В частности,
можно говорить о рядах Тейлора с нечетким аргументом, и о сходимости
такого ряда (в определенном смысле) к значению исходной функции над
заданным нечетким аргументом. Так, в работе [6] рассматриваются ряды
Тейлора с нечетким аргументом с компактным носителем. Сходимость та-
ких рядов в работе [6] трактуется в смысле сходимости множеств уровня
функций принадлежности частичных сумм по метрике Хаусдорфа. Однако
анализ поточечной сходимости последовательности функций принадлежно-
сти в ряде случаев может оказаться существенно проще, чем анализ сходи-
мости соответствующих множеств уровня по метрике Хаусдорфа.
Цель работы — представить достаточные условия сходимости после-
довательности функций с нечетким аргументом в смысле поточечной схо-
димости последовательности функций принадлежности и применить полу-
ченный результат к сходимости частичных сумм ряда Тейлора с нечетким
аргументом.
В п. 1 и 2 данной работы приведены в основном известные сведения из
теории нечетких чисел, необходимые для изложения основного результата.
В п. 3 анализируется возможность предельного перехода в последователь-
ности отображений с нечетким аргументом. В п. 4 рассмотрена сходимость
рядов Тейлора с нечетким аргументом в смысле поточечной сходимости по-
следовательности функций принадлежности частичных сумм.
1. ПОНЯТИЕ НЕЧЕТКОГО ЧИСЛА. ВЫПУКЛЫЕ НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА
Нечеткое число A является частным случаем нечеткого множества и опреде-
ляется своей функцией принадлежности ]1,0[: A . Носителем нечетко-
го числа A называют множество .}0)(:{supp xxA A Для заданного
]1;0( рассматривают множество уровня .})(:{][ xxA A Оче-
видно соотношение .][supp
0
AA Легко понять, что совокупность мно-
жеств уровня однозначно определяет функцию принадлежности A (а зна-
чит, и само нечеткое число A), так как })(:{)( 00
1 xx AA
0
0
][\][
AA для всех 10 0 .
Замечание 1. Представление нечеткого числа через множества уровня
описывает классическая теорема о декомпозиции [3, 6].
Нечеткое число A называют выпуклым, если ))(),((min)( zxy AAA
для любых .zyx Заметим, что выпуклость нечеткого числа не означает
выпуклости функции принадлежности (в смысле классического определения
выпуклости функций, используемого в анализе).
Пример 1. На рис. 1 изображена функция принадлежности выпуклого
нечеткого числа A. При этом ),(xA очевидно, невыпукла.
Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким аргументом
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 2 127
Нечеткое число A называют нормальным, если .1)(max
xA
x
Так, не-
четкое число A из предыдущего примера
(рис. 1) является нормальным. Также нор-
мально нечеткое число с функцией принад-
лежности 1)( x ,)( x однако нечеткое
число с функцией принадлежности 0)( x
)( x не является нормальным. Заметим,
что нормальность и выпуклость иногда тре-
буют при определении нечеткого числа (см.,
напр., [6]).
Выпуклость нечеткого числа непосред-
ственно связана с выпуклостью множеств уровня.
Лемма 1. Нечеткое число A является выпуклым тогда и только тогда,
когда выпуклы все его множества уровня )]1;0(( ][ A .
Доказательство.
1. Пусть A выпукло. Тогда для заданного уровня ]1;0( , заданных
чисел zx )][,( Azx и заданного ],[ zxy имеем:
))(),((min)( zxy AAA .
Таким образом ][Ay , что означает выпуклость множества .][ A
2. Пусть все множества уровня )]1;0(( ][ A выпуклы. Зафиксируем
произвольные zyx и введем ))(),((min zx AA . Очевидно, что
,][ Ax ][Az , и, в силу выпуклости множества ,][ A имеем ][Ay .
Таким образом, ))(),((min)( zxy AAA , что означает выпуклость
нечеткого числа A.
Утверждение леммы полностью доказано. □
Важный класс представляют нечеткие числа с полунепрерывной сверху
функцией принадлежности, где под непрерывностью и полунепрерывно-
стью сверху здесь и далее будет подразумеваться непрерывность (полуне-
прерывность сверху) на . Полунепрерывность функции A , которая оп-
ределяется условием
,)()(limlim
xxxx AnA
n
n
n
(1)
можно охарактеризовать в терминах множеств уровня нечеткого числа A.
Лемма 2. Функция принадлежности нечеткого числа A полунепрерыв-
на сверху тогда и только тогда, когда все множества уровня )]1;0(( ][ A
замкнуты.
Утверждение доказано, например в [7] (в эквивалентной формулировке).
Следствие. Пусть функция принадлежности нечеткого числа A полу-
непрерывна сверху. Тогда компактность множества уровня ][A при
10 эквивалентна ограниченности .][ A
Пример 2. На рис. 2 изображена функция принадлежности выпуклого
нечеткого числа A. Очевидно, )(xA полунепрерывна сверху, и все множе-
)(xA
1
x
0 1 2
Рис. 1. Выпуклое нечеткое чис-
ло с невыпуклой функцией
принадлежности
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 2 128
ства уровня нечеткого числа A замкнуты. Так, множество );5,1[][ 4,0 A
замкнуто.
Пример 3. Рассмотрим нечеткое число A с функцией принадлежности
.)(
2x
A ex Функция )(xA полунепрерывна сверху (и даже непрерывна),
множества уровня ][A ограничены и, в силу следствия из леммы 2, ком-
пактны при любом 10 . Отметим, что носитель Asupp при этом
неограничен.
Заметим, что при определении нечеткого числа, наряду с нормально-
стью и выпуклостью, иногда требуют полунепрерывность сверху для функ-
ции принадлежности (см., напр., [6]).
2. ОТОБРАЖЕНИЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ. СОХРАНЕНИЕ
ВЫПУКЛОСТИ
Пусть nf : — произвольная функция с областью определения
n
fD , 1n , где символы « » и « » здесь и далее будут допускать
равенство множеств. В соответствии с принципом обобщения Заде [1–6],
образ набора нечетких чисел nAAA ,,, 21 при отображении f определяется
как нечеткое число ),,,( 21 nAAAfB с функцией принадлежности
)(yB
.),,(:),,( если,0
;),,(:),,( если)),(,),((minsup
11
111
),,(
:),,(
1
1
1
yxxfDxx
yxxfDxxxx
nfn
nfnnAA
yxxf
Dxx
n
n
fn
(2)
Пример 4. Пусть xxff )( ,: . Тогда, в соответствии с (2), для
произвольного нечеткого числа A получаем функцию принадлежности для
нечеткого числа A : )()( yy AA .)( y
Пример 5. Пусть 2)( ,: xxff . Тогда, в соответствии с (2), для
произвольного нечеткого числа A получаем функцию принадлежности для
нечеткого числа 2A :
.0,0
;0)),(),((max
)(2
y
yyy
y AA
A
1
)(xA
0,3
0,5
–2 –1 0 1 2 3
x
Рис. 2. Нечеткое число с полунепрерывной сверху функцией принадлежности
Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким аргументом
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 2 129
Пример 6. Пусть xxff sin)( ,: . Тогда, в соответствии с (2),
для произвольного нечеткого числа A получаем функцию Asin :
.1,0
;1},:)2(),2(arcsin{sup
)(sin y
ymkmyky
y AA
A
Пример 7. Пусть 2121
2 ),( ,: xxxxff . Тогда, в соответ-
ствии с (2), для произвольных нечетких чисел 21 , AA получаем функцию
принадлежности для нечеткого числа
21 AA : ))(),((minsup)( 21
:),(
21
21
2
21
21
xxy AA
yxx
xx
AA
.
Из примеров 4–7 видно, что при использовании равенства (2) необхо-
димо решать уравнение y,x,xf n )( 1 для каждого y . Если это урав-
нение имеет небольшое число решений (примеры 4 и 5), то равенство (2)
немедленно дает значение )(yB . Но прямое использование равенства (2)
весьма проблематично, если уравнение y,x,xf n )( 1 имеет бесконечно
много решений (примеры 6 и 7), что особенно типично при 2n (при-
мер 7). Приводимая ниже теорема 1 (с предварительной технической лем-
мой) позволяет вычислять множества уровня нечеткого числа B непосредст-
венно по множествам уровня nAAA ,...,, 21 , минуя прямое использование
равенства (2).
Лемма 3. Пусть все множества уровня нечетких чисел nAAA ,...,, 21
компактны, и функция nf : непрерывна на .n Тогда равенство (2)
можно записать в виде
)(yB
.),,(:),,( если,0
;),,(:),,( если)),(,),((minmax
11
111
),,(
:),,(
1
1
1
yxxfxx
yxxfxxxx
n
n
n
n
n
nnAA
yxxf
xx
n
n
n
n
(3)
Доказательство. Необходимо доказать, что супремум в правой части
равенства (2) достигается, и поэтому может быть заменен на максимум.
Пусть 0))(,),((min 11
nAA xx
n
для любого набора n
nxx ),...,( 1 ,
такого, что yxxf n ),,( 1 . Тогда 0)( yB и утверждение леммы справе-
дливо. Аналогично, если yxxf n ),,( 1 для любого набора ),,( 1 nxx
n , также имеем 0)( yB и утверждение леммы справедливо.
Наконец, пусть 0))(,),((min 11
nAA xx
n
и yxxf n ),,( 1 для
некоторого набора .),,( 1
n
nxx Тогда равенство (2) можно записать
в виде
))(,),((minsup)( 1
),,(
:)][][]([),,(
1
1
211
nAA
yxxf
AAAxx
B xxy
n
n
nn
.
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 2 130
Поскольку множество ][][][ 21 nAAA компактно в n ,
а множество }),,(:),,{()( 11
1 yxxfxxyf n
n
n замкнуто в силу
непрерывности f, получаем ограниченность и замкнутость (а значит в си-
лу конечномерности n и компактности) множества ][]([ 21 AA
)()][ 1 yfAn
. Наконец, функция ))(,),((min 11 nAA xx
n
полуне-
прерывна сверху на n и, в силу аналога теоремы Вейерштрасса (см. [7]),
достигает максимума на компакте )()][][]([ 1
21 yfAAA n
. □
Теорема 1. Пусть все множества уровня нечетких чисел nAAA ,,, 21
компактны, и функция nf : непрерывна на n . Тогда для каждого
10 множество уровня ][B равно образу множеств уровня
][,,][,][ 21 nAAA :
),,(:),,()][,,][,]([][ 1121 nnn xxxxfAAAfB
)][][]([ 21 nAAA .
Доказательство.
Зафиксируем .10 Так как условия леммы 3 выполнены, можем
воспользовавшись равенством (3), записать эквивалентность
)][( By
,)][,...,][,]([
.)(
;)(
;),,(
:),,( 21
1
1
1
1
n
nA
A
n
n
n AAAfy
x
x
yxxf
xx
n
что доказывает утверждение теоремы. □
Пример 8. Рассмотрим нечеткие числа 1A и 2A с функциями принад-
лежности
,,0
; ,1
)(
111
111
1
11
11
ax
ax
ax
xA
,,0
;,1
)(
222
222
2
22
22
ax
ax
ax
xA
где ia , 0i ( }2;1{i ). Поскольку все множества уровня 1A и 2A
компактны, а отображение 2121 ),( xxxxf является непрерывным на ,2
для вычисления множеств уровня нечеткого числа 21 AAB можем ис-
пользовать теорему 1. Для 1A и 2A имеем ];[][ iiiii aaA
})2;1{( i , и для B получаем:
])(;)([][][][ 2121212121 aaaaAAB ,
Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким аргументом
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 2 131
где .10 Теперь по виду ][B )10( легко определить функцию
принадлежности нечеткого числа 21 AAB :
.)(,0
;)(,
)(
1
)(
2121
2121
21
21
21
aay
aay
aay
yAA
Графики функций
1A ,
2A и B изображены на рис. 3.
Пример 9. Рассмотрим нечеткие числа 1A и 2A с функциями принад-
лежности
,0,0
;0,
1)(
1
1
1
1
11
x
x
x
x
xA
,0,0
;0,
1)(
2
2
2
21
22
x
x
x
x
xA
соответствующие графики схематически изображены на рис. 4.
Поскольку множества уровня нечетких чисел 1A и 2A неограничены
(а значит, и некомпактны), условия теоремы 1 (как и леммы 3) не выполне-
ны. Применяя формулу 2 (см. также пример 7), получаем:
1
1
,
1
minsup))(),((minsup)(
),0(max
21
:),(
21
21
2
21
21
xy
xy
x
x
xxy
yx
AA
yxx
xx
AA
–2 –1 0 1 2 3
)(xB
21 aa
x
)()( 2121 aa )()( 2121 aa
1
x
11 a11 a
)(
1
xA
0 1 2 3
1
)(
2
xA
22 a 22 a
x
1
0 1
Рис. 3. Нечеткие числа 1A , 2A и 21 AAB : условия теоремы 1 выполнены
)(
2
xA
x
–3 –2 –1 0
)(
1
xA
0 1 2 3
x
Рис. 4. Нечеткие числа 1A и :2A условия теоремы 1 не выполнены
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 2 132
для всех .y Заметим, что равенство, ][][][ 2121 AAAA , посту-
лируемое теоремой 1, выполняется для всех ,)1;0( однако не выпол-
няется для 1 : 121 ][ AA , .][][ 1211 AA
Важным фактом является сохранение свойств выпуклости для нечетких
чисел и полунепрерывности сверху для их функций принадлежности при
непрерывном отображении нечетких чисел. Докажем соответствующую
теорему.
Теорема 2. Пусть nAAA ,,, 21 — произвольные нечеткие числа, функ-
ция nf : непрерывна на nR и ),,,( 21 nAAAfB . Тогда:
если nAAA ,,, 21 выпуклы, то нечеткое число В также выпукло;
если
nAAA ,,,
21
полунепрерывны сверху и все множества
уровня nAAA ,,, 21 ограничены, то B также полунепрерывна сверху.
Доказательство.
1. Пусть нечеткие числа nAAA ,,, 21 выпуклы. Для доказательства
выпуклости B, в силу леммы 1, достаточно доказать выпуклость ][B для
произвольного 10 . Пусть ][Bc , ][Bd . Согласно равенству 2,
для произвольного 0 найдутся такие числа ,][ 11 Aa
][ ,,][ 22 nn AaAa и ][ ,,][,][ 2211 nn AbAbAb , что
caaaf n ),,( 21 , dbbbf n ),,( 21 . В силу выпуклости ,][ 1 A
][ ,,][ 2 nAA имеем: ][))(( kkkk Aaba для любых 10
и nk 1 , и можем ввести ображение ][]1;0[: B , действующее по
правилу ))(,,)(()( 111 nnn abaabaf , где 10 . Поскольку
непрерывна, ,)0( c ,)1( d можем воспользоваться теоремой Коши
о промежуточном значении: для любого ];[ dcy найдется такое ,10 y
что yy )( , т.е. ][By . Таким образом, )(yB , и, в силу про-
извольности 0 , имеем ][By . Выпуклость 10 ][B доказана для
произвольного, что, в силу леммы 1, означает выпуклость B.
2. Пусть функции
nAAA ,,,
21
полунепрерывны сверху. Тогда,
в силу леммы 2, все множества уровня ][,,][,][ 21 nAAA замкнуты для
любого ]1;0( . По теореме 1, для произвольного 10 имеем равенст-
во )][,,][,]([][ 21 nAAAfB , откуда, в силу непрерывности f и ком-
пактности множеств ][,,][,][ 21 nAAA , множество ][B также компакт-
но (а значит и замкнуто). Таким образом, все множества уровня нечеткого
числа B замкнуты, и, в силу леммы 2, функция B полунепрерывна сверху.
Аналог теоремы 1 доказан в [6] для непрерывной унарной функции
)(xf . Сохранение выпуклости при операциях «+», «−» и «·» доказано, на-
пример, в [3].
Пример 10. Рассмотрим нечеткое число A с функцией принадлежности
.||,0
;||,
||
1)(
x
x
x
xA
Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким аргументом
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 2 133
Непосредственно из равенства (2) (см. также пример 5) найдем функцию
принадлежности числа )(2 x
A
:
. или 0,0
;0,1)(
2
2
2
xx
xx
x
A
Графики функций принадлежности )(xA и (схематично) )(2 x
A
при-
ведены на рис. 5.
Отметим, что функция )(2 x
A
полунепрерывна сверху, но не непре-
рывна, при непрерывной функции )(xA и непрерывном отображении
.)( 2xxf
Пример 11. Рассмотрим нечеткое число A с функцией принадлежности
1)( x ( x ). Тогда функция
0,0
;0,1
)(
x
x
xAe
не полунепрерывна
сверху; теорема 2 неприменима, так как множества уровня нечеткого числа
A неограничены.
Замечание 2. Теоремы 1 и 2 легко обобщить на случай, когда функция
f непрерывна на множестве nAAA suppsuppsupp 21 . Так, если нечет-
кие числа 1A и 2A выпуклы, и 2supp0 A , то нечеткое число
2
1
A
A
также вы-
пукло.
Замечание 3. Очевидно, что свойство нормальности сохраняется при
произвольном отображении: если нечеткие числа nAAA ,,, 21 нормальны,
и отображение nf : определено на n , то ),,,( 21 nAAAf также
нормально.
3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЙ НЕЧЕТКИХ ЧИСЕЛ.
ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
Рассмотрим последовательность отображений :nf ( 1n ). Будем
предполагать непрерывную дифференцируемость всех функций nf )1( n
на . Также предполагаем существование пределов )()(lim xfxfn
n
и )()(lim xfxfn
n
для всех x , где :f — функция, непрерывно
1
–1 – 0 1
x
(x) )(2 x
A
1
–1 0 2 1
x
Рис. 5. Нечеткие числа A и 2A
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 2 134
дифференцируемая на . Для выпуклого нечеткого числа A с полунепре-
рывной сверху функцией принадлежности и ограниченными множествами
уровня получаем, в силу теоремы 2, последовательность выпуклых нечетких
чисел nA )1( n , функции принадлежности которых полунепрерывны свер-
ху. Для исследования предельного поведения последовательности функций
nA )1( n нам понадобится техническая лемма.
Лемма 4. Пусть ,ba сходимости )()(lim xfxfn
n
и
)(lim xfn
n
)(xf равномерны на ];[ bax , и существует такое ,0 что
)(xf для всех ];[ bax . Тогда для некоторого 1N множество
Nn
n bafY ]);([ содержит некоторую окрестность точки
2
ba
f , и суще-
ствует последовательность обратных функций ];[:1 baYfn )1( n , при-
чем )()(lim 11 yfyfn
n
для всех .Yy
Доказательство. Будем предполагать, что 0)( xf (случай
0)( xf симметричен и анализируется аналогично). В этом случае
)()()( abafbf и, как следует из теоремы Коши о промежуточном
значении, )]();([]);([ bfafbaf . В силу равномерной на ];[ ba сходимости
)()(lim xfxfn
n
и )()(lim xfxfn
n
найдется такое 1N , что 2
1)( xfn
и )(
3
1
)()( abxfxfn для всех ];[ bax и 1Nn . Таким образом, при
1Nn имеем:
])(
3
1
)(;)(
3
1
)([)]();([ abbfabafbfaf nn ,
,0)(
3
1
))(
3
1
)(())(
3
1
)(( ababafabbf
т.е. ])(
3
1
)(;)(
3
1
)([ abbfabafY . Кроме того,
)(
2
af
ba
f
)(
2
1
ab , )(
2
1
2
)( ab
ba
fbf
, т.е. ;)(
3
1
)([
2
abaf
ba
f
.])(
3
1
)( Yabbf
Существование функций ];[:1 baYfn )1( n следует из теоремы об
обратной функции. Зафиксировав 0 , выберем 1NN так, чтобы при
всех Nn и ];[ bax выполнялись неравенства
2
42
)()(
xfxfn .
Теперь для любых Yy 0 и ,Nn введя ,)( 0
1
0 yfx )( 0
1 yfx nn
и )( 0xfy nn , получаем:
Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким аргументом
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 2 135
),(),(),(),()()( 000000
1
0
1
nnnn yxyxyxyxyfyf
0,00 )(),( yyyxyx nnn ,
причем расстояние )(),( ,00 nn yxyx в 2 можно ограничить длиной кривой
графика )(xfn , соединяющей точки )),((),( 00
1
0 yyfyx nn
и )( ,0 nyx
)),(( 1
nnn yyf :
ny
y
nnn dyyf
dy
dyxyx
0
2
1
,00 )(1)(),(
0202
4141 yyyy nn
.
Таким образом, для Nn окончательно получаем:
,4241)()( 020020
1
0
1
yyyyyyyfyf nnnn
что доказывает сходимость )()(lim 0
1
0
1 yfyfn
n
. □
Для дифференцируемого на отображения :f и нечеткого
числа A введем обозначения:
;}0)(:supp{supp, xfAxX Af
:supp{supp, xAxX AA — точка разрыва функции )}.(xA
Теорема 3. Пусть A — выпуклое нечеткое число, все множества уровня
которого компактны; :nf )1( n — последовательность отображе-
ний, непрерывно дифференцируемых на ;supp A :f — отображе-
ние, непрерывно дифференцируемое на ;supp A для любого Aba supp];[
выполнены условия:
)()(lim xfxfn
n
, причем сходимость равномерна на ];[ ba ;
)()(lim xfxfn
n
, причем сходимость равномерна на ];[ ba ;
для всех y множество })(:];[{];[)(1 yxfbaxbayf ко-
нечно. Тогда )()(lim )()( yy AfAf
n n
для любого AfXfy supp,(\
.)supp, AAX
Доказательство. Зафиксируем произвольные AfXfy supp,0 (\
),supp AAX и 0 . Пусть Ayf supp)( 0
1 ; тогда
0
][)( 0
1
Ayf
для некоторого 10 0 . По условию,
0
][)( 0
1
0 AyfX конечно;
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 2 136
пусть },,,{ 210 kxxxX и
k
j
jj xxX
1
,0 ];[
для .0 Поскольку
)(xA непрерывна в каждой точке 0Xx j , можем выбрать такое 01,0 ,
что 0)( xA и )()( xx AjA для
1,0,0 Xx . Так как )(xf непре-
рывна и 0)( jxf при 0Xx j , можем выбрать такое 02,0 , что
0)( xf для .
2,0,0 Xx
Положим ),(min 2,01,00 , ];[ 00 jjj xxX , )( jj XfY для
0Xx j , и .
1
0
k
j
jYY
Для каждого kj 1 определена обратная функция
j
j XYf
0
,1 : и, в силу леммы 4, существует такие 0YY и ,1N что
для каждого Nn определена j
j
n XYf :,1 , причем Yy 0
и )()(lim ,1,1 yfyf jj
n
n
для всех Yy ; подчеркнем, что jf ,1 и j
nf ,1 —
обратные функции к сужениям f и nf )1( n на jX . Учитывая компакт-
ность
k
j
jj xxAX
1
000 );(\][
~
0
и неравенство 0|)(| 0 yxf для
всех 0
~
Xx , а также равномерную сходимость )()(lim xfxfn
n
на 0
~
X ,
можем выбрать такое NN 1 , что 0|)(| 0 yxfn для всех 0
~
Xx и 1Nn .
Таким образом, каждое уравнение 0)( yxfn относительно x при 1Nn
имеет на
0
][ A ровно k корней: )( 0
,1 yf j
n
)1( kj . Из равенства (2) по-
лучаем:
))((max)( 0
,1
1
0)( yfy j
nA
kj
Afn
при 1Nn ,
))((max)( 0
,1
1
0)( yfy j
A
kj
Af
.
Выбрав такое 12 NN , что 00
,1
0
,1 )()( yfyf jj
n при 2Nn , по-
лучаем оценку )()( 0)(0)( yy AfAfn
для 2Nn , что доказывает схо-
димость )()(lim 0)(0)( yy AfAf
n n
.
.supp)( 0
1 Ayf
Наконец, в случае имеем, очевидно, .0)( 0)( yAf Для произвольного
,10 0 в силу компактности
0
][ A и равномерной сходимости
)()(lim xfxfn
n
на ,][
0A можем выбрать такое ,N что 0|)(| 0 yxfn
для всех
0
][ Ax и .Nn Таким образом,
0
][)( 0
1
Ayfn и, из ра-
Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким аргументом
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 2 137
венства (2), 00)( )( yAfn
при .Nn В силу произвольности 10 0
немедленно получаем, что 0)( 0)( yAfn
при Nn , т.е.
)(lim 0)( yAf
n n
.0)( 0)( yAf
Теорема полностью доказана.□
Пример 12. Рассмотрим нечеткое число A с функцией принадлежности
.||,0
,||,
2
||
1
)(
x
x
x
xA
Рассмотрим последовательность функций
n
xxf
n
n
)1(
)( 2
( 1n ).
Очевидно, 2)()(lim xxfxfn
n
и xxfxfn
n
2)()(lim
равномерно
на ];[supp A . Непосредственно из равенства (2) найдем )(2 x
A
и )()( xAfn
:
,||или0,0
,||,
2
||
1
)(
2
2
xx
x
x
xA
.
)1(
или ,0
;
)1(
(-1),
)1(
1)(
2(-1)
2
2)(
n
xx
n
xn
x
x
n
n
n
n
n
Af
n
n
Графики функций A и (схематично) 2A
и )( Afn
приведены на рис. 6.
Поскольку }0{supp, AfX и },{supp, AAX , теорема 3 гарантирует
сходимость )()(lim )()( xx AfAf
n n
для всех x , кроме 0)0( f
и 2)()( ff . Заметим, что при 0x и 2x предел )(lim )( xAf
n n
не существует.
Рис. 6. Нечеткие числа ,A )(Afn и 2A
)(xA
0,5
)(2 x
A
0,5
)()(2
xAf k
0,5
12
1
k k2
1
k2
12
0,5
12
12
k
)()(12
xAf k
–1 – 0 1
x
20 1
x x x
0 1 0 1
1 1 1 1
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 2 138
4. РЯД ТЕЙЛОРА С НЕЧЕТКИМ АРГУМЕНТОМ: СХОДИМОСТЬ
ЧАСТИЧНЫХ СУММ
Пусть :f — функция, аналитическая на непустом открытом множе-
стве D . Тогда для произвольного Dx 0 получаем разложение
0
0
0
)(
)(
!
)(
)(
i
i
i
xx
i
xf
xf , (4)
причем ряд (4) сходится равномерно на любом интервале .];[ 00 Drxrx
Лемма 5. Пусть c и уравнение cxf )( имеет бесконечно много
корней на Dba ];[ ( ba ). Тогда cxf )( для всех ],[ bax .
Доказательство. В силу компактности ];[ ba , множество корней урав-
нения cxf )( имеет на ];[ ba предельную точку. Теперь, применяя к функ-
ции cxf )( теорему о нулях аналитической функции, получаем:
0)( cxf для всех ],[ bax . □
Пусть
n
i
i
i
n xx
i
xf
xS
0
0
0
)(
)(
!
)(
)( )0( n — частичные суммы ряда
в равенстве 4. Ясно, что равенство 4 означает сходимость )()(lim xfxSn
n
.
Теорема 4. Пусть A — выпуклое нечеткое число, все множества уровня
которого компактны; :f — функция, аналитическая на непустом
открытом .supp AD Тогда )()(lim )()( yy AfAS
n n
для любого \y
)(\ ,supp,supp AAAf XXf .
Доказательство. Заметим, что )()(lim xfxSn
n
и ,)()(lim xfxSn
n
причем обе сходимости равномерны на любом интервале Aba supp];[ .
Пусть для некоторого )(\ supp,supp,0 AAAf XXfy и Aba supp];[ мно-
жество ];[)( 0
1 bayf бесконечно. Тогда, по лемме 5, cxf )( для всех
],[ bax , а в силу единственности аналитического продолжения — для всех
,supp Ax и утверждение теоремы очевидно. Если же множество
];[)( 0
1 bayf конечно для всех )(\ supp,supp,0 AAAf XXfy и ];[ ba
,supp A то выполнены все условия теоремы 3, откуда следует требуемое
равенство )()(lim )()( yy AfAS
n n
.
Теорема полностью доказана. □
Пример 13. Рассмотрим нечеткое число A с функцией принадлежности
,1,0
;1,1
)(
x
xx
xA
и функцию
x
xf
1
1
)( . Непосредственно из равенства (2) найдем
)()( xAf :
Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким аргументом
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 2 139
.
2
1,0
;1,1
;1
2
1,12
)()(
x
x
x
x
x
x
xAf
Графики функций принадлежности )(xA и (схематично) )()( xAf
приведены на рис. 7.
Область аналитичности )(xf включает множество ,)1;1(supp A
и разложение в ряд Тейлора в точке 00 x имеет вид .)(
0
i
ixxf Ряд схо-
дится при 1x , причем сходимость равномерна на любом )1;1(];[ ba .
Частичные суммы
n
i
i
n xxS
0
)( при 1x можно представить в виде
x
x
xS
n
n
1
1
)(
1
. Поскольку )(xA непрерывна на и 0)( xf для
Ax supp (и даже для x ), теорема 4 гарантирует сходимость
)()(lim
1
1)( xx
An AS
n
для любого x . Интересно отметить, что
)(supp]5,0;0( 12 AS k для всех 0k . В таблице приведен ряд значений
)5,0(
nS , демонстрирующий сходимость .0)5,0(lim )(
AS
n n
Т а б л и ц а . Значения )5,0(
nS
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
)5,0(
nS
0,
50
0,
00
0,
35
0,
00
0,
28
0,
00
0,
24
0,
00
0,
20
0,
00
0,
18
0,
00
0,
16
0,
00
0,
15
0,
00
0,
14
0,
00
0,
13
0,
00
ВЫВОДЫ
Для функциональной последовательности )(xfn , сходящейся к )(xf
и нечеткого аргумента A, представлены достаточные условия сходимости
функций )()( xAfn
во всех точках, кроме образов точек разрыва )(xA
и нулей )(xf . Принципиальным условием является конечность числа ре-
Рис. 7. Нечеткие числа A и A1
1
)(xA
x
–1 0 1
1
)(
1
1 x
A
0,5
1
x
0 1
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 2 140
шений уравнения yxf )( относительно x для всех y на любом интер-
вале .supp],[ Aba
Для аналитической функции )(xf представлены достаточные усло-
вия сходимости функций )()( xASn
, где )(xSn — частичные суммы ряда
Тейлора для )(xf . При этом для любой нетривиальной аналитической )(xf
уравнение yxf )( относительно x для всех y на любом интервале
Aba supp],[ всегда имеет лишь конечное число решений.
Темой дальнейшего исследования предполагается возможность вос-
становления )()( xAf для всех x , используя полунепрерывность
)()( xAf сверху.
ЛИТЕРАТУРА
1. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной инфор-
мации. — М.: Наука, 1981. — 208 с.
2. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию
приближенных решений. — М.: Мир, 1976. — 176 с.
3. Mizumoto M., Tanaka K. Algebraic Properties of Fuzzy Numbers // Proceedings of
IEEE International Conference on Cybernetics and Society. — 1976. —
P. 559 – 563.
4. Delgado M., Verdegay J.L., Vila M.A. Fuzzy numbers, definitions and properties //
Mathware & Soft Computing 1. — 1994. — № 1 (1). — Р. 31–43.
5. Dubois D., Prade H. Fuzzy Real Algebra: Some Results // Fuzzy Sets and Sys-
tems. — 1979. — № 4 (2). — Р. 327–348.
6. Inaida J. Taylor Series on the Fuzzy Number Space // Special Issue on Biometrics
And Its Applications. — 2010. — № 16 (1). — Р. 15–25.
7. Кадец В. М. Курс функционального анализа / Х.: Харьковский национальный
университет им. В.Н. Каразина, 2006. — 607 с.
Поступила 30.01.2013
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85505 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1681–6048 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:47:54Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Спекторский, И.Я. 2015-08-06T19:47:21Z 2015-08-06T19:47:21Z 2014 Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким аргументом / И.Я. Спекторский // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2014. — № 2. — С. 125-140. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85505 519.6 ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким аргументом Послідовності функцій та ряди Тейлора з нечітким аргументом The function sequences and Taylor series with a fuzzy argument Article published earlier |
| spellingShingle | Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким аргументом Спекторский, И.Я. Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень |
| title | Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким аргументом |
| title_alt | Послідовності функцій та ряди Тейлора з нечітким аргументом The function sequences and Taylor series with a fuzzy argument |
| title_full | Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким аргументом |
| title_fullStr | Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким аргументом |
| title_full_unstemmed | Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким аргументом |
| title_short | Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким аргументом |
| title_sort | последовательности функций и ряды тейлора с нечетким аргументом |
| topic | Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень |
| topic_facet | Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85505 |
| work_keys_str_mv | AT spektorskiiiâ posledovatelʹnostifunkciiirâdyteilorasnečetkimargumentom AT spektorskiiiâ poslídovnostífunkcíitarâditeiloraznečítkimargumentom AT spektorskiiiâ thefunctionsequencesandtaylorserieswithafuzzyargument |