Об одном варианте уточненной теории изгиба трансверсально-изотропных плит
Построено решение задач изгиба трансверсально-изотропных плит, которое приводится к системе дифференциальных уравнений шестого порядка. Предложены соотношения, позволяющие ставить граничные задачи с произвольным заданием внешних усилий по толщине плиты, что существенно расширяет круг предлагаемых к...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85598 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одном варианте уточненной теории изгиба трансверсально-изотропных плит / В.П. Шевченко, Р.Н. Нескородев // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 3. — С. 50–57. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859634249195323392 |
|---|---|
| author | Шевченко, В.П. Нескородев, Р.Н. |
| author_facet | Шевченко, В.П. Нескородев, Р.Н. |
| citation_txt | Об одном варианте уточненной теории изгиба трансверсально-изотропных плит / В.П. Шевченко, Р.Н. Нескородев // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 3. — С. 50–57. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Построено решение задач изгиба трансверсально-изотропных плит, которое приводится к системе дифференциальных уравнений шестого порядка. Предложены соотношения, позволяющие ставить граничные задачи с произвольным заданием внешних усилий по
толщине плиты, что существенно расширяет круг предлагаемых к решению задач.
Побудовано розв’язок задач згину трансверсально-iзотропних плит, який зводиться до системи диференцiальних рiвнянь шостого порядку. Запропоновано спiввiдношення, що дозволяють ставити граничнi задачi з довiльним заданням зовнiшнiх зусиль по товщинi плити,
що iстотно розширює коло пропонованих до розв’язання задач.
The solution of the problem of a bend of transversely isotropic plates, which is reduced to a system
of differential equations of the sixth order, is constructed. The relations allowing to pose boundary-
value problems with any external forces through the thickness of a plate are proposed. This essentially extends a circle of problems offered to the solution.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:13:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
Академик НАН Украины В.П. Шевченко, Р.Н. Нескородев
Об одном варианте уточненной теории изгиба
трансверсально-изотропных плит
Построено решение задач изгиба трансверсально-изотропных плит, которое приводит-
ся к системе дифференциальных уравнений шестого порядка. Предложены соотношения,
позволяющие ставить граничные задачи с произвольным заданием внешних усилий по
толщине плиты, что существенно расширяет круг предлагаемых к решению задач.
В работе [1] в качестве классической теории изгиба изотропных плит предлагается признать
теорию, приводящую к дифференциальным уравнениям шестого порядка. В виде одного из
вариантов в этой работе выводится система уравнений, имеющая шестой порядок, и форму-
лируются соответствующие краевые задачи. Предположения, на основе которых строится
эта теория, основаны на сравнении выражений для поперечных усилий, полученных в ре-
зультате интегрирования напряжений τxz и τyz, заданных различными соотношениями.
В настоящей работе на основе указанных предположений получена система дифферен-
циальных уравнений теории изгиба транстропных плит, позволяющая удовлетворить всем
трем граничным условиям на боковой поверхности, имеющим место в теории изгиба плит.
Строится решение бигармонического и метагармонического уравнений уточненной теории
изгиба транстропных плит. Решение выражено через произвольные функции обобщенных
комплексных переменных [2, 3]. Проведены численные исследования для бесконечной пли-
ты, ослабленной эллиптической полостью.
Основные соотношения уточненной теории изгиба транстропных плит. Приве-
дем представления для перемещений и напряжений, а также систему дифференциальных
уравнений теории изгиба плит, построенную по методике, предложенной в работе [1]. Рас-
смотрим транстропную плиту, имеющую толщину 2h и отнесенную к декартовой системе
координат Oxyz. Оси Ox и Oy расположены к срединной плоскости плиты, а ось Oz —
нормальна к этой плоскости. Представление для перемещений выбираются в виде
u1 = p1[∂1ϕ(x, y) + ∂2ψ(x, y)],
u2 = p1[∂2ϕ(x, y)− ∂1ψ(x, y)],
u3 = w0(x, y) + p2w(x, y).
(1)
Здесь введены нечетная по переменной z функция p1(z), характеризующая распределение
усилий по толщине плиты, ее производная и интегралы
p0 =
dp1
dz
, p2 =
∫
p1(z) dz, p3 =
∫
p2(z) dz.
Функции ϕ и ψ представляют собой соответственно потенциальную и вихревую части поля
перемещений, а w0 и w характеризуют прогиб плиты.
© В. П. Шевченко, Р.Н. Нескородев, 2013
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №3
Для построения уточненной теории изгиба транстропных плит используются:
уравнения обобщенного закона Гука
σi = Ai1ε1 +Ai2ε2 +Ai3ε3 (i = 1, 2, 3),
σ4 = A44ε4, σ5 = A55ε5, σ6 = A66ε6;
(2)
геометрические соотношения
εi = ∂iui (i = 1, 2, 3),
ε4 = ∂3u2 + ∂2u3, ε5 = ∂3u1 + ∂1u3, ε6 = ∂1u2 + ∂2u1;
(3)
трехмерные уравнения равновесия без учета объемных сил
∂1σ1 + ∂2σ6 + ∂3σ5 = 0, ∂1σ6 + ∂2σ2 + ∂3σ4 = 0, ∂1σ5 + ∂2σ4 + ∂3σ3 = 0. (4)
В представлениях (2)–(4) введены обозначения
[σ1, σ2, σ3, σ4, σ5, σ6] для [σx, σy, σz , τyz, τxz, τxy],
[ε1, ε2, ε3, ε4, ε5, ε6] для [εx, εy, εz , γyz, γxz, γxy],
∂1 =
∂
∂x
, ∂2 =
∂
∂y
, ∂3 =
∂
∂z
, Aij — модули упругости.
Уравнения закона Гука (2) с учетом представлений (1) и (3) дают выражения для на-
пряжений в форме
σi = p1si (i = 1, 2, 3, 6), σ4 = A44[∂2w0 + p2∂2w + p0(∂2ϕ− ∂1ψ)],
σ5 = A55[∂1w0 + p2∂1w + p0(∂1ϕ+ ∂2ψ)],
(5)
где
si = (Ai1∂
2
1 +Ai2∂
2
2)ϕ+ (Ai1 −Ai2)∂1∂2ψ +Ai3w (i = 1, 3),
s6 = A66[2∂1∂2ϕ+ (∂22 − ∂21)ψ].
(6)
Выражения для напряжений σ5, σ4 и σ3 можно также найти, удовлетворяя уравнениям
равновесия (4)
σ5 = [p2(h)− p2(z)]S5, σ4 = [p2(h)− p2(z)]S4, σ3 = [p3(z)− p2(h)z]S3. (7)
Здесь введены обозначения, которые с учетом соотношений (5) принимают вид
S5 = ∂1s1 + ∂2s6, S4 = ∂1s6 + ∂2s2, S3 = ∂1S5 + ∂2S4. (8)
Представления (7) входят в противоречие с соотношениями (5). Корректный результат
можно получить для поперечных усилий.
Для построения дифференциальных уравнений, описывающих изгиб плит, полагаем:
1) как и в теории Кирхгофа, поперечное нормальное напряжение σ3 равно нулю;
2) как и в работе [1], считаем равными поперечные усилия, полученные интегрированием
напряжений σ4 и σ5, заданных соотношениями (5) и (7).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №3 51
Реализация указанных предположений приводит к уравнениям, которые для транстроп-
ного тела принимают вид
s3 = A13∆ϕ+A33w = 0, ∆ = ∂21 + ∂22 ; (9)
S3 = A11∆∆ϕ+A13∆w = 0; (10)
Q5 =
h
∫
−h
σ5dz = A55[2h∂1w0 + I0(∂1ϕ+ ∂2ψ) + I1∂1w] = I2S5,
Q4 =
h
∫
−h
σ4dz = A55[2h∂2w0 + I0(∂2ϕ− ∂1ψ) + I1∂2w] = I2S4.
(11)
Здесь введены обозначения: I0 =
h
∫
−h
p0dz, I1 =
h
∫
−h
p2dz, I2 = 2hp2(h) − I1.
Уравнения (9)–(11) для определения функций ϕ, ψ, w0 и w приводятся к виду
∆∆ϕ = 0, ∆ψ − k2ψ = 0; (12)
w = −α13∆ϕ, w0 = −k0ϕ+ α1∆ϕ, (13)
где принято
k2 =
k0A55
k2A66
, k0 =
I0
2h
, k2 =
I2
2h
, α1 =
k2B11
A55
+ k1α13,
k1 =
I1
2h
, α13 =
A13
A33
, Bik = Aik −Ai3
A3k
A33
(i, k = 1, 3).
Таким образом, получены дифференциальные уравнения изгиба транстропных плит (12)
относительно функций ϕ и ψ, а также соотношения (13) для вычисления функций w и w0.
Уравнения в совокупности имеют шестой порядок, что позволяет удовлетворить всем трем
граничным условиям на боковой поверхности, имеющим место в теории изгиба плит.
Решение дифференциальных уравнений (12). Для построения решения диффе-
ренциальных уравнений воспользуемся функциями обобщенных комплексных переменных.
Бигармоническое уравнение. Введем в операторы ∆ = ∂21 + ∂22 дополнительные слага-
емые так, чтобы они приняли вид ∆1 = (1 + ε)2∂21 + ∂22 , ∆2 = (1 − ε)2∂21 + ∂22 , где ε —
малый параметр [3]. Тогда бигармонический оператор ∆∆ превращается в обобщенный би-
гармонический ∆1∆2. Корни характеристического уравнения теперь не являются кратными
и имеют вид µ1 = (1 + ε)i, µ2 = (1 − ε)i, µ1 = −(1 + ε)i, µ2 = −(1 − ε)i.
Общее действительное решение первого уравнения (12) через произвольные функции
обобщенных комплексных переменных, согласно [2], можно представить в виде
ϕ = 2Re[ϕ1(z1) + ϕ2(z2)], zj = x+ µjy. (14)
Уравнение Гельмгольца. Рассмотрим способ решения второго уравнения (12) для ус-
ложненного оператора ∆ = α2∂21 + ∂22 , где α — вещественное число. Введем обобщенную
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №3
комплексную переменную z = x + µy и сопряженную ей величину z = x + µy. В этих
переменных второе уравнение системы (12) примет вид
[
∂2
∂z∂z
− q2
]
ψ(x, y) = 0, q2 =
k2
4α2
. (15)
Функцию ψ(x, y) представим в виде произведения функций различных аргументов
ψ = ϕ(t)η(s), t = 2qr, r = (zz)1/2, s =
(
z
z
)1/2
. (16)
Подставим представление (16) в уравнение (15). Разделяя функции, получим следующие
обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций ϕ(t) и η(s):
t2ϕ′′ + tϕ′
− t2ϕ = αϕ, η′′s2 + η′s− αη = 0. (17)
Решение уравнений (17) при целых значениях разделительного параметра α = n2 (n =
= 0,±1,±2, . . .) дает возможность представить функцию (16) в виде суммы произведений
ψ(x, y) = 2Re
∞
∑
n=0
[EnIn(t) + FnKn(t)]s
n, (18)
где In(t), Kn(t) — модифицированные функции Бесселя [4]; En и Fn — произвольные по-
стоянные.
Представления для функций ϕ и ψ, данные решениями (14) и (18), позволяют удовле-
творить всем граничным условиям на боковой поверхности плиты.
Граничные условия на боковой поверхности. Рассмотрим напряженно-деформи-
рованное состояние плиты, ослабленной криволинейной полостью, боковая поверхность ко-
торой представляет собой цилиндр с образующими, нормальными плоским граням. Гранич-
ные условия для криволинейного края с нормалью ~n определяются способом закрепления
и нагружения поверхности. Пусть P (x, y, z) — нормальная, а T (x, y, z) и N(x, y, z) — каса-
тельные составляющие внешних сил, приложенных к боковой поверхности полости. Если
P = T = N = 0, то край считается свободным от усилий. На внешней боковой поверхности
также могут быть заданы усилия интенсивностью σ01 = pz, σ02 = qz и σ06 = tz. Полагаем, что
внешний контур находится вдали от полости и их взаимным влиянием можно пренебречь.
Тогда граничные условия на боковой поверхности полости примут вид
n1σ1 + n2σ6 = n1(P − pz)− n2(T + tz),
n1σ6 + n2σ2 = n1(T − tz) + n2(P − qz),
n1σ5 + n2σ4 = N, n1 = cos(n, x), n2 = cos(n, y).
(19)
Рассмотрим случай, когда внешние усилия представлены в форме
P = p1(z)P1(x, y), T = p1(z)T1(x, y), N = [p2(h) − p2(z)]N1(x, y). (20)
Тогда, в соответствии с представлениями (5), (7) и (20), условия (19) запишутся так:
n1s1 + n2s6 = n1(P1 − p)− n2(T1 + t),
n1s6 + n2s2 = n1(T1 − t) + n2(P1 − q), n1S5 + n2S4 = N1.
(21)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №3 53
Отметим, что при усилиях p, q и t функция p1(z) = z.
Численные исследования. Эллиптический контур. Плита ослаблена полостью
в виде цилиндра эллиптического сечения с образующими, нормальными плоским граням.
В сечении срединной плоскостью Oxy имеем область Ω в виде плоскости с эллиптическим
вырезом. Главные оси эллипса направлены по осям Ox и Oy. В этом случае уравнение
эллиптического контура в параметрической форме можно записать таким образом:
x = a cos(θ) =
a
2
(
σ +
1
σ
)
, y = b sin(θ) = −
bi
2
(
σ −
1
σ
)
. (22)
Здесь σ = cos(θ) + i sin(θ); a и b — полуоси эллипса; θ — полярный угол.
Уравнение контура (22) позволяет записать функцию, конформно отображающую внеш-
ность единичного круга на внешность эллипса в области Ωj, определения функции ϕj(zj)
zj = x+ µjy = Rjςj +
mj
ςj
ςj = rjσ (rj > 1). (23)
Функции ϕ′
j(zj) = dϕj/dzj , представления (14) будем искать в виде ряда
ϕ′
j(zj) =
∞
∑
n=1
αnj
ςnj
. (24)
Отметим, что на граничном контуре rj = 1 и имеет место равенство ςj = σ.
Для получения системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффи-
циентов функций (18) и (24) необходимо функции, входящие в граничные условия, разло-
жить в ряды по степеням переменной σ.
При численном исследовании напряженно-деформированного состояния плиты исполь-
зованы безразмерные величины. Они получаются делением линейных величин на характер-
ный линейный параметр. В качестве такого параметра принята величина R = max(a, b).
Безразмерная координата z∗ получается делением исходной координаты z на полутолщину
плиты h. Тогда переменная z∗ будет изменяться на отрезке [−1, 1].
Деформация осуществляется изгибающими усилиями σ01 = z∗p, действующими на бе-
сконечности. Наибольший интерес представляют величины, определяющие концентрацию
напряжений на контуре полости
Sθ = n22s1 − 2n1n2s6 + n21s2, Szθ = (−n2S5 + n1S4)p2(h).
В табл. 1 приведены результаты численных исследований для плиты с круговой a = b
и эллиптическими a/b = 2/3 и a/b = 3/2 полостями. Исследования проведены для различ-
ных относительных толщин плиты h и различных значений коэффициента Пуассона ν. Для
каждого значения параметра ν приведены две строки данных. В верхней строке таблицы
отражены максимальные, а в нижней — минимальные значения концентрации напряжений.
Анализ численных исследований и данных табл. 1 позволяет сделать следующие выво-
ды:
1) наибольшая зависимость напряжений от коэффициента Пуассона наблюдается при
малых толщинах плиты;
2) напряжения Szθ/p с увеличением толщины плиты стремятся к нулю;
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №3
3) напряжения Sθ/p, возникающие при изгибе плиты с полостью, в зависимости от тол-
щины плиты, лежат в границах между решениями задач изгиба по теории Кирхгофа и ре-
шениями соответствующих задач плоской теории упругости.
Действительно, для тонкой плиты из изотропного материала с круговым отверстием
путем использования теории Кирхгофа получены соотношения [2]
max
Sθ
p
=
5 + 3ν
3 + ν
, min
Sθ
p
=
1− ν
3 + ν
. (25)
В работе [5] при определении плоского напряженного состояния для пластинки с эллип-
тическим отверстием получены соотношения, которые для изотропного материала имеют
вид
max
Sθ
p
= 1 + 2
b
a
, min
Sθ
p
= −1. (26)
Сравнение результатов, полученных по формулам (25) и (26) с данными табл. 1 при h = 0,1
и h = 100 соответственно, подтверждает сформулированный выше вывод 3.
Также следует отметить, что аналогичные выводы даны в работе [6], где для решения
задачи изгиба плиты с круговым вырезом использована теория, учитывающая сдвиговую
жесткость.
На рис. 1, 2 показано распределение напряжений по контуру эллиптического отверстия
для различных значений относительной толщины плиты h. Параметры эллипса a = 2/3,
b = 1, относительная толщина плиты h выбиралась равной 0,1, 1 и 10, а коэффициент
ν = 1/3. Сплошной линией на рисунках обозначен случай, когда h = 10, штриховая линия
соответствует толщине h = 1, а пунктирная — h = 0,1.
На рис. 3 приведено распределение максимальных значений напряжений σθ = z∗Sθ
и σzθ = (1− z2
∗
)Szθ по толщине плиты для указанных выше случаев. На рисунках наглядно
просматриваются закономерности распределения напряжений, описанные выше.
Таким образом, в работе предложена методика получения решений бигармоническо-
го и метагармонического уравнений уточненной теории изгиба трансверсально-изотропных
Таблица 1
h 0,1 1 10 100
ν Sθ/p Szθ/p Sθ/p Szθ/p Sθ/p Szθ/p Sθ/p Szθ/p
a = b
0,001 1,693 −0,574 1,906 0,538 2,734 0,240 2,992 0,030
0,307 0,574 0,094 −0,538 −0,734 −0,240 −0,992 −0,030
1/3 1,828 0,515 2,049 0,468 2,794 0,186 2,994 0,022
0,173 −0,515 −0,049 −0,468 −0,794 −0,186 −0,994 −0,022
0,499 1,885 0,489 2,108 0,439 2,814 0,168 2,994 0,020
0,115 −0,489 −0,108 −0,439 −0,814 −0,168 −0,994 −0,020
a = 2/3b
1/3 2,269 0,641 2,712 0,558 3,761 0,194 3,996 0,022
0,174 −0,641 −0,052 −0,558 −0,830 −0,194 −0,998 −0,022
a = 3/2b
1/3 1,550 0,427 1,701 0,372 2,220 0,129 2,330 0,015
0,154 −0,427 −0,142 −0,372 −0,840 −0,129 −0,996 −0,015
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №3 55
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 3
пластин, учитывающей деформации поперечного сдвига. Методика основана на использова-
нии функций обобщенных комплексных переменных. Проведены численные исследования
напряженного состояния бесконечной плиты с эллиптическим отверстием. Дан анализ по-
лученных результатов.
1. Васильев В.В. Классическая теория пластин – история и современный анализ // Изв. АН. МТТ. –
1998. – № 3. – С. 46–58.
2. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. – Москва: Гостехиздат, 1957. – 463 с.
3. Космодамианский А.С., Нескородев Н.М. Связь уравнений плоской теории упругости для анизотроп-
ного и изотропного тел // Прикл. математика и механика. – 1998. – 62, вып. 2. – С. 344–346.
4. Никифоров А.Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. – Москва: Наука,
1978. – 320 с.
5. Космодамианский А.С. Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями. –
Киев; Донецк: Вища шк., 1976. – 200 с.
6. Пелех Б.Л. Концентрация напряжений около отверстий при изгибе трансверсально-изотропных плас-
тин. – Киев: Наук. думка, 1977. – 183 с.
Поступило в редакцию 27.07.2012Донецкий национальный университет
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №3
Академiк НАН України В.П. Шевченко, Р.М. Нескородєв
Про один варiант уточненої теорiї згину трансверсально-iзотропних
плит
Побудовано розв’язок задач згину трансверсально-iзотропних плит, який зводиться до сис-
теми диференцiальних рiвнянь шостого порядку. Запропоновано спiввiдношення, що дозво-
ляють ставити граничнi задачi з довiльним заданням зовнiшнiх зусиль по товщинi плити,
що iстотно розширює коло пропонованих до розв’язання задач.
Academician of the NAS of Ukraine V.P. Shevchenko, R.N. Neskorodev
A variant of the improved theory of bending of transversely isotropic
plates
The solution of the problem of a bend of transversely isotropic plates, which is reduced to a system
of differential equations of the sixth order, is constructed. The relations allowing to pose boundary-
value problems with any external forces through the thickness of a plate are proposed. This essen-
tially extends a circle of problems offered to the solution.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №3 57
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85598 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:13:54Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шевченко, В.П. Нескородев, Р.Н. 2015-08-08T18:32:46Z 2015-08-08T18:32:46Z 2013 Об одном варианте уточненной теории изгиба трансверсально-изотропных плит / В.П. Шевченко, Р.Н. Нескородев // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 3. — С. 50–57. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85598 539.3 Построено решение задач изгиба трансверсально-изотропных плит, которое приводится к системе дифференциальных уравнений шестого порядка. Предложены соотношения, позволяющие ставить граничные задачи с произвольным заданием внешних усилий по толщине плиты, что существенно расширяет круг предлагаемых к решению задач. Побудовано розв’язок задач згину трансверсально-iзотропних плит, який зводиться до системи диференцiальних рiвнянь шостого порядку. Запропоновано спiввiдношення, що дозволяють ставити граничнi задачi з довiльним заданням зовнiшнiх зусиль по товщинi плити, що iстотно розширює коло пропонованих до розв’язання задач. The solution of the problem of a bend of transversely isotropic plates, which is reduced to a system of differential equations of the sixth order, is constructed. The relations allowing to pose boundary- value problems with any external forces through the thickness of a plate are proposed. This essentially extends a circle of problems offered to the solution. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Об одном варианте уточненной теории изгиба трансверсально-изотропных плит Про один варiант уточненої теорiї згину трансверсально-iзотропних плит A variant of the improved theory of bending of transversely isotropic plates Article published earlier |
| spellingShingle | Об одном варианте уточненной теории изгиба трансверсально-изотропных плит Шевченко, В.П. Нескородев, Р.Н. Механіка |
| title | Об одном варианте уточненной теории изгиба трансверсально-изотропных плит |
| title_alt | Про один варiант уточненої теорiї згину трансверсально-iзотропних плит A variant of the improved theory of bending of transversely isotropic plates |
| title_full | Об одном варианте уточненной теории изгиба трансверсально-изотропных плит |
| title_fullStr | Об одном варианте уточненной теории изгиба трансверсально-изотропных плит |
| title_full_unstemmed | Об одном варианте уточненной теории изгиба трансверсально-изотропных плит |
| title_short | Об одном варианте уточненной теории изгиба трансверсально-изотропных плит |
| title_sort | об одном варианте уточненной теории изгиба трансверсально-изотропных плит |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85598 |
| work_keys_str_mv | AT ševčenkovp obodnomvarianteutočnennoiteoriiizgibatransversalʹnoizotropnyhplit AT neskorodevrn obodnomvarianteutočnennoiteoriiizgibatransversalʹnoizotropnyhplit AT ševčenkovp proodinvariantutočnenoíteoriízginutransversalʹnoizotropnihplit AT neskorodevrn proodinvariantutočnenoíteoriízginutransversalʹnoizotropnihplit AT ševčenkovp avariantoftheimprovedtheoryofbendingoftransverselyisotropicplates AT neskorodevrn avariantoftheimprovedtheoryofbendingoftransverselyisotropicplates |