Эллиптические системы в расширенной соболевской шкале
Эллиптические по Дуглису–Ниренбергу системы дифференциальных уравнений на замкнутом многообразии исследованы в расширенной соболевской шкале. Она состоит из всех гильбертовых пространств, интерполяционных относительно гильбертовой соболевской шкалы. Установлены теоремы о разрешимости эллиптических с...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85591 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Эллиптические системы в расширенной соболевской шкале / Т.Н. Зинченко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 3. — С. 14–20. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860013625956106240 |
|---|---|
| author | Зинченко, Т.Н. |
| author_facet | Зинченко, Т.Н. |
| citation_txt | Эллиптические системы в расширенной соболевской шкале / Т.Н. Зинченко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 3. — С. 14–20. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Эллиптические по Дуглису–Ниренбергу системы дифференциальных уравнений на замкнутом многообразии исследованы в расширенной соболевской шкале. Она состоит из всех гильбертовых пространств, интерполяционных относительно гильбертовой соболевской шкалы. Установлены теоремы о разрешимости эллиптических систем в расширенной соболевской шкале. Получена априорная оценка решений и исследована их локальная регулярность.
Елiптичнi за Дуглiсом–Нiренбергом системи диференцiальних рiвнянь на замкненому гладкому многовидi дослiдженi в розширенiй соболєвськiй шкалi. Вона складається з усiх гiльбертових просторiв, iнтерполяцiйних вiдносно гiльбертової соболєвської шкали. Встановлено теорему про розв’язнiсть елiптичних систем в розширенiй соболєвськiй шкалi. Отримано
апрiорну оцiнку розв’язкiв та дослiджено їх локальну регулярнiсть.
The Douglis–Nirenberg elliptic systems of differential equations given on a closed smooth manifold
are investigated in the extended Sobolev scale. This scale consists of all Hilbert spaces that are
interpolation spaces with respect to the Hilbert Sobolev scale. Theorems on solvability of the elliptic
systems in the extended Sobolev scale are given. An a priori estimate for solutions is obtained, and
their regularity is studied.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:43:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.222
Т.Н. Зинченко
Эллиптические системы в расширенной соболевской
шкале
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины М.Л. Горбачуком)
Эллиптические по Дуглису–Ниренбергу системы дифференциальных уравнений на замк-
нутом многообразии исследованы в расширенной соболевской шкале. Она состоит из
всех гильбертовых пространств, интерполяционных относительно гильбертовой собо-
левской шкалы. Установлены теоремы о разрешимости эллиптических систем в рас-
ширенной соболевской шкале. Получена априорная оценка решений и исследована их ло-
кальная регулярность.
Пространства Соболева играют фундаментальную роль в теории эллиптических дифферен-
циальных уравнений. Линейные эллиптические операторы обладают рядом характерных
свойств в шкалах изотропных соболевских пространств: нетеровость, априорные оценки
решений, локальное повышение гладкости решений. Эти свойства имеют важные прило-
жения, причем наиболее содержательные результаты получаются в случае гильбертовой
шкалы (см., например, [1, 2]).
В этой связи несомненный интерес представляют гильбертовы функциональные про-
странства, интерполяционные относительно гильбертовой соболевской шкалы. Поскольку
при интерполяции наследуется ограниченность линейных операторов, а также их нетеро-
вость, то шкалы этих пространств служат эффективным инструментом для исследования
эллиптических операторов. Класс всех таких интерполяционных пространств — расширен-
ная соболевская шкала — конструктивно описан и изучен в [3, 4 (п. 2.4)]. Он образован
пространствами Хермандера [5, с. 54], в которых показателем гладкости служит произволь-
ная радиальная функция, RO-меняющаяся на +∞.
В настоящей работе исследованы эллиптические по Дуглису–Ниренбергу системы ли-
нейных дифференциальных уравнений в расширенной соболевской шкале на замкнутом
гладком многообразии. Установлены теоремы о разрешимости эллиптических систем и
о свойствах их решений в этой шкале.
Равномерно эллиптические системы в расширенной соболевской шкале на R
n изучены
ранее в [6, 7]. Для более узкого класса пространств Хермандера (уточненная соболевская
шкала) теория эллиптических операторов изложена в [4, 8]. Отметим, что в последнее время
пространства Хермандера и их различные аналоги, именуемые пространствами обобщенной
гладкости, вызывают значительный интерес с точки зрения приложений [9–12].
1. Постановка задачи. Пусть Γ — бесконечно гладкое замкнутое (т. е. компактное
и без края) многообразие размерности n > 1. Предполагается, что на Γ задана некоторая
C∞-плотность dx. Комплексные линейные топологические пространства C∞(Γ) основных
функций и D′(Γ) обобщенных функций (распределений) на Γ рассматриваются как взаимно
антидвойственные относительно расширения по непрерывности скалярного произведения
в гильбертовом пространстве L2(Γ, dx). Это расширение обозначаем через (h, ω)Γ, где h ∈
∈ D′(Γ) и ω ∈ C∞(Γ). Отметим, что в работе функции и распределения предполагаются
комплекснозначными, причем последние трактуются как антилинейные функционалы.
© Т.Н. Зинченко, 2013
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №3
На многообразии Γ рассматривается система p линейных дифференциальных уравнений
p∑
k=1
Aj,kuk = fj, j = 1, . . . , p. (1)
Здесь Aj,k, где j, k = 1, . . . , p, — скалярные линейные дифференциальные операторы на Γ
с коэффициентами класса C∞(Γ). Соотношения (1) понимаются как равенства распреде-
лений на Γ.
Запишем систему (1) в матричной форме: Au = f , где A := (Aj,k)
p
j,k=1 — матричный
дифференциальный оператор, а u := col(u1, . . . , up) и f := col(f1, . . . , fp) — функциональные
столбцы, принадлежащие (D′(Γ))p.
Предполагается, что система (1) эллиптическая на Γ по Дуглису–Ниренбергу [1, с. 51],
т. е. существуют целые числа l1, . . . , lp и m1, . . . ,mp такие, что:
i) ordAj,k 6 lj +mk для всех j, k = 1, . . . , p (если lj +mk < 0, то Aj,k ≡ 0);
ii) det(a
(0)
j,k(x, ξ))
p
j,k=1 6= 0 для произвольных точки x ∈ Γ и ковектора ξ ∈ T ∗
xΓ \ {0}.
Здесь a
(0)
j,k(x, ξ) — главный символ дифференциального оператора Aj,k в случае ordAj,k =
= lj+mk, либо a
(0)
j,k(x, ξ) ≡ 0 в противном случае. (Как обычно, T ∗
xΓ обозначает кокасатель-
ное пространство к многообразию Γ в точке x).
Отметим, что числа lj и mk, где j, k = 1, . . . , p, можно выбрать так, чтобы все lj 6
6 0 (даже max{l1, . . . , lp} = 0) и все mk > 0. Если все lj = 0, то система (1) называется
эллиптической по Петровскому.
Введем функциональные пространства, в которых исследуется система (1). Они пара-
метризованы функциональным параметром ϕ ∈ RO, где RO — множество всех измеримых
по Борелю функций ϕ : [1,∞) → (0,∞), для которых существуют числа α > 1 и c > 1
такие, что c−1 6 ϕ(λt)/ϕ(t) 6 c для любых t > 1 и λ ∈ [1, α] (постоянные α и c зависят
от ϕ ∈ RO). Такие функции называют RO(или OR)-меняющимися на бесконечности. Класс
RO-меняющихся функций введен В. Г. Авакумовичем в 1936 г. и достаточно полно изучен
(см. [13 (прил. 1), 14 (п. 2.0–2.2)]).
Определим необходимые нам функциональные пространства сначала на R
n, а потом на
многообразии Γ; при этом мы следуем [4, п. 2.4.2].
Пусть ϕ ∈ RO. Линейное пространство Hϕ(Rn) состоит из всех медленно растущих
распределений w в R
n таких, что их преобразование Фурье ŵ локально суммируемо по
Лебегу в R
n и удовлетворяет условию
∫
Rn
ϕ2(〈ξ〉) |ŵ(ξ)|2dξ <∞.
Здесь 〈ξ〉 := (1 + |ξ|2)1/2 — сглаженный модуль вектора ξ ∈ R
n. В пространстве Hϕ(Rn)
определено скалярное произведение распределений w1 и w2 по формуле
(w1, w2)Hϕ(Rn) :=
∫
Rn
ϕ2(〈ξ〉)ŵ1(ξ)ŵ2(ξ) dξ.
Оно задает на Hϕ(Rn) структуру гильбертова пространства и определяет норму
‖w‖Hϕ(Rn) := (w,w)
1/2
Hϕ(Rn).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №3 15
Пространство Hϕ(Rn) — гильбертов изотропный случай пространств Bp,k, введенных
и систематически исследованных Л. Хермандером [5, п. 2.2]. Именно, Hϕ(Rn) = Bp,k, если
p = 2 и k(ξ) = ϕ(〈ξ〉) при ξ ∈ R
n.
Определим теперь пространства на многообразии Γ. Произвольно выберем конечный
атлас из C∞-структуры на Γ, образованный локальными картами αj : R
n ↔ Uj , где j =
= 1, . . . , r. Здесь открытые множества Uj составляют покрытие многообразия Γ. Пусть
функции χj ∈ C∞(Γ), где j = 1, . . . , r, образуют разбиение единицы на Γ, удовлетворяющее
условию suppχj ⊂ Uj.
Линейное пространство Hϕ(Γ) состоит из всех распределений h ∈ D′(Γ) таких, что
(χjh) ◦αj ∈ Hϕ(Rn) для каждого j = 1, . . . , r. Здесь (χjh) ◦αj — представление распределе-
ния χjh в локальной карте αj . В пространстве Hϕ(Γ) определено скалярное произведение
распределений h1 и h2 по формуле
(h1, h2)ϕ :=
r∑
j=1
((χjh1) ◦ αj, (χjh2) ◦ αj)Hϕ(Rn).
Оно задает на Hϕ(Γ) структуру гильбертова пространства и определяет норму ‖h‖ϕ :=
= (h, h)1/2ϕ . Пространство Hϕ(Γ) с точностью до эквивалентности норм не зависит от выбора
атласа и разбиения единицы [4, с. 139, теорема 2.21]. Это пространство сепарабельно; для
него выполняются непрерывные и плотные вложения C∞(Γ) →֒ Hϕ(Γ) →֒ D′(Γ).
Если ϕ(t) = ts для всех t > 1 при некотором s ∈ R, то Hϕ(Rn) =: H(s)(Rn) и Hϕ(Γ) =
=: H(s)(Γ) есть (гильбертовы) пространства Соболева порядка s, заданные на R
n и Γ со-
ответственно.
Класс пространств {Hϕ(Γ) : ϕ ∈ RO} называем расширенной соболевской шкалой на Γ.
Матричный дифференциальный оператор A является ограниченным оператором
A :
p⊕
k=1
Hϕρmk (Γ) →
p⊕
j=1
Hϕρ−lj
(Γ) для каждого ϕ ∈ RO. (2)
Здесь и далее ρ(t) := t при t > 1. Поскольку ϕρmk , ϕρ−lj ∈ RO, то определены пространства,
фигурирующие в (2). Изучим свойства оператора (2).
2. Результаты. Обозначим через A+ матричный дифференциальный оператор, фор-
мально сопряженный к A относительно формы (·, ·)Γ; он определяется условием (Au, v)Γ =
= (u,A+v)Γ для любых u, v ∈ (C∞(Γ))p. Здесь и далее (f, v)Γ = (f1, v1)Γ + · · · + (fp, vp)Γ
для вектор-функций f := (f1, . . . , fp) и v := (v1, . . . , vp). Эллиптичность (по Дуглису–
Ниренбергу) системы Au = f эквивалентна эллиптичности формально сопряженной сис-
темы A+v = g. Положим
N := {u ∈ (C∞(Γ))p : Au = 0 на Γ},
N+ := {v ∈ (C∞(Γ))p : A+v = 0 на Γ}.
Напомним, что линейный ограниченный оператор T : E1 → E2, где E1 и E2 — банаховы
пространства, называется нетеровым, если его ядро ker T и коядро coker T := E2/T (X)
конечномерны. У нетерового оператора T область значений T (X) замкнута в E2, а индекс
indT := dimker T − dim coker T конечен.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №3
Теорема 1. Ограниченный оператор (2) нетеров для произвольного функционального
параметра ϕ ∈ RO. Ядро этого оператора равно N , а область значений состоит из всех
вектор–функций f ∈
p⊕
j=1
Hϕρ−lj
(Γ) таких, что (f, v)Γ = 0 для любого v ∈ N+. Индекс
оператора (2) равен dimN − dimN+ и не зависит от ϕ.
В случае, когда N = {0} и N+ = {0}, оператор (2) является изоморфизмом. В общей
ситуации изоморфизм удобно задавать с помощью следующих проекторов.
Пусть ϕ ∈ RO. Разложим пространства, в которых действует нетеров оператор (2),
в прямые суммы (замкнутых) подпространств:
p⊕
k=1
Hϕρmk (Γ) = N ∔
{
u ∈
p⊕
k=1
Hϕρmk (Γ): (u,w)Γ = 0 для всех w ∈ N
}
,
p⊕
j=1
Hϕρ−lj
(Γ) = N+ ∔
{
f ∈
p⊕
j=1
Hϕρ−lj
(Γ): (f, v)Γ = 0 для всех v ∈ N+
}
.
Обозначим через P и P+ соответственно проекторы пространств
p⊕
k=1
Hϕρmk (Γ)
и
p⊕
j=1
Hϕρ−lj
(Γ) на вторые слагаемые в указанных суммах параллельно первым слагаемым.
Эти проекторы (как отображения) не зависят от ϕ.
Теорема 2. Сужение оператора (2) на P
( p⊕
k=1
Hϕρmk (Γ)
)
является изоморфизмом
A : P
(
p⊕
k=1
Hϕρmk (Γ)
)
↔ P+
(
p⊕
j=1
Hϕρ−lj
(Γ)
)
для каждого ϕ ∈ RO. (3)
Для решения эллиптического уравнения Au = f выполняется следующая априорная
оценка в расширенной соболевской шкале.
Теорема 3. Пусть произвольно заданы параметры: функциональный ϕ ∈ RO и число-
вой σ > 0. Тогда существует число c = c(ϕ, σ) > 0 такое, что для любых вектор-функций
u ∈
p⊕
k=1
Hϕρmk (Γ), f ∈
p⊕
j=1
Hϕρ−lj
(Γ), (4)
удовлетворяющих уравнению Au = f на Γ, справедлива априорная оценка
(
p∑
k=1
‖uk‖
2
ϕρmk
)1/2
6 c
(
p∑
j=1
‖fj‖
2
ϕρ−lj
)1/2
+ c
(
p∑
k=1
‖uk‖
2
ϕρmk−σ
)1/2
. (5)
Если N = {0}, то второе слагаемое в правой части неравенства (5) можно опустить.
Исследуем локальную регулярность решения эллиптической системы Au = f . Пусть V —
произвольное открытое непустое подмножество многообразия Γ. Обозначим
Hϕ
loc(V ) := {h ∈ D′(Γ): χh ∈ Hϕ(Γ) для всех χ ∈ C∞(Γ), suppχ ⊂ V }.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №3 17
Топология в линейном пространстве Hϕ
loc(V ) задается с помощью полунорм h 7→ ‖χh‖ϕ, где
χ — такое, как в определении этого пространства. Если V = Γ, то Hϕ
loc(V ) = Hϕ(Γ).
Теорема 4. Пусть ϕ ∈ RO. Предположим, что вектор-функция u ∈ (D′(Γ))p является
решением уравнения Au = f на V , где fj ∈ Hϕρ−lj
loc (V ) для всех j = 1, . . . , p. Тогда uk ∈
∈ Hϕρmk
loc (V ) для всех k = 1, . . . , p.
В качестве приложения этой теоремы приведем следующее достаточное условие непре-
рывности компонент решения u и их обобщенных производных.
Теорема 5. Пусть произвольно заданы целые числа k ∈ {1, . . . , p}, r > 0 и функцио-
нальный параметр ϕ ∈ RO, удовлетворяющий условию
∞∫
1
t2r+n−1−2mkϕ−2(t) dt <∞. (6)
Предположим, что вектор-функция u ∈ (D′(Γ))p является решением уравнения Au =
= f на открытом множестве V ⊆ Γ, где fj ∈ Hϕρ−lj
loc (V ) для всех j = 1, . . . , p. Тогда
компонента uk решения имеет на множестве V непрерывные производные до порядка r
включительно: uk ∈ Cr(V ).
Отметим, что условие (6) не только достаточное в теореме 5, но и необходимое на классе
всех рассматриваемых решений u.
3. Доказательства. Приведем вкратце обоснование теорем 1–5.
Теорема 1 известна в соболевском случае, когда ϕ = ̺s и s ∈ R (см., например, [1,
с. 52, теорема 3.2.1]). Для произвольного ϕ ∈ RO она доказывается с помощью интерполя-
ции с функциональным параметром соответствующих пространств Соболева. Определение
и свойства этой интерполяции приведены в [4, пп. 1.1, 2.4.2]. Выберем произвольно числа
s0 < σ0(ϕ) и s1 > σ1(ϕ), где σ0(ϕ) и σ1(ϕ) — нижний и верхний индексы Матушевской
функции ϕ [14, c. 68], и рассмотрим ограниченные нетеровы операторы
A :
p⊕
k=1
H(sr+mk)(Γ) →
p⊕
j=1
H(sr−lj)(Γ) для r ∈ {0, 1}, (7)
действующие в соболевских пространствах. Определим интерполяционный функциональ-
ный параметр ψ по формулам ψ(t) := t−s0/(s1−s0)ϕ(t1/(s1−s0)) при t > 1 и ψ(t) := ϕ(1)
при 0 < t < 1. Применив интерполяцию с параметром ψ к (7), получим ограниченный
оператор (2)
A :
p⊕
k=1
Hϕρmk (Γ) =
[
p⊕
k=1
H(s0+mk)(Γ),
p⊕
k=1
H(s1+mk)(Γ)
]
ψ
→
→
[
p⊕
j=1
H(s0−lj)(Γ),
p⊕
j=1
H(s1−lj)(Γ)
]
ψ
=
p⊕
j=1
Hϕρ−lj
(Γ).
Здесь воспользовались интерполяционными теоремами 1.5 и 2.22 из монографии [4, сс. 32,
140]. Согласно еще одной интерполяционной теореме 1.7 из [4, с. 35], нетеровость этого
оператора и другие его свойства, указанные в теореме 1, являются следствием нетеровости
операторов (7), имеющих общее ядро и одинаковый индекс.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №3
Теорема 2 вытекает из теоремы 1. В самом деле, N — ядро, а P+
( p⊕
j=1
Hϕρ−lj
(Γ)
)
—
область значений оператора (2) для любого ϕ ∈ RO, как утверждает теорема 1. Следова-
тельно, ограниченный оператор (3) — биекция. Поэтому он является взаимно непрерывным
оператором (т. е. изоморфизмом) в силу теоремы Банаха об обратном операторе, что и тре-
бовалось доказать.
Докажем теорему 3. Пусть ϕ ∈ RO и σ > 0. Обозначим для краткости
X :=
p⊕
k=1
Hϕρmk (Γ), Y :=
p⊕
j=1
Hϕρ−lj
(Γ) и Z :=
p⊕
k=1
Hϕρmk−σ
(Γ).
Пусть вектор-функции (4) такие, что Au = f на Γ. Для них априорная оценка (5) следует
из неравенств
‖Pu‖X 6 c1‖f‖Y и ‖(1 − P )u‖X 6 c2‖u‖Z .
Здесь c1 — норма оператора, обратного к (3) (заметим, что APu = f), а c2 — норма опера-
тора 1 − P : X → N , где N — конечномерное подпространство в Z.
Докажем теорему 4. Пусть вектор-функции u и f такие, как в условии этой теоре-
мы. В специальном случае, когда V = Γ, она вытекает из теоремы 1. Действительно, на
основании последней можем записать f = Av для некоторого v ∈
p⊕
k=1
Hϕρmk (Γ). Отсюда
w := u − v ∈ N и u = v + w ∈
p⊕
k=1
Hϕρmk (Γ).
В общей ситуации теорема 4 выводится из рассмотренного выше случая V = Γ следую-
щим образом. Выберем произвольно функции χ, η ∈ C∞(Γ) такие, что их носители лежат
в V и η ≡ 1 в окрестности носителя функции χ. Переставив матричный дифференциальный
оператор A и оператор умножения на функцию χ, можем записать
A(χu) = A(χηu) = χA(ηu) +A′(ηu) = χf +A′(ηu) на Γ.
Здесь A′ = (A′
j,k)
p
j,k=1 — некоторый матричный дифференциальный оператор с коэффи-
циентами класса C∞(Γ), удовлетворяющий условию ordA′
j,k 6 ordAj,k − 1. Следовательно,
для каждого целого r > 1 верна цепочка импликаций
u ∈
p⊕
k=1
Hϕρmk−r
loc (V ) ⇒ χf +A′(ηu) ∈
p⊕
j=1
Hϕρ−lj−r+1
(Γ) ⇒ χu ∈
p⊕
k=1
Hϕρmk−r+1
(Γ).
Последняя из них выполняется в силу теоремы 1, доказанной в случае V = Γ. Отсюда ввиду
произвольности указанного выбора функции χ делаем вывод, что
u ∈
p⊕
k=1
Hϕρmk−r
loc (V ) ⇒ u ∈
p⊕
k=1
Hϕρmk−r+1
loc (V ). (8)
Выбрав теперь целое σ ≫ 1 такое, что u ∈
p⊕
k=1
Hϕρmk−σ
(Γ) (для каждого u ∈ (D′(Γ))p это
всегда можно сделать), и применив импликацию (8) последовательно для r = σ, r = σ − 1,
. . . , r = 1, выводим требуемое включение u ∈
p⊕
k=1
Hϕρmk
loc (V ).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №3 19
Теорема 5 следует из теоремы 4 и того факта, что условие (6) эквивалентно вложению
Hϕρmk (Γ) →֒ Cr(Γ). Он вытекает из теоремы вложения Л. Хермандера [5, c. 59] (ср. с [4,
с. 103]).
Автор выражает благодарность А.А. Мурачу за руководство работой.
1. Агранович М.С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях // Итоги науки и техники.
Соврем. пробл. математики. Фунд. напр. Т. 63. – Москва: ВИНИТИ, 1990. – С. 5–129.
2. Agranovich M. S. Elliptic boundary problems // Encycl. Math. Sci. Vol. 79. Partial differential equations,
IX. – Berlin: Springer, 1997. – P. 1–144.
3. Михайлец В.А., Мурач А.А. Об эллиптических операторах на замкнутом компактном многообра-
зии // Доп. НАН України. – 2009. – № 3. – С. 29–35.
4. Михайлец В.А., Мурач А.А. Пространства Хермандера, интерполяция и эллиптические задачи. –
Kиев: Институт математики НАН Украины, 2010. – 372 с. (Доступно на arXiv:1106.3214.).
5. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. – Москва: Мир,
1965. – 380 с.
6. Мурач А.А. Об эллиптических системах в пространствах Хермандера // Укр. мат. журн. – 2009. –
61, № 3. – С. 391–399.
7. Зинченко Т.Н., Мурач А.А. Эллиптические по Дуглису–Ниренбергу системы в пространствах Хер-
мандера // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 11. – С. 1477–1491.
8. Mikhailets V.A., Murach A.A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems // Banach
J. Math. Anal. – 2012. – 6, No 2. – P. 211–281.
9. Paneah B. The oblique derivative problem. The Poincaré problem. – Berlin: Wiley-VCH, 2000. – 348 p.
10. Triebel H. The structure of functions. – Basel: Birkhäuser, 2001. – xii+425 p.
11. Jacob N. Pseudodifferential operators and Markov processes. Vols. 1–3. – London: Imperial College Press,
2001, 2002, 2005. – xxii+493 p., xxii+453 p., xxviii+474 p.
12. Nicola F., Rodino L. Global pseudodifferential calculus on Euclidean spaces. – Basel: Birkhäuser, 2010. –
x+306 p.
13. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – Москва: Наука, 1985. – 144 с.
14. Bingham N.H., Goldie C.M., Teugels J. L. Regular variation. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. –
512 p.
Поступило в редакцию 04.09.2012Институт математики НАН Украины, Киев
Т. М. Зiнченко
Елiптичнi системи в розширенiй соболєвськiй шкалi
Елiптичнi за Дуглiсом–Нiренбергом системи диференцiальних рiвнянь на замкненому глад-
кому многовидi дослiдженi в розширенiй соболєвськiй шкалi. Вона складається з усiх гiльбер-
тових просторiв, iнтерполяцiйних вiдносно гiльбертової соболєвської шкали. Встановлено
теорему про розв’язнiсть елiптичних систем в розширенiй соболєвськiй шкалi. Отримано
апрiорну оцiнку розв’язкiв та дослiджено їх локальну регулярнiсть.
T.N. Zinchenko
Elliptic systems in the extended Sobolev scale
The Douglis–Nirenberg elliptic systems of differential equations given on a closed smooth manifold
are investigated in the extended Sobolev scale. This scale consists of all Hilbert spaces that are
interpolation spaces with respect to the Hilbert Sobolev scale. Theorems on solvability of the elliptic
systems in the extended Sobolev scale are given. An a priori estimate for solutions is obtained, and
their regularity is studied.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85591 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:43:41Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Зинченко, Т.Н. 2015-08-08T18:30:42Z 2015-08-08T18:30:42Z 2013 Эллиптические системы в расширенной соболевской шкале / Т.Н. Зинченко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 3. — С. 14–20. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85591 517.956.222 Эллиптические по Дуглису–Ниренбергу системы дифференциальных уравнений на замкнутом многообразии исследованы в расширенной соболевской шкале. Она состоит из всех гильбертовых пространств, интерполяционных относительно гильбертовой соболевской шкалы. Установлены теоремы о разрешимости эллиптических систем в расширенной соболевской шкале. Получена априорная оценка решений и исследована их локальная регулярность. Елiптичнi за Дуглiсом–Нiренбергом системи диференцiальних рiвнянь на замкненому гладкому многовидi дослiдженi в розширенiй соболєвськiй шкалi. Вона складається з усiх гiльбертових просторiв, iнтерполяцiйних вiдносно гiльбертової соболєвської шкали. Встановлено теорему про розв’язнiсть елiптичних систем в розширенiй соболєвськiй шкалi. Отримано
 апрiорну оцiнку розв’язкiв та дослiджено їх локальну регулярнiсть. The Douglis–Nirenberg elliptic systems of differential equations given on a closed smooth manifold
 are investigated in the extended Sobolev scale. This scale consists of all Hilbert spaces that are
 interpolation spaces with respect to the Hilbert Sobolev scale. Theorems on solvability of the elliptic
 systems in the extended Sobolev scale are given. An a priori estimate for solutions is obtained, and
 their regularity is studied. Автор выражает благодарность А.А. Мурачу за руководство работой. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Эллиптические системы в расширенной соболевской шкале Елiптичнi системи в розширенiй соболєвськiй шкалi Elliptic systems in the extended Sobolev scale Article published earlier |
| spellingShingle | Эллиптические системы в расширенной соболевской шкале Зинченко, Т.Н. Математика |
| title | Эллиптические системы в расширенной соболевской шкале |
| title_alt | Елiптичнi системи в розширенiй соболєвськiй шкалi Elliptic systems in the extended Sobolev scale |
| title_full | Эллиптические системы в расширенной соболевской шкале |
| title_fullStr | Эллиптические системы в расширенной соболевской шкале |
| title_full_unstemmed | Эллиптические системы в расширенной соболевской шкале |
| title_short | Эллиптические системы в расширенной соболевской шкале |
| title_sort | эллиптические системы в расширенной соболевской шкале |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85591 |
| work_keys_str_mv | AT zinčenkotn élliptičeskiesistemyvrasširennoisobolevskoiškale AT zinčenkotn eliptičnisistemivrozšireniisobolêvsʹkiiškali AT zinčenkotn ellipticsystemsintheextendedsobolevscale |