Справочная матрица слияния потоков в задачах оптимизации упаковок на многопродуктовых сетях
Предложен способ формирования справочной матрицы слияния мелкопартионных дискретных потоков при решении задач оптимизации упаковок в многопродуктовых сетях с ограничениями на время доставки или число слияний потоков. На основании доказанных утверждений разработаны эффективные вычислительные алгоритм...
Saved in:
| Published in: | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85552 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Справочная матрица слияния потоков в задачах оптимизации упаковок на многопродуктовых сетях / В.А. Васянин // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2014. — № 3. — С. 42-49. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859658908139782144 |
|---|---|
| author | Васянин, В.А. |
| author_facet | Васянин, В.А. |
| citation_txt | Справочная матрица слияния потоков в задачах оптимизации упаковок на многопродуктовых сетях / В.А. Васянин // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2014. — № 3. — С. 42-49. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Системні дослідження та інформаційні технології |
| description | Предложен способ формирования справочной матрицы слияния мелкопартионных дискретных потоков при решении задач оптимизации упаковок в многопродуктовых сетях с ограничениями на время доставки или число слияний потоков. На основании доказанных утверждений разработаны эффективные вычислительные алгоритмы для определения узлов слияния и слитых потоков с помощью справочной матрицы для всех корреспондирующихся пар в сети. Алгоритмы могут быть использованы внутри основных схем оптимизации для расчета времени доставки потоков адресату и проверки соответствующих ограничений при решении различных задач оптимизации упаковок на транспортных сетях, а также при проектировании и анализе передачи сообщений в виртуальных контейнерах в перспективных магистральных опорных сетях передачи данных типа Backbone.
Запропоновано спосіб формування довідкової матриці злиття дрібнопартіонних дискретних потоків під час вирішення задач оптимізації упакувань у багатопродуктових мережах з обмеженнями на час доставки або число злиттів потоків. На основі доведених тверджень розроблено ефективні обчислювальні алгоритми для визначення вузлів злиття та злитих потоків за допомогою довідкової матриці для усіх кореспондуючих пар у мережі. Алгоритми можуть бути використані усередині основних схем оптимізації для розрахунку часу доставки потоків адресату й перевірки відповідних обмежень під час вирішення окремих задач оптимізації упакувань на транспортних мережах, а також при проектуванні й аналізі передачі повідомлень у віртуальних контейнерах у перспективних магістральних опорних мережах передачі даних типа Backbone.
The method for computing the help matrix of merging the small packages of discrete flows during solving the optimization of packings problem in multicommodity networks with restrictions on the period of delivery or the number of merges of flows is proposed. On the basis of the proved statements, efficient computing algorithms for determining the nodes of merge and merged flows with the use of the help matrix for all pairs in a network are developed. Algorithms may be used inside the basic optimization schemes for calculating the time of delivery of flows to the destination and checking for the appropriate restrictions during solving the various optimization problems of packings on transport networks, and also during the design and analysis of message transfers in virtual containers in the state-of-the-art trunk data networks such as Backbone.
|
| first_indexed | 2025-11-30T09:23:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
В.А. Васянин, 2014
42 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 3
УДК 519.163
СПРАВОЧНАЯ МАТРИЦА СЛИЯНИЯ ПОТОКОВ
В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ УПАКОВОК
НА МНОГОПРОДУКТОВЫХ СЕТЯХ
В.А. ВАСЯНИН
Предложен способ формирования справочной матрицы слияния мелкопартион-
ных дискретных потоков при решении задач оптимизации упаковок в много-
продуктовых сетях с ограничениями на время доставки или число слияний по-
токов. На основании доказанных утверждений разработаны эффективные
вычислительные алгоритмы для определения узлов слияния и слитых потоков
с помощью справочной матрицы для всех корреспондирующихся пар в сети.
Алгоритмы могут быть использованы внутри основных схем оптимизации для
расчета времени доставки потоков адресату и проверки соответствующих ог-
раничений при решении различных задач оптимизации упаковок на транс-
портных сетях, а также при проектировании и анализе передачи сообщений
в виртуальных контейнерах в перспективных магистральных опорных сетях
передачи данных типа Backbone.
ВВЕДЕНИЕ
Задачи оптимизации упаковок находят широкое применение при проектиро-
вании и анализе функционирования многопродуктовых сетей с мелкопар-
тионными дискретными потоками, передаваемыми по сети в некоторых
транспортных блоках заданного объема [1]. При этом объемы отдельно взя-
тых потоков, выраженные количеством единиц потока из узлов источников
в узлы назначения, значительно меньше объема транспортного блока. Зада-
ча оптимизации упаковок заключается в слиянии (объединении) нескольких
исходящих из каждого узла потоков с разными адресами назначения в об-
щие транспортные блоки. В качестве критерия оптимизации в таких задачах
может быть принят, например, минимум приведенных затрат на передачу
и обработку всех потоков, заданных на сети, а в ограничениях может учиты-
ваться время на доставку потоков адресату, пропускные способности узлов
и ребер сети [2]. При решении задачи некоторые потоки могут несколько
раз сливаться в разных узлах с другими потоками, поэтому необходимо
иметь такую структуру данных, которая позволяла бы эффективно запоми-
нать и определять узлы слияния и слитые потоки для всех корреспонди-
рующихся пар.
Цель работы — выбор структуры данных для представления процесса
слияния и разработка алгоритмов нахождения узлов слияния и слитых потоков.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим содержательную постановку задачи. Пусть задана неориентиро-
ванная сеть ),( PNG с множеством узлов ,N Nn и множеством ребер
Справочная матрица слияния потоков в задачах оптимизации …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 3 43
,P , Pp где n и p соответственно число узлов и ребер сети, а —
знак мощности множества. На сети задана целочисленная матрица потоков
nnijaA
, ,0iia ,,1 ni которые подлежат единовременной передаче
из источников i в стоки ,j .,1, nji Потоки должны передаваться по сети
в транспортных блоках объема ija . При этом предполагается, что
каждый поток может быть упакован в транспортный блок только целиком.
При решении оптимизационной задачи над потоками ija итеративно
выполняются следующие преобразования:
,ijikik aaa ,ijkjkj aaa ,0 , ijij akc (1)
где «» знак операции присваивания; k — узел, через который выполняет-
ся преобразование; ijc — элементы справочной матрицы слияния потоков
nnijcC
, которые определяются так:
. если 0,
, узел в сянаправляет веннонепосредст поток если,
, потоком с сливается поток если,
ji
jai
aak
c ij
ik ij
ij (2)
На различных шагах работы алгоритма оптимизации необходимо (на-
пример, для расчета времени доставки потока адресату) определять после-
довательность )},(),...,,(),,{( 211 jkkkki mij с промежуточными узлами
,},...,,{ 21 mkkk в которых выполняется дополнительная обработка каждого
из потоков ija и их общее число },...,,{ 21 mij kkk . Кроме того, при вы-
боре очередного потока ija для преобразования (1) может потребоваться
нахождение множества других потоков ,}{ *
ija которые уже были слиты
с потоком ija на предыдущих итерациях.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ
Докажем следующие утверждения.
Теорема 1. Для любого }0 { ijijijij cicaa построение матрицы
C в соответствии с (2) позволяет найти последовательность ij и устано-
вить число дополнительных обработок потока ija , где « » — знак конъ-
юнкции (логического «и»).
Доказательство. Для доказательства теоремы сначала покажем, что
определение ij сводится к построению и последующему прохождению
в глубину бинарного дерева с корнем в вершине ),( ji . Для этого рассмот-
рим пример. Пусть поток )9,1( был подвергнут преобразованиям так, как
показано на рис. 1. Тогда элементы матрицы ,C отражающие это преобра-
зование, будут следующими: ,319 c ,213 c ,112 c ,223 c ,839 c
В.А. Васянин
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 3 44
,889 c ,538 c ,435 c ,334 c ,445 c ,658 c ,556 c .668 c Зная
эти элементы, легко построить дерево с корнем в ),9,1( описывающее пре-
образование потока )9,1( (рис. 2). При построении дерева сначала строятся
левые поддеревья до тех пор, пока не будет найден элемент ,icij затем
происходит возврат на уровень выше и строятся правые поддеревья. Для
любого корня правого поддерева процесс построения поддеревьев может
быть продолжен, если для этого корня соответствующий .icij
Лемма. Листья бинарного дерева, построенного прохождением в глу-
бину с использованием элементов матрицы ,C порождают последователь-
ность ij при их просмотре слева направо. Доказательство леммы следует
из правил построения бинарного дерева и того факта, что для каждого листа
дерева соответствующий .icij Последовательность листьев ,
1ikc ,,
21
kkc
mm kkc
1
, jkm
c дает искомую последовательность ),,(),,{( 211 kkkiij
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Рис. 1. Пример преобразования потока )9,1(
3
(1,3) (3,9)
(1,9)
(3,8)
2 8
(8,9) (2,3) (1,2)
5
(5,8) (3,5)
4 6
(3,4) (4,5) (5,6) (6,8)
Уровень 1
Уровень 2
Уровень 3
Уровень 4
Уровень 0
Рис. 2. Дерево преобразования потока )9,1(
Справочная матрица слияния потоков в задачах оптимизации …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 3 45
)},(, jkm . Для примера на рис. 1 такая последовательность будет сле-
дующей:
)}9,8(),8,6(),6,5(),5,4(),4,3(),3,2(),2,1{(19 .
Утверждение леммы позволяет построить эффективный алгоритм по-
строения и прохождения бинарного дерева, в котором поддеревья генери-
руются в порядке их просмотра. Пусть )(St — стек, обслуживаемый по
правилу «последний пришел–первый вышел», где — указатель текущего
размещения стека; )(mF — вектор, в котором формируется последователь-
ность узлов },,...,,,{ 21 jkkki m ; « » — знак дизъюнкции (логического «или»).
Алгоритм 1.
1. 1m ; imF )( .
2. 1 ; jSt )( .
3. ik ; jl .
4. Если )0)10(( klklkl aakc , то выполнить 5–7, иначе
перейти к 8.
5. 1 .
6. klcSt )( .
7. klcl ; перейти к 4.
8. 1 mm .
9. lmF )( .
10. Если 1 , то перейти к 11, иначе к 14.
11. )(Stk .
12. )1( Stl .
13. ,1 перейти к 4.
14. 2 mij .
15. Стоп.
В строке 4 алгоритма 1 дополнительные условия )10(( kla
)0 kla введены для ограничения роста бинарного дерева в случае, если
для вновь найденного подкорня ),( lk соответствующий .0kla
После работы алгоритма значение ij равно числу транзитных узлов от
i до ,j в которых выполняется дополнительная обработка потока ija .
Вернемся к доказательству теоремы. Для этого рассмотрим связь фор-
мирования матрицы C с преобразованием потоковой матрицы A . Преобра-
зование любого потока ija заключается в выполнении действий (1). По-
скольку дробление потока запрещено, потоки )( ijik aa и )( ijkj aa можно
рассматривать как единые потоки, возникшие соответственно в узлах i , k
и адресованные в узлы k и .j Применяя операцию (1) для потоков ika и kja
получим новое разбиение, для которого также можно выполнить преобразо-
вание. По индукции легко показать, что во всех последующих разбиениях
учитывается первоначальный поток ija . Для любого потока, подвергнутого
В.А. Васянин
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 3 46
преобразованию, значение ikcij и указывает узел, в котором поток ija
первый раз был соединен с потоками ika и kja . Из леммы следует, что для
получения первого узла, в котором выполняется дополнительная обработка
потока ija , необходимо полностью построить каждое левое поддерево, ис-
пользуя в качестве корня дерева элемент ijc . Восстановление всех остальных
промежуточных узлов, в которых обрабатывается поток ,ija осуществляется
алгоритмом 1 при прохождении всего дерева, что и доказывает теорему.
При работе со справочной матрицей слияния потоков в основном алго-
ритме оптимизации при выборе очередного потока ija для преобразования
(1) может потребоваться нахождение множества других потоков },{ *
ija ко-
торые уже были слиты с потоком ija на предыдущих итерациях, так как
преобразование ija приводит к увеличению времени доставки потока адре-
сату не только для ija , но и для множества .}{ *
ija Оказывается, что для оп-
ределения множества }{ *
ija для любого ija , достаточно воспользоваться
справочной матрицей ,C формируемой согласно (2).
Теорема 2. Для любого потока ija , над которым выполняется преобра-
зование (1), множество }{ *
ija может быть определено из справочной матри-
цы .C
Доказательство. Покажем, что задача определения }{ *
ija эквивалентна
построению некоторого дерева поиска и прохождению его снизу вверх.
Прежде всего, отметим, что поток ija может быть представлен в дереве по-
иска самым нижним подкорнем ),( ji с двумя листьями: левым — ),( ki
и правым — ,),( jk где k — узел, через который выполняется преобразова-
ние потока ija . Рассмотрим далее, какие потоки образуют множество }.{ *
ija
Из построения C ясно, что для первых потоков, охватывающих ija , будут
выполняться условия:
nic j ,1 , , (3)
njci ,1 , , (4)
причем (3) означает охват слева, а (4) — охват справа. Для дерева поиска
выполнение (3) означает, что для ija найден левый подкорень, находящийся
на уровень выше, а выполнение (4) — что найден правый верхний подко-
рень. Поскольку в (3) и (4) n,1 , то может найтись несколько левых
и правых подкорней, находящихся на одном уровне дерева. Это говорит
о том, что дерево, которое строится, не является бинарным. Для каждого
вновь полученного подкорня процесс построения новых подкорней продол-
жается до тех пор, пока будут выполняться условия (3) или (4).
Справочная матрица слияния потоков в задачах оптимизации …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 3 47
Заметим, что число дополнительных обработок, определяющее время
ijt доставки любого потока, представленного подкорнем в дереве поиска,
может быть получено с использованием процедуры построения и прохож-
дения бинарного дерева в глубину, приведенной при доказательстве теоре-
мы 1. Таким образом, как только найден очередной подкорень ),,( lk для
него необходимо построить бинарное дерево, определяющее последова-
тельность kl , исходя из которой для соответствующего потока kla может
быть рассчитано время доставки.
На рис. 3 показан пример дерева поиска для определения потоков, ох-
ватывающих поток 58a , который преобразовывается через узел 6 (дерево
построено на сети, изображенной на рис. 1). Как видно из рис. 3, для под-
корня )8,5( найдены подкорни: ,)8,3( ,)9,3( .)9,1( Соответствующие им по-
следовательности 38 , 39 и 19 строятся прохождением бинарного дере-
ва в глубину:
)}8,6(),6,5(),5,4(),4,3{(38 , )}9,8(,{ 3839 , }.),3,2(),2,1{( 3919
Приведем рекурсивную процедуру, осуществляющую построение де-
рева исчерпывающего поиска для определения множества .}{ *
ija
(1,9)
1 9
(нет,9)
(3,9)
3 9
(1,3) (нет,8)
2 3 8
(1,2)
5 8
4
(3,5) (5,8)
6
(1,нет)
(3,нет)
(2,3) (3,8) (8,9) (5,нет)
(3,4) (4,5) (5,6) (6,8)
Рис. 3. Дерево поиска потоков, слитых с потоком )8,5(
В.А. Васянин
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 3 48
Алгоритм 2.
1. ВХОД ),( ji рекурсивный.
2. ,ik jl .
3. Для } ,1 { n выполнить 4–14.
4. Если ,0 ll akc то перейти к 5, иначе к 9.
5. lijij aaa }{}{ ** . Используя алгоритм 1 определить l и .l
6. Рассчитать lt .
7. Если )( glll Tt , то .1
8. Вызвать ВХОД ).,( l
9. Если ,0 kk alc то перейти к 10, иначе к 14.
10. kijij aaa }{}{ ** . Используя алгоритм 1 определить k и . k
11. Рассчитать .kt
12. Если ,)( gkkk Tt то .1
13. Вызвать ВХОД .),( k
14. Перейти к 3.
15. ВЫХОД.
В строках 4 и 9 введены дополнительные условия 0la и 0ka для
случая, когда в матрице C имеются элементы ,kcij ,jk а соответ-
ствующие им потоки ,0ija что может привести к зацикливанию алгоритма.
В приведенном алгоритме: ,k ,l — рекурсивные переменные, для
которых организовываются поколения данных при каждом новом вхожде-
нии в процедуру; « » — знак объединения множеств; ijt — расчетное вре-
мя доставки потоков адресату; ij — определяет число промежуточных уз-
лов, в которых выполняется дополнительная обработка соответствующего
потока; g — допустимое число дополнительных обработок; — признак
нарушения ограничений на заданное время доставки ijT или число дополни-
тельных обработок потока .g Значение указывает число таких нару-
шений.
Анализ алгоритма 2 делает прозрачным доказательство теоремы (кото-
рое легко провести по индукции), поскольку на всех уровнях рекурсии и для
каждого вновь найденного подкорня выполняется исчерпывающий поиск
новых подкорней, для которых справедливо (3) или (4). Это означает, что
для любого потока ija алгоритм 2 корректно строит множество потоков
}{ *
ija , которые были слиты с потоком ija на предыдущих итерациях основ-
ного алгоритма оптимизации упаковок в многопродуктовой сети [2, 3].
Справочная матрица слияния потоков в задачах оптимизации …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 3 49
ВЫВОДЫ
На основании доказанных утверждений предложены способ построения
справочной матрицы слияния потоков и эффективные алгоритмы, позво-
ляющие определять узлы слияния и слитые потоки для всех корреспонди-
рующихся пар в многопродуктовой сети с дискретными мелкопартионными
потоками.
Разработанные алгоритмы могут быть использованы при решении раз-
личных задач оптимизации упаковок на транспортных сетях с мелкопар-
тионными потоками грузов, а также при проектировании и анализе переда-
чи пакетов сообщений в виртуальных контейнерах в перспективных
крупномасштабных общенациональных и интернациональных сетях на ос-
нове сверхширокополосных каналов связи и схем типа опорной сети
(например, в таких, как Европейская опорная сеть E – bone).
ЛИТЕРАТУРА
1. Васянин В.А., Трофимчук А.Н. Задача выбора иерархической структуры много-
продуктовой коммуникационной сети с мелкопартионными дискретными
потоками // Екологічна безпека та природокористування: Зб. наук. праць. —
Київ, 2012. — Вип. 10. — С. 182–204.
2. Васянин В.А. Об одной задаче дискретной оптимизации в процессах управле-
ния перевозками на мультипотоковых транспортных сетях // Кибернетика
и вычислит. техника. — 1983. — Вып. 60. — С. 82–87.
3. Васянин В.А. Сравнительная эффективность алгоритмов оптимизации
упаковок в мультипотоковых сетях // Дискретные системы управления:
Сб. науч. тр. — Киев: Ин-т кибернетики им В.М. Глушкова АН УССР,
1988. — С. 36–45.
Поступила 19.07.2013
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85552 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1681–6048 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T09:23:06Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Васянин, В.А. 2015-08-07T12:19:07Z 2015-08-07T12:19:07Z 2014 Справочная матрица слияния потоков в задачах оптимизации упаковок на многопродуктовых сетях / В.А. Васянин // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2014. — № 3. — С. 42-49. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85552 519.163 Предложен способ формирования справочной матрицы слияния мелкопартионных дискретных потоков при решении задач оптимизации упаковок в многопродуктовых сетях с ограничениями на время доставки или число слияний потоков. На основании доказанных утверждений разработаны эффективные вычислительные алгоритмы для определения узлов слияния и слитых потоков с помощью справочной матрицы для всех корреспондирующихся пар в сети. Алгоритмы могут быть использованы внутри основных схем оптимизации для расчета времени доставки потоков адресату и проверки соответствующих ограничений при решении различных задач оптимизации упаковок на транспортных сетях, а также при проектировании и анализе передачи сообщений в виртуальных контейнерах в перспективных магистральных опорных сетях передачи данных типа Backbone. Запропоновано спосіб формування довідкової матриці злиття дрібнопартіонних дискретних потоків під час вирішення задач оптимізації упакувань у багатопродуктових мережах з обмеженнями на час доставки або число злиттів потоків. На основі доведених тверджень розроблено ефективні обчислювальні алгоритми для визначення вузлів злиття та злитих потоків за допомогою довідкової матриці для усіх кореспондуючих пар у мережі. Алгоритми можуть бути використані усередині основних схем оптимізації для розрахунку часу доставки потоків адресату й перевірки відповідних обмежень під час вирішення окремих задач оптимізації упакувань на транспортних мережах, а також при проектуванні й аналізі передачі повідомлень у віртуальних контейнерах у перспективних магістральних опорних мережах передачі даних типа Backbone. The method for computing the help matrix of merging the small packages of discrete flows during solving the optimization of packings problem in multicommodity networks with restrictions on the period of delivery or the number of merges of flows is proposed. On the basis of the proved statements, efficient computing algorithms for determining the nodes of merge and merged flows with the use of the help matrix for all pairs in a network are developed. Algorithms may be used inside the basic optimization schemes for calculating the time of delivery of flows to the destination and checking for the appropriate restrictions during solving the various optimization problems of packings on transport networks, and also during the design and analysis of message transfers in virtual containers in the state-of-the-art trunk data networks such as Backbone. ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Справочная матрица слияния потоков в задачах оптимизации упаковок на многопродуктовых сетях Довідкова матриця злиття потоків у задачах оптимізації упакувань на багатопродуктових мережах A help matrix of the merge flows in optimization problems of packings on multicommodity networks Article published earlier |
| spellingShingle | Справочная матрица слияния потоков в задачах оптимизации упаковок на многопродуктовых сетях Васянин, В.А. Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах |
| title | Справочная матрица слияния потоков в задачах оптимизации упаковок на многопродуктовых сетях |
| title_alt | Довідкова матриця злиття потоків у задачах оптимізації упакувань на багатопродуктових мережах A help matrix of the merge flows in optimization problems of packings on multicommodity networks |
| title_full | Справочная матрица слияния потоков в задачах оптимизации упаковок на многопродуктовых сетях |
| title_fullStr | Справочная матрица слияния потоков в задачах оптимизации упаковок на многопродуктовых сетях |
| title_full_unstemmed | Справочная матрица слияния потоков в задачах оптимизации упаковок на многопродуктовых сетях |
| title_short | Справочная матрица слияния потоков в задачах оптимизации упаковок на многопродуктовых сетях |
| title_sort | справочная матрица слияния потоков в задачах оптимизации упаковок на многопродуктовых сетях |
| topic | Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах |
| topic_facet | Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85552 |
| work_keys_str_mv | AT vasâninva spravočnaâmatricasliâniâpotokovvzadačahoptimizaciiupakovoknamnogoproduktovyhsetâh AT vasâninva dovídkovamatricâzlittâpotokívuzadačahoptimízacííupakuvanʹnabagatoproduktovihmerežah AT vasâninva ahelpmatrixofthemergeflowsinoptimizationproblemsofpackingsonmulticommoditynetworks |